2023届河北省保定市高三上学期期末调研考试数学试题试题

2022-2023学年度第一学期高三期末调研考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}
12A x x =-≥，{}1,0,1,2,3,4B =-，则A B =
A ．{}1,0,1-
B ．{}2,3,4
C ．{}3,4
D ．{}1,3,4-
2．若()()21z i i =+-，则z z +等于 A ．2
B ．6
C ．－2
D ．－6
3．数列{}n a 满足14a =，142
1
n n a a n +=++，则4a = A ．2
B ．83
C ．－2
D ．83
-
4．如图，点P 为射线3y x =与以原点O 为圆心的单位圆的交点，一动点在圆O 上以点P 为起始点，沿逆时针方向运动，每2秒转一圈．则该动点横坐标()f t 关于运动时间t 的函数的解析式是
A ．()sin 23f t t π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
B ．()sin 3f t t ππ⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
C ．()cos 3f t t ππ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
D ．()cos 23f t t π⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
5．函数()241
x
f x x =
+的图象大致是 A ． B ． C ．
D ．
6．已知函数()()2
31sin 02
2x
f x x ωωω=+
->，若()f x 在3,22
ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
上恰在两个零点，则ω的值可以是 A ．
12
B ．1
C ．2
D ．3
7．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上
一点，113
PF F π
∠=
，过2F 做12F PF ∠外角平分线的垂线交1F P 的延长线于N 点．若
26
sin 4
PNF ∠=
，则椭圆的离心率 A 31
-
B 3
C 5
D ．
51
2
8．已知三棱锥D -ABC 的所有棱长均为2，以BD 为直径的球面与△ABC 的交线为L ，则交线L 的长度为 A ．
239
π
B ．
439
π
C ．
269
π
D ．
469
π
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．某中学为了能充分调动学生对学术科技的积极性，鼓励更多的学生参与到学术科技之中，提升学生的创新意识，该学校决定邀请知名教授于9月2日和9月9日到学校做两场专题讲
座．学校有东、西两个礼堂，第一次讲座地点的安排不影响下一次讲座的安排，假设选择东、西两个礼堂作为讲座地点是等可能的，则下列叙述正确的是 A ．两次讲座都在东礼堂的概率是
1
4
B ．两次讲座安排在东、西礼堂各一场的概率是
12 C ．两次讲座中至少有一次安排在东礼堂的概率是
34
D ．若第一次讲座安排在东礼堂，下一次讲座安排在西礼堂的概率是13
10．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
A ．A
B 与CD 平行
B ．CD 与GH 是异面直线
C ．EF 与GH 成60°角
D ．CD 与EF 平行
11．已知函数()()20a
e f x a x
=≠，则()f x
A ．在(),0-∞上单调递增
B ．无极小值
C ．无最小值
D ．有极小值，极小值为22
4
a e
12．平面内有一定点A 和一个定圆O ，P 是圆O 上任意一点．线段AP 的垂直平分线l 和直线OP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹可以是 A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．双曲
线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．()()3
2
121x x +-的展开式中x 项的系数是．
14．已知向量()1,1a =，()1,0b =，c a b λ=+，,,a b b c 〈〉=〈〉，则λ=．
15．定义在R 上的两个函数()f x 和()g x ，已知()()13f x g x +-=，
()()33g x f x +-=．若()y g x =图象关于点()1,0对称，则()0f =___，
()()()()1231000g g g g +++
+=．
16．已知双曲线1C ：2
2
1x y -=，圆2C ：()2
242x y -+=，在1C 的第四象限部分取点P ，过P 做斜率为1的直线l ，若l 与2C 交于不同的两点M ，N ，则PM PN ⋅的最小值为．
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）
数列{}n a 的前n 项和为n S 满足233n n S a =-． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）已知数列{}n b 满足3n b n =，在数列{}n b 中别除掉属于数列{}n a 的项，并且把剩余的项从小到大排列，构成新数列{}n c ，求数列{}n c 的前100项和100T ． 18．（12分）
已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，2b a =，点D 在边AB 上，且
2sin sin CD A b ACB ⋅=⋅∠．
（1）求CD 与c 的关系；
（2）若AD DB =，求cos ACB ∠． 19．（12分）
已知矩形ABCD 中，2AB =，2AD =M 为AB 中点，沿AC 将△ACD 折起，得到三
棱锥P -ABC ．
（1）求异面直线PM 与AC 所成的角；
（2）当二面角P -AB -B 的大小为60°时，求AB 与平面PBC 所成角．
20．（12分）
根据《全国普通高等学校体育课程教学指导纲要》第六条：普通高等学校要对三年级及以上学生开设体育选修课．某学院大三、大四年级的学生可以选择羽毛球、健美操、乒乓球、排球等体育选修课程，规定每位学生每学年只能从中选修一项课程，大三选过的大四不能重复选，每项课程一学年完成共计80学时．现在在该学院进行乒乓球课程完成学时的调查，已知该学院本学年选修乒乓球课程大三与大四学生的人数之比为3：2，现用分层随机抽样的方法从这两个年级选修乒乓球课的数据中随机抽取100位同学的乒乓球课程完成学时，得到如下频率分布表： 成绩（单位：学
时） [)30,40
[)40,50
[)50,60
[)60,70
[]70,80
频数（不分年级） 3 x 21 35 33 频数（大三年级）
2
6
16
y
16
（1）求x ，y 的值；
（2）在这100份样本数据中，从完成学时位于区间[)30,60的大四学生中随机抽取2份，记抽取的这2份学时位于区间[)40,50的份数为X ，求X 的分布列与数学期望；
（3）已知该学院大三、大四学生选修乒乓球的概率为25%，本学年这两个年级体育选修课程学时位于[]70,80的学生占两个年级总体的16%．现从该学院这两个年级中任选一位学生，若此学生本学年选修的体育课程学时位于[]70,80，求他选修的是乒乓球的概率（以样本数据中完成学时位于各区间的频率作为学生完成学时位于该区间的概率，精确到0.0001）． 21．（12分）
已知椭圆
22
1168
x y +=与直线l ：()0y kx m k =+≠有唯一的公共点M ． （1）当4m =时，求点M 的坐标；
（2）过点M 且与l 垂直的直线分别交x 轴、y 轴于(),0A x ，()0,B y 两点．当点M 运动时，
（Ⅰ）求点(),P x y 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（Ⅱ）如果推广到一般椭圆，能得到什么相应的结论？（直接写出结论即可） 22．（12分）
已知函数()()1x f x x e ax =--．
（1）当1x >-时，0x 是()y f x =的一个极值点且()01f x =-，求0x 及a 的值；
（2）已知()2ln g x x x =，设()()'x
h x e f x a =+⎡⎤⎣⎦，
若11x >，20x >，且()()12g x h x =，求122x x -的最小值．
2022—2023学年度第一学期高三期末调研考试数学试题答
案
一、1—8．DBACA ，CDA 二、9—12．ABC ，CD ，CD ，BCD 三、13．4，14．1
2
-，15．3；0，（第一个空2分，第二个空3分），16．5 四、17．解：
（1）在2S n ＝3a n －3中令n ＝1，得a 1＝3， ∵2S n ＝3a n －3，∴当n ＞1时，2S n －1＝3a n －1－3， 两式相减得2a n ＝3a n －3a n －1，∴a n ＝3a n －1，
∴数列{a n }是以1为首项，以3为公比为的等比数列， ∴a n ＝3n ． （2）∵b n ＝3n ，
∴数列{a n }中的项都在数列{b n }中．
数列{a n }前5项：3，9，27，81，243在数列{b n }前105项中．这五项和为363
{b n }前105项的为数列{b n }前105项为3，6，9，…，27，…81，…，243，…，315，它们的和为105×3＋105×52×3＝16695
所以数列{c n }的前100项和为数列{b n }前105项的和减去3、9、27、81、243的和， 得：105×3＋105×52×3－363＝16332． 18．解：
（1）∵2CD ·sinA ＝b ·sin ∠ACB ，由正弦定理 得2CD ·a ＝b ·c ， ∴CD ＝c ；
（2）∵AD DB =，∴11
22
CD CA CB =+， 两边平方得，()()()
2
2
2
42CD
CA CB
CA CB =++⋅，
即222
2
2
2
422a b c c b a ab ab
+-=++⋅，
化简得：5c 2＝2a 2＋2b 2． ∵b ＝2a ，∴c 2＝2a 2．
∴222423
cos 224
a a a ACB a a +-∠=
=⋅ 19．解：
（1）设AC 与DM 相交于点O ，
∵矩形ABCD 中AB ＝2，2AD =M 为AB 中点，
∴AD ∶DC ＝MA ∶AD ， ∴△ADC ∽△MAD ， ∴∠DCA ＝∠ADM ， ∵∠ACD ＋∠DAC ＝90°． ∴∠ADM ＋∠DAC ＝90°， ∴∠DOA ＝90°， ∴DM ⊥AC ．
由折叠可知PO ⊥AC ，OM ⊥AC ， ∵PO ∩OM ＝O ， ∴AC ⊥平面POM ，
∵PM 在平面POM 内，∴AC ⊥PM ． ∴PM 与AC 所成的角为90°
（2）由（1）知，PO ⊥AC ，OM ⊥AC ，
∴P —AC —B 所成角为∠POM ＝60°
23PO =
，3
OM =PM ＝1， 又∵AM ＝1，2PA =，
∴PM ⊥AB ， 方法一： ∵M 为AB 中点， ∴2PB PA ==，
∴P A ⊥PB ，
又∵P A ⊥PC ，∴P A ⊥平面PBC ， ∴∠ABP 即为AB 与平面PBC 所成的角， ∵∠ABP ＝45°，
∴AB 与平面PBC 所成的角为45°． 方法二：
PM ⊥AB ，由（1）知AC ⊥PM ．AC 与AB 交与A 点 ∴PM ⊥平面ABC ，
取AC 中点E ，连接ME ，则ME ∥BC ， ∴ME ⊥AB ，
以M 为坐标原点，分别以ME ，MA ，MP 所在直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系M —xyz ，
∴A （1，0，0），B （－1，0，0），()
2,0C -，P （0，0，1）， ∴()0,2,0BA =，(
)
2,0,0BC =
，()0,1,1BP =
∴平面PBC 的法向量()0,1,1m =-， 设AB 与平面PBC 所成的角为α， 则2
sin 2
BA m BA
α⋅=
=
，
∴AB 与平面PBC 所成的角为45°． 20．
解：（1）∵3＋x ＋21＋35＋33＝100， ∴x ＝100－（3＋21＋35＋33）＝8， ∵3
261616100605
y ++++=⨯
=， ∴y ＝60－（2＋6＋16＋16）＝20，
（2）由题意可知，X 的取值可能为0，1，2，
∵这100位学生学时在[30，60）的大四学生为8人，在[40，50）的大四学生为2人，
()26286515
08728C P X C ⨯====
⨯，()11622862213
1877
C C P X C ⨯⨯⨯====
⨯，
()2228211
28728
C P X C ⨯====⨯，
∴随机变量X 的概率分布列如表为：
X 0
1
2
P
15
28 37 128
∴随机变量X 的数学期望为15311012287282
⨯
+⨯+⨯= （Ⅲ）设两个年级共有m 人，A ＝{大三大四中任选一学生一学年体育课程完成学时位于区间[70，80]}，B ＝{大三大四中任选一学生体育课程选的乒乓球}，
则由条件概率公式得()()
()
n AB P B A n A =
25%0.33
16%
m m ⨯⨯=
⨯
0.515.6250.5156=≈ 即该生选乒乓球的概率约为0.5156． 21．解：
（1）将y ＝kx ＋4代入221168x y +=，得()2
241168
kx x ++=， 整理得（2k 2＋1）x 2＋16kx ＋16＝0……①． 因为M 是椭圆与直线l 的唯一公共点，
所以（16k ）2－4×16×（2k 2＋1）＝0，得2k 2＝1， ∴22k =
或22k =-．将2
2k =代入方程①解得22x =-，代入y ＝kx ＋4得y ＝2；
将2
2
k =-
代入方程①得22x =，代入y ＝kx ＋4得y ＝2．
∴点M 为()22,2-或()
22,2．
（2）（ⅰ）将y ＝kx ＋m 代入221168x y +=，得()2
21168
kx m x ++=， 整理得（2k 2＋1）x 2＋4kmx ＋2（m 2－8）＝0……②． 因为M 是椭圆与直线l 的唯一公共点，
所以（4km ）2－4×2（2k 2＋1）（m 2－8）＝0，即m 2＝16k 2＋8……③． 方程②的解为2221km x k =-
+，将③式代入2
221km x k =-+，得16k
x m
=-， 将16k x m
=-代入y ＝kx ＋m ，得22168
m k y m m -=
=， 所以点M 的坐标为168,k m m ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭， 因为k ≠0，所以过点M 且与l 垂直的直线为8116k y x m k m ⎛⎫
-=-+ ⎪⎝⎭
． 可得8,0k A m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，80,B m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，88,k P m m ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，即8k x m =-，8y m =-．
由8k x m =-
，8y m
=-，得x k y =，8
m y =-，
将x k y =，8
m y =-，代入m 2＝16k 2＋8得2
2
8168x y y ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以16x 2＋8y 2＝64，
整理得22
184
y x +=（xy ≠0）．轨迹是焦点在y 轴，长轴长为424的椭圆（去掉四个顶点）．
（ⅱ）∴如果将此题推广到一般椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0），直线y ＝kx ＋m （k ≠0），其
他条件不变，可得点P （x ，y ）的轨迹方程是22
4422
1x y c c a b +=（xy ≠0），轨迹是焦点在y 轴上，
长轴长为22c b ，短轴长为2
2c a
的椭圆（去掉四个顶点）．
22．解：
（1）f ′（x ）＝xe x －a （x ＞－1），
∵x 0是y ＝f （x ）的一个极值点且f （x 0）＝－1
∴f ′（x 0）＝0且f （x 0）＝－1，即000x
x e a -=……① 且()00011x x e ax --=-……② 联立①②消去a 得：(
)
2
0011x x x e
-+=，令F （x ）＝（x 2－x ＋1）e x ，
则F ′（x ）＝（2x －1）e x ＋（x 2－x ＋1）e x ＝x （x ＋1）e x ，令F ′（x ）＝0得x ＝0或x ＝－1（舍）
当x ∈（－1，0）时，F ′（x ）＜0，y ＝F （x ）单调递减；当x ∈（0，＋∞）时，F ′（x ）＞0，y ＝F （x ）单调递增． ∵F （0）＝1， ∴(
)
2
0011x x x e -+=有唯一解，
∴x 0＝0，
把x 0＝0代入①得a ＝0，
∴当x 0＝0，a ＝0时，f （x ）＝（x －1）e x 满足题意． （2）h （x ）＝e x （xe x －a ＋a ）＝xe 2x ∵g （x 1）＝h （x 2），∴2
22
112ln x x x x e =，
设t 1＝ln x 1，则1
22212t x t e x e =，
∵x 1＞1，
∴t 1＞0，令F （x ）＝xe 2x ，
则F ′（x ）＝（2x ＋1）e 2x ，当x ＞0时，F ′（x ）＞0，y ＝F （x ）单调递增 ∴F （t 1）＝F （x 2），∴x 2＝t 1＝ln x 1，……9分 设H （x 1）＝x 1－2x 2＝x 1－2ln x 1（x 1＞1） ∴()11
2
'1H x x =-
，令H ′（x 1）＝0得x 1＝2 当x 1∈（1，2）时，H ′（x 1）＜0， ∴H （x 1）在（1，2）上单调递减； 当x 1∈（2，＋∞）时，H ′（x 1）＞0， ∴H （x 1）在（2，＋∞）上单调递增， ∵x 1＝2时，H （x 1）＝2－2ln2， ∴x 1－2x 2的最小值为2－2ln2。