关于函数方程的求解【开题报告】

开题报告
数学与应用数学
关于函数方程的求解
一、选题的意义
当今世界，在数学研究的许多领域包括微分方程、动力系统、泛函分析、代数学、几何学、拓扑学、概率论等都涉及到函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.
函数方程又是一个经典的课题，早在18世纪初期，欧拉(L ．Euler)、拉格朗日(Lagrange)等著名数学大师就已经利用函数方程解决问题了.1769年达朗贝尔〔D ’A1cmbert)在讨论力的合成法则时，导出了函数方程
()()2()()f x y f x y f x f y ++-=
1773年法国数学家蒙日在研究曲面理论时又再一次运用了函数方程，并且给出了关于函数方程的一般阐述；同年，拉普拉斯又对另一类广泛应用的函数方程提供了解法；从1821年，数学家柯西
(A. L ．Cauchy)对一系列函数方程，如
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f x y f x f y f xy f x f y f x y f x y f x f y +=+=+++-=
等作了深入的研究，并创造了一种求解函数方程的方法——柯西(Cauchy)法；另外，函数方程还受到了阿贝尔(N ．H ．Abel)、维尔斯特拉斯、哈代(G ．H ．Hardy)以及阿采尔等数学家的充分重视.被应用于不同的领域，取得了许多令人意想不到的结果.例如，罗巴切夫斯基就曾将平行角 1()2
x k tg x e π-= 定义成函数方程
()2x y f +=的解.20世纪初期，以谢留德为首的波兰学派对函数方程进行了—些开创性的研究工作.20世纪40年代前后，苏联数学家盖尔谢凡诺夫教授进一步发展了函数方程的某些理论，并成功解决了一系列有关力学、渗透理论、弹性理论和地层动力理论等问题(这些问题都与谢留德函数方程有关).
像微分方程那样，建立起完整、系统的函数方程理论，就连一般的解法也较少.实践证明，不论是对函数方程本身的研究或是函数方程中未知函数的求解者，都需要有良好的数学素质才行.正是由于这个原因，20世纪以来函数方程常常出现在国际数学奥林匹克(IMO)竞赛试题之中，成为当今数学竞赛的一个重要领域，越来越受到数学竞赛命题者的青睐，并引起国内外数学教育界的广泛关注.
正是由于函数方程的重要意义，所以我选择这个课题并做一些研究.
二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）
由于函数方程的异常复杂和困难，二百多年间发展缓慢、步履维艰.至今还没有关于函数方程的统一理论和解函数方程的一般方法，也没有关于函数方程的解的存在性和唯一性的判断准则.不仅如此，甚至还有一些函数方程至今未能解出.
本文试图对函数方程的解法主要是初等解法作一个初步的总结.但由于函数方程类型十分复杂，想对它进行适当分类就比较困难，加之还没有形成一般的理论和一般的方法，以及受我能力所限，故欲对这一课题作系统、完整的叙述，似乎不现实，所以本文就我感兴趣的方法作一介绍.
三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路）
（1）研究步骤、方法
第一阶段：搜集资料，确定论文选题和主要阅读文献，完成任务书；（文献研究法、比较研究法）第二阶段：整理资料完成开题报告和研究综述，形成论文框架；（文献研究法、比较研究法、经验总结法）
第三阶段：通过刊物查阅和网上资料收集，充实资料，完成初稿；（文献研究法、比较研究法）第四阶段：按要求修改初稿；
第五阶段：修改毕业论文完成第二稿、第三稿，最后定稿.
（2）主要措施
1、利用网络、书籍、杂志等渠道收集信息资料，整理资料、筛选信息，和老师同学进行讨论；
2、分类，汇总，修改资料，形成初稿；
3、在老师的指导下，进一步修改，最终定稿.
四、毕业论文（设计）提纲
1 绪言
2 函数方程的一些概念
3 函数方程的求解方法
3.1 换元法
3.2 待定系数法
3.3 递归数列法
3.4 数学归纳法
3.5 辅助数列法
3.6 利用方程组求解函数方程
3.7 代值减元法
3.8 柯西法求解函数方程
五、主要参考文献
[1] 王向东.函数方程及其应用[M].上海：上海科学技术文献出版社，2003：1-2.
[2] 韩苏.函数迭代与函数方程[J].数学通讯，2001,24：第36页.
[3] 马俊青.函数方程求解的迭代周期方法的研究[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），
2007,21（4）：第121页.
[4] 蒋强.求解函数方程五法[J].中学教研（数学），1993,8:第21页.
[5] 丁钧.巧用换元法解函数方程[J].河南科技，2010,4：第80页.
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[7] 俞宏毓.函数方程的一些解法[J].数学教学通讯，2005,10:第45页.
[8] 王晖.函数方程的解法浅析[J].消费导刊，2008,12;第164页.
[9] 胡昱.函数方程的一些解法[J].西昌师范高等专科学校学报，2002,:14（3）：第79页.
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[11] 张桦.函数方程研究[J].文教资料，2005,29:第169-170页.
[12] 蒋华函数方程有效解题方法探析[J].才智，2010,05：第45页.。