2015年陕西省中考数学试卷(含详细答案)

绝密★启用前
陕西省2016年初中毕业学业考试
数学
本试卷满分120分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题共30分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的)
1.计算：
1
()2
2
-⨯=
( )
A.1
-B.1C.4D.4
-
2.如图,下面的几何体由三个大小相同的小立方块组成,则它的左视图是
( )
A B C D
3.下列计算正确的是
( )
A.224
+34
x x x
=B.236
2=2
x y x x y
C.322
(6)(3)2
x y x x
÷=D.22
(3)9
x x
-=
4.如图,AB CD
∥,AE平分CAB
∠交CD于点E.若50
C
∠=,则
AED
∠= ( )
A.65
B.115
C.125
D.130
5.设点,
()
A a b是正比例函数
3
2
y x
=-图象上的任意一点,则下列等式一定成立的
是( )
A.23=0
a b
+B.23=0
a b
-
C.320
a b
-=D.32=0
a b
+
6.如图,在ABC
△中,90
ABC
∠=,8
AB=,6
BC=.若DE
是ABC
△的中位线,延长DE交ABC
△的外角ACM
∠的
平分线于点F,则线段DF的长为( )
A.7
B.8
C.9
D.10
7.已知一次函数5
y kx
=+和7
y k x'
=+.假设0
k＞且0
k'＜,则这两个一次函数图
象的交点在
( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
8.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点.若
,
M N是边AD上的两点,连接MO,NO,并分别延长交边BC
于两点M',N',则图中的全等三角形共有( )
A.2对
B.3对
C.4对
D.5对
9.如图,O的半径为4,ABC
△是O的内接三角形,连接
OB,OC.若BAC
∠与BOC
∠互补,则弦BC的长为( )
A
.B
.
C
.D
.
10.已知抛物线223
y x x
=--+与x轴交于A,B两点,将这条抛物线的顶点记为C,连
接AC,BC,则tan CAB
∠的值为( )
A.
1
B
C D.2
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题
3
分
,共
12分.请把答案填写在题中的横线上)
11.不等式
1
30
2
x
-+＜的解集是.
毕
业
学
校
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
姓
名
_
_
_
_
_
_
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_
_
_
_
_
_
_
_
_
考
生
号
_
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_
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_
_
_
_
_
_
_
_
_
-------------
在
--------------------
此
--------------------
卷
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上
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答
--------------------
题
--------------------
无
--------------------
效
----------------
数学试卷第1页（共36页）数学试卷第2页（共36页）
数学试卷 第3页（共36页） 数学试卷 第4页（共36页）
12.请从以下两个小题中任选一个作答,若多选,则按第一题记分.
A .一个正多边形的一个外角为45,则这个正多边形的边数是 .
B .
运用科学计算器计算：7352'≈ (结果精确
到0.1).
13.已知一次函数24y x =+的图象分别交x 轴、y 轴于A ,B 两点.若这个一次函数的图象与一个反比例函数的图象在第一象限交于点C ,且2AB BC =,则这个反比例函数的表达式为 .
14.如图,在菱形ABCD 中,60ABC ∠=,2AB =,点P 是这个菱形内部或边上的一点.若以点P ,B ,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则P ,D (P ,D 两点不重合)两点间的最短距离为 .
三、解答题(本大题共11小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满5分)
0|1(7π)++.
16.(本小题满分5分) 化简：2
161
(5)39
x x x x --+÷+-.
17.(本小题满分5分)
如图,已知ABC △,90BAC ∠=.请用尺规过点A 作一条直线,使其将ABC △分成两个相似的三角形.(保留作图痕迹,不写作法)
18.(本小题满分5分)
某校为了进一步改进本校七年级数学教学,提高学生学习数学的兴趣.校教务处在七年级所有班级中,每班随机抽取6名学生,并对他们的数学学习情况进行了问卷调查.我们从所调查的题目中,特别把学生对数学学习喜欢程度的回答(喜欢程度分为：“A —非常喜欢”“B —比较喜欢”“C —不太喜欢”“D —很不喜欢”,针对这个题目,问卷时要求每位被调查的学生必须从中选一项且只能选一项)结果进行统计.现将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
所抽取学生对数学学习喜欢程度的调查统计图
图1
图2
请你根据以上提供的信息,解答下列问题： (1)补全上面的条形统计图和扇形统计图；
(2)所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是 ；
(3)若该校七年级共有960名学生,请你估算该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有多少人？
19.(本小题满分7分)
如图,在□ABCD 中,连接BD ,在BD 的延长线上取一点E ,在DB 的延长线上取一点F ,使BF DE =,连接AF ,CE . 求证：AF CE ∥.
数学试卷 第5页（共36页） 数学试卷 第6页（共36页）
20.(本小题满分7分)
某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下：如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM 上平放一平面镜,在镜面上做了一个标记,这个标记在直线BM 上的对应位置为点C .镜子不动,小亮看着镜面上的标记,他来回走动,走到D 点时,看到“望月阁”顶端点A 在镜面中的像与镜面上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的高度 1.5ED =米,2CD =米；
然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下：如图,小亮从D 点沿DM 方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F 点处,此时,测得小亮身高FG 的影长 2.5FH =米, 1.65FG =米.
如图,已知：AB BM ⊥,ED BM ⊥,GF BM ⊥,其中,测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计.请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB 的长度.
21.(本小题满分7分)
昨天早晨7点,小明乘车从家出发,去西安参加中学生科技创新大赛,赛后,他当天按原路返回,如图,是小明昨天出行的过程中,他去西安的距离y (千米)与他离家的时间x (时)之间的函数图象.
根据图象,回答下列问题：
(1)求线段AB 所表示的函数关系式；
(2)已知昨天下午3点时,小明距西安112千米,求他何时到家？
22.(本小题满分7分)
某超市为了答谢顾客,凡在本超市购物的顾客,均可凭购物小票参与抽奖活动.奖品是三种瓶装饮料,他们分别是：绿茶(500mL )、红茶(500mL ),和可乐(600mL ).抽奖规则如下：
①如图,是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等分成五个扇形区域,每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样； ②参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(当转动转盘,转盘停止后,可获得指针所指区域的字样,我们称这次转动为一次“有效随机转动”)；
③假设顾客转动转盘,转盘停止后,指针指向两区域的边界,顾客可以再转动转盘,直到转动为一次“有效随机转动”；
④当顾客完成一次抽奖活动后,记下两次指针所指区域的
两个字,只要这两个字和奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关),便可获得相应奖品一瓶；不相同时,不能获得任何奖品. 根据以上规则,回答下列问题：
(1)求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
(2)有一名顾客凭本超市的购物小票,参与了一次抽奖活动.请你用列表或画树状图等方法,求该顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率；
毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________
-------------在
--------------------此--------------------
卷--------------------
上--------------------
答--------------------
题--------------------
无--------------------
效
----------------
数学试卷 第7页（共36页） 数学试卷 第8页（共36页）
23.(本小题满分8分)
如图,已知：AB 是O 的弦,过点B 作BC AB ⊥交O 于点C ,过点C 作O 的切线交AB 的延长线于点D ,取AD 的中点E ,过E 作EF BC ∥交DC 的延长线于点F ,连接AF 并延长交BC 的延长线于点G . 求证：(1)FC FG =； (2)2
AB BC BG =.
24.(本小题满分10分)
如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点.抛物线25y ax bx =++经过点()1,3M 和()3,5N .
(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；
(2)平移这条抛物线,使平移后的抛物线经过点(2,0)A -,且与y 轴交于点B ,同时满足以A ,O ,B 为顶点的三角形是等腰直角三角形.请你写出平移过程,并说明理由.
25.(本小题满分12分) 问题提出
(1)如图1,已知ABC △.请画出ABC △关于直线AC 对称的三角形. 问题探究
(2)如图2,在矩形ABCD 中,4AB =,6AD =,4AE =,2AF =.是否在边BC ,CD 上分别存在点,G H ,使得四边形EFGH 的周长最小？若存在,求出它周长的最小值；若不存在,请说明理由. 问题解决
(3)如图3,有一矩形板材ABCD ,3AB =米,6AD =米.现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH 部件,使90EFG ∠=
,EF FG ==,45EHG ∠=.经研究,只有当点E ,F ,G 分别在边AD ,AB ,BC 上,且AF BF ＜,并满足点H 在矩形ABCD 内部或边上时,才有可能裁出符合要求的部件.试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH 部件？若能,求出裁得的四边形EFGH 部件的面积；若不能,请说明理由.
图1
图2
图
3
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陕西省2016年初中毕业学业水平考试
数学答案解析
一、选择题
1.【答案】A
【解析】解：原式1=-，故选A
【提示】原式利用乘法法则计算即可得到结果. 【考点】有理数的乘法. 2.【答案】C
【解析】解：根据题意得到几何体的左视图为，故选C
【提示】根据已知几何体，确定出左视图即可． 【考点】简单组合体的三视图． 3.【答案】D
【解析】解：A 、原式24x =，错误； B 、原式52x y =，错误； C 、原式22xy =，错误； D 、原式29x =，正确；
故选D
【考点】整式的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式． 4.【答案】B
【解析】解：∵AB CD ∥， ∴180C CAB ︒∠+∠=， ∵50C ︒∠=，
∴18050130CAB ︒︒︒∠=-=， ∵AE 平分CAB ∠， ∴65EAB ︒∠=， ∵AB CD ∥，
∴180EAB AED ︒∠+∠=， ∴18065115AED ︒︒︒∠=-=， 故选B
【提示】根据平行线性质求出CAB ∠的度数，根据角平分线求出EAB ∠的度数，根据平行线性质求出AED
∠的度数即可． 【考点】平行线的性质． 5.【答案】D
【解析】解：把点(,)A a b 代入正比例函数32
y x =-， 可得：32a b -=， 可得：320a b +=，
数学试卷 第11页（共36页）
数学试卷 第12页（共36页）
故选D
【提示】直接把点(,)A a b 代入正比例函数32
y x =-，求出a ，b 的关系即可． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 6.【答案】B
【解析】解：在Rt ABC △中，∵90ABC ︒∠=，8AB =，6BC =，
∴10AC =
==，
∵DE 是ABC △的中位线， ∴DF BM ∥，1
32
DE BC =
=， ∴EFC FCM ∠=∠， ∵FCE FCM ∠=∠， ∴EFC ECF ∠=∠，
∴1
52
EC EF AC ===， ∴358DF DE EF =+=+=．
故选B
【提示】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF BM ∥，再证明1
2
EC EF AC ==，由此即可解决问题．
【考点】三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理． 7.【答案】A
【解析】解：∵一次函数5y kx =+中0k ＞，
∴一次函数5y kx =+的图象经过第一、二、三象限． 又∵一次函数7y k x =+’中k ＜0’，
∴一次函数7y k x =+’的图象经过第一、二、四象限． ∵57＜，
∴这两个一次函数的图象的交点在第一象限， 故选A
【提示】根据k 的符号来求确定一次函数y kx b =+的图象所经过的象限，然后根据b 的情况即可求得交点的位置．
【考点】两条直线相交，平行问题．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB CD CB AD ===，90A C ABC ADC ︒∠=∠=∠=∠=，AD BC ∥，
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在ABD △和BCD △中，
AB BC A C AD CD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴ABD BCD △≌△， ∵AD BC ∥，
∴MDO M BO ∠=∠’， 在MOD ∠和M OB ∠’中，
MDO M BO MOD M OB DM BM ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
’’’， ∴MDO M BO △≌△’，同理可证NOD N OB △≌△’， ∴MON M ON △≌△’’， ∴全等三角形一共有4对． 故选C ．
【提示】可以判断ABD BCD △≌△，MDO M BO △≌△’，NOD N OB △≌△’，MON M ON △≌△’’由此即
可对称结论．
【考点】正方形的性质，全等三角形的判定． 9.【答案】B
【解析】解：过点O 作OD BC ⊥于D ， 则2BC BD =，
∵ABC △内接于O ，BAC ∠与BOC ∠互补， ∴2BOC A ∠=∠，180BOC A ︒∠+∠=， ∴120BOC ︒∠=， ∵OB OC =， ∴()1
180302
OBC OCB BOC ︒︒∠=∠=-∠=， ∵O 的半径为4，
∴cos 4BD OB OBC =∠==
∴BC =． 故选
B
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【提示】首先过点O 作OD BC ⊥于D ，由垂径定理可得2BC BD =，又由圆周角定理，可求得BOC ∠的度
数，然后根据等腰三角形的性质，求得OBC ∠的度数，利用余弦函数，即可求得答案． 【考点】垂径定理，圆周角定理，解直角三角形． 10.【答案】D
【解析】解：令0y =，则2230x x --+=，解得3x =-或1，不妨设()3,0A -，()1,0B ， ∵()2
22314y x x x =--+=-++， ∴顶点()1,4C -，
如图所示，作CD AB ⊥于D ．
在Rt ACD △中，4
tan 22
CD CAD AD ∠===， 故选D
【提示】先求出A 、B 、C 坐标，作CD AB ⊥于D ，根据tan CD
CAD AD
∠=即可计算． 【考点】抛物线与x 轴的交点，锐角三角函数的定义． 二、填空题
11.【答案】6x ＞
【解析】解：移项，得132
x --＜， 系数化为1得6x ＞． 故答案是6x ＞．
【提示】移项、系数化成1即可求解． 【考点】解一元一次不等式．
9 / 18
12.【答案】A.8 B.11.9
【解析】解：A.∵正多边形的外角和为360︒ ∴这个正多边形的边数为：360458︒︒÷=
B.735212.3690.96111.9︒⨯≈≈’ 故答案为：8，11.9
【提示】A.根据多边形内角和为360︒进行计算即可；B.
先分别求得和sin 7352︒’的近似值，再相乘求得计算结果．
【考点】近似数和有效数字，多边形内角与外角． 13.【答案】6y x
=
【解析】解：∵一次函数24y x =+的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点， ∴()2,0A -，()0,4B ， 过C 作CD x ⊥轴于D ， ∴OB CD ∥， ∴ABO ACD △∽△，
∴
2
3OB AO AB CD AD AC ===， ∴6CD =，3AD =， ∴1OD =，
∴()1,6C ，
设反比例函数的解析式为k y x
=， ∴6k =，
∴反比例函数的解析式为6y x
=． 故答案为：6y x
=
．
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数学试卷 第20页（共36页）
【提示】根据已知条件得到()2,0A -，()0,4B ，过C 作CD x ⊥轴于D ，根据相似三角形的性质得到
2
3
OB AO AB CD AD AC ===，求得()1,6C ，即可得到结论． 【考点】反比例函数，一次函数的交点． 14.
【答案】2-
【解析】解：如图连接AC 、BD 交于点O ，以B 为圆心BC 为半径画圆交BD 于P ． 此时PBC △是等腰三角形，线段PD 最短， ∵四边形ABCD 是菱形，60ABC ︒∠=，
∴AB BC CD AD ===，60ABC ADC ︒∠=∠=， ∴ABC △，ADC △是等边三角形，
∴2BO DO ==，
∴2BD BO ==
∴PD
最小值2BD BP =-=．
故答案为2．
【提示】如图连接AC 、BD 交于点O ，以B 为圆心BC 为半径画圆交BD 于P ．此时PBC △
是等腰三角形，
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线段PD 最短，求出BD 即可解决问题．
【考点】菱形的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的性质．
三、解答题
15.
2
【解析】解：原式)
11=+
2=
2
【提示】直接化简二次根式、去掉绝对值、再利用零指数幂的性质化简求出答案．
【考点】实数的运算，零指数幂．
16.【答案】243x x -+
【解析】解：原式()()()2
13331
x x x x x -+-=+- ()()13x x =-- 243x x =-+
【提示】根据分式的除法，可得答案．
【考点】分式的混合运算． 17.
【答案】解：如图，AD 为所作．
【提示】过点A 作AD BC ⊥于D ，利用等角的余角相等可得到BAD C ∠=∠，则可判断ABD △与CAD △相
似．
【考点】相似变换．
18.【答案】（1）由题意可得，
调查的学生有：3025120÷=%（人）
选B 的学生有：1201830666---=（人）
B 所占的百分比是：6612010055÷⨯=%%，
D 所占的百分比是：61201005÷⨯=%%，
故补全的条形统计图与扇形统计图如下图所示，
数学试卷 第23页（共36页）
数学试卷 第24页（共36页）
（2）由（1）中补全的条形统计图可知，
所抽取学生对数学学习喜欢程度的众数是：比较喜欢，
故答案为：比较喜欢；
（3）由（1）中补全的扇形统计图可得，
该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有：96025240⨯%=（人），
即该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的有240人．
【提示】（1）根据条形统计图与扇形统计图可以得到调查的学生数，从而可以的选B 的学生数和选B 和选
D 的学生所占的百分比，从而可以将统计图补充完整；
（2）根据（1）中补全的条形统计图可以得到众数；
（3）根据（1）中补全的扇形统计图可以得到该年级学生中对数学学习“不太喜欢”的人数． 【考点】众数，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD BC ∥，AD BC =，
∴12∠=∠，
∵BF DE =，
∴BF BD DE BD +=+，
即DF BE =，
在ADF △和CBE △中，
12AD BC DF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()ADF CBE SAS △≌△，
∴AFD CEB ∠=∠，
∴AF CE ∥．
【提示】由平行四边形的性质得出AD BC ∥，AD BC =，证出12∠=∠，DF BE =，由SAS 证明
ADF CBE
△≌△，得出对应角相等，再由平行线的判定即可得出结论． 【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质．
20.【答案】99m
【解析】解：由题意可得：90ABC EDC GFH ︒∠=∠=∠=
，
13 / 18
ACB ECD ∠=∠，AFB GHF ∠=∠，
故ABC EDC △∽△，ABF GFH △∽△， 则
AB BC ED DC =，AB BF GF FH
=， 即1.52AB BC =，181.65 2.5
AB BC +=， 解得：99AB =， 答：“望月阁”的高AB 的长度为99 m ．
【提示】根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出ABC EDC △∽△，ABF GFH △∽△，进而利
用相似三角形的性质得出AB 的长
【考点】相似三角形的应用．
21.【答案】（1）()9619202y x x =-+≤≤
（2）4时
【解析】解：（1）设线段AB 所表示的函数关系式为：y kx b =+，
依题意有19220b k b =⎧⎨+=⎩
， 解得96192
k b =-⎧⎨=⎩． 故线段AB 所表示的函数关系式为：()9619202y x x =-+≤≤；
（2）()1237 6.61513.6 1.4+-+=-=（小时）
112 1.480÷=（千米/时）
80801÷=（小时）
314+=（时）
答：他下午4时到家．
【提示】（1）可设线段AB 所表示的函数关系式为：y kx b =+，根据待定系数法列方程组求解即可； （2）先根据=÷速度路程时间求出小明回家的速度，再根据=÷时间路程速度，列出算式计算即可求解．
【考点】一次函数的应用．
22.【答案】（1）∵转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、
“红”字样； ∴一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为15
； （2）画树状图得：
数学试卷
第27页（共36页）
数学试卷 第28页（共36页） ∵共有25种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有2种情况， ∴该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为225
． 【提示】（1）由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”
字样；直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”
后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【考点】列表法与树状图法，概率公式．
23.【答案】证明：（1）∵EF BC ∥，AB BG ⊥，
∴EF AD ⊥，
∵E 是AD 的中点，
∴FA FD =，
∴FAD D ∠=∠，
∵GB AB ⊥，
∴90GAB G D DCB ︒∠+∠=∠+∠=，
∴DCB G ∠=∠，
∵DCB GCF ∠=∠，
∴GCF G ∠=∠，
∴FC FG =.
（2）连接AC ，如图所示：
∵AB BG ⊥，
∴AC 是O 的直径，
∵FD 是O 的切线，切点为C ，
∴DCB CAB ∠=∠，
∵DCB G ∠=∠，
∴CAB G ∠=∠，
∵90CBA GBA ︒∠=∠=，
∴ABC GBA △∽△， ∴AB BC
GB AB =，
∴2AB BC BG =．
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【提示】（1）由平行线的性质得出EF AD ⊥，由线段垂直平分线的性质得出FA FD =，由等腰三角形的性
质得出FAD D ∠=∠，证出DCB G ∠=∠，由对顶角相等得出GCF G ∠=∠，即可得出结论；
（2）连接AC ，由圆周角定理证出AC 是O 的直径，由弦切角定理得出DCB CAB ∠=∠，证出CAB ∠G =∠，
再由90CBA GBA ︒∠=∠=，证明ABC GBA △∽△，得出对应边成比例，即可得出结论．
【考点】相似三角形的判定与性质，垂径定理，切线的性质．
24.【答案】（1）由抛物线过M 、N 两点，
把M 、N 坐标代入抛物线解析式可得539355a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得13a b =⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线解析式为235y x x =-+，
令0y =可得2350x x -+=，
该方程的判别式为()2
3415920110∆=--⨯⨯=-=-＜，
∴抛物线与x 轴没有交点；
（2）∵AOB △是等腰直角三角形，()2,0A -，点B 在y 轴上，
∴B 点坐标为()0,2或()0,2-，
可设平移后的抛物线解析式为2y x mx n =++， ①当抛物线过点()2,0A -，()0,2B 时，代入可得2420n m n =⎧⎨-+=⎩，解得32
m n =⎧⎨=⎩， ∴平移后的抛物线为232y x x =++， ∴该抛物线的顶点坐标为31,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而原抛物线顶点坐标为311,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴将原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移3个单位即可获得符合条件的抛物线；
②当抛物线过()2,0A -，()0,2B -时，代入可得2420n m n =-⎧⎨-+=⎩，解得12m n =⎧⎨=-⎩
， ∴平移后的抛物线为22y x x =+-， ∴该抛物线的顶点坐标为19,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而原抛物线顶点坐标为311,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴将原抛物线先向左平移2个单位，再向下平移5个单位即可获得符合条件的抛物线．
【提示】（1）把M 、N 两点的坐标代入抛物线解析式可求得a 、b 的值，可求得抛物线解析式，再根据一元
二次方程根的判别式，可判断抛物线与x 轴的交点情况；
（2）利用A 点坐标和等腰三角形的性质可求得B 点坐标，设出平移后的抛物线的解析式，把A 、B 的坐标
代入可求得平移后的抛物线的解析式，比较平移前后抛物线的顶点的变化即可得到平移的过程．
【考点】二次函数综合题．
数学试卷 第31页（共36页）
数学试卷 第32页（共36页）
25.【答案】（1）如图1，ADC △即为所求；
（2）存在 （3）能裁得
【解析】（2）理由：作E 关于CD 的对称点E′，
作F 关于BC 的对称点F′，
连接E′F′，交BC 于G ，交CD 于H ，连接FG ，EH ，
则F G FG =’，E H EH =’，则此时四边形EFGH 的周长最小，
由题意得：2BF BF AF ===‘，2DE DE ==‘，90A ︒∠=，
∴6AF =‘，8AE =‘，
∴10E F =‘‘
，EF =，
∴四边形EFGH
的周长的最小值10EF FG GH HE EF E F =+++=+=’’，
∴在边BC 、CD 上分别存在点G 、H ，
使得四边形EFGH 的周长最小，
最小值为10；
（3）能裁得，
理由：∵EF FG ==90A B ︒∠=∠=，1290AFE AFE ︒∠+∠=∠+∠=，
∴12∠=∠，
在AEF △与BGF △中，12A B EF FG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴AEF BGF △≌△，
∴AF BG =，AE BF =，设AF x =，则3AE BF x ==-，
∴(
)2
223x x +-=，解得1x =，2x =（不合题意，舍去），
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∴1AF BG ==，2BF AE ==，
∴4DE =，5CG =，
连接EG ，
作EFG △关于EG 的对称EOG △，
则四边形EFGO 是正方形，90EOG ︒∠=，
以O 为圆心，以EG 为半径作O ，
则45EHG ︒∠=的点在O 上，
连接FO ，并延长交O 于H ′，则H′在EG 的垂直平分线上，
连接EH′GH′，则45EH G ︒∠=’，
此时，四边形EFGH ′是要想裁得符合要求的面积最大的，
∴C 在线段EG 的垂直平分线设，
∴点F ，O ，H ′，C 在一条直线上，
∵EG =
∴OF EG ==
∵CF =
∴OC =
∵OH OE FG ===’
∴OH OC ＜’，
∴点H ′在矩形ABCD 的内部，
∴可以在矩形ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，
这个部件的面积
11522EG FH ==⨯
=+’， ∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH ′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为25m ⎛+ ⎝⎭
．
【提示】（1）作B 关于AC 的对称点D ，连接AD ，CD ，ACD △即为所求；
（2）作E 关于CD 的对称点E ′，作F 关于BC 的对称点F ′，连接E ′F ′，得到此时四边形EFGH 的周长最小，
根据轴对称的性质得到2BF BF AF ===‘，2DE DE =
=‘，90A ︒∠=，于是得到6AF =‘，8AE =‘，求
数学试卷 第35页（共36页） 数学试卷 第36页（共36页） 出10E F =‘‘
，EF =即可得到结论；
（3）根据余角的性质得到12∠=∠，推出AEF BGF △≌△，根据全等三角形的性质得到AF BG =，AE BF =，
设AF x =，则3AE BF x ==-根据勾股定理列方程得到1AF BG ==，2BF AE ==，作EFG △关于EG 的对称EOG △，则四边形EFGO 是正方形，90EOG ︒∠=，以O 为圆心，以EG 为半径作O ，则
45EHG ︒∠=的点在O 上，
连接FO ，并延长交O 于H ′，则H ′在EG 的垂直平分线上，连接EH ′GH ′，则45EH G ︒∠=’，于是得到四边形EFGH ′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．
【考点】四边形综合题．。