七年级上册数学培优讲义(绝对值)第三讲

绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .
绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
注意：①取绝对值也是一种运算.运算符号是“
”.求一个数的绝对值.就是根据性质去掉绝对
值符号.
②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
③绝对值具有非负性.取绝对值的结果总是正数或0.
④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值.如：5-符号是负号.绝对值是5.
求字母a 的绝对值：
①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数.绝对值大的反而小.
绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0.那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=.则0a =.0b =.0c =
绝对值的其它重要性质：
（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数.也不小于这个数的相反数.即a a ≥.且a a ≥-；
（2）若a b =.则a b =或a b =-；
（3）ab a b =⋅；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；
a 的几何意义：在数轴上.表示这个数的点离开原点的距离．
a b -的几何意义：在数轴上.表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．
绝对值
【经典例题1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（）
A、±2
B、2
C、-2
D、4
【题目难度】★
【解题思路】此题要全面考虑.原点两侧各有一个点到原点的距离为2.即表示2和-2的点．【题目答案】根据题意.知到数轴原点的距离是2的点表示的数.即绝对值是2的数.应是±2．故选A．
【考点难点】利用数轴可以直观地求出两点的距离或解决一些与距离有关的问题.体现了数形结合的数学思想．
【经典例题2】下列说法正确的有（）
①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等.那么这两个数相
等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数.也没有绝对值最
小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互
为相反数．
A、②④⑤⑥
B、③⑤
C、③④⑤
D、③⑤⑥
【题目难度】★★
【解题思路】分别根据有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点对各小题进行逐一判断．【题目答案】①0是有理数.|0|=0.故本小题错误；
②互为相反数的两个数的绝对值相等.故本小题错误；
③互为相反数的两个数的绝对值相等.故本小题正确；
④有绝对值最小的有理数.故本小题错误；
⑤由于数轴上的点和实数是一一对应的.所以所有的有理数都可以用数轴上的点来
表示.故本小题正确；
⑥只有符号不同的两个数互为相反数.故本小题错误．
所以③⑤正确．
故选B．
【考点难点】本题考查的是有理数、绝对值、相反数的定义及数轴的特点.熟知以上知识是解答此题的关键．
【经典例题3】如果a的绝对值是2.那么a是（）
A、2
B、-2
C、±2
D、
【题目难度】★
【解题思路】根据题意可知：绝对值等于2的数应该是±2．
【题目答案】2的绝对值是2.-2的绝对值也是2.所以a的值应该是±2．
故选C．
【考点难点】本题考查了绝对值的概念.学生要熟练掌握．
【经典例题4】若a＜0.则4a+7|a|等于（）
A、11a
B、-11a
C、-3a
D、3a
【题目难度】★★
【解题思路】：本题考查有理数的绝对值问题.如果用字母a表示有理数.则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：
①当a是正有理数时.a的绝对值是它本身a；
②当a是负有理数时.a的绝对值是它的相反数-a；
③当a是零时.a的绝对值是零
【题目答案】：解：∵a＜0.
∴|a|=-a.4a+7|a|=4a+7|-a|=4a-7a=-3a．
选C．
【经典例题5】一个数与这个数的绝对值相等.那么这个数是（）
A、1.0
B、正数
C、非正数
D、非负数
【解题思路】：根据绝对值的性质进行解答即可．
【题目答案】解：因为一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝
对值是0.
所以一个数与这个数的绝对值相等.那么这个数是非负数．
故选D ．
【经典例题6】已知|x|=5.|y|=2.且xy ＞0.则x-y 的值等于（ ）
A 、7或-7
B 、7或3
C 、3或-3
D 、-7或-3
【题目难度】★★
【解题思路】先根据绝对值的定义求出x 、y 的值.再由xy ＞0可知x 、y 同号.根据此条件求出x 、y 的对应值即可． 【题目答案】解：∵|x|=5.|y|=2.
∴x=±5.y=±2.
∵xy ＞0.
∴当x=5时.y=2.此时x-y=5-2=3；
当x=-5时.y=-2.此时x-y=-5+2=-3．
故选C ．
【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及有理数的加减法.熟知绝对值的性质是解答此题的关键．
【经典例题7】若1-=x x
.则x 是（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、非负数
D 、非正数
【解题思路】本题作为选择题可用排除法进行解答.由于是分式.所以x≠0.故可排除C、D；再根据x的取值范围进行讨论即可．
【题目答案】：解：∵是分式.
∴x≠0.
∴可排除C、D.
∵当x＞0时.原式可化为=1.故A选项错误．
故选B．
【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.即一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【经典例题8】已知：a＞0.b＜0.|a|＜|b|＜1.那么以下判断正确的是（）
A、1-b＞-b＞1+a＞a
D、1-b＞1+a＞-b＞a
C、1+a＞1-b＞a＞-b
B、1+a＞a＞1-b＞-b
【题目难度】★★★
【解题思路】根据绝对值的定义.可知a＞0.b＜0时.|a|=a.|b|=-b.代入|a|＜|b|＜1.得a＜-b ＜1.由不等式的性质得-b＞a.则1-b＞1+a.又1+a＞1.1＞-b＞a.进而得出结果．【题目答案】∵a＞0.∴|a|=a；
∵b＜0.∴|b|=-b；
又∵|a|＜|b|＜1.∴a＜-b＜1；
∴1-b＞1+a；
而1+a＞1.
∴1-b＞1+a＞-b＞a．
故选D．
【考点难点】本题主要考查绝对值的定义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0；互为相反数的绝对值相等．
【经典例题9】已知a、b互为相反数.且|a-b|=6.则|b-1|的值为（）
A、2
B、2或3
C、4
D、2或4
【题目难度】★★
【解题思路】根据互为相反数的两数和为0.又因为|a-b|=6.可求得b的值.代入即可求得结果判定正确选项．
【题目答案】∵a、b互为相反数.
∴a+b=0.
∵|a-b|=6.
∴b=±3.
∴|b-1|=2或4．
故选D．
【考点难点】此题把相反数和绝对值的运算结合求解．先根据相反数求出b的值.再确定绝对值符号中代数式的正负.去绝对值符号．
【经典例题10】a＜0.ab＜0.计算|b-a+1|-|a-b-5|.结果为（）
A、6
B、-4
C、-2a+2b+6
D、2a-2b-6
【题目难度】★★
【解题思路】：根据已知条件先去掉绝对值即可求解．
【题目答案】解：∵a＜0.ab＜0.
∴b-a+1＞0.a-b-5＜0.
∴|b-a+1|-|a-b-5|
=b-a+1+a-b-5
=-4．
故选A．
【经典例题11】若|x+y|=y-x.则有（）
A、y＞0.x＜0
B、y＜0.x＞0
C、y＜0.x＜0
D、x=0.y≥0或y=0.x≤0
【题目难度】★★★★
【解题思路】根据绝对值的定义.当x+y≥0时.|x+y|=x+y.当x+y≤0时.|x+y|=-x-y．从中得出正确答案．：【题目答案】解：∵|x+y|=y-x.
又当x+y≥0时.|x+y|=x+y.可得x=0.y≥0或者y=0.x≤0
又当x+y≤0时.|x+y|=-x-y.可得y=0.x≤0或x=0.y≥0
∴x=0.y≥0或y=0.x≤0
选D．
【考点难点】此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确地判断出x.y的值是解答此题的关键．
【经典例题12】已知：x＜0＜z.xy＞0.且|y|＞|z|＞|x|.那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）
A、是正数
B、是负数
C、是零
D、不能确定符号
【题目难度】★★★★
【解题思路】：先根据已知条件确定x、y、z的符号及其绝对值的大小.再画出数轴确定出各点在数轴上的位置.根据绝对值的性质即可去掉原式的绝对值.使原式得到化
简．
【题目答案】：解：由题意可知.x、y、z在数轴上的位置如图所示：
所以|x+z|+|y+z|-|x-y|=x+z-（y+z）-（x-y）=0
【经典例题13】给出下面说法：
（1）互为相反数的两数的绝对值相等；
（2）一个数的绝对值等于本身.这个数不是负数；
（3）若|m|＞m.则m＜0；
（4）若|a|＞|b|.则a＞b.其中正确的有（）
A、（1）（2）（3）
B、（1）（2）（4）
C、（1）（3）（4）
D、（2）（3）（4）【题目难度】★★★
【解题思路】：分别根据绝对值的性质、相反数的定义进行解答．
【题目答案】解：（1）正确.符合绝对值的性质；
（2）正确.符合绝对值的性质；
（3）正确.符合绝对值的性质；
（4）错误.例如a=-5.b=2时.不成立．
故选A．
（1）相反数的定义：只有符号不同的两个数.叫互为相反数；
（2）绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．
【经典例题14】已知a.b.c为三个有理数.它们在数轴上的对应位置如图所示.则
|c-b|-|b-a|-|a-c|= _________
【题目难度】★★★
【解题思路】：根据图示.可知有理数a.b.c的取值范围b＞1＞a＞0＞c＞-1.然后根据它们的取值范围去绝对值并求|c-b|-|b-a|-|a-c|的值．
【题目答案】：解：根据图示知：b＞1＞a＞0＞c＞-1.
∴|c-b|-|b-a|-|a-c|
=-c+b-b+a-a+c
=0
故答案是0．
【考点难点】本题主要考查了关于数轴的知识以及有理数大小的比较．
【经典例题15】若x＜-2.则|1-|1+x||=______
若|a|=-a.则|a-1|-|a-2|= ________
【题目难度】★★★
【解题思路】根据已知x＜-2.则可知1+x＜0.x+2＜0；再根据绝对值的定义|1-|1+x||逐步去掉绝对值可转化为-2-x
根据已知|a|=-a与绝对值的定义.那么a≤0.则|a-1|-|a-2|可去掉绝对值后【题目答案】∵x＜-2.∴1+x＜0.x+2＜0.
则|1-|1+x||=|1-[-（1+x）]|=|2+x|=-2-x；
∵|a|=-a.
∴a≤0.
∴a-1＜0.a-2＜0..
则|a-1|-|a-2|=1-a-（2-a）.
=1-a-2+a.
=-1．
故答案为：-2-x.-1．
【考点难点】此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确地判断出1+x＜0、x+2＜0、a≤0进而得出a-1＜0、a-2＜0.这些是解答此题的关键.
【经典例题16】()2120
a b
++-=
.分别求a b
，的值
【题目难度】★★★
【解题思路】根据平方和绝对值的非负性解决.
【题目答案】()0
2
,0
12≥
-
≥
+b
a可得0
2
,0
1=
-
=
+b
a；所以2
,1=
-
=b
a
所以|x+1|+|x-5|+4的最小值是10．
故答案为：10．
【考点难点】本题主要考查了绝对值的定义．如何去掉绝对值是解决本题的关键.因而采用了对x的取值讨论.去掉绝对值.进而确定式子的最小值．
【经典例题18】计算=
【题目难度】★★★★
【解题思路】根据绝对值的定义.去掉绝对值符合.化简求值．
【题目答案】= =
=
=
故答案为
【考点难点】解决本题的关键是去掉绝对值符号后.部分数值恰好是互为相反数.其和等于0．
【经典例题19】若|a|+a=0.|ab|=ab.|c|-c=0.化简：|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= ________ 【题目难度】★★★★
【解题思路】根据绝对值的性质进行化简：正数的绝对值是它本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．
【题目答案】∵|a|+a=0.|ab|=ab.|c|-c=0.
∴a≤0.b≤0.c≥0.
∴a+b≤0.c-b≥0.a-c≤0.
∴原式=-b+a+b-c+b-a+c=b．
故答案为b．
【考点难点】此题考查了绝对值的性质.同时注意根据有理数的运算法则正确判断含有字母的式子的符号．
【经典例题20】已知：abc≠0.且M= .当a.b.c取不同值时.M有 ____种不同可能．
当a、b、c都是正数时.M= ______；
当a、b、c中有一个负数时.则M= ________；
当a、b、c中有2个负数时.则M= ________；
当a、b、c都是负数时.M=__________ ．
【题目难度】★★★★
【解题思路】：根据abc≠0.可以知道.a、b、c一定不可能是0.可以分三个中都是正数.只有一个负数.有2个负数.3个都是负数.4种情况进行讨论即可．
【题目答案】当a、b、c中都是正数时.M=1+1+1=3；
当a、b、c中有一个负数时.不妨设a是负数.则M=-1+1+1=1；
当a、b、c中有2个负数时.不妨设a.b是负数.则M=-1-1+1=-1；
当a、b、c都是负数时.M=-1-1-1=-3；
故M有4种不同结果．
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练习1. 若a的绝对值是.则a的值是（）
A、2
B、-2
C、
D、
【题目难度】★
【解题思路】：根据绝对值的意义可知：表示数a的点与原点的距离为.这样的点有两个.
分别在原点的左右两侧．求出即可．
【题目答案】解：∵|a|= .∴a= ．
故选D．
【考点难点】此题注意考查绝对值的意义.应多让学生借助数轴.直观的观察、总结、归纳结论．
2. 若|x|=-x.则x一定是（）A、负数 B、负数或零 C、零 D、正数【题目难度】★
【解题思路】：根据绝对值的性质进行解答即可．
【题目答案】：解：A、错误.例如x=0时不成立；
B、正确.符合绝对值的性质；
C、错误.x＜0时原式仍成立；
D、错误.例如|5|≠-5．
故选B．
【考点难点】本题考查的是绝对的性质.根据已知条件判断出x的取值范围是解答此题的关键．
练习2. 如果|x-1|=1-x.那么（）
A、x＜1
B、x＞1
C、x≤1
D、x≥1
【题目难度】★
【解题思路】：根据|x-1|=1-x可确定x-1的符号.再根据不等式的性质解答即可．
【题目答案】：解：∵|x-1|=1-x.
∴x-1≤0.
∴x≤1．
故选C．
【考点难点】绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
在确定x与1的大小关系时要利用不等式的相关性质．
练习3. 若|a-3|=2.则a+3的值为（）A、5 B、8 C、5或1 D、8或4 【题目难度】★★
【解题思路】：先根据绝对值的性质去掉绝对值符号.求出a的值.再把a的值代入a+3进行计算即可．
【题目答案】：解：当a-3≥0.即a≥3时.原不等式可化为a-3=2.a=5.故a+3=5+3=8；
当a-3＜0.即a＜3时.原不等式可化为-a+3=2.a=1.故a+3=1+3=4．
故a+3=8或4．
故选D．
【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.解答此题题目是要注意分类讨论.不要漏解．
练习4.若x＜2.则|x-2|+|2+x|=________________
【题目难度】★★
【解题思路】：已知x＜2.可得x-2＜0.先分类讨论.然后根据绝对值的性质进行求解．【题目答案】：解：∵x＜2.
∴x-2＜0.
①若-2≤x＜2.
∴|x-2|+|2+x|=-（x-2）+2+x=4；
②x＜-2.
∴x+2＜0.
∴|x-2|+|2+x|=2-x-2-x=-2x．
故答案为：4或-2x．
【考点难点】此题主要考查绝对值的性质.当x＞0时.|x|=x；当x≤0时.|x|=-x.解题的关键是如何根据已知条件.去掉绝对值.还考查了分类讨论的思想.是一道好题．
练习5. 绝对值小于6的所有整数的和与积分别是__________
【题目难度】★★
【解题思路】根据绝对值的概念.即数轴上表示数的点到原点的距离叫这个数的绝对值.结合数轴.知绝对值小于6的所有整数分别是±1.±2.±3.±4.±5.0.进一步求得其和与积．
【题目答案】绝对值小于6的所有整数分别是±1.±2.±3.±4.±5.0．
则它们的和是0.积是0．
故答案为0.0．
【考点难点】此题考查了绝对值的意义以及有理数的加法和乘法运算．互为相反数的两个数的和是0；几个数相乘.若其中一个因数为0.则积为0．
练习6.如图所示.a、b是有理数.则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-a|化简的结果为 __________
【题目难度】★★★
【解题思路】先根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围.再根据绝对值的性质进行解答即可．
【题目答案】∵由数轴上a、b两点的位置可知.-1＜a＜0.b＞1.
∴a+b＞0.b-a＞0.
∴原式=-a+b+a+b+b-a=3b-a．
故答案为：3b-a．
【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及数轴的特点.能根据a、b两点在数轴上的位置判断出其取值范围是解答此题的关键．
练习7. 已知|x|=2.|y|=3.且xy＜0.则x+y的值为 _________
【题目难度】★★★
【解题思路】若|x|=2.|y|=3.则x=±2.y=±3；又有xy＜0.则xy异号；故x+y=±1．
∴x=±2.y=±3.
∵xy＜0.
∴xy符号相反.
①x=2.y=-3时.x+y=-1；
②x=-3.y=3时.x+y=1．
故答案为：±1．
【考点难点】本题考查绝对值的化简.正数的绝对值是其本身.负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．
课后练习
练习1.-19的绝对值是________
【题目难度】★
【解题思路】直接根据绝对值的性质进行解答即可．
∴|-19|=19．
故答案为：19．
【考点难点】本题考查的是绝对值的性质.用到的知识点为：负数的绝对值是它的相反数．
练习2. 如果|-a|=-a.则a的取值范围是（
A、a＞O
B、a≥O
C、a≤O
D、a＜O
【题目难度】★
【解题思路】：根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．若|-a|=-a.则可求得a的取值范围．注意0的相反数是0．
【题目答案】：解：因为一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0或相反数.所以如果|a|=-a.那么a的取值范围是a≤0．
故选C．
【考点难点】此题考查的知识点是绝对值.关键明确绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身.一个负数的绝对值是它的相反数.0的绝对值是0．
练习3. 对值大于1且不大于5的整数有 __________个．
【题目难度】★★
【解题思路】先根据题意列出不等式组.求出x的取值范围.在x的取值范围内找出符合条件的x的整数值即可．
【题目答案】由题意得.
解得1＜x≤5或-5≤x＜-1.
所以x的值可以是2、3、4、5或-2、-3、-4、-5共8个．
故答案为：8．
【考点难点】本题考查的是绝对值的性质及一元一次不等式组的特殊解.根据题意列出不等式组是解答此题的关键．
练习4.绝对值最小的有理数是 _________．绝对值等于本身的数是________．
【题目难度】★
【解题思路】根据绝对值的定义及性质来解答．
【题目答案】绝对值等于本身的数是非负数．绝对值最小的有理数是0．
故答案为：0、非负数．
【考点难点】本题考查了绝对值的定义．一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
练习5. 当x __________时.|2-x|=x-2．
【题目难度】★★
【解题思路】因为x-2和2-x互为相反数.即一个数的绝对值等于它的相反数.所以2-x≤0.
即可得到答案．
【题目答案】∵x-2=-（2-x）..|2-x|=x-2.
∴2-x≤0.
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【考点难点】本题考查对绝对值和相反数的理解和掌握.知一个数的绝对值等于它的相反数.这个数是负数是解此题的关键．
练习6.如图.有理数x.y 在数轴上的位置如图.化简：|y-x|-3|y+1|-|x|= ________
【题目难度】★★★
【解题思路】依据x.y 在数轴上的位置比较大小.在此基础上化简给出的式子．
【题目答案】根据数轴图可知：x ＞0.y ＜-1.
∴|y-x|=x-y.|y+1|=-1-y.|x|=x ；
∴|y-x|-3|y+1|-|x|=x-y+3（1+y ）-x=2y+3．
【考点难点】考查绝对值的运算.先确定绝对值符号中代数式的正负再去绝对值符号．借助
数轴化简含有绝对值的式子.比较有关数的大小有直观、简捷.举重若轻的优势．
练习7. 若3230x y -++=.则
y x
的值是多少？ 【题目难度】★★★
【解题思路】根据绝对值的非负性来解决.
【题目答案】由03,02≥+≥-y x 可得：03,02=+=-y x 所以3,2-==y x 所以y x =2
3-。