第3章 系统的时间响应分析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
6
工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering
《机械工程控制基础》
时间响应的性能指标：（参阅第六章）
单 稳定性指标 项 性 快速性指标 指 标 准确性指标 综 合 性 指 标
平方误差积分准则 （ISE）
衰减率、衰减比、振荡次数等 延迟时间、上升时间、峰值时间、调节 时间、振荡频率与周期等 最大超调量、动态偏差、稳态误差等
有: A
y 0
n
F 1 B y 0 k 1 2
故: my t ky t F cos t 的解为:
y t y 0
n
sin nt y 0 cos nt
F 1 F 1 cos t cos t n 2 2 k 1 k 1
t0——脉冲宽度 A——脉冲面积(脉冲强度)， A=1——称为单位脉冲函数, 用δ (t)函数表示.
A (t )
——由两个阶跃函数合成。
Laplace变换表达式为：
X i (s) L[ xi (t )] A
Xi(t） A/t0 t0 0
曲线表达：
t
能 源 与 动 力 工 程 学 院
i 1
n
零输入响应
零状态响应
式中: si (i 1, 2,..., n)为方程的特征根
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 11
《机械工程控制基础》
注意: 1.系统的阶次n和si取决于系统的固有特性（结 构、参数）,与系统的输入和初态无关; 2.由y(t)=L-1[Y(s)]=L-1[G(s)X(s)]所求得的输 出是系统的零状态响应;
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 17
《机械工程控制基础》
1、阶跃函数
数学表达式为：
xi (t ) 0 A t0 A u (t ) t0
A ——为阶跃幅值， A=1——称单位阶跃函数， 用u（t）表示
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 8
《机械工程控制基础》
F 1 cos t 或： y t A sin nt B cos nt 2 k 1
通解
式中: / n
特解
设:
( t 0时, y t y 0 , y t y 0) 0 , (初始条件)
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 2
《机械工程控制基础》
时间响应分析步骤：
(1)建立控制系统的数学模型; (2)求解描述系统的数学模型(微分方程、状态空间表达方 式等）; (3)获取系统对输入信号的响应曲线和函数， (4)确定控制系统的性质和特征。
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 4
《机械工程控制基础》
时间响应的性能指标：（参阅第六章）
控制系统特性的优劣，是通过性能指标来评价的。 控制系统的时域性能指标通常是按系统的单位阶跃 响应的某些特征量来定义的。 由于多数控制系统的动态过程都具有振荡特性。因 此，我们选择具有衰减振荡过程的阶跃响应为典型代表， 来定义控制系统的性能指标，并用这些指标来描述控制 系统的工作品质。 控制系统的时域性能指标主要有两类： 单项性指标 综合性指标 它们的定义如下：
《机械工程控制基础》
时间响应分析的内容：
(1)系统的稳定性 不稳定的系统是不能工作的，所以必须对控制系统的稳 定性进行判断并且研究影响稳定性的因素。 指标:衰减率ψ 、衰减比n、衰减指数m等。 (2)系统的动态特性 系统的动态特性是指系统从一个稳定状态变化到另一个 稳定状态的过渡过程中输出与输入间的关系。系统的动态 特性，可以通过系统的暂态响应来评价。 指标:动态偏差xom、 调节(过渡)时间ts等。 (3)系统的稳态特性 系统的稳态性能就是系统进入稳定状态后所表现出的特 性，主要靠系统的稳态响应来评价。 指标:稳态误差ess等。
《机械工程控制基础》
由上可知：
若所有的特征根均具有负实部时,系统 的自由响应项收敛于0;——(系统稳定) 此时,自由响应称为瞬态响应. 强迫响应称为稳态响应。
Im
Im
s
Re
若存在特征根的实部为 正,则系统的自由响应项 发散;——(系统不稳定) 若存在特征根的实部为零,其余的实部 为负,系统的自由响应项等幅振荡.— —(系统临界稳定)
输入
根据微分方程解的结构理论,该非齐次常微分方程的解为:
y(t ) y1 (t ) y 2 (t )
对应齐次常微分方程通解
y(t ) A sin n t B cosn t Y cost
非齐次方程特解
式中：n k / m 为系统的无阻尼固有频率
能 源 与 动 力 工 程 学 院
i 1
n
零输入响应
零状态响应
实部越大,自由响应项的收敛性越差; 负实部的绝对值越大，自由响应项收敛性越快。
2.特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况.
虚部绝对值越大,自由响应项的振荡频率越高.
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 19
返回
16
《机械工程控制基础》
3.2 典型输入信号
在实际工程中，控制系统承受各种形式的输入。在不 同形式的输入作用下，系统被控量的变化情况（响应）会 各不相同，为便于系统性能的研究和比较，通常选用几种 确定性函数作为系统的典型输入。
选为典型输入的必备条件：
•（1）易于在现场或实验室实现； •（2）能基本代表实际输入作用的性能； •（3）可考验系统，又不破坏系统正常运行； •（4）数学表达式简单，便于理论计算。 以下介绍几种常用的典型输入——
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/1
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 14
一般情况下,设系统动力学方程为:
an y
n
t an 1 y
n 1
t ... a1 y t a0 y t x t
方程的解的一般形式为:
自由响应
强迫响应
y t A1i e
i 1
n
si t
A2i e sit B t
Laplace变换表达式为：
X i ( s ) L[ xi (t )] A s
A Xi(t）
曲线表达：
0 能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9
t
18
《机械工程控制基础》
2、脉冲函数
数学表达式为：
xi (t ) lim A [u (t ) u (t t 0 )] t 0 0 t 0
初始条件引起 的自由响应 输入引起的 自由响应 系统初始为零，仅由 输入引起的响应
(零输入响应)
（零状态响应）
——控制工程所研究的往往是零状态响应
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 10
《机械工程控制基础》
t
上升时间tr： 峰值时间tp：
响应从终值 的10%上升 到终值的 90%所需的 时间 能 源 与 动 力
2018/10/9
衰减率Ψ : A A2 响应超过其终值， 响应到达并保持在 1 100% A1 到达第一个峰值所 终值 2% 或5%内 衰减比 n: 所需的最短时间 需的时间 n=A1/A2
响应的最终稳定值与希 望值之差
y(t)
响应的最大偏离量y(tp)与终值 y()之差的百分比
σ%
y(∞) 0.9y(∞) 0.5y(∞) 0.1y(∞) 图中：y(t)=xo(t)
ym
A1
A2
td
动态偏差ym:
响应过程中的最大偏差
ess 误差带：
希望值h0
终值的 2% 或5%以内
tr
tp
ts
调节时间ts：
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9
s
Re
Im
s
Re
15
《机械工程控制基础》
结论: 1.特征根的实部影响自由响应项的收敛性.
自由响应 强迫响应
y t A1i e
i 1
n
si t
A2i e sit B t
《机械工程控制基础》
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
时间响应及其组成 典型输入信号 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 二阶系统的性能指标 高阶系统的时间响应 系统误差分析与计算 δ函数在时间响应中的作用
返回
1
能 源 与 动 力 工 程 学 院
其中，求解数学模型是时域分析的关键。在此基础上, 可对系统进行深入的研究: ——找出系统响应的共同规律， ——研究参数变化对系统性能的影响， ——如何改进系统，提高其控制品质等。
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 3
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 7
《机械工程控制基础》
系统的时间响应:
如图所示系统: 在外力 F cos t(即输入)作用下: 其动力学方程为: my t ky t F cos t
y t 输出
k
m
F cos t
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 9
《机械工程控制基础》
分析：
对应通解
自由响应
y 0
对应特解
（强迫响应）
输入引起的强迫响应
F 1 F 1 y t sin nt y 0 cos nt cos nt cos t 2 2 n k 1 k 1
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 5
《机械工程控制基础》
延迟时间td：
响应曲线 第一次达到 其终值一半 所需的时间
超调量 %
y (t p ) y () y ( )
100%
稳态误差ess：
3.对于线性定常系统,若 x t 引起的输出为 y t , ' ' x t 则 引起的输出为 y t 。
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 12
《机械工程控制基础》
系统特征根对自由响应的影响
J
J
0
e 2 (t )dt
te 2 (t )dt
时间平方误差积分准则 （ITSE）
绝对误差积分准则 （IAE） 时间绝对值误差准则 （ITAE）
0
e(t)为输出的 希望值与实际 值之间的误差.
J
J
0
e(t ) dt
t e(t ) dt
0
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9
《机械工程控制基础》
3.1 时间响应及其组成
所谓“时间响应”是指系统在时间函数的输入作 用下,其输出(响应)随时间的变化规律。在数学上, 就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解.
时间响应： ——提供了系统输出量随时间变化的全部信息； ——是一种在时域中直观、准确的分析的方法； ——是系统时域分析的关键，为评价系统提供了 依据。
工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering
《机械工程控制基础》
时间响应的性能指标：（参阅第六章）
单 稳定性指标 项 性 快速性指标 指 标 准确性指标 综 合 性 指 标
平方误差积分准则 （ISE）
衰减率、衰减比、振荡次数等 延迟时间、上升时间、峰值时间、调节 时间、振荡频率与周期等 最大超调量、动态偏差、稳态误差等
有: A
y 0
n
F 1 B y 0 k 1 2
故: my t ky t F cos t 的解为:
y t y 0
n
sin nt y 0 cos nt
F 1 F 1 cos t cos t n 2 2 k 1 k 1
t0——脉冲宽度 A——脉冲面积(脉冲强度)， A=1——称为单位脉冲函数, 用δ (t)函数表示.
A (t )
——由两个阶跃函数合成。
Laplace变换表达式为：
X i (s) L[ xi (t )] A
Xi(t） A/t0 t0 0
曲线表达：
t
能 源 与 动 力 工 程 学 院
i 1
n
零输入响应
零状态响应
式中: si (i 1, 2,..., n)为方程的特征根
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 11
《机械工程控制基础》
注意: 1.系统的阶次n和si取决于系统的固有特性（结 构、参数）,与系统的输入和初态无关; 2.由y(t)=L-1[Y(s)]=L-1[G(s)X(s)]所求得的输 出是系统的零状态响应;
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 17
《机械工程控制基础》
1、阶跃函数
数学表达式为：
xi (t ) 0 A t0 A u (t ) t0
A ——为阶跃幅值， A=1——称单位阶跃函数， 用u（t）表示
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 8
《机械工程控制基础》
F 1 cos t 或： y t A sin nt B cos nt 2 k 1
通解
式中: / n
特解
设:
( t 0时, y t y 0 , y t y 0) 0 , (初始条件)
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 2
《机械工程控制基础》
时间响应分析步骤：
(1)建立控制系统的数学模型; (2)求解描述系统的数学模型(微分方程、状态空间表达方 式等）; (3)获取系统对输入信号的响应曲线和函数， (4)确定控制系统的性质和特征。
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 4
《机械工程控制基础》
时间响应的性能指标：（参阅第六章）
控制系统特性的优劣，是通过性能指标来评价的。 控制系统的时域性能指标通常是按系统的单位阶跃 响应的某些特征量来定义的。 由于多数控制系统的动态过程都具有振荡特性。因 此，我们选择具有衰减振荡过程的阶跃响应为典型代表， 来定义控制系统的性能指标，并用这些指标来描述控制 系统的工作品质。 控制系统的时域性能指标主要有两类： 单项性指标 综合性指标 它们的定义如下：
《机械工程控制基础》
时间响应分析的内容：
(1)系统的稳定性 不稳定的系统是不能工作的，所以必须对控制系统的稳 定性进行判断并且研究影响稳定性的因素。 指标:衰减率ψ 、衰减比n、衰减指数m等。 (2)系统的动态特性 系统的动态特性是指系统从一个稳定状态变化到另一个 稳定状态的过渡过程中输出与输入间的关系。系统的动态 特性，可以通过系统的暂态响应来评价。 指标:动态偏差xom、 调节(过渡)时间ts等。 (3)系统的稳态特性 系统的稳态性能就是系统进入稳定状态后所表现出的特 性，主要靠系统的稳态响应来评价。 指标:稳态误差ess等。
《机械工程控制基础》
由上可知：
若所有的特征根均具有负实部时,系统 的自由响应项收敛于0;——(系统稳定) 此时,自由响应称为瞬态响应. 强迫响应称为稳态响应。
Im
Im
s
Re
若存在特征根的实部为 正,则系统的自由响应项 发散;——(系统不稳定) 若存在特征根的实部为零,其余的实部 为负,系统的自由响应项等幅振荡.— —(系统临界稳定)
输入
根据微分方程解的结构理论,该非齐次常微分方程的解为:
y(t ) y1 (t ) y 2 (t )
对应齐次常微分方程通解
y(t ) A sin n t B cosn t Y cost
非齐次方程特解
式中：n k / m 为系统的无阻尼固有频率
能 源 与 动 力 工 程 学 院
i 1
n
零输入响应
零状态响应
实部越大,自由响应项的收敛性越差; 负实部的绝对值越大，自由响应项收敛性越快。
2.特征根的虚部影响自由响应项的振荡情况.
虚部绝对值越大,自由响应项的振荡频率越高.
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 19
返回
16
《机械工程控制基础》
3.2 典型输入信号
在实际工程中，控制系统承受各种形式的输入。在不 同形式的输入作用下，系统被控量的变化情况（响应）会 各不相同，为便于系统性能的研究和比较，通常选用几种 确定性函数作为系统的典型输入。
选为典型输入的必备条件：
•（1）易于在现场或实验室实现； •（2）能基本代表实际输入作用的性能； •（3）可考验系统，又不破坏系统正常运行； •（4）数学表达式简单，便于理论计算。 以下介绍几种常用的典型输入——
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/1
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 14
一般情况下,设系统动力学方程为:
an y
n
t an 1 y
n 1
t ... a1 y t a0 y t x t
方程的解的一般形式为:
自由响应
强迫响应
y t A1i e
i 1
n
si t
A2i e sit B t
Laplace变换表达式为：
X i ( s ) L[ xi (t )] A s
A Xi(t）
曲线表达：
0 能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9
t
18
《机械工程控制基础》
2、脉冲函数
数学表达式为：
xi (t ) lim A [u (t ) u (t t 0 )] t 0 0 t 0
初始条件引起 的自由响应 输入引起的 自由响应 系统初始为零，仅由 输入引起的响应
(零输入响应)
（零状态响应）
——控制工程所研究的往往是零状态响应
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 10
《机械工程控制基础》
t
上升时间tr： 峰值时间tp：
响应从终值 的10%上升 到终值的 90%所需的 时间 能 源 与 动 力
2018/10/9
衰减率Ψ : A A2 响应超过其终值， 响应到达并保持在 1 100% A1 到达第一个峰值所 终值 2% 或5%内 衰减比 n: 所需的最短时间 需的时间 n=A1/A2
响应的最终稳定值与希 望值之差
y(t)
响应的最大偏离量y(tp)与终值 y()之差的百分比
σ%
y(∞) 0.9y(∞) 0.5y(∞) 0.1y(∞) 图中：y(t)=xo(t)
ym
A1
A2
td
动态偏差ym:
响应过程中的最大偏差
ess 误差带：
希望值h0
终值的 2% 或5%以内
tr
tp
ts
调节时间ts：
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9
s
Re
Im
s
Re
15
《机械工程控制基础》
结论: 1.特征根的实部影响自由响应项的收敛性.
自由响应 强迫响应
y t A1i e
i 1
n
si t
A2i e sit B t
《机械工程控制基础》
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8
时间响应及其组成 典型输入信号 一阶系统的时间响应 二阶系统的时间响应 二阶系统的性能指标 高阶系统的时间响应 系统误差分析与计算 δ函数在时间响应中的作用
返回
1
能 源 与 动 力 工 程 学 院
其中，求解数学模型是时域分析的关键。在此基础上, 可对系统进行深入的研究: ——找出系统响应的共同规律， ——研究参数变化对系统性能的影响， ——如何改进系统，提高其控制品质等。
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 3
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 7
《机械工程控制基础》
系统的时间响应:
如图所示系统: 在外力 F cos t(即输入)作用下: 其动力学方程为: my t ky t F cos t
y t 输出
k
m
F cos t
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 9
《机械工程控制基础》
分析：
对应通解
自由响应
y 0
对应特解
（强迫响应）
输入引起的强迫响应
F 1 F 1 y t sin nt y 0 cos nt cos nt cos t 2 2 n k 1 k 1
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 5
《机械工程控制基础》
延迟时间td：
响应曲线 第一次达到 其终值一半 所需的时间
超调量 %
y (t p ) y () y ( )
100%
稳态误差ess：
3.对于线性定常系统,若 x t 引起的输出为 y t , ' ' x t 则 引起的输出为 y t 。
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9 12
《机械工程控制基础》
系统特征根对自由响应的影响
J
J
0
e 2 (t )dt
te 2 (t )dt
时间平方误差积分准则 （ITSE）
绝对误差积分准则 （IAE） 时间绝对值误差准则 （ITAE）
0
e(t)为输出的 希望值与实际 值之间的误差.
J
J
0
e(t ) dt
t e(t ) dt
0
能 源 与 动 力 工 程 学 院
School of Energy & Power Engineering 2018/10/9
《机械工程控制基础》
3.1 时间响应及其组成
所谓“时间响应”是指系统在时间函数的输入作 用下,其输出(响应)随时间的变化规律。在数学上, 就是系统的动力学方程在一定初始条件下的解.
时间响应： ——提供了系统输出量随时间变化的全部信息； ——是一种在时域中直观、准确的分析的方法； ——是系统时域分析的关键，为评价系统提供了 依据。