苏科版八年级上册第二章轴对称图形 线段和最值问题(有答案)

八上第二章线段和最值问题
班级姓名得分
一、选择题
1.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别
交AC,AB边于E,F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为（）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
2.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB
边于E，F点．点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为
A. 12
B. 16
C. 24
D. 32
3.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，
AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（）
A. 7
B. 7
2C. 9 D. 11
2
4.如图，∠MON=90°，OB=2，点A是直线OM上的一个动点，
连结AB，作∠MAB与∠ABN的角平分线AF与BF，两角平分线所在的直线交于点F，求点A在运动过程中线段BF 的最小值为（）
A. 2
B. 4
C. √2
D. √3
二、填空题
5.如图，等腰△ABC的底边BC长为4，面积是14，腰AC的垂直平分线EF分别交
AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM 周长的最小值为____．
6.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分
别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线
段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．
7.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分
别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为______．
8.如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线
EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最小值为_________cm．
9.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB
的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边
BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的
最小值为______．
10.如图，四边形ABCD为菱形，∠C=120°，AB=4，H
为边BC上的动点，连接AH，作AH的垂直平分线
GF交CD于F点，则线段GF的最小值为．
11.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰
AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为
底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周
长的最小值为______．
12.如图，在锐角△ABC中，AB=4√3,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分
别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值为
13.如图，在锐角△ABC中，AB=3√2,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D，M、N
分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．
14.
15.如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝√6，若点P是AD
上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC的最小值是__________．
三、解答题
16.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB
的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边
BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最
小值为______．
17.如图，BD是ΔABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G，连
接ED,DG.
(1)请判断四边形EBGD的形状，并说明理由;
(2)若∠ABC=30∘,∠C=45∘,ED=2√10，点H是BD上的一个动点，求HG+HC
的最小值.
18.如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点
N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC=70°，则∠NMA的度数是______度．
（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小
值．
19.如图已知EF∥GH，AC⊥EF于点C，BD⊥EF于点D交HG于点K．AC=3，DK=2，
BK=4．
（1）若CD=6，点M是CD上一点，当点M到点A和点B的距离相等时，求CM 的长；
（2）若CD=13
，点P是HG上一点，点Q是EF上一点，连接AP，PQ，QB，求
2
AP+PQ+QB的最小值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：如图，连接AD ，
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S △ABC =12BC ×AD =1
2
×4×AD =16，解得AD =8， ∵EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，
∴AD 的长为CM +MD 的最小值，
∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =8+12×
4=8+2=10． 故选C ．
2.【答案】A
【解析】【分析】
此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，以及考查了轴对称中最短路线问题．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，根据EF 是线段AC 的垂直平分线可知，点C 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为CM +MD 的最小值，从而得到AD 长，由等腰三角形三线合一的性质可得AD 为BC 边上的高，最后由三角形面积公式求得答案.
【解答】
解：连接AD ，
∵EF 是线段AC 的垂直平分线，
∴点C 关于直线EF 的对称点为点A ，
△CDM 的周长为CM +DM +CD ，
∴AD 的长为CM +MD 的最小值，
∵CD =2，
∴AD =6，
∵AB =AC ，D 为BC 中点，
∴AD ⊥BC ，
∴△ABC 的面积为4×
6÷2=12. 故选A .
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论.
【解答】
解：连接AD ，
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S △ABC =12BC •AD =12×
4×AD =14，解得AD =7， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，
∴AD 的长为CM +MD 的最小值，
∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =7+12×
4=7+2=9. 故选C .
4.【答案】C
【解析】【分析】
作FC ⊥OB 于C ，FD ⊥OA 于D ，FE ⊥AB 于E ，由角平分线的性质得出FD =FC ，证出点F 在∠MON 的平分线上，∠BOF =45°，在点A 在运动过程中，当OF ⊥AB 时，BF 最小，
△OBF 为等腰直角三角形，即可得出BF =√22
OB =√2． 【解答】
解：作FC ⊥OB 于C ，FD ⊥OA 于D ，FE ⊥AB 于E ，如图所示：
∵∠MAB 与∠ABN 的角平分线AF 与BF 交于点F ，
∴FD =FE ，FE =FC ，
∴FD =FC ，
∴点F 在∠MON 的平分线上，∠BOF =45°，
在点A 在运动过程中，当OF ⊥AB 时，F 为垂足，BF 最小，
此时，△OBF 为等腰直角三角形，BF =√22
OB =√2； 故选C ．
5.【答案】9
【解析】【分析】
本题考查垂直平分线的性质，轴对称的性质和等腰三角形的性质，得出AD 的长为CM +MD 的最小值是解题的关键，先做C 点关于EF 的对称点A ，连接AD 交EF 于M ，此时CM +MD 的值最小，求出周长即可.
【解答】
解：连接AD ，
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S △ABC =12BC •AD =1
2×
4×AD =14，解得AD =7， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，
∴AD 的长为CM +MD 的最小值，
∴△CDM 的周长最短=（CM +MD ）+CD =AD +12BC =7+1
2×
4=8+2=9． 故答案为9．
6.【答案】8
【解析】【分析】
连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【解答】
解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S ∆ABC =12BC ·AD =1
2×4×AD =12，解得AD =6，
∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴AM =BM ．
∴BM +MD =MD +AM ．
∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．
∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．
故答案为8.
7.【答案】8
【解析】【分析】
连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
【解答】
解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S ∆ABC =12BC ·AD =1
2×4×AD =12，解得AD =6，
∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴AM =BM ．
∴BM +MD =MD +AM ．
∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．
∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．
8.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查的是轴对称 -最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．连接AD ，由于△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，故AD ⊥BC ，再根据三角形的面积公式求出AD 的长，再根据EF 是线段AB 的垂直平分线可知，点B 关于直线EF 的对称点为点A ，故AD 的长为BM +MD 的最小值，由此即可得出结论．
【解答】
解：如图，连接AD ，
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S △ABC =12BC •AD =1
2×
4×AD =12，解得AD =6cm ， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴点B 关于直线EF 的对称点为点A ，
∴AD 的长为BM +MD 的最小值，
∴△BDM 的周长最短=（BM +MD ）+BD =AD +12BC =6+12×
4=6+2=8cm ． 故答案为8．
9.【答案】8
【解析】【分析】
连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要
三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．
【解答】
解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM .
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S △ABC =12BC ⋅AD =1
2×
4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴AM =BM .∴BM +MD =MD +AM .
∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6.
∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8.
故答案为8.
10.【答案】3
【解析】【分析】
这是一道考查菱形的性质以及线段垂直平分线的性质的题目，解题关键在于知道当AH ⊥BC 时，GF 最短，即可求出答案.
【解答】
解：连接AF 、HF ，
则当AH 最短时，GF 最小，
此时AH ⊥BC ，AH ⊥AB ，
∵GF 为AH 的垂直平分线，
∴G 为AH 中点，F 为CD 中点，
∴GF =1
2(AD +HC )=3.
故答案为3.
11.【答案】8
【解析】解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S △ABC =12BC •AD =1
2×
4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴AM =BM ．
∴BM +MD =MD +AM ．
∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．
∴△BDM 的周长的最小值为DB +AD =2+6=8．
连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ，由线段垂直平分线的性质可知AM =MB ，则BM +DM =AM +DM ，故此当A 、M 、D 在一条直线上时，MB +DM 有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD 为△ABC 底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD 的长．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
12.【答案】6
【解析】【分析】
本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM +MN 进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【解答】
解：如图，在AC 上截取AE =AN ，连接BE ，
∵∠BAC 的平分线交BC 于点D ，
∴∠EAM =∠NAM ，
在△AME 与△AMN 中，{AE =AN
∠EAM =∠NAM AM =AM
，
∴△AME ≌△AMN （SAS ），
∴ME =MN ．
∴BM +MN =BM +ME ≥BE ．
∵BM +MN 有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
又AB=4√3，∠BAC=60°，
此时，在Rt△ABE中，得出BE=6，
即BE取最小值为6，
∴BM+MN的最小值是6．
故答案为6.
13.【答案】3
【解析】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE．∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中，
{AE=AN
∠EAM=∠NAM AM=AM
，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
又AB=3√2，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=3，
即BE取最小值为3，
∴BM+MN的最小值是3．
故答案为3．
从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
本题考查了轴对称的应用．易错易混点：解此题是受角平分线启发，能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化，但是转化后没有办法把两个线段的和的最小值转化为点到直线的距离而导致错误．
规律与趋势：构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．
14.【答案】3√2
2
【解析】【分析】
本题考查了垂线段最短的性质，角的平分线的性质，勾股定理以及直角三角形的性质．解题关键是根据角平分线的性质和垂线段最短得出CE的长是PN+PC的最小值．作CE⊥AB 于点E，则CE的长就是PN+PC的最小值，在Rt△ACE中利用勾股定理求解即可．【解答】
解：作CE⊥AB于点E，交AD于P点，
∵AD是∠BAC的平分线，PN⊥AC，CE⊥AB，
∴PN =PE ，
∴PN ＋PC =PE +PC =CE ，
∴根据“垂线段最短”可知CE 的长就是PN +PC 的最小值．
在Rt △ACE 中，∠BAC ＝60°，AC ＝√6， ∴AE =12AC =√6
2， 由勾股定理得：CE =3√22
． 故答案是3√22．
15.【答案】8
【解析】【分析】
本题主要考查三角形周长的知识，关键是知道线段垂直平分线的性质，知道等腰三角形的性质.
【解答】
解：连接AD 交EF 与点M ′，连结AM ．
∵△ABC 是等腰三角形，点D 是BC 边的中点，
∴AD ⊥BC ，
∴S △ABC =12BC •AD =1
2×
4×AD =12，解得AD =6， ∵EF 是线段AB 的垂直平分线，
∴AM =BM ．
∴BM +MD =MD +AM ．
∴当点M 位于点M ′处时，MB +MD 有最小值，最小值6．
∴△BDM的周长的最小值为DB+AD=2+6=8．故答案为8.
16.【答案】解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，
∴EB=ED，GB=GD，
∴∠EBD=∠EDB，
∵∠EBD=∠DBC，
∴∠EDF=∠GBF，
在△EFD和△GFB中，
{∠EDF=∠GBF ∠EFD=∠GFB DF=BF
，
∴△EFD≌△GFB，
∴ED=BG，
∴BE=ED=DG=GB，
∴四边形EBGD是菱形．
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，
在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2√10，
∴EM=1
2
BE=√10，
∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，
∴EM∥DN，EM=DN=√10，MN=DE=2√10，
在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，
∴∠NDC=∠NCD=45°，
∴DN=NC=√10，
∴MC=3√10，
在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=√10．MC=3√10，
∴EC=√EM2+MC2=√(√10)2+(3√10)2=10．
∵HG+HC=EH+HC=EC，
∴HG+HC的最小值为10．
【解析】本题考查平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用对称找到点H的位置，属于中考常考题型.
（1）结论四边形EBGD是菱形．只要证明BE=ED=DG=GB即可；
（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EMC中，求出EM、MC即可解决问题.
17.【答案】（1）50
（2）①6
②14
【解析】解：（1）∵AB =AC ，
∴∠C =∠ABC =70°，
∴∠A =40°，
∵AB 的垂直平分线交AB 于点N ，
∴∠ANM =90°，
∴∠NMA =50°，
故答案为：50；
（2）①∵MN 是AB 的垂直平分线，
∴AM =BM ，
∴△MBC 的周长=BM +CM +BC =AM +CM +BC =AC +BC ，
∵AB =8，△MBC 的周长是14，
∴BC =14-8=6；
②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，
理由：∵PB +PB =PA +PC ，PA +PC ≥AC ，
∴P 与M 重合时，PA +PC =AC ，此时PB +PC 最小，
∴△PBC 周长的最小值=AC +BC =8+6=14．
【分析】
（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；
（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM =BM ，然后求出△MBC 的周长=AC +BC ，再代入数据进行计算即可得解，②当点P 与M 重合时，△PBC 周长的值最小，于是得到结论．
本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
18.【答案】解：（1）如图1中，连接AB ，作线段AB 的中垂线MN ，交AB 于N ，交EF 于M ，连接AM ，BM ．设DM =x ．
在Rt △ACM 中，AM 2=AC 2+CM 2=32+（6-x ）2，
在Rt △BDM 中，BM 2=DM 2+BD 2=x 2+62，
∵AM =MB ，
∴32+（6-x ）2=x 2+62，
解得x =34，
∴CM =CD -MD =6-34=214．
（2）如图2中，如图，作点A 故直线GH 的对称点A ′，点B 关于直线EF 的对称点B ′，连接A ′B ′交GH 于点P ，交EF 于点Q ，作B ′H ⊥CA 交CA 的延长线于H ．
则此时AP +PQ +QB 的值最小．
根据对称的性质可知：PA =PA ′，QB =QB ′，
∴PA +PQ +QB =PA ′+PQ +QB ′=A ′B ′，
∴PA +PQ +PB 的最小值为线段A ′B ′的长，
在Rt △A ′B ′H 中，∵HB ′=CD =132，HA ′=DB ′+CA ′=7+6=13，
∴A ′B ′=√HA′2+B′H 2=√132+(132)2=132√5， ∴AP +PQ +QB 的最小值为132√5．
【解析】（1）如图1中，连接AB ，作线段AB 的中垂线MN ，交AB 于N ，交EF 于M ，连接AM ，BM ．设DM =x ．根据MA =MB 构建方程即可解决问题；
（2）如图2中，如图，作点A 故直线GH 的对称点A ′，点B 关于直线EF 的对称点B ′，连接A ′B ′交GH 于点P ，交EF 于点Q ，作B ′H ⊥CA 交CA 的延长线于H ．则此时AP +PQ +QB 的值最小．最小值为线段A ′B ′的长；
本题考查轴对称-最短问题，平行线的性质，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决问题问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。