最优控制 现代控制理论 教学PPT课件

第7章第3页
7.1.1宇宙飞船登月软着陆的实例
实例1：宇宙飞船若实现在月球表面实现软着陆，即登月舱到达月球表面时的速度为
零，要寻求登月舱发动机推力的最优变化率，使燃料消耗最少，以便在完成登月考察 任务后，登月舱有足够燃料离开月球与母舱会合，从而返回地球。
m(t) h(t) v(t)
u(t) g
M F h0 v0
如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
2021年4月30日
0
第7章第15页
求证 如果泛函的变分存在，则
J ( x, x) J ( x x)
0
证明 根据泛函变分的定义
J J (x0 x) J (x0 ) L(x0, x) r(x0, x)
由于 L( x0, x) 时关于 x 的连续线性泛函，故
J (C1x1(t) C2 x2 (t)) C1J ( x1(t)) C2J ( x2 (t)) ，且其增量可以表示为
J J ( x(t) x(t)) J ( x(t)) L( x(t), x(t)) r( x(t), x(t))
2021年4月30日
第7章第14页
其中，第一项是 x(t) 的连续线性泛函，第二项是关于 x(t) 的高阶无穷小，则称上式第
变分 x 表示U 中点 x(t) 与 x0 (t) 之间的差。由于 x 存在，必然引起泛函数值的变化，
并以 J (x x) 表示。其中 为参变数，其值 0 1。当 1时，得增加后的泛函值
J ( x x) ；当 0 时，得泛函原来的值 J (x) 。
若 泛 函 J ( x(t)) 对 于 任 何 常 数 C1 ， C2 及 任 何 x1(t) U ， x2 (t) U ， 都 有
端时刻自由时的各种横截条件，以及初始时刻自由时的横截条件。在这里把初始状态称为
起点，末端状态称为终点。
1 末端时刻固定时的横截条件
当末端时刻固定时，由泛函极值的必要条件可知，横截条件的一般表达式为
Fx
x
T t0
Fx
tT x(T ) Fx
tt0 x(t0 ) 0
只要不是起点和终点均固定的问题，宗量变分 x(t f ) 和 x(t0 ) 不可能同时为零，使泛函
（2）动态系统的初态和终态（末态）即状态方程的边界条件。一 个动态过程，归根到底是状态空间从一个状态转移到另一个状态。 （3）目标函数（又称性能指标或性能泛函或目标泛函等）。目标 函数是一个衡量“控制作用”效果的性能指标。为了实现动态过 程中状态从初态转移到终态，可以通过不同的控制来完成，而各 种控制效果的好坏，可通过能否达到所规定的目标函数来判别。 对于最优化问题的目标函数，其内容与形式主要取决于具体最优 化问题所要解决的主要矛盾。
可以利用该结论计算泛函的变分。
2021年4月30日
第7章第17页
T
例 7.2.1 求泛函 J t0 F(x, x,t)dt 的变分 J 。其中 t0 ，T ， x(t0 ) ， x(T ) 固定。
解 根据泛函变分的定义
J T (F (x x, x x,t))dt
t0
T
t0 (Fx x Fx x) dt
本节在简要地介绍泛函及变分学的概念和原理的基础上，着重阐 述无约束条件的最优控制变分求解和有等式约束条件的最优控制 变分求解方法。
2021年4月30日
第7章第10页
7.2.1 泛函与变分法的基本概念
给定函数空间U ，若对于任何函数 x(t) U ，总有一个确定的值 J ( x(t)) 与之对应，
则称 J ( x(t)) 是函数 x(t) 的泛函，记作 J J ( x(t)) 。这里 x(t) 通常被称作宗量。
分别为 A( x1, y1) 和 B( x2, y2 ) ，设两点间曲线长度为 J l ，取单元弧长为 dl ，则有
dl (dx)2 (dy)2
单元弧长变化率
dl 1 y2 dx 因而 A 、 B 两点间曲线长度
J y(x) l x2 1 y2dx x1
其值取决于函数 y(x) 的选取。
1
tdt
0
1 2
t2
1 0
1 2
J (x)
1
sin tdt
( cos t) 1
1 cos1
0
0
在这里需要注意的是，不定积分 J (x) x(t)dt 并不是一个泛函，因为无论函数 x(t)
如何选取， J (x(t)) 没有一个确定的值。
2021年4月30日
第7章第12页
又如平面上给定两点之间的曲线长度是一个泛函。设 ( x, y) 平面上有 A 、B 两点，其坐标
一次变分 J 0 ，则必有 Fx tT 0 或 Fx tt0 0 。
• 早在20世纪50年代初期，随着计算机技术的飞速发展和空间技术的迫切需求，推动人们 研究更为复杂的控制系统，并建立了以状态空间法为基础的最优控制理论。通过研究发 现，最优控制问题的本质是求解泛函极值问题，属于变分学的理论范畴。
• 经典的变分理论只能解决容许的控制律属于开集的一类最优控制问题。在开辟求解最优 控制问题新途径的工作中，原苏联学者庞特里亚金（Л·С·Понтрягин）的“最小值原理” 和美国学者贝尔曼（R. E. Bellman）的“动态规划”占有重要地位，成为解决最优控制 中控制律有闭集约束问题的有效工具。
T
J t0 (Fx x Fx x)dt
2021年4月30日
第7章第20页
•7.2.2 泛函极值
利用分部积分公式，上式中的第二项为
T t0
Fx
xdt
Fx
x
T t0
T t0
d dt
Fx
xdt
于是
J
T t0
(Fx
d dt
Fx
)
xdt
Fx
x
T t0
由于 x 是任意的，又由泛函取极值的必要条件是 J 0 ，故上式为零等价于
2021年4月30日
第7章第7页
（4）容许控制的集合。每一个实际的控制问题，控制向量u(t)都有 一个规定的取值范围，这个取值范围对应于m维控制空间Rm中的一 个集合Ω，而u(t)的每一个取值对应于集合Ω中的一个元素。凡属于 集合Ω的控制称为容许控制。如果容许控制受到限制，如 u(t) U，m则 称容许控制属于某一闭集；如果容许控制向量u(t)的取值不受限制， 则容许控制属于某一开集。容许控制属于闭集和开集的两类问题， 在处理方法上有较大差别。
泛函可以理解为“函数的函数”，其值由函数的选取而定，这一点与“复合函数 ”的概念有本质差异。
2021年4月30日
第7章第11页
例如，函数的定积分是一个泛函。设
1
J (x) 0 x(t)dt
则 J (x) 的值由函数 x(t) 而定。当 x(t) t 时
当 x(t) sin t 时
J (x)
最优控制问题的一般提法为：已知被控系统的状态方程及给定的初始状 态，规定一个目标集，求一容许控制，使得被控系统在初始时刻由初始状 态出发，在终止时刻转移到目标集，并使性能指标满足要求。
2021年4月30日
第7章第8页
7.2变分法在最优控制中的应用
2021年4月30日
第7章第9页
变分法是求解泛函极值的一种经典方法，可以确定容许控制为开 集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。
J ( x) J ( x) J ( x0 ) 0 则称泛函 J (x) 在 x x0 处达到极小值；
若
J ( x) J ( x) J ( x0 ) 0
则称泛函 J (x) 在 x x0 处达到极大值。
2021年4月30日
第7章第19页
•7.2.2 泛函极值
对于无约束泛函
T
J F(x, x,t)dt t0
• 根据控制变量的取值范围有无限制，可将最优控制问题分为无约束最优控制和有约 束最优控制。
• 本章主要介绍求解无约束最优控制问题的变分法和有约束最优控制问题的最小值原 理、动态规划、线性二次型最优控制和应用MATLAB求解最优控制问题等内容。
2021年4月30日
第7章第2页
7.1基本概念
2021年4月30日
在 x x0 (t) 处的变分 J xx0 0 。
2021年4月30日
第7章第18页
•7.2.2 泛函极值
设 J (x) 是线性赋范空间 Rn 中某个子集 D 上的连续线性泛函，点 x0 D ，若存在某 一正数 ，使集合
U (x0, ) x x x0 , x Rn
在 x U ( x0, ) D 时，均有
J m(t f )
2021年4月30日
第7章第6页
7.1.2 最优化问题的数学描述
从上述实例可以看出，最优控制理论通常是将控制问题严格地
抽象为数学模型后再求解的。 最优化问题的数学描述，应包括以下四个方面的内容：
（1）受控动态系统的数学模型，即受控系统动力学特性的系统状 态方程，它反映了动态系统在运动过程中所应遵循的客观规律，是 描述被控系统各状态变量之间关系的一组等式。
最优控制问题中的目标函数，由于其值取决于控制 u(t) 和状态 x(t) 的选取，必定是
一个泛函，故又称为性能泛函。
2021年4月30日
第7章第13页
为了定义泛函的变分，应先研究宗量的变分。设 J ( x(t)) 为连续泛函， x(t) U 为宗量，
其变分表达式为
x x(t) x0 (t), x(t), x0 (t) U
h0 v0
m(0) M F
2021年4月30日
式中k为常数。
第7章第5页
末端条件
h(t f ) 0 v(t f ) 0
式中， t f 为登月舱发动机工作的末端时刻。
控制约束条件为
0 u(t) umax 式中，umax 为登月舱发动机最大推力。
性能指标取为表征燃料能耗量的登月舱着陆时的质量，即
飞船登月舱质量 高度 垂直速度 发动机推力 月球重力加速度为常数 飞船登月舱不含燃料时的质量 登月舱所载燃料质量 登月舱登月时的初始高度 初始垂直速度
2021年4月30日
第7章第4页
登月舱的运动方程
h(t) v(t)
v(t)
u(t) m(t)
g
m(t) ku(t)
初始条件为
h(0) v(0)
第7章 最优控制
7.1 基本概念 7.2 变分法在最优控制中的应用 7.3 极小值原理 7.4 动态规划 7.5 线性二次型最优控制 7.6 实用最优控制系统
本章小结
2021年4控制理论的重要组成部分，所要解决的主要问题是如何在给 定条件下，确定一种合理的控制规律，使被控对象在预先规定意义上的性能指 标具有最优值。
一项为泛函的变分，记作
J L(x(t), x)
如同函数的微分函数增量的线性主部一样，泛函的变分就是泛函增量的主部。泛函的变分 同样可以利用求导的方法来确定。
如果泛函 J ( x(t)) 满足
J x1(t) x2(t) J x1(t) J x2(t)
以及
J x(t) J x(t)
则称该泛函为线性泛函，式中 为任意常数。
已知 F(x, x,t) 及 x(t) 在[t0,T ] 上连续可微， t0 及T 固定，且 x(t0 ) x0 ， x(t f ) x f ，
x(t) Rn ，上式取极值的必要条件是轨线 x(t) 满足下列欧拉方程：
Fx
d dt
Fx
0
证明
由泛函变分的定义可知，泛函变分是泛函增量的线性主部，故
Fx
以及
d dt
Fx
0
“欧拉方程”或“欧拉－拉格朗日方程”
Fx
x
T t0
Fx
t T
x(T ) Fx
t t0
x(t0 ) 0
横截条件
2021年4月30日
第7章第21页
•7.2.3 横截条件
求解欧拉方程，需要由横截条件提供两点边界值。在工程实际问题中，存在着初始时
刻和初始状态、末端时刻和末端状态固定或自由的多种情况。本节讨论末端时刻固定和末
L( x0, x) L( x0, x)
又因 r( x0 , x) 是关于 x 的高阶无穷小，故
lim r( x0, x) 0
0
2021年4月30日
第7章第16页
于是
J ( x0, x)
0
lim
0
J ( x0
x)
J (x0 )
lim
0
1
L(
x0
,
x)
r
(
x0
,
x)
J (x0, x)
Fx
x
T t0
T t0
d dt
Fx
xdt
T
t0 Fx xdt
由于 t0 ， T ， x(t0 ) ， x(T ) 是固定的，故上式中的第一项为零，从而有
J
T t0
( Fx
d dt
Fx
)
xdt
若泛函 J (x(t)) 在 x x0 (t) 处的变分存在，且在点 x x0 (t) 处达到极值，则泛函 J (x(t))