广西南宁市上林县中学2019-2020学年高一下学期入学考试数学试题

数学
一、选择题（每题5分，共60分）
1.设集合2{|log (1)0}M x x =-<，集合{|2}N x x =≥-，则M N ⋃=( ) A. {}
22x x -≤<
B. {}
2x x ≥- C. {}2x x <
D. {}12x x ≤< 2.在空间直角坐标系中, 点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（ ） A.关于x 轴对称 B.关于xOy 平面对称 C.关于坐标原点对称
D.以上都不对
3.若圆221:1C x y +=,与圆222:680C x y x y n +--+=外切,则n =（ ） A. 21 B. 9 C. 19 D. -11
4.已知0.1 1.32log 0.3,2,0.2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A. c b a <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．b c a <<
5.阅读下面程序框图,如果输出的函数值在区间11,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
内,则输入的实数x 的取值范围是
A. (,2]-∞-
B. []
2,1-- C. []1,2-
D. [)2+∞，
6.执行下面的程序框图,如果输入的4,6a b ==,那么输出的n = ( ) A.3 B.4 C.5 D.6
7.下列程序执行后输出的结果是( )
A.-1
B.0
C.1
D.2
8.某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了( ) A.抽签法
B.随机数法
C.系统抽样法
D.分层抽样法
9.已知532()231,f x x x x x =++++应用秦九韶算法计算当3x =时这个多项式的值时, 3v 的值为
A.27
B.11
C.109
D.36
10.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )
A.至少有1个白球,都是白球
B.至少有1个白球,至少有1个红球
C.恰有1个白球,恰有2个白球
D.至少有1个白球,都是红球
11、某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是( ) A.
31 B. 21 C. 32 D. 4
3 12.在下列各数中,最小的是( ) A. (9)
85 B. (6)212 C. (4)1000
D. (2)111011
二、填空题（每题5分，共20分）
13.某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200件,400件,300件,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取_________件.
14.若()()1
2,3,3,2,,2A B C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
三点共线,则m 的值为_________.
15.函数22,0
()26ln ,0
x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________.
16.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为__________. 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
三、解答题（共70分）
17.(10分）如图所示,在长方体1111ABCD A B C D -,4AB =,3AD =,15AA =,N 为棱1CC 的中点,分别以1,,AB AD AA ,所在的直线为x 轴、 y 轴、z 轴,建立空间直角坐标系.
(1)求点,,,,A B C D 1111,,,A B C D 的坐标;
(2)求点N 的坐标.
18.（12分）分别用辗转相除法和更相减损术求104与65的最大公约数.
19.（12分）我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[)0,0.5,[)0.5,1,⋅⋅⋅,[]4,4.5分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求直方图中a 的值;
(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由; (3)估计居民月均用水量的中位数.
20.（12分）为备战某次运动会, 某市体育局组建了一个由4个男运动员和2个女运动员组成的6人代表队并进行备战训练.
（1）经过备战训练,从6人中随机选出2人进行成果检验,求选出的2人中至少有1个女运动员的概率.
（2）检验结束后,甲、乙两名运动员的成绩用茎叶图表示如图
:
计算说明哪位运动员的成绩更稳定.
21.（12分）随着我国经济的发展, 居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份 2010
2011
2012 2013
2014
时间代号t
1
2
3 4
5 储蓄存款y (千亿元)
5 6 7
8
10
附:回归方程ˆˆˆy
bx a =+中, 1
2
2
1
,ˆˆˆn
i i
i n
i
i t y
nty
b
a
y bt t
nt
==-==--∑∑. （1）求y 关于t 的回归方程ˆˆˆy
bt a =+;
（2）用所求回归方程预测该地区2015年的人民币储蓄存款. 22.（12分）已知圆22:2430C x y x y ++-+=. (1)求圆心C 的坐标及半径r 的大小；
(2)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程； (3)从圆外一点(),P x y 向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且MP OP =，求点
P 的轨迹方程．
参考答案
1.答案：B 解析：{|12}M x x =<< {|2}M N x x ⋃=≥-
2.答案：A 解析：点()3,4,5P
与点()3,4,5Q --的横坐标相同,而纵、竖坐标分别互为
相反数,所以两点关于x 轴对称.
3.答案：B 解析：圆1C 的圆心1(0,0)C ,半径11r =, 圆2C 的方程可化为22
(3)(4)25x y n -+-=-,
所以圆心2(3,4)C ,半径2r =.
从而125C C ==. 由两圆外切得1212C C r r =+,
即15=, 解得9n =.
4.答案：C 解析：由对数和指数的性质可知， ∵2log 0.30a =<， 0.10221b =>=， 1.300.20.21c =<=，
∴a c b <<.
5.答案：B 解析：输出的函数值在区间11,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
即212,2--⎡⎤⎣⎦内,应执行“是”,故x 的取值范围是[]2,1--,故选B. 6.答案：B
解析：程序运行如下: 开始4,6,0,0a b n s ====.
第1次循环: 2,4,6,6,1a b a s n =====; 第2次循环: 2,6,4,10,2a b a s n =-====; 第3次循环: 2,4,6,16,3a b a s n =====; 第4次循环: 2,6,4,20,4a b a s n =-====. 此时,满足条件16s >,退出循环,输出4n =. 7.答案：C 解
析
：
()
,S n 的变化过程为
()()()()()0,505,5154,4193,31122,21→+-→+-→+-→+-,所以输出1n =.
8.答案：C 解析：因为每隔70个座号抽取一位听众,是等间隔抽样,故为系统抽样.故选C.
9.答案：D 解析：532()231((((0)2)3)1)+1,f x x x x x x x x x x =++++=++⋅++ 01231,1303,33211,113336.v v v v ==⨯+==⨯+==⨯+=
10.答案：C 解析：A.“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,故A 不对;
B.“至少有1个红球”包含“1个白球,1个红球”和“都是红球”,故B 不对;
C.“恰有1个白球”发生时,“恰有2个白球”不会发生,且在一次实验中不可能必有一个发生,故C 对;
D.“至少有1个白球”包含“1个白球,1个红球”和“都是白球”,与都是红球,是对立事件,故D 不对.故选C.
答案： 11、 解析： 如图所示,画出时间轴:
小明到达的时间会随机的落在图中线段 中, 而当他的到达时间落在线段
或
时,
才能保证他等车的时间不超过10分钟,
根据几何概念,所求概率 .
12.答案：D 解析：将各选项中的数都化为十进制数后再进行比较. 13.答案：18 解析：∵603
20040030010050
==+++样本容量总体个数,∴应从丙种型号的产品中
抽取
3
3001850
⨯=(件). 14.答案：
12 解析：由题意得232
13232
m --+=
+-,解得12m =. 15.答案：2
16.答案：01 解析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08,02,14,07,02,01.其中第2个和第5个都是02重复.则第5个个体的编号为01.
17.答案：(1)由已知,得()0,0,0A 由于点B 在x 轴的正半轴上, 4AB =, 故()4,0,0B .
同理可得, ()0,3,0D ,()10,0,5A .由于点C 在坐标平面xOy 内,
BC AB ⊥,CD AD ⊥,
故()4,3,0C .
同理可得, ()14,0,5B , ()10,3,5D .
与点C 的坐标相比,点1C 的坐标中只有竖坐标不同,
11 5CC AA ==,则()14,3,5C .
(2)由(1)知,知()4,3,0C ,()14,3,5C , 则1C C 的中点为443305,,222+++⎛⎫
⎪⎝⎭,即54,3,2N ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭.
18.答案：辗转相除法:
第一步: 10416539=⨯+,
第二步: 6513926=⨯+, 第三步: 3912613=⨯+, 第四步: 262130=⨯+,
所以104和65的最大公约数为13. 更相减损术:
由于65不是偶数,把104和65以大数减小数,并辗转相减,即 1046539-=, 653926-=, 392613-=, 26?13?1?3-=,
所以104和65的最大公约数为13.
19.答案：(1)由频率分布直方图可知,月均用水量在[)0,0.5的频率为0.080.50.04⨯=. 同理,在[)(][)[)[)[]0.5,1,1.5,2,2,2.5,3,3.5,3.5,4,4,4.5 等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1(0.040.080.210.250.060.040.02)0.50.5a a -++++++=⨯+⨯, 解得0.30a =.
(2).由(1)知, 100位居民月均用水量不低于3吨的频率为
0.060.040.020.12++=.
由以上样本的频率分布,
可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为
3000000.1236000⨯=.
(3)设中位数为 x 吨. 因为前5组的频率之和为
0.040.080.150.210.250.730.5++++=>,
而前4组的频率之和为0.040.080.150.210.480.5+++=<, 所以2 2.5x ≤<.
由()0.5020.50.48x ⨯-=-,解得 2.04x =. 故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.
20.答案：(1)把4个男运动员和2个女运动员分别记为1234,,,a a a a 和12,b b . 则基本事件包括
()()()()()1213141112,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b ()()()()()2324212234,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a ()()()()()3132414212,,,,,,,,,a b a b a b a b b b 共15种.
其中至少有1个女运动员的情况有9种,
故至少有1个女运动员的概率93155
P =
=. (2)设甲运动员的平均成绩为x 甲, 方差为2S 甲乙运动员的平均成绩为y 乙,方差为2S 乙, 可得x
甲
687071727471,5y ++++=乙6970707274
71,5
++++=
2S 甲()()()()()22222
16871707171717271747145⎡⎤=
-+-+-+-+-=⎣⎦ 2S 乙()()()()()22222
169717071707172717471 3.25⎡⎤=-+-+-+-+-=⎣⎦
因为甲= 乙, x
甲=
y 乙, 2S 甲>2S 乙,故乙运动员的成绩更稳定.
21.答案：(1)这里11115136
5,3,7.255
n n i i i i n t t y y n n =========∑∑
又2
22
1
1
555310,120537.212n
n
tt i
ty i i i i l t
nt l t y nt y ===
-=-⨯==-=-⨯⨯=∑∑
从而$12 1.2,7.2123 3.610
ty tt l b a
y bt l ====-=-⨯=$$ 故所求回归方程为 1.2.6ˆ3y
t =+. (2)将6t =代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为
$126 3.610.8y =⨯+= (千亿元).
22.答案：(1) 圆C 的方程变形为22(1)(2)2x y ++-=, ∴圆心C 的坐标为()1,2-,
.
(2) ∵直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零, ∴设直线l 的方程为0(0)x y a a ++=≠,
∴1a =-或3a =。

∴所求直线l 的方程为10x y ++=或30x y +-=。

(3) 连接CM ,则切线PM 和CM 垂直,连接PC ,
∴222
||||PM PC CM =-,
又PM OP =,
∴2222(1)(2)2x y x y ++--=+ 即2430x y -+=,
∴点P 的轨迹方程为2430x y -+=.。