备战中考数学一模试题分类汇编——一元二次方程综合及答案

一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建
材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1
%2
a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%3a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2
%23
a ，求a 的值.
【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30. 【解析】 【分析】
（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；
（2）根据题意列出方程求解即可. 【详解】
（1）设销售A 品牌的建材x 件.
根据题意，得()60009000126966000x x +-≥， 解这个不等式，得56x ≤， 答：至多销售A 品牌的建材56件.
（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件， 根据题意，得
()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2323a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
令%a y =，整理这个方程，得2
1030y y -=，
解这个方程，得1230,10
y y ==
， ∴10a =（舍去），230a =， 即a 的值是30. 【点睛】
本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．
2．如图，在△ABC中，AB＝6cm，BC＝7cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，以1cm/s的速度向B点移动，点Q从B点出发，以2cm/s的速度向C点移动．如果P、Q两点同时出发，经过几秒后△PBQ的面积等于4cm2？
【答案】经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【解析】
【分析】
作出辅助线，过点Q作QE⊥PB于E，即可得出S△PQB=1
2
×PB×QE，有P、Q点的移动速
度，设时间为t秒时，可以得出PB、QE关于t的表达式，代入面积公式，即可得出答案．【详解】
解：
如图，
过点Q作QE⊥PB于E，则∠QEB＝90°．
∵∠ABC＝30°，
∴2QE＝QB．
∴S△PQB＝1
2
•PB•QE．
设经过t秒后△PBQ的面积等于4cm2，
则PB＝6﹣t，QB＝2t，QE＝t．
根据题意，1
2
•（6﹣t）•t＝4．
t2﹣6t+8＝0．
t2＝2，t2＝4．
当t＝4时，2t＝8，8＞7，不合题意舍去，取t＝2．
答：经过2秒后△PBQ的面积等于4cm2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的运用，注意对所求的值进行检验，对于不合适的值舍去．3．解方程：（3x+1）2=9x+3．
【答案】x1=﹣1
3
，x2=
2
3
．
【解析】
试题分析：利用因式分解法解一元二次方程即可.
试题解析：方程整理得：（3x+1）2﹣3（3x+1）=0， 分解因式得：（3x+1）（3x+1﹣3）=0， 可得3x+1=0或3x ﹣2=0， 解得：x 1=﹣
13，x 2=23
． 点睛：此题主要考查了一元二次方程的解法，解题关键是认真观察一元二次方程的特点，然后再从一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法中合理选择即可.
4．按上述方案，一家酒店四、五两月用水量及缴费情况如下表所示，那么，这家酒店四、五两月的水费分别是按哪种方案计算的？并求出的值.
月份
用水量（吨）
水费（元）
四月
35
59.5
五月
80
151
【答案】
5．已知关于x 的一元二次方程()2
204
m
mx m x -++
=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当4m =时，求方程的解.
【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）135
x +=
，235
4
x =
. 【解析】 【分析】
（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数
≠0；
（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】
（1）由题意得：24b ac ∆=- =()2
2404
m
m m
+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.
（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =
. 【点睛】
本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.
6．关于x 的一元二次方程()2
2
210x k x k +-+=有两个不等实根1x ，2x .
（1）求实数k 的取值范围；
（2）若方程两实根1x ，2x 满足121210x x x x ++-=，求k 的值. 【答案】(1) k ＜1
4
;(2) k=0. 【解析】 【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2，代入x 1+x 2+x 1x 2-1=0，即可求出k 值． 【详解】
解：（1）∵关于x 的一元二次方程x 2+（2k-1）x+k 2=0有两个不等实根x 1，x 2， ∴△=（2k-1）2-4×1×k 2=-4k+1＞0， 解得：k ＜
14
， 即实数k 的取值范围是k ＜
14
； （2）由根与系数的关系得：x 1+x 2=-（2k-1）=1-2k ，x 1•x 2=k 2， ∵x 1+x 2+x 1x 2-1=0， ∴1-2k+k 2-1=0， ∴k 2-2k=0 ∴k=0或2，
∵由（1）知当k=2方程没有实数根， ∴k=2不合题意，舍去， ∴k=0． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程根的判别式和根与系数的关系等知识点，能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意用根与系数的关系解题时要考虑根的判别式，以防错解．
7．阅读下面的例题， 范例：解方程x 2﹣|x|﹣2=0，
解：（1）当x≥0时，原方程化为x 2﹣x ﹣2=0，解得：x 1=2，x 2=﹣1（不合题意，舍去）． （2）当x ＜0时，原方程化为x 2+x ﹣2=0，解得：x 1=﹣2，x 2=1（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是x 1=2，x 2=﹣2
请参照例题解方程x 2﹣|x ﹣10|﹣10=0． 【答案】x 1=4，x 2=﹣5． 【解析】 【分析】
分为两种情况：当x≥10时，原方程化为x 2﹣x=0，当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，分别求出方程的解即可． 【详解】
当x≥10时，原方程化为x 2﹣x+10﹣10=0，解得x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1（不合题意，舍去）；
当x ＜10时，原方程化为x 2+x ﹣20=0，解得x 3=4，x 4=﹣5， 故原方程的根是x 1=4，x 2=﹣5． 【点睛】
本题考查了解一元二次方程——因式分解法，解此题的关键是能正确去掉绝对值符号．
8．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)． (1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值. 【答案】(1)()2
243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3. 【解析】
分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）利用公式法可求出x 1=3
m
，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，
∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程， ∴△=（m -3）2-4m ×（-3） =（m +3）2，
∵（m +3）2≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x =()()
332m m m
--±+ ，
∴x 1=-
3
m
，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数， ∴m =-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．
9．解方程：(x ＋1)(x －1)＝22x. 【答案】x 1＝2＋3，x 2＝2－3. 【解析】
试题分析：根据方程的特点，根据平方差公式化为一般式，然后可根据公式法求解即可. 试题解析：(x ＋1)(x －1)＝22x x 2-22x-1=0 ∵a=1，b=-22，c=-1 ∴△=b 2-4ac=8+4=12＞0
∴x=2
4b b c a -±-=2±3
∴x 1＝2＋3，x 2＝2－3.
10．已知:如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =cm ，6BC =cm.直线PE 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向点A 方向运动，并始终与BC 平行，与线段AC 交于点E .同时，点F 从C 点出发，以1cm/s 的速度沿CB 向点B 运动，设运动时间为t (s) (05t <<) . (1)当t 为何值时，四边形PFCE 是矩形?
(2)当ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍时，求出t 的值;
【答案】（1）3011t =
；（2）55t ±=
【解析】 【分析】
（1）首先根据勾股定理计算AB 的长，再根据相似比例表示PE 的长度，再结合矩形的性质即可求得t 的值.
（2）根据面积相等列出方程，求解即可. 【详解】
解：（1）在Rt ABC ∆中，
90,8,6C AC BC ︒∠===，
10AB ∴===
102//,,1068
PA PE AE t PE AE
PE BC AB BC AC -∴
==∴== 34
(102),(102)55
PE t AE t ∴=-=-，当PE CF =时，四边形PECF 是矩形，
3(102)5t t ∴-= 解得30
11
t = （2）由题意2242411
6825552
t t =
+=⨯⨯⨯
整理得2t 550t -+=，解得t =
t ∴=
，ABC ∆面积是PEF ∆的面积的5倍。

【点睛】
本题主要考查矩形的动点问题，这是近几年的考试热点，必须熟练掌握.。