数学美在数学教学中的体现[原创]-新课标

数学美在数学教学中的体现
摘要：本文对数学教学中的主要美的表现进行了分析，从数学的对称、和谐、奇异性等出发，引导学生欣赏，发现，应用数学美
关键词：数学美，对称与和谐，奇异美，补美
数学既是伟大的科学，又是高尚的艺术。

数学高度的抽象性，逻辑的严密性，结论的确定性，是对客观事物真的反应。

数学表述的简洁性，形式对称性，内容的和谐性，又是美的创造。

不光是数学家，科学家，哲学家乃至文学家都曾赞叹数学的美。

他们说数学是“艺术”是“诗”，是“音乐”。

数学的美的含义是丰富的。

数学概念的简洁性，统一性。

数学命题的慨括性，典型性。

数学结构的完整性，协调性。

几何图形的对称性，和谐性，以及数学创造中的新颖性，奇异性等等都是数学美的内容和形式。

既然数学中含有如此多的美，那么为什么还有这么多的同学对数学一点兴趣都没有，讨厌数学，视数学为“魔鬼”。

究其原因，还是在于教师没有引导学生去发现数学中的美，学生不知道怎样去发掘数学中的美。

古希腊数学家洛克拉斯说：“哪里有数，哪里就有美”。

翻开各种数学书籍，我们会看到各种几何图形的恰当比例；矩阵，行列式的井然有序；函数图象的对称，方程的均衡。

这里有奇妙数字构成的美，有逻辑推理的美，有几何图形的美……，这些都是存在于数学之中的。

只要我们用心体会，它们就会呈现出来，给我们以美的享受。

例如：曲线，它不仅有柔和而流畅的外形，还有丰富而深刻的内涵；圆，完美无缺的象征；螺旋线蜿蜒伸拓，暗示着人生的真谛；渐进线欲达而不能，激起人们不歇的追求；周期曲线就像一幅图案设计；有些积分曲线就像一朵素描的花。

由此可见数学美的存在是广泛的，它在数学中的表现形式也是多种多样的。

从内容上有：数之美，式之美，形之美。

从性质和方法上有：真实美，简洁美，对称美，和谐美，奇异美，平衡美等等。

虽然数学美存在是广泛的，表现形式也是多样的。

但并不代表我们可以不假思索而轻松获得它如何在数学教学和学习中充分发掘数学美的特性，值得我们去思考。

下面来讨论一下数学教学中主要存在的一些美。

一，对称和谐的美
数学来自于生产实践，来自于现实世界。

自然界本身是对称的，和谐的，有规律的。

因而反映到数学上即表现为数学的对称美和谐美。

可以说对称性与和谐性是数学与生俱来的。

例如：我国最早的《易经》一书中的“九宫图”，（即现在的三阶幻方）具有鲜明的对称性；举世闻名的“杨辉三角”，它的每一行，每一个小三角形都如此协调，如此有规律，它不就是一种和谐吗？还有“九宫八卦”，“六十四卦合数表”，“蝴蝶定理”等等都将数学的对称和谐表现得淋漓尽致。

当我们在欣赏这些数学奇迹时，能不为它的奇妙而感叹吗？能不对探求这些美的存在而向往吗？
我们也不能被数学美的奇妙吓倒，认为这是可遇而不可求的。

其实，在整个学习过程中，它一直陪伴我们左右，只是我们没有用心去感受。

刚迈进学堂大门，老师就在黑板上写下了：
1+1=2
也许当时我们并没有明白这个简单的式子有和意义，但越看越想就越觉得它魅力无穷。

“1+1”与“2”，就像两个毫不相干的人，因为它们形式上的千差万别。

但当一个等号出现在它们之间时，一切的问题
都解决了，两个毫不相干的人因为某个共同的目标而走在了一起，那么的自然。

“1+1=2”体现了一种自然规律，一种数学法则，它体现了一种和谐的美。

随着学习的深入，那些隐藏在书本中的美就更多的显现出来了。

几何中的中心对称，轴对称，镜象对称都能给人美感。

例如：二次函数，反比例函数的图象，三维空间的球面，椭球面，都能给人以美的享受。

（见下图）
另外，在代数中的对称多项式，如：
222
121b ba ab a f +++
= 对称行列式，如： 1
00
1
对称矩阵，如：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛242421212都具有一种均衡的对称美。

微积分中的二项式定理：n n n n n b nab b na
a b a ++++=+--11)( ； 三角函数中有：1cos sin 2
2=+θθ；
多项式运算中平方差公式：22))((b a b a b a -=-+；
导数的运算法则：v u v u '+'='+)( v u v u uv '+'=')(；
等等，他们给人以形式上对称和和谐的美感。

x
另外，在高等数学中还存在大量的对称关系，如：
运算的对称：加与减，乘与除，乘方与开方，指数与对数，微分与积分，矩阵与逆矩阵等； 概念的对称：函数与反函数，奇与偶，单调递增与单调递减，连续与间断，收敛与发散等。

由于对称和谐性在数学中的广泛存在，而且合理的运用它往往能给我们的学习带来很大的收获。

所以在数学解题中，我们常运用对称和谐的思想，可达到化难为易，变繁为简，使解题过程简捷、明快的效果。

例1、计算 1
23456787654321888888888888888++++++++++++++⨯ 分析：这个算式整齐、匀称、和谐，给人美的享受，使人对它产生兴趣，产生计算的欲望，但直接运算太复杂，由于它具备对称和谐的特点，根据加法的交换律和结合律，不难得知分母是8个8相加，即88⨯，于是得到：
1
234567876543218888888888888888++++++++++++++⨯ 8
8111111118111111118⨯⨯⨯⨯= 1111111111111111⨯=
.543211234567876=
我们看到利用对称和谐美的特点，使整个计算过程也变得具有美感，并且轻松、快捷。

特别的是，不仅这个算是美，而且这个大难仍具有整齐、匀称、和谐等特点，使人感到奇异美妙！
例2、设1,,0<<z y x ，求证：1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x
分析：观察不等式1)1()1()1(<-+-+-x z z y y x .从对称角度看构造边长为1的正ABC ∆（如图），分别在边上取.,,R Q P
使,,,y AR z CQ x BP ===则y RB Z PC -=-=1,1 ABC RQA PCQ ABC S S S S ∆∆∆∆<++ ,4
3)1(43)1(43)1(43<-+-+-∴z y x z y x 即结论成立。

从和谐、对称、平衡的角度审视问题，往往能够拨通爆发“灵感”的火花。

例3、求
.sin 2sin 0dx x x ⎰π（n 为自然数） 令t x -=2
π
，则可将积分化为对称区间
.0cos 2sin )1(cos 2sin cos cos )2sin(sin 2sin 22122220=-=⋅-=-=⎰⎰⎰⎰-+--dt t nt dt t nt n dt t nt n dx x x n πππππππππ
)cos 2sin sin 2sin 20的可去间断点和分别是和（注：x
nx x nx x x π
±== 利用积分区间关于原点的对称性和被积函数的奇偶性，简化积分的计算，是积分计算中最常用的
一种方法。

数学有对称美和谐美成为了造型艺术、建筑学的基础。

在生活中几乎处处都有对称和谐的影子。

从图画到对联，从射影到律诗…“对称”成了哲学的对象。

二、奇异美
数学的奇异美，是指数学思想的独创性，方法的新颖及在平凡中的独特规律。

这种美是情理之中，又在意料之外，当人们一旦发现会心灵感到一种愉快的惊喜。

黄金分割是数学奇异美的典型。

把长为AB 的线段分成两段，其分点C ，使得
.AB CB CB AC =这种方法称为黄金分割，C 点称为黄金分割点。

通过计算可知：618.0=CB
AC 这个0.618正是优选法的基准点，是最美、最奇异无比的比例。

法国巴黎圣母院、我国故宫建筑都融入了“黄金分割”的匹心；希腊人按“黄金分割”建造起庄严的帕提依神庙；米洛维纳斯塑像都用了0.618；标准的运动员、漂亮的舞蹈演员肚脐就是黄金分割点，他们的上下身之比为0.618，看上去修长、苗条、挺拔；门窗、书籍、衣服等其长与宽之比为0.618就构成了黄金矩形，这样就会因比例协调而格外赏心悦目。

当然数学中存在的奇异美还有很多，比如：人们长期以为 ，周期函数一定存在最小正周期，然而狄利克雷函数
⎩⎨⎧=为无理数。

，为有理数；
，x x x D 01)(
是周期函数，但不存在最小正周期。

实数轴上的有理点与无理点都是处处稠密的，然而无理点却比有理点多得多。

在欧拉公式：x i x e ix sin cos += 中代入π=x 得：01=+πi e
在这个等式中竟集中了数学中最重要的5个常数，并且用如此简明的式子表明了它们的关系，不能不让我们感到惊叹！
至于麦克斯韦是用两个微积分方程将法拉第使人难懂乏味的电磁感应理论概括无遗，数学家用笔“算出”的海王星，电子计算机的神气的计算功能则更足以表明数学的奇异美。

三、补美
无论哪个领域，哪个体系，它们都不可能是完美的。

当某个问题、某个理论或某个对象，其思想内容、形式方法尚为完善时，我们就要以审美标准，依据美的规律去继续创造，发展完善它。

这种思想就是补美思想，而补美的过程，常是始于美感的不适或不和谐，而终结与更美的科学的理论。

补美思想在数学教学中处处有所反应，主要应用于：
正确掌握数学概念，有些数学概念的意义是随着数学的发展而逐步变化、丰富的。

为了使概念适用于更大的范围，就必须进行扩展和补充，使之和谐、统一、协调完美。

例3、函数x x x y x x x x x y x 在但是处的极限在sin ,1sin 0sin lim 0
====→处无意义。

因而0sin ==x x
x y 在处不连续，为了弥补这一缺陷， 在0=x 处补充函数值，而使函数，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.01;0sin )(x x x x x f
在0=x 处连续，通过补充这种可去间断点，使得函数连续而且协调美感。

例4、设,0,0≠=++xyz z y x 试证：03)11()11()11(=++++++x
z z x z y z y x 分析：由于已知条件有对称性，所以我们不妨将左端前三项各个括号各不一项，美化成关于)111(z y x ++的对称式，而减去三项z z y y x x ,,恰好与3相消，提出公因式)111(z
y x ++的同时出现因式)(z y x ++而获证。

例5、求οοοο50cos 20sin 50cos 20sin 22⋅++的值
分析：由题目结构知，原式是关于οο50cos ,20sin 的对称式，由此构想补作其对偶式，是它们成为和谐的整体 。

设οοοο50cos 20sin 50cos 20sin 22⋅++=a
οοοο50sin 20cos 50sin 20cos 22⋅++=b 从而有：2170sin ,70sin 2-
-=-+=+οοb a b a 4
3=∴a 即求得：4
350cos 20sin 50cos 20sin 22=⋅++οοοο 由此可知，加强补美思想在数学教学中的应用，不仅能使学生加深对丰富的数学美的认识，而且对提高学生的审美能力，进而在美感中领悟，探索和发现数学真理也大有裨益。

数学的美如果要用语言一一描述出来，我想即使是最好的作家也办不到。

因为数学本身就是一门美的学科，它所蕴涵的美是无穷无尽的。

我们要做的是感受数学的美，理解数学的美，应用数学的美。

当然，如果我们能主动去发现数学的美，去探究数学的美，那我们将获得的不光是知识，还有对美的认时能力的提高，以及对自身人格的塑造。