高三数学第四次模拟考试试题文含解析

俯视图
陕西师大附中高 第四次模拟考试
数学试题（文科）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
(A) i - (B) i (C) -1 (D) 1
【答案】A
2．已知2log x x f (x)f (x ) x >⎧=⎨
+≤⎩0
10
，则)1(-f =（ ）
(A) 2 (B) 1 (C) 0 (D) 4 【答案】C
【解析】因为-1<0,所以()()2(1)01log 10f f f -====。

3．若a ，b 是两个非零向量，则“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）充要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】因为矩形的对角线相等，且对角线相等的平行四边形为矩形，所以“+=-a b a b ”是“⊥a b ”的充要条件。

4.
一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是( ) (A) 4
(C) 2
(D) 【答案】D
【解析】设正三棱柱的底面边长为a ，则
1222
a a a ⨯⨯⨯==所以，所以它的左视
图是边长分别为22 5．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
6万元时销售额为( )
(A) .636万元 (B) .655万元 (C) .677万元 (D) .720万元 【答案】B 【解析】由4235492639543.5,4244
x y ++++++=
===，又ˆb
=，把点()3.5,42代入回归方程ˆˆˆy
bx a =+得9.1a =，所以回归直线方程为ˆ9.49.1y x =+，所以当6,65.5x y ==时，因此选B 。

6．设α、β是两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，命题p ：若α∥β，l ⊂α，m ⊂β则l ∥m ；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则α⊥β.则下列命题为真命题的是( )
(A) p 或q （B ）p 且q (C)非p 或q (D) p 且非q 【答案】C
【解析】命题p ：若α∥β，l ⊂α，m ⊂β则l ∥m ，是假命题；命题q ：l ∥α，m ⊥l ，m ⊂β，则α⊥β，是假命题，因此非p 或q 为真命题。

7．数列{}n a 的通项公式为n a n =-249，当该数列的前n 项和n S 达到最小时，
n 等于( ) (A)24 （B ）25 (C)26 (D)27 【答案】A
【解析】由n a n n .=-≤≤得2490245，所以n S 达到最小时，n 等24. 8.函数sin
3
y x π
=在区间[]0,t 上至少取得2个最大值，则正整数t 的最小值是（ ）
(A)10 （B ）9 (C)8 (D)7 【答案】C
【解析】
函数sin
3
y x π
=的周期为263T π
π
=
=，所以要满足函数sin
3
y x π
=在区间[]
0,t 上至少取得2个最大值，需115
42
t T T ≥+=，所以正整数t 的最小值是8.
9.已知函数f (x)x x =-+
+9
41
，()x ,∈04，当x a =时，f (x)取得最小值b ，则函数b
x )a
(
)x (g +=1的图象为（ ）
【答案】B
【解析】()99415111f x x x x x =-+
=++-≥++，当且仅当9121
x x x +==+即时取等号，所以2,1a b ==，所以()1
12x g x +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，以选B 。

10.如图，已知圆M ：4)3()3(2
2
=-+-y x ，四边形ABCD 为圆M 的内接正方形，E 、
F 分别为边AB 、AD 的中点，当正方形ABCD 绕圆心M 转动
时，OF ME ⋅的取值范围是( ) (A)]26,26[- (B)]6,6[- (C)]23,23[- (D)]4,4[- 【答案】B
【解析】因为OF OM MF =+，所以
()
=ME OF ME OM MF ME OM ME MF ⋅⋅+=⋅+⋅，因为=0ME MF ME MF ⊥⋅，所以，所以ME OF ME OM ⋅=⋅，因为
=22=6cos ME OM ME OF ME OM MOF ⋅⋅=∠=3，所以，所以⋅的取值
范围是]6,6[-。

y
x
E
F D B C
M
O
A
（第10题）
第Ⅱ卷 非选择题（共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题5分，共25分.将答案填写在题中的横线上. 11．在区间[]-12，上随机取一个数x ，则[]x ,∈01的概率为 ． 【答案】1
3
【解析】因为区间[]-12，的区间长度为3，区间[],01的区
间长度为1，所以[]x ,∈01的概率为13。

12．下面程序框图，输出的结果是________．
【答案】1
2010
【解析】第一次循环：
1
,12,201012
a a i i i a =
==+=<+满足条件，再次循环；
第二次循环：1
,13,201013
a a i i i a ===+=<+满足条件，再次循环； 第三次循环：1
,14,201014
a a i i i a =
==+=<+满足条件，再次循环； 第四次次循环：1
,15,201015
a a i i i a ===+=<+满足条件，再次循环； ……
第2009次循环：1,12010,201012010
a a i i i a ===+=<+不满足条件，结束循环，此时输出的a 的值为
1
2010。

13.方程
x y t t +=--22
141
表示曲线C ，给出以下命题： ①曲线C 不可能为圆；
②若t <<14，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4； ④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则t <<
512
. 其中真命题的序号是_____(写出所有正确命题的序号)．
【答案】③④
【解析】当4-10t t =->时，即5
2
t =
时，表示圆；当4-0,10t t >->，4-1t t ≠-时，即t <<14，且5
2
t ≠
时，表示椭圆的方程；当()()4-10t t -<时，即t <1或t >4时表示双曲线；若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则4-10t t >->，即t <<5
12。

因此真命题的序号为③④。

14.我校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6,x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
则我校招
聘的教师人数最多是 名. 【答案】10
【解析】令z x y =+，画出约束条件2526x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪<⎩
的可行域，要注意x y N ∈、，所以由可
行域知：5,5x y ==时，目标函数z x y =+有最大值，最大为5+5=10.所以我校招聘的教师人数最多是10名。

15.本题A 、B 、C 三个选答题，请考生任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. A.（不等式选讲）不等式
x x
++->11
123的解集是 . 【答案】x x x ⎧⎫
-<<<<⎨⎬⎩⎭
11002或
【解析】x x x x x x -x x x
⎧⎧⎧++->---+>++->⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪>≤<≤⎪⎪⎪⎩⎩⎩或或1111111231231231112112，解得x x -<<<<
或11002，所以不等式的解集为x x x ⎧⎫
-<<<<⎨⎬⎩
⎭11002或。

B.（坐标系与参数方程）在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C
到直线sin()4
π
ρθ+=的距离为 .
B
O
A
【答案】2
【解析】把方程4cos ρθ=转化为直角坐标方程为()2
224x y -+=，把直线方程
sin()224
π
ρθ+=转化为直角坐标方程为40x y +-=，所以圆心C 到直线
sin()224π
ρθ+=的距离为22204211
+-=+。

C ．（几何证明选讲）圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 的圆的切线与AB 的延长线交于点
D ，72=CD ，AB BC ==3，则AC 的长为 .
【答案】
37
【解析】因为()
()2
2
,27
=+3DC DB DA DB DB =⋅⋅即，所以DB=4，在ABD ∆中，由余
弦定理得：2221cos 28DB BC DC DBC DB BC +-∠=
=-⋅，所以1
cos 8
ABC ∠=，所以22263
2cos 4
AC BC AB AB BC ABC =+-⋅⋅∠=
，所以AC=37.
三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本题满分12分）某地三所高中校A 、B 、C 联合组织一项活动，用分层抽样方法从三所学校的相关人员 中，抽取若干人组成领导小组，有关数据如下表(单位：人) （Ⅰ）求x ，y ；
（Ⅱ）若从B 、C 两校抽取的人中选2人任领导小组组长，求这二人都来自学校C 的概率.
F
E
C
O B
D
17.（本题满分12分）如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ； （Ⅱ）求三棱锥C OEF -的体积.
18.（本题满分12分）如图，A 、B 是单位圆上的动点，C 是单位圆与x 轴的正半轴的交点，且6
π
=
∠AOB ，记θ=∠COA ，),0(πθ∈，AOC ∆的面积为S .
（Ⅰ）若
S OC OB f 2)(+⋅=→
--→--θ，试求)(θf 的最大值以及此时θ的值.
（Ⅱ）当A 点坐标为)5
4
,53(-时，求2→-BC 的值.
19.（本题满分12分）已知公差不为零的等差数列{}n a 的前10项和1055S =，且248a a a ，，成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足(1)2n n
n n b a =-+，求{}n b 的前n 项和n T .
20．(本题满分14分)已知函数32()10f x x ax =-+，
（I ）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()2,2f 处的切线方程；
（II ）在区间[]1,2内至少存在一个实数x ，使得()<0f x 成立，求实数a 的取值范围．
21.(本题满分13分)已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点(,)21. （Ⅰ）求抛物线的标准方程；
（Ⅱ）与圆1)1(2
2
=++y x 相切的直线t kx y l +=:交抛物线于不同的两点N M ,若抛物线上一点C 满足)(ON OM OC +=λ)0(>λ，求λ的取值范围.
数学(文科)参考答案
一、选择题(本题共10小题,每题5分,共50分)
二、填空题（本题共5小题,每题5分,共25分）
11. 1
3 12. 12010 13. ③④ 14. 10
15. A. x x x ⎧⎫
-<<<<⎨⎬⎩⎭
11002或 B. 2 C.
2
三、解答题（本题共5小题, 每题12分,共60分） 16. 解：（Ⅰ）∵分层抽样
∴18∶x=36∶2 x=1 ………………………2分
54∶y=36∶2 y=3 ……………………… 4分
（Ⅱ）设从B 校抽取的2人为B 1、B 2，从C 校抽取的3人为C 1、C 2、C 3，从这5个人中选2人任组长的选法共有：（B 1，B 2），（B 1，C 1），（B 1，C 2），（B 1，C 3），（B 2，C 1），（B 2，C 2），（B 2，C 3），（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 2，C 3）10种.而两人都来自C 校的有（C 1，C 2），（C 1，C 3），（C 2，C 3）3种. ………………………10分 ∴所求概率为
3
. ………………………12分 又AB 为圆O 的直径，∴AF BF ⊥， ∴AF ⊥平面CBF . ………………………… 6分 （Ⅱ）解：由（1）知CB ABEF ⊥面即CB OEF ⊥面， ∴三棱锥C OEF -的高是CB ， ∴1CB AD ==,……… 8分
连结OE 、OF ，可知1OE OF EF ===
∴OEF ∆为正三角形，∴正OEF ∆的高是
3
2
，………10分 ∴1113311332C OEF OEF V CB S -∆=
⨯=⨯⨯⨯⨯=，……12分 18. 【解】（Ⅰ）θsin 2
1
=S ………………………………2分 )0,1(,)6sin(),6cos(=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++=→--→
--OC OB πθπθ
则θπθθsin )6cos(2)(++=+⋅=→
--→--S OC OB f )3
sin(π
θ+=，…………4分
),0(πθ∈ ，故6
π
θ=
时，1)(max =θf …………………6分
（Ⅱ）依题6
,54sin ,53cos π
θθθ+=∠=-=BOC BOC 中在Δ
由余弦定理得：
2
||→--BC 5
3
314sin cos 326
cos
11211+=
+-=+⨯⨯⨯-+=θθπ
θ）（……12分 19. 解(Ⅰ) 由已知得：
⎩⎨⎧=-=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧++=+=⨯+01192)
7)(()3(552
910101211121
1
d a d d a d a d a d a d a 因为 0≠d 所以 1a d =
所以 119211=+a a ，所以 1,11==d a
所以 n n a n =-+=)1(1 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 6分
(Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧++-=)(2
)
(2为偶数为奇数n n n n b n
n
n
(ⅰ) 当n 为奇数时
2
5
222
1)21(221)
222()43()21(22221122-
-=--⋅+
--=++++-++-++-=+-++++-=+n n n n n T n n n n
n
(ⅱ) 当n 为偶数时
22
22
1)21(22)
222()1()43()21(22221122-+=--⋅+=++++++-+++-++-=+-++++-=+n n n n n T n n n n
n 所以 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+--=++)
(222)(252211为偶数为奇数n n n n T n n n ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 12分 20． 解：（I ）当1a =时，2()=32f x x x '-，(2)=14f ， …………………2分
曲线()y f x =在点(2(2))f ， 处的切线斜率k =(2)=8f '，
所以曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为820x y --=． …………6分
（II ）解1：22()=323()3
f x x ax x x a '-=-(12)x ≤≤ 当
213a ≤，即32
a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[],12上为增函数， 故()=(1)min f x f =11a -，所以11a -0<， 11a >，这与32
a ≤矛盾………8分 当2123a <<，即332
a <<时， 若213
x a ≤<，()0f x '<； 若223
a x <≤，()0f x '>， 所以23
x a =时，()f x 取最小值， 因此有2()3f a 0<，即338210273a a -+31010027
a =-+<，解得3a >，这与 332
a <<矛盾； ………………12分 当223
,a ≥即3a ≥时，()0f x '≤，()f x 在[],12上为减函数，所以()=(2)min f x f =184a -，所以1840a -<，解得92
a >，这符合3a ≥． 综上所述，a 的取值范围为92a >． ………………14分 解2：有已知得：2231010x
x x x a +=+>， ………………8分
设()()21102≤≤+=x x x x g ，()3101x
x g -='， ……………10分 21≤≤x ，()0<'∴x g ，所以()x g 在[]2,1上是减函数． ……………12分
()()2
92min =
=g x g ， 故a 的取值范围为92a > …………………………………………14分 21. 解(Ⅰ) 设抛物线方程为py x 22=，
由已知得：p 222= 所以 2=p
所以抛物线的标准方程为 y x 42= ┈┈┈┈┈4分(Ⅱ) 因为直线与圆相切，
所以 t t k k t 2111
222+=⇒=++ ┈┈┈┈┈ 6分
把直线方程代入抛物线方程并整理得：
0442=--t kx x
由016)2(16161622>++=+=∆t t t t k
得 0>t 或3-<t ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 8分
设),(,),(2211y x N y x M ，
则k x x 421=+
t k t x x k t kx t kx y y 242)()()(2212121+=++=+++=+
由))24(,4(),()(22121λλλλt k k y y x x OM OC +=++=+= 得 ))24(,4(2λλt k k C +┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 10分
因为点C 在抛物线y x 42=上，
所以，λλ)24(416222t k k += 42114212122++=++=+=⇒t t
t t k t λ 因为0>t 或3-<t ，
所以 442>+t 或 242-<+t
所以 λ的取值范围为 )4
5,
1()1,21( ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈ 13分。