信号与系统常用公式

常用
公式
第一章
判断周期信号方法
两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。

2/2/2/(2/),/N N M M N πβπβ
πβπβπβ==仅当为整数时正弦序列才具有周期当为有理数时 正弦序列仍具有周期性， 其周期为取使为整数的最小整数当2为无理数时 正弦序列不具有周期性，
1、连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。

2、两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列之和一定是周期序列。

信号的能量 def
2
()E f t dt +∞
-∞=⎰
信号的平均功率 def
2
/2
/2
1lim ()T T T P f t dt T +-→∞=⎰ 冲激函数的特性
'''()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ=- ()()(0)()f t t f t δδ=
()()()()f t t a f a t a δδ-=- ()()(0),f t t dt f δ∞
-∞
=⎰
()()()f t t a dt f a δ∞
-∞
-=⎰
()()11()()n n n at t a a δδ=
g 001
()()t at t t a a
δδ-=- 000()()()()f k k k f k k k δδ-=-
()()()()(1)(0)n n n t f t dt f δ∞
∞
=-⎰
- ''()()(0)t f t dt f δ∞
∞
=-⎰-
动态系统是线性系统的条件
可分解性 {}{}{}{}()()()0,()(0),0f x y y y T f T x •=•+•=•+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 零状态线性 {}{}{}{}{}{}12120,()()0,()0,()T af t bf t aT f bT f +=•+•⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 零输入线性 {}{}{}{}{}{}1212(0)(0),0(0),0(0),0T ax bx aT x bT x +=+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦
判断系统时不变、因果、稳定的方法。

线性时不变的微分和积分特性。

第二章
微分方程的经典解：()()()()()()h p y t y t y t =+完全解齐次解特解 齐次解 ()
(1)(1)110()()...()()0n n n y
t a y t a y t a y t --++++＝
特解的函数形式与激励函数的形式有关。

初始状态和初始值。

零输入和零状态响应 ()()()x f y t y t y t =+
()()
()()()
()(0)(0)(0)
(0)(0)(0)j j j j j j x f x f y y y y y y -=-+-+=+++
()()
()(0)(0)(0)j j j x x y y y +=-=- ()(0)0j f y -=
冲激响应 ()[{0},()]h t T t δ= 卷积 1212()()()()f t f t f f t d τττ∞
-∞*=-⎰
1221()()()()f t f t f t f t *=* 1231213()[()()]()()()()f t f t f t f t f t f t f t *+=*+* 123123[()()]()()[()()]f t f t f t f t f t f t **=**
卷积积分特性
1.()()()()()f t t t f t f t δδ *=*=
2.()'()'()f t t f t δ *= ()()()()()n n f t t f t δ*= ()
3.()(()())t
f t d f d f t t τεττττε∞∞
∞
*-=⎰
⎰
－－＝
卷积微分特性
121221()()1.[()()]()()n n n
n n n d f t d f t d f t f t f t f t dt dt dt *=*=* 1212122.()()[()]()()[()]t t
t
f f d f d f t f t f d τττττττ∞
∞
∞
*=*=*⎰
⎰
⎰
－－－
(1)
(1)12
12123.()0()0()()'()()f f f t f t f t f t -- -∞=∞=*=*在或时，
卷积的时移性质
1212121212121212()()()()()()()()()()
f t f t f t f t f t t t t t t t f t f t f t f t f t t t --- =**=----*=*=-若，则
第四章
周期信号f(t)的傅立叶级数
011
()cos()sin()2n n n n a f t a n t b n t ∞
∞
===+Ω+Ω∑∑
/2/22()cos()T n T a f t n t dt T -=Ω⎰ /2
/2
2()sin()T n T b f t n t dt T -=Ω⎰
a n 是n 的偶函数，
b n 是n 的奇函数
01
()cos()2n n n A f t A n t ϕ∞
==+Ω+∑
00A a =
n A =arctan n
n n
b a ϕ=- n n A n n ϕ是的偶函数，是的奇函数 cos sin ,1,2,...n n n n n n a A b A n ϕϕ =- ==
波形的对称性与谐波特性
1. f(t)为偶函数－－对称纵坐标：b n =0，展开为余弦级数。

2. f(t)为奇函数－－对称原点：a n =0，展开为正弦级数。

3. f(t)为奇谐函数()(/2)f t f t T =-±：a 0=a 2=…=b 2=b 4=…=0
4. f(t)为偶谐函数()(/2)f t f t T =±：a 1=a 3=…=b 1=b 3=…=0
傅立叶级数的指数形式
1()2n j jn t n n f t A e e ϕ∞
Ω=-∞
=∑ 000000j j t A A e e ϕϕΩ= =，
12n n
j j n n n A e F e F ϕϕ== ()jn t n n f t F e ∞
Ω=-∞
=∑ /2/21()T jn t n T F f t e dt T -Ω-=⎰
F 0=A 0/2为直流分量
周期信号的功率—Parseval 等式
2
22200111()22T n n n n A f t dt A F T ∞∞
==-∞
⎛⎫
=+= ⎪⎝⎭∑∑⎰ 0,/2n n n F A ≥=时 幅度为1，脉冲宽度为τ，周期为T 的矩形脉冲频谱：
(
)(),0,1,2,...2n n n F Sa Sa n T
T T
τ
ττπτ
Ω=
==±± 傅立叶变换
()lim ()j t n T F j F T f t e dt ωω∞--∞
→∞
==⎰
1
()()2j t f t F j e d ωωωπ
∞
-∞
=
⎰
(0)()F f t dt ∞
-∞
=⎰
1(0)()2f F j d ωωπ
∞
-∞
=
⎰
常用函数的傅里叶变换
傅立叶变换的性质（见第五章）
奇偶性：()()()F j R jX ωωω=+
()F j ω=()()arctan ()X R ωϕωω⎛⎫
= ⎪⎝⎭
(1)()(),()()
()(),()()R R X X F j F j ωωωωωωϕωϕω =- =--=- =--
(2)()(),()0,()()()(),()0,()()
f t f t X F j R f t f t R F j jX ωωωωωω=-= ==--= =若则若则周期信号的傅立叶变换
2()()()()T n n t n n T
π
δδωδωδ
ω∞∞
Ω
=-∞
=-∞
↔
-Ω=Ω-Ω=Ω∑∑
普通周期信号的傅立叶变换：
00()()()()()n F j F j F jn n ωδωωδω∞
Ω=-∞=Ω=ΩΩ-Ω ∑
无失真传输：y(t)=Kf(t-t d ) ()()d
j t Y j Ke
F j ωωω-=
实现无失真传输，对系统的要求：
()()d h t K t t δ=-
()()/()d
j t H j Y j F K j e ωωωω-==
取样定理
取样信号f s (t)的频谱为：()(1/2)()()s F j F j S j ωπωω=* 冲激取样：()()()()()s
s
T s s s s n n s t t t nT n ωδδωδωωδωω∞∞
=-∞
=-∞
==-↔=-∑∑
[]()(1/1
()()2))(s s
n s s s F j T F F n j j ωωωπωωδωω∞
=-∞
=*=-∑
第五章
双边拉普拉斯变换对
()()st
b F s f t e dt ∞--∞
=⎰
1
()()2j st b j f t F s e ds j σσ
π+∞-∞
=
⎰
收敛域
因果信号：[]Re s σα=> 反因果信号：[]Re s σβ=<
双边信号：[]Re s βα>>
收敛域的确定方法：lim
()0t t f t e σ-→∞
=
单边拉氏变换
0()()def
st
F s f t e dt ∞
--=⎰
1()()()2def
j st
j f t F s e ds t j σσεπ+∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎰ 常见函数的拉氏变换（单边）
单边拉氏变换与傅立叶变换的关系
拉普拉斯变换性质（与傅立叶变换性质对比）：
初值定理和终值定理
0(0)lim ()lim ()t s f f t sF s →+
→∞
+== 0
()lim ()s f sF s →∞=
拉普拉斯逆变换:部分分式展开法 （1） F (s)为单极点（单根）
1212()()......()i n
i n
B s K K K K F s A s s p s p s p s p =
=+++++----
()()
i
i i s p K s p F s ==- 11()i p t
i L e t s p ε-⎡⎤=⎢
⎥-⎣⎦
1,2()()F s p j αβ=-±特例：包含时共轭复根
[]
1121()()j s j K s j F s K e A jB K K θαβ
αβ*=-+=+-==+=
1112
1()()()()()
j j K e K e K K F s s j s j s j s j θθαβαβαβαβ-=+=+
+-+++-++ 11()2cos()()t f t K e t t αβθε-=+ 或 []1()2cos()sin()()t f t e A t B t t αββε-=-
(2) F(s)有重极点（重根）
11
1
1111211
111()(),(/)()()1()()(1)!r
r
s p s p r r r s p r k s p F s k d ds s p F s d k s p F s r ds
===-=-⎡⎤⎡⎤-=-⎣
⎦⎣
⎦⎡⎤=-⎣⎦-
11
1
11!1
1()()()!
p t n
n n n n L t t L t e t s s p n εε-++⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎣⎦-⎣⎦
复频域分析 微分方程的变换解
11()0000()(0)()n n i m i i p p j i i j i i p j a s Y s a s y b s F s ---====⎡⎤⎡⎤⎡⎤--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
∑∑∑∑ ()()()()()()()()
x f M s B s Y s F s Y s Y s A s A s =
+=+ 系统函数
()()
()()
()
def
f Y s B s H s F s A s =
=
电路的S 域框图
电感 电容
()()(0)L L U s sLI s Li =-- 1(0)
()()C
C u U s I s sC s
-=
+
系统的信号流图表示－－梅森公式
1
()()()
m
i i
f i p Y s H s F s =∆
=
=
∆
∑
,,,1...j m n p q r j
m n
p q r
L L L L L L ∆=-+-+∑∑∑
系统函数与系统特性
H(s)的零、极点与时域响应h(t)关系 1、极点在左半平面：
在负实轴上：211122
()
()())
t t t
ke t k s k e k te t αααεα
εα---→+→+1k
一阶极点：s+k 二阶极点：(s+ i L (t)L +
u(t)
-
+-U(s)
Li (0-)
I L
U(s)
或
u
(t)+
-
U(s)
U (0-)/s
U C (s)
或
不在负实轴上：22
1122
2
22cos()())()
cos()())cos()()
t t t ke t t B s k te t t k te t t αααβθεαβ
βθεαββθε---→++→+⎡⎤+⎣⎦
++B(s)
一阶极点：(s+二阶极点：(s+ 2、极点在j ω轴上：
在原点：()
()
k t kt t εε→→2k
一阶极点：s
k
二阶极点：s
不在原点：2
11222cos()()
cos()()cos()()
k t t k t t k t t t βθεββθεββθε→++→+⎡⎤+⎣⎦
++222B(s)
一阶极点：s B(s)二阶极点：s
3、极点在右半平面
在正实轴上：()
()()
t t e t kt e t ααεα
εα→-→-2
k
一阶极点：s k
二阶极点：s 不在实轴上：222
112
22
2
22cos()())cos()())cos()()
t
t t ke t t k t e t t k e t t αααβθεαβ
βθεαββθε→+-+→+⎡⎤-+⎣⎦
++22
B(s)一阶极点：(s B(s)
二阶极点：
(s
H(s)的零、极点与h(t)的关系：
（1）零点影响h(t)的幅度、相位；
（2） 极点决定h(t)的形式
a) 左半平面极点对应h(t)，随时间增加，是按指数函数规律衰减的；
b) 虚轴上一阶极点对应h(t)是阶跃函数或正弦函数，二阶及二阶以上极点对应h(t)
是随时间增加而增大的；
c) 右半平面极点对应h(t)都是随时间增加按指数函数规律增加的。