高中数学函数题多元化解题例析

高中数学函数题多元化解题例析
丁㊀颖
(江苏省常州戚墅堰实验中学㊀２１３０００)
摘㊀要:多元化解题已经成为高中数学中变式教学的重要体现和应用ꎬ促进素质教育和应试教育的和谐发展ꎬ成为中国数学教育的一大特色.对于复杂函数多元化解题思路可以对数学逻辑思维起到正向引导的作用ꎬ丰富解题思路ꎬ突破固定函数解题思路无法由表及里触及学生思维训练的限制ꎬ让学生从经典题目可以举一反三提高数学学习能力㊁分析能力ꎬ锻炼数学发散思维.
关键词:高中数学ꎻ函数ꎻ多元化
中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０１８)３１－００１７－０２
收稿日期:２０１８－０６－２５
作者简介:丁颖(１９８１－)ꎬ女ꎬ江苏省常州人ꎬ从事初高中数学教学研究.
㊀㊀高中数学中函数的问题包含众多重难点ꎬ也是学生学习中反馈问题最多的知识模块.对于面临升学压力的高中生而言ꎬ各种训练题㊁模拟题层出不穷ꎬ尽管不提倡题海练习ꎬ但多数学生和教师依旧疲于奔命㊁乐此不疲.从题海中多加锻炼提升学生应试能力ꎬ但究竟何处是岸?培养学生一题多解ꎬ进行多元化解题ꎬ可以从经典例题中寻求解题突破ꎬ培养高效解题习惯ꎬ发挥经典函数题目的资源优势.结合几例高中数学函数题ꎬ阐述多元化解题ꎬ突破函数解题思想禁锢.㊀㊀
一㊁多元解题的思维模式
１.发散思维
数学函数解题中多元化解题方式是以综合角度进行
思考ꎬ学生们在练习过程中ꎬ摆脱传统例题教学中一种解题方案的狭隘认识ꎬ通过一题多解的训练方法ꎬ为学生建立系统㊁全面的知识网络ꎬ从一个任务目标出发思考多种解题可能性ꎬ提供多元化的解题方案ꎬ发散思维的应用拓展解题思路.
２.逆向思维
思维过程具有方向性ꎬ逆向思维在多元化函数解题
过程中同样扮演着重要的作用.一些函数问题从条件入手会变得复杂ꎬ尝试从问题倒推可能会有不同的解题办法ꎬ运用逆向思维可以摆脱正向思维的禁锢ꎬ提供更多解题方案.
３.创新思维
创新思维可以改变单一命题结论㊁形式ꎬ在解题思路
上形成多元ꎬ从命题角度分析解决问题的可能性ꎬ从命题形式㊁内容㊁解题能力㊁思维方式等方面进行创新ꎬ使学生的思维更加灵活ꎬ激发解题创造力和创新能力.㊀㊀
二㊁高中数学函数多元解题例题探析
１.关于函数值域问题的多元化例题解析例１㊀函数ｆ(ｘ)＝
３ｘ－６＋
３－ｘ的值域是
.
分析㊀确定该题是无理函数的求值域或最值的问题ꎬ在高中数学函数解题中经常遇到ꎬ在各种模考卷和高考题中算常见类型.题目短小精悍ꎬ但解题方法多样ꎬ可以涵盖高中阶段众多数学知识ꎬ对学生知识的综合应用能力和解题思路的锻炼十分有益ꎬ体现学生的数学核心素养.
方法１㊀线性规划求解ꎬ这是多数学生可以想到的常规解题方法.并由函数的基本性质易得函数的定义域为２ꎬ３[].转化函数形式为ｆ(ｘ)＝３ｘ－２＋
３－ｘ.
设ｕ＝
ｘ－２ꎬｖ＝
３－ｘꎬ则可以列出不等式方程组
ｕ２＋ｖ２＝１ꎬ
ｕȡ０ꎬｖȡ０.
{
如图１所示ꎬ建立直角坐标系ꎬ在ｕ０ｖ中圆弧
ＡＢ(
ꎬ包括弧点.函数可转化为ｙ＝３ｕ＋ｖ表示ꎬｖ＝－３ｕ
＋ｙꎬ表示经过圆弧的一条动直线ꎬｙ表示直线在ｖ轴的截
距.数形结合解题ꎬ不等式方程组的问题转变为求直线截距取值范围的问题.由函数图象可知ꎬ在直线过(０ꎬ１)时ꎬｙ＝１ꎬ取值最小.当直线和圆弧相切时
ꎬ截距ｙ最大ꎬ且为圆心到直线的距离ꎬ即求圆的半径.
ｙ(３)２
＋１
２
＝１ꎬ求
７１
解ꎬ取正值ꎬｙ＝２.综上ꎬ函数的值域为[１ꎬ２]
.
方法２㊀构造向量ꎬ使用数量积求解.方法１的准备工作相同ꎬ设ｕ＝ｘ－２ꎬｖ＝３－ｘꎬ则可以列出不等式方程组
ｕ２＋ｖ２＝１ꎬ
ｕȡ０ꎬｖȡ０.{
函数转化为ｙ
＝３ｕ＋ｖ.令ＯＰң＝(ｕꎬｖ)ꎬＯＱң
＝(３ꎬ
１)ꎬ建立直角坐标系ꎬ如图２所示ꎬ在ｕ０ｖ中Ｐ的运动轨迹为以１为半径的圆弧ＡＢ(
.由向量数量积坐标可得:ｙ＝３ｕ＋ｖ＝ＯＰң ＯＱң
ꎬ并由向量数量积
的定义可得ｙ＝ＯＰң ＯＱң
＝ＯＰ
ң
ＯＱң
ｃｏｓøＰＯＱ＝２ｃｏｓøＰＯＱ.从图２中易得ꎬ０ʎɤ
øＰＯＱɤøＢＯＱ＝６０ʎ.根据余弦函数的单调性可知ꎬøＰＯＱ＝０ʎ时ꎬｙ取最大值ꎬ为２ꎻ在øＰＯＱ＝６０ʎ时ꎬｙ取最小值ꎬ为１.函数值域为[１ꎬ２].方法３㊀用三角函数求解ꎬ同方法１将函数ｆ(ｘ)＝３ｘ－６＋
３－ｘ转化为ｙ＝３ｕ＋ｖꎬｕ＝ｃｏｓθꎬｖ＝ｓｉｎθꎬθ
ɪ０ꎬ
π２[
]
ꎬ则有ｙ＝３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π３)ꎬθ＋π３
ɪπ３ꎬ５π６[].设ｔ＝θ＋π
３
ꎬ则ｙ＝２ｓｉｎｔꎬｔɪπ３ꎬ５π６[].根据三角函数图象易知ꎬ当ｔ＝π２时ꎬ取得最大值ꎬｙ＝２ꎻｔ＝
５π
６时ꎬ取得最小值ꎬｙ＝１ꎬ求得函数值域为[１ꎬ２].借助三角函数求解ꎬ还有另一种方法ꎬ由ｆ(ｘ)＝
３ｘ－６＋
３－ｘ得
３ｘ－６ȡ０ꎬ３－ｘȡ０ꎬ
{
得２ɤｘɤ３.设ｘ＝ｓｉｎ２θ＋
２ꎬθɪ０ꎬπ２[]
ꎬ则函数ｙ＝３ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２ｓｉｎ(θ＋π３
)ꎬθ
＋π３ɪπ３ꎬ５π６[].设ｔ＝θ＋π３
ꎬ则ｙ＝２ｓｉｎｔꎬｔɪπ３ꎬ５π６[]
.根据三角函数图象易知ꎬ当ｔ＝π
２
时ꎬ取得最大值ꎬｙ＝２ꎻｔ＝
５π
６
时ꎬ取得最小值ꎬｙ＝１.求得函数值域为[１ꎬ２].此外ꎬ该题目还可以借助一阶导数以及函数的单调
性求解ꎬ或者借助二阶导数和函数的凹凸性求解.由于文章篇幅有限ꎬ不再一一赘述ꎬ提供上述常用且学生容易掌握的几种解题思路ꎬ以便参考.㊀㊀三㊁函数最值问题的多元化解题探析
例２㊀әＡＢＣ中有ＡＢ＝２ꎬＡＣ＝２ＢＣꎬ则ＳәＡＢＣ的最大
值为
.
分析㊀高中数学中有一个著名几何结论:平面上给定相异的两点ＡꎬＢꎬ点Ｐ与其在同一平面且满足
ＰＡ
ＰＢ
＝λꎬ当λ>０且λʂ１时ꎬ点Ｐ的运动轨迹则为圆ꎬ称之为阿波罗尼斯圆.可借助这一结论进行解题.
方法１㊀借助三角函数和函数相关知识解题.设ＢＣ＝ｘꎬＡＣ＝２ｘꎬ可得ＳΔＡＢＣ＝
１
２
ＡＢˑＢＣｓｉｎＢ＝ｘ１－ｃｏｓ２Ｂ.①
根据余弦定理可得
ｃｏｓＢ＝ＡＢ２＋ＢＣ２－ＡＣ２２ＡＢˑＢＣ＝４＋ｘ２－２ｘ４ｘ２＝４－ｘ２
４ｘꎬ
代入①式ꎬＳәＡＢＣ＝ｘ１－ｃｏｓ２
Ｂ
＝ｘ
１－(４－ｘ２４ｘ
)
２
＝
１２８－(ｘ２－１２)１６
.
由三角形的三边关系可列出不等式方程组
２ｘ＋ｘ>２ꎬ
ｘ＋２>２ｘꎬ
{
可解得ｘ的取值范围ꎬ即２２－２<ｘ<
２２＋２.在ｘ取２２时ꎬ三角形面积最大ꎬ为２２.
方法２㊀解析法求解.构建直角坐标系ꎬ设Ａ(－１ꎬ
０)ꎬＢ(１ꎬ０)ꎬ动点Ｃ(ｘꎬｙ).因为ＡＣ＝２ＢＣ可列出等式:(ｘ＋１)２＋ｙ２＝２(ｘ－１)２＋ｙ２ꎬ化为(ｘ－３)２＋ｙ２＝８.
在以(３ꎬ０)为圆心ꎬ半径为２２的圆上ꎬ动点Ｃ到ＡＢ的最大距离为半径长２２ꎬ此时三角形面积最大ꎬ即ＳәＡＢＣ的最大值为２２.
从该例题的解题方法可见ꎬ方法２具有原理一致性ꎬ在 阿波罗尼斯圆 的理论背景下解决的ꎬ所以我们主要是理解 阿波罗尼斯圆 的由来及其概念ꎬ而并非一定需要使用其相关结论来解决问题.㊀㊀
参考文献:
[１]许诺.关于高中数学函数解题思路多元化的方法举例探索[Ｊ].科学大众:科学教育ꎬ２０１６(２):２５.
[２]文沛然.高中数学函数解题思路多元化[Ｊ].大科技ꎬ２０１７
(３２):３４.
[３]丁聪.高中数学多元化策略变革分析 以函数内容为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０１６(１２):４６－４７.
[责任编辑:杨惠民]
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