惠州一中级高一年级期末考数学试题

惠州一中级高一年级期末考数学试题
命题人：龙文德 审题人：许红平 考试时间：120分钟
第I 卷 客观题部分（共70分）
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知),1(),2,1(λ=-=→
→
b a ，若→a 与→
b 垂直，则λ=（ ）． A ．
21 B ．2
1
- C ．2 D ．-2 2．函数f(x)=2x +3x －6的零点所在的区间是（ ）． A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，3] D ．[3，4]
3．已知A （－1，－1），B （1，3），C （2，y ）三点共线，则y=（ ）． A ．－5 B ．5 C ．4 D ．－4 4．下列各式中值为零的是（ ）．
A ．log a a
B ．log a b －log b a
C ．22log (sin cos )a αα+
D ．2
log (log )a a a
5．已知|a | =3，|b | =8且a 与b 的夹角为120°，则a 在b 方向上的投影为（ ）． A ．4 B ．
23 C ．2
3
- D ．－4 6．下列函数中，图象的一部分符合右图的是( )．
A ．y ＝sin(x ＋π6)
B ．y ＝sin(2x －π6)
C ．y ＝cos(4x －π3)
D ．y ＝cos(2x －π
6)
7．化简-sin181°sin119°+sin91°sin29°等于（ ）． A ．21-
B ．2
3
- C ．21 D ．23 8．已知
432
παβπ
<
<<，1312)cos(=-βα，5
3
)sin(-=+βα，则α2sin 的值为（ ）． A ．
6556 B ．6556- C ．6516 D ．65
16
- 9．已知→
m 、→
n 是夹角为60°的两个单位向量，则→
a =2→
m +→
n 和→
b =3→
m -2→
n 的夹角是（ ）．
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
10．定义在R 上的偶函数f (x)，满足f (x+2)=f (x)，且f (x)在[-3,-2]上是减函数，又α、β是锐角三角形的两个内角，则（ ）．
A ．)(sin )(sin βαf f >
B ．)(cos )(cos βαf f <
C ．)(cos )(sin βαf f >
D ．)(cos )(sin βαf f <
二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卷的横线上． 11．若点)3,2(m m P -，0<m 在角θ的终边上，则=θcos ___ ____ ． 12．已知扇形的圆心角为72°，半径为20cm ，则扇形的面积为____ ____ ．
13．若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪
⎪⎪
sinθ≥1
2，0≤θ≤π
，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪
⎪⎪
cosθ≤1
2，0≤θ≤π
， 则M ∩N= .
14．函数f(x)＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①图象C 关于直线x ＝76π对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③由y ＝
3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ；④函数f(x)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是
增函数.
第Ⅱ卷 主观题部分（共80分）
三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数x 3q 2px )x (f 2-+=是奇函数，且3
5
)2(f -=，求f(x)的解析式．
16．（本小题满分12分）
如图，用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ， 求此框架围成的面积y 与x 的函数式y=f (x)，并写出它的定义域.
17．（本小题满分14分）
已知向量(3cos 3in )a x x =-，s ，(1cos ,cos )b x x =+，设()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）当,36x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求函数()f x 的值域；
（3）求()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间．
18．（本小题满分14分）
在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、
EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝→a ，BC →＝→b ，试用→a 、→
b 表示GK →、AH →
.
19．（本题满分14分）
已知函数y=sin （2x ）－8（sin x ＋cos x ）＋19（0≤x ≤π），求函数y 的最大值与最小值．
20．（本小题满分14分）
定义在)1,1(-的函数)(x f 满足：①对任意)1,1(,-∈y x 都有⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1)()(；
②当10<<x 时，0)(>x f ．回答下列问题． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数)(x f 在)1,1(-上的单调性，并说明理由； （3）若31)71(=f ，试求)17
1
(2)91()32(f f f --的值．
惠州一中级高一年级期末考数学测试答题卷（.1.17）第I 卷
客观题部分（共70分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、请将填空题答案填入下列横线上（每小题5分，共20分）
11、 ． 12、 ．
13、 ． 14、 ．
第Ⅱ卷 主观题部分（共80分）
三、解答题：本题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分12分）
已知函数x 3q 2px )x (f 2-+=是奇函数，且3
5
)2(f -=，求f(x)的解析式.
班级 姓名 考号 试室号 座位号 ···········密····························封···············
16．（本小题满分12分）
如图，用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若半圆半径为x ， 求此框架围成的面积y 与x 的函数式y=f (x)，并写出它的定义域.
17．（本小题满分14分）
已知向量(3cos 3in )a x x =-，s ，(1cos ,cos )b x x =+，设()f x a b =⋅. （1）求()f x 的最小正周期；
（2）当,36x ππ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣
⎦时，求函数()f x 的值域； （3）求()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间．
18．（本小题满分14分）
在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、
EG 的交点分别为H 、K ，设AB →＝→a ，BC →＝→b ，试用→a 、→
b 表示GK →、AH →
.
19．（本题满分14分）
已知函数y=sin （2x ）－8（sin x ＋cos x ）＋19（0≤x ≤π），求函数y 的最大值与最小值．
20．（本小题满分14分）
定义在)1,1(-的函数)(x f 满足：①对任意)1,1(,-∈y x 都有⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1)()(；
②当10<<x 时，0)(>x f ．回答下列问题． （1）判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数)(x f 在)1,1(-上的单调性，并说明理由； （3）若31)71(=f ，试求)17
1
(2)91()32(f f f --的值．
惠州一中级高一年级期末考数学测试题答案
一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，满分50分． 1．【解答】A ．11202
λλ-=∴=
． 2．【解答】B ．∵(1)0,(2)0(1)(2)0f f f f <>∴⋅<故选B. 3．【解答】B ．AB →=(2,4), BC →
=(1,y-3),2(y-3)-4=0,y=5．
4．【解答】C ．22
log (sin cos )log 10a a αα+==．
5．【解答】C ．|a |0
3cos 3cos1202
θ==-
． 6．【解答】D ．由图象知T ＝4(π12＋π6)＝π，故ω＝2，排除A 、C.又当x ＝π
12时，y ＝1，
而B 中的y ＝0，故选D.
7．【解答】C ．sin1°cos29°+cos1°sin29°= sin(1°+29°)= sin30°=1
2
． 8．【解答】B ．∵
432παβπ
<
<<，∴40πβα<-<，23παβπ<+<，
∴135)sin(=-βα，5
4
)cos(-=+βα．∴)]()sin[(2sin βαβαα++-=
65
56
)sin()cos()cos()sin(-=+-++-=βαβαβαβα．
9．【解答】B ．→a ·→b =(2→m +→n )(3→m -2→n )=4-→m ·→n =4-12=7
2
,|a 7, |b 7,
07
1
2cos ,602
77θθ===．
10．【解答】C ．,1sin sin()cos 022
π
π
αβαββ+>
∴>>-=>． 二、填空题：本题共4道小题，每小题5分，共20分．
11．【解答】213
13
-
．点)3,2(m m P -，0<m 在第二象限， 且m m m r 13)3()2(22-=-+=
，故有1313
21322cos -
=-==
m
m r m θ． 12．【解答】80π．∵72°＝π180×72＝2π5，∴L ＝2π
5×20＝8π，
S ＝12L ·r＝12
×8π×20＝80π(cm 2
)． 13．【解答】可根据正弦函数图象和余弦函数图象，找出集合N 和集合M 对应的部分，然后求M ∩N.首先作出正弦函数与余弦函数的图象以及直线y ＝1
2
.如图．
结合图象得集合M 、N 分别为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪
π6≤θ≤
5π
6，N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪⎪⎪
π
3
≤θ≤π，得 M ∩N ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫θ⎪⎪⎪
π3≤θ≤
5π
6. 14．【解答】②④. 77(
)3sin(2)3sin 20663
f ππππ=⨯-==，①错误；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝3sin π
＝0，②正确；由y ＝3sin2x 的图象向右平移π
6个单位长度可以得到图象C ，③错误．
由2kπ－π2≤2x －π3≤2kπ＋π2，k ∈Z 得，kπ－π12≤x ≤kπ＋5π
12
，
∴f(x)的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈Z)，令k ＝0得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，④正
确；
三、解答题：本题共6小题，共80分．
15．【解答】x
32
x 2)x (f 2-+=.
∵f(x)是奇函数，∴对定义域内的任意的x ，都有)x (f )x (f -=-， ………4分 即x
3q 2
px x 3q 2px 22-+-=++，整理得：x 3q x 3q +-=+，∴q=0 ………8分
又∵3
5
)2(f -=，∴3
5
624)2(-=-+=
p f ，解得p=2
∴所求解析式为x
32
x 2)x (f 2-+= . ………12分
16．【解答】由已知，得 AB=2x, CD =πx,于是AD=2
2x x L π--， ……………4分
∴222
L x x y x π--=⋅2
2x
π+，即y =Lx x ++-224π. ……………8分
由⎪⎩
⎪⎨⎧>-->02202x x L x π，得0<x<,2+πL 函数的定义域为（0，2+πL ）. ………………12分 17．【解答】()f x a b =⋅=3(cos 1)(1cos )sin cos x x x x -++=2
3sin sin cos x x x -+
31(1cos 2)sin 222x x =-
-+=3sin(2)23
x π
-++ ………4分 （1）()f x 的最小正周期为2.2
T π
π=
= ………6分 （2）当,36x ππ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
3sin 2,132x π⎡⎤⎛
⎫+∈-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦ ∴3()3,12f x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣
⎦ ………11分
（3）由Z k k x k ∈+≤
+
≤+-
,22
3
222
ππ
π
ππ
，得Z k k x k ∈+≤≤+-
,12
125ππ
ππ [0,]x π∈ ()f x ∴的单调增区间为],12
7[
]12
,
0[ππ
π
和 ………14分 18．【解答】如图所示，因为AB 、BC 、CD
的中点分别为E 、F 、G ，所以 GK →＝ GD →＋12DF →＝GD →+12
(CF →-CD →)
＝－12→a +12（-12
→b +→
a ）＝－14→
b .………5分
因为A 、H 、G 三点共线，所以存在实数m ，使AH →＝mAG →
＝m （→b +12→a ）=m →b +12
m →
a ；
又D 、H 、F 三点共线，所以存在实数n ，使DH →＝nDF →
＝n （→a -12→b ）= n →a -12
n →
b .
因为AD →＋DH →＝AH →，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－n 2→b ＋n →a ＝m →b ＋m 2→a ………10分
因为a 、b 不共线，2
21m n m n ==-
∴且解得m ＝4
5，
即AH →＝45（→b +12
→
a ）＝25→a ＋45→
b ． ………14分 19．【解答】令t=sin x ＋cos x ，则t=2sin （x ＋4
π）， ………4分 ∵0≤x ≤π，∴4π≤x ＋4π≤4
5π，22-≤sin （x ＋4π）≤1，即－1≤t ≤2． 由t=sin x ＋cos x 两边平方得2sin xcos x=t 2－1，∴sin 2x=t 2
－1 ………10分
y= t 2－1－8t ＋19，即f （t ）=（t －4）2＋2，∵－1≤t ≤2 ∴y max = f （－1）=27 y min = f （2）=20－82 ………14分
20．【解答】（１）函数定义域为()1,1-．令0==y x 得0)0(=f ，
令x y -=，则有0)()(=-+x f x f ，得)()(x f x f -=-，
所以函数)(x f 在区间()1,1-上是奇函数。

…………３分
（２）设1121<<<-x x ，则21212112
()()()()()1x x f x f x f x f x f x x --=+-=- 而011,0212112>-∴<>-x x x x x x 012
112>--∴x x x x ，又因为01,0112>+>-x x 01)1)(1(122112>+--=+-∴x x x x x x ，即11121121221<--∴
->-x x x x x x x x 1102112<--<
∴x x x x ，所以0)1(2112>--x x x x f 。

即当21x x <时， 12()()f x f x <，)1,1()(-∴在区间x f 上是单调递增函数。

……………8分 （３）由于2111()()()3
719f f f -= 即2111()()()3719
f f f =+ ∵111()()()974f f f += 即111()()()974
f f f -=- ∵111()()()1775f f f += 即1112()2()2()1775
f f f -=- 又∵1113111()()()()()()4557519
f f f f f f ++=+= ∴211111111()()2()()()()()2()2()39177197475f f f f f f f f f --=++-+-
∴
21114
()()2()4()
391773
f f f f
--==……………14分。