《二元一次方程组》蕴涵的数学思想方法

《二元一次方程组》蕴涵的数学思想方法

一、“转化”思想

“转化”思想就是将复杂的、陌生的问题迁移为简单的、熟悉的问题进行求解，这是学习新知识，研究新问题的一种基本方法.本章中二元一次方程组的解法的实质就是借助“消元”（加减消元和代入消元是两种最常见的消元方法）的方法将“二元”转化为“一元”.

例1:解方程组

分析1:由于①中x系数为1,可将①变形为x=-2y-2③，然后将③代入②,消去x，得到关于y的一元一次方程.从中求出y，然后将y代入③中求x.

解法1:由①得x=-2y-2, ③

③代入②中得7(-2y-2)-4y=-41,y=.

将y=代入③中得x=-5.∴

说明:本题通过“代入”达到消元的目的，将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.

分析2：①和②中y的符号相反，且系数成2倍关系，故将①×2+②可消去y.

解法2：①×2+②得9x=-45,x=-5.

将x=-5代入①中得y=.∴

说明：本题通过“加减消元”，同样将解二元一次方程组的问题转化为解一元一次方程的问题.

例2:已知与是同类项,求m、n的值.

分析:同类项要求相同字母的指数相同,故有解这个方程组可求得m、n.

解:依题意有解得

说明:本题运用了转化的思想.第一,根据同类项的意义,将求解问题转化为解关于m、n的二元一次方程组的问题.第二,运用“消元”的方法，将解二元一次方程组问题转化为解一元一次方程问题，当然本题还运用了

方程的思想.

二、方程的思想

将数量关系转化为方程（组）的形式，通过解方程（组）使问题得以解决的思维形式就是方程的思想，本章中有关计算和解决有关应用题所运用这种思想。用方程的思想解决往往比用其它方法简捷、方便得多。

例3：古代有这样一个寓言故事：驴子和骡子一同走，它们驮着不同袋数的货物，每袋货物都是一样重的.驴子抱怨负担太重，骡子说：“你抱怨干吗？如果你给我一袋，那我所负担的就是你的两倍；

如果我给你一袋，我们才恰好驮的一样多！”那么驴子原来所托货物的袋数是( )

A．5 B．6 C．7 D．8

分析：此题中有两个未知量——驴子和骡子各驮的货物的袋数.

问题中有两个等量关系：⑴骡子驮袋数+1袋=2（驴子驮的袋数-1袋）;⑵骡子驮袋数-1袋=驴子驮的袋数+1袋.

解:设驴子驮x袋,骡子驮y袋,根据题意, 得

解这个方程组,得

答:驴子驮5袋,骡子驮7袋.故选A．

说明：列方程（组）解应用题是方程思想在数学中的最典型、最基本的体现，也是方程思想反映的最常见的题型，是中考必考查的考点.

三、整体思想

当一个问题中未知数较多，一个一个求解比较复杂，或有时不能求解时，可将其中满足某一共同特性的某一个固定代数式看作一个整体，在运算和求解时整体参与，这样有时可使运算简捷，这种方法是整体思想的体现，本章解方程组时有时也需用到这种思想和方法.

例4：某班春游，上午8时从学校出发，先沿平路到山脚下，再爬到山顶，在山顶停留1个半小时，沿原路返回学校时已是下午3时30分，已知平路每小时行4千米，上山速度是平路的，下山速度是上山的2倍，求

所行全程.

分析：设全程中平路为2x千米，上、下山路各为y千米，则平路所用的时间为小时，上山时间为小时，下山时间为小时，而总时间为15.5-8-1.5=6小时，得到方程

++=6.从而求解.

解：设全程中平路为2x千米，上、下山路各为y千米，依题意

有++=6.

6x+2y+4y=72,所以2x+2y=24.

答：全程为24千米.

四、数形结合的思想

例5：小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图1所示，小红看见了，说：“我来试一试”.结果小红其拼八凑,拼成如图2所示的正方形,怎么中间还留下一个洞,恰好是边长为2mm的小正方形!你能算出每个长方形的长和宽是多少吗?

图1

图1

分析:本题有两个未知量——长方形的长与宽.观察图形得到两个等量关系:由图1得:长的3倍等于宽的5倍;由图2得:长的2倍+2=长+宽的2倍.

解:设长方形的长为xmm,宽为ymm,根据题意,得

整理,得解得

答:这些小长方形的长为10mm,宽为6mm.

说明:本题巧妙地运用了两个拼图,建立起小长方形的长与宽的关系,它体现了数与形之间的相互关系,打破了用语言描述两个量之间关系的常规,渗透了数形结合的数学思想.

例6:如图3,在长方形ABCD中,AB=8cm，BC=6cm且△BEC的面积比△DEF的面积大5,求的DF长.

分析:本题是数形结合题,未知数只有一个,若直接设DF的长为x,不易找出等量关系,可以分步来解,如设△BEC的面积为x,△DEF的面积为y,梯

形ABCD的面积为z，则有从中求出△ABF的面积y+z=43，再求DF就容易了.

解:设△BEC的面积为x,△DEF的面积为y,梯形ABCD的面积为z，梯形的面积为

依题意,得

F

E

D

C

B

A

图3

②-①得y+z=43，

即△SBF的面积为43.

设DF的长为a,

有

答:的长为

注意:⑴本题综合性较强涉及到的知识有三角形的面积、长方形的面积、看图识图、列方程等.⑵本题解方程组有一定的技巧，要求整体求解.⑶解题思路超出常规，要求我们认真理解题意，努力探索解题方法.

七、“换元”思想

换元法在初中代数中的应用非常广泛，它通过用一个字母表示一个整体进行变量替换，将形式简化，将问题转化，从而起到化繁为简，花隐为显，化难为易的目的，本章中呈现形式较复杂的一些方程组的解法多采用这种方法。

例7：解方程组

解：设，

则原方程组变为

①+②×9得17u=68，u=4.