中考数学总复习 专题06 圆综合问题课件

例 1 [2018·莱芜] 如图 Z6-1,已知 A,B 是☉O 上两点,△OAB 外角的平分线交☉O 于另一点 C,CD⊥AB,交
AB 的延长线于 D.
3
(2)E 为的中点,F 为☉O 上一点,EF 交 AB 于 G,若 tan∠AFE= ,BE=BG,
4
EG=3 10,求☉O 的半径.
图 Z6-1
AD 的延长线于点 E,点 F 为 CE 的中点,连接 DB,DC,DF.
(3)若 AC=2 5DE,求 tan∠ABD 的值.
(3)易知∠ABD=∠ACD.
∵∠E+∠DCE=90°,∠DCA+∠DCE=90°,∴∠DCA=∠E.
又∵∠ADC=∠CDE=90°,∴△CDE∽△ADC.∴



= .∴CD2=AD·DE.
4
EG=3 10,求☉O 的半径.
解:(1)证明:连接(liánjiē)OC,如图.∵BC平分
Hale Waihona Puke ∠OBD,∴∠OBC=∠CBD.∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB.
∴∠OCB=∠CBD.∴OC∥AD.而CD⊥AB,∴OC⊥CD.
∴CD是☉O的切线.
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图 Z6-1
题型一 切线(qiēxiàn)类型
∠EAF,进而得出∠OCE=∠OEA,即可得出结论. ②(过点 E 作 EH⊥x 轴于 H,设出 EH=3x,AH=4x,由△OCE




∽△OEA,得 = ,进而用勾股定理得出 x 的值,进而得出点 E 坐标;(3)构造相似三角形△OEN∽△AEM,




得出 =
,即可得出结论.
jìng)作☉O,交AB于点D,交AC于点G,直线DF是☉O
程(r-9)2+122=r2,最后解关于 r 的方程即可.
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题型一
切线(qiēxiàn)类型
拓展 1 [2016·长沙] 如图 Z6-2,四边形 ABCD 内接于☉O,对角线 AC 为☉O 的直径,过点 C 作 AC 的垂线,
交 AD 的延长线于点 E,点 F 为 CE 的中点,连接 DB,DC,DF.
3
(2)连接 OE,交 AB 于点 H.如图,∵E 为的中点,∴OE⊥AB.∵∠ABE=∠AFE,∴tan∠ABE=tan∠AFE= .
4
∴在 Rt△BEH 中,tan∠HBE=


3
= ,设 EH=3x,BH=4x,易得 BE=5x.∵BG=BE=5x,∴GH=x.
4
在 Rt△EHG 中,x2+(3x)2=(3 10)2,解得 x=3 或 x=-3(舍去).∴EH=9,BH=12.设☉O 的半径为 r,则 OH=r-9.
点.如图③,☉P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为 4,此时 AP=5.综上所述,AP 的值的取值范围
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9
5
是 <AP< 或 AP=5.
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题型二
非切线(qiēxiàn)类型
3
例 2 [2018·宁波] 如图 Z6-4①,直线 l:y=- x+b 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B,点 C 是线段 OA 上
∵OD=OC,∴∠OCD=∠ODC.
∵∠OCF=90°,∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°.∴DF是☉O的切线.
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题型一 切线(qiēxiàn)类型
拓展 1 [2016·长沙] 如图 Z6-2,四边形 ABCD 内接于☉O,对角线 AC 为☉O 的直径,过点 C 作 AC 的垂线,交
(3)当点 C 在线段 OA 上运动时,求 OE·EF 的最大值.
3
3
3
4
4
4
解:(1)把 A(4,0)代入 y=- x+b,得- ×4+b=0.解得 b=3.∴直线 l 的函数表达式为 y=- x+3.
3
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∵AO⊥BO,OA=4,BO=3,∴tan∠BAO=
.
4
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题型二
4
一动点 0<AC<
16
5
. 以点 A 为圆心,AC 的长为半径作☉A,交 x 轴于另一点 D,交线段 AB 于点 E,连接 OE
并延长,交☉A 于点 F.
(1)求直线 l 的函数表达式和 tan∠BAO 的值;
(2)如图②,连接 CE,当 CE=EF 时:
图 Z6-4
①求证:△OCE∽△OEA;
②求点 E 的坐标;
增加考试难度,体现其综合应用性.
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题型一 切线(qiēxiàn)类型
例 1 [2018·莱芜] 如图 Z6-1,已知 A,B 是☉O 上两点,△OAB 外角的平分线交☉O 于另一点 C,CD⊥AB,交
AB 的延长线于 D.
(1)求证:CD 是☉O 的切线;
3
(2)E 为的中点,F 为☉O 上一点,EF 交 AB 于 G,若 tan∠AFE= ,BE=BG,
与边 CD 相切于点 F,∴PF⊥CD.∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴AB∥CD.∵AB⊥AC,∴AC⊥CD.∴AC




∥PF.∴△DPF∽△DAC.∴ =

10-
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10
.∴ =
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9
.∴x= ,AP= .
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题型一
拓展2
切线(qiēxiàn)类型
(4-4x)2+(3x)2=4(4-5x).
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解得 x1= ,x2=0(不合题意,舍去).∴
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12 52
12 36
52 36
25 25
25 25
25 25
OH=4-4× = ,EH=3× = .∴E
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,
.
题型二
例2
非切线(qiēxiàn)类型
3
[2018·宁波] 如图 Z6-4①,直线 l:y=- x+b 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B,点 C 是线段 OA 上
[2018·镇江] 如图Z6-3①,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心(yuánxīn),PA为半径的☉P
与对角线AC交于A,E两点.
(2)不难发现,当☉P与边CD相切时,☉P与平行四边形ABCD的边有三个公共
点,随着AP的变化,☉P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,
,
1
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32
16
2
5
5
5
即 OE·EF=AE·EN,∴OE·EF=2AE·EN=2r· -r .∴OE·EF=-2r2+ r 0<r<
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5
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∴当 r= 时,OE·EF 有最大值,最大值为
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.
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.
题型二
非切线(qiēxiàn)类型
【分层分析】
(1)利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式,即可求出 OA,OB,即可得出结论;(2)①先判断出∠CAE=
(1)求∠CDE 的度数;
(2)求证:DF 是☉O 的切线;
图 Z6-2
(3)若 AC=2 5DE,求 tan∠ABD 的值.
解:(1)∵AC为☉O的直径,∴∠ADC=90°.∴∠CDE=90°.
(2)证明:连接(liánjiē)OD.∵∠EDC=90°,F是CE的中点,
∴DF=CF.∴∠FDC=∠FCD.
理得到结论.
(2)连接 OE,交 AB 于 H,利用垂径定理得到 OE⊥AB,再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE,在 Rt△BEH 中
利用正切可设 EH=3x,BH=4x,则 BE=5x,所以 BG=BE=5x,GH=x,在 Rt△EHG 中,利用勾股定理得到
x2+(3x)2=(3 10)2,解得 x=3 或 x=-3(舍),接下来设☉O 的半径为 r,然后在 Rt△OHB 中利用勾股定理得到方
又∵AC=AE=AF,∴∠ACE=∠AEF.∴∠OCE=∠OEA.
∵tan∠BAO= ,∴设 EH=3x,则 AH=4x.∴
又∠COE=∠EOA,∴△OCE∽△OEA.
AE=AC=5x,OH=4-4x,OC=4-5x.
3
4


∵△OCE∽△OEA,∴ = ,即 OE2=OA·OC.

在 Rt△OEH 中,OE2=OH2+EH2,∴
一动点 0<AC<
4
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. 以点 A 为圆心,AC 的长为半径作☉A,交 x 轴于另一点 D,交线段 AB 于点 E,连接 OE
并延长,交☉A 于点 F.
(3)当点 C 在线段 OA 上运动时,求 OE·EF 的最大值.
图 Z6-4
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题型二
非切线(qiēxiàn)类型
专题(zhuāntí)（六）
圆综合(zōnghé)问题
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题型解读
圆是中考中的重要内容,在每年的考试中,都有一道大题以圆的形式呈现,考查的知识多为判断直线与圆的
位置关系,牵涉的知识有圆周角、圆心角、直角三角形、相似三角形、切线的性质与判定、圆内
接四边形等. 在压轴题中,多与二次函数(hánshù)表达式、最值问题、动点问题相结合,从而


=2.
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图 Z6-2
题型一 切线(qiēxiàn)类型
拓展2 [2018·镇江] 如图Z6-3①,平行四边形ABCD中,AB⊥AC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P为圆心,PA为半径的☉P与对角线AC
交于A,E两点.
(1)如图②,当☉P与边CD相切于点F时,求AP的长;
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25
2
2
在 Rt△OHB 中,(r-9)2+122=r2,解得 r= ,即☉O 的半径为 .
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题型一 切线(qiēxiàn)类型
【分层分析】
(1)连接 OC,先证明∠OCB=∠CBD,得到 OC∥AD,再利用 CD⊥AB 得到 OC⊥CD,然后根据切线的判定定
若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围:
.
图 Z6-3
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(2)当☉P 与 BC 相切时,设切点为 G,如图②,S▱ABCD=AD·PG=10PG,PG= .①当☉P 与边 AD,CD 分别有两
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个公共点时, <AP< ,即此时☉P 与平行四边形 ABCD 的边的公共点的个数为 4;②若☉P 过点 A,C,D 三
(2)不难发现,当☉P与边CD相切时,☉P与平行四边形ABCD的边有三个公共
点,随着(suízhe)AP的变化,☉P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化,
若公共点的个数为4,直接写出相对应的AP的值的取值范围:
图 Z6-3
.
解:(1)如图①,连接 PF.在 Rt△ABC 中,由勾股定理,得 AC= 102 -62 =8.设 AP=x,则 DP=10-x,PF=x.∵☉P
例2
非切线(qiēxiàn)类型
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[2018·宁波] 如图 Z6-4①,直线 l:y=- x+b 与 x 轴交于点 A(4,0),与 y 轴交于点 B,点 C 是线段 OA 上
一动点 0<AC<
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. 以点 A 为圆心,AC 的长为半径作☉A,交 x 轴于另一点 D,交线段 AB 于点 E,连接 OE
【方法点析】 此类题是圆的综合题,主要从角度出发,通过变化,将直径所对的圆周角是直角,等腰三角形、
相似相三角形的判定和性质,锐角三角函数,勾股定理知识结合起来综合应用,连弦或过切点作半径是常
作的辅助线
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题型二
非切线(qiēxiàn)类型
拓展 [2018·铜仁] 如图Z6-5,在三角形ABC中,AB=6,AC=BC=5,以BC为直径(zhí

∵AC=2 5DE,∴设 DE=x,则 AC=2 5x.∴AC2-AD2=AD·DE,
即(2 5x)2-AD2=AD·x.∴AD2+AD·x-20x2=0,解得 AD=4x 或 AD=-5x(舍).
∴CD= (2 5)2 -(4)2 =2x.
故2021/12/9
tan∠ABD=tan∠ACD=
(3)如图②,过点 A 作 AM⊥OF 于点 M,过点 O 作 ON⊥AB 于点 N.
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∵tan∠BAO= ,∴cos∠BAO= =
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.∴AN= OA= .
1
设 AC=AE=r.∵ON⊥AB,AM⊥OF,∴∠ONE=∠AME=90°,EM= EF.
2




又∵∠OEN=∠AEM,∴△OEN∽△AEM.∴ =
并延长,交☉A 于点 F.
(2)如图②,连接 CE,当 CE=EF 时:
①求证:△OCE∽△OEA;
图 Z6-4
②求点 E 的坐标;
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第十一页，共十八页。
题型二
非切线(qiēxiàn)类型
(2)①证明:如图①,连接 AF.∵CE=EF,∴∠CAE=∠EAF.
②如图①,过点 E 作 EH⊥x 轴于点 H.