数学_2013-2014学年浙江省台州某校高三(上)第三次统练数学试卷(理科)(含答案)

2013-2014学年浙江省台州某校高三（上）第三次统练数学试卷

（理科）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合A ={x|log 2x +1>0}，B ={y|y =3x , x ∈R}，则(∁R A)∩B =( ) A (0,1

2) B (0,1

2] C (0, 1) D (0, 1] 2. 已知双曲线y 2a 2

−

x 2b 2

=1与椭圆

x 24

+

y 25

=1共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是

（ ） A y =±

√5

3

x B y =±

√5

2

x C y =±

3√5

5

x D y =±

2√55

x

3. 已知a ，b ∈R ，条件p ：“a >b”，条件q ：“2a >2b −1”，则p 是q 的（ ）

A 充分不必要条件

B 必要不充分条件

C 充分必要条件

D 既不充分也不必要条件 4. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若8a 2−a 5=0，则S

4S 2

=( )

A −8

B 5

C 8

D 15

5. 如图1所示，正△ABC 中，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 、

BC 的中点．现将△ACD 沿CD 折起，使平面ABC ⊥平面BCD （如图2），则下列结论中不正确的是（ ）

A AB // 平面DEF

B CD ⊥平面ABD

C EF ⊥平面AC

D D V 三棱锥C−ABD =4V 三棱锥C−DEF

6. 已知点P(3, 3)，Q(3, −3)，O 为坐标原点，动点M(x, y)满足{|OQ →

⋅OM →

|≤12˙，则点M 所构成的平面区域的面积是（ ） A 12 B 16 C 32 D 64

7.

一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这

个几何体（ ）

A 外接球的半径为√3

3 B 体积为√3 C 表面积为√6+√3+1 D 外接球的表面积为

16π

3

8. 直线(a−1)x+y−a−3=0(a>1)，当此直线在x，y轴的截距和最小时，实数a的值是（）

A 1

B √2

C 2

D 3

9. 设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=20

3

，bsinA=4，则b的最小值是（）

A 2

B 3

C 4

D 5

10. 已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在O，A点处取到极值，其中O是坐标原点，A在曲

线y=x2sinx+xcosx，x∈[π

3, 2π

3

]上，则曲线y=f(x)的切线的斜率的最大值是（）

A 3π

4 B 3

2

C 3√3π

4

+3

4

D 3√3π

4

−3

4

二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．Ks5u

11. 已知i是虚数单位，复数z=1+2i

1+i

的虚部是________．

12. 执行如图所示的程序框图，则输出的k值是________．

13. (x2+2)(1

x

−1)5的展开式的常数项是________．

14. 从6名候选人中选派出3人参加A，B，C三项活动，且每项活动有且仅有1人参加，甲不参加A活动，则不同的选派方法有________种．

15. 已知抛物线y2=2px与椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)有相同的焦点F，P是两曲线的公共

点，若|PF|=5

6

p，则此椭圆的离心率为________．

16. 随机变量ξ的分布列如下：其中a,2b,3

2c成等差数列，若Eξ=1

4

，则Dξ的值是________

17. 如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =60∘，AB =4，E 是△BCD 内部任

意一点，AE 与BD 交于点F ，则AF →

⋅BF →

的最小值是________．

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a n =2n −1，已知函数f(x)=cosx ⋅cos(x −A)−1

2cosA(x ∈R)．

（1）求函数f(x)的最小正周期和最大值；

（2）若函数f(x)在x =π

6处取得最大值，且AB →

⋅AC →

=2，求△ABC 的面积S ．

19. 设公比大于零的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，S 4=5S 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，满足b 1=1，T n =n 2b n ，n ∈N ∗． （1）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （2）满足b n >

λa n

对所有的n ∈N ∗均成立，求实数λ的取值范围．

20. 如图，已知四棱锥P −ABCD 的底面为菱形，且∠ABC =60∘，

AB =PC =2，AP =BP =√2．

（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；

（2）求二面角A −PC −D 的平面角的余弦值．

21.

已知抛物线C:x 2=2py(p >0)的焦点为F(0,p

2)，准线为l ，点

P(x 0, y 0)(y 0>p)为抛物线C 上的一点，且△FOP 的外接圆圆心到准线的距离为3

2． （1）求抛物线C 的方程；

（2）若圆F 的方程为x 2+(y −1)2=1，过点P 作圆F 的2条切线分别交x 轴于点M ，N ，求△PMN 面积的最小值及此事y 0的值． 22. 已知函数f(x)=xlnx +ax(a ∈R)． （1）当a =0，求f(x)的最小值；