2010-2020南京中考汇编(二)压轴题

2010-2020南京中考汇编（二）压轴题
一．反比例函数的性质（共1小题）
1．（2011•南京）【问题情境】
已知矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？
【数学模型】
设该矩形的长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为y＝2（x+）（x＞0）．
【探索研究】
（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y＝x+（x＞0）的图象和性质．
①填写下表，画出函数的图象；
x…1234…
y……
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通
过配方得到．请你通过配方求函数y＝x+（x＞0）的最小值．
【解决问题】
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
二．二次函数图象与几何变换（共1小题）
2．（2016•南京）如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，
云中默·默学森
得到函数y ＝2x 的图象；也可以把函数y ＝x 的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y ＝2x 的图象． 类似地，我们可以认识其他函数．
（1）把函数y ＝的图象上各点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变，得到函数y
＝的图象；也可以把函数y ＝的图象上各点的横坐标变为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y ＝的图象．
（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数y ＝x 2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 的图象； （Ⅱ）为了得到函数y ＝﹣（x ﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y ＝﹣x 2的图象上所有的点 ．
A ．①→⑤→③
B ．①→⑥→③
C ．①→②→⑥
D ．①→③→⑥ （3）函数y ＝的图象可以经过怎样的变化得到函数y ＝﹣的图象？（写出一种即
可）
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2015•南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD 、线段CD 分别表示该产品每千克生产成本y 1（单位：元）、销售价y 2（单位：元）与产量x （单位：kg ）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D 的横坐标、纵坐标的实际意义； （2）求线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
四．二次函数综合题（共1小题）
4．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则
点B的坐标是．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
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五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2014•南京）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等
的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应
相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝
∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
云
中
默
·
默
学
森【深入探究】
第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．
（1）如图①，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E＝90°，根据，
可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．
第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．
（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是钝
角，求证：△ABC≌△DEF．
第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．
（3）在△ABC和△DEF，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你
用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
（4）∠B还要满足什么条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和
△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC
≌△DEF．
六．勾股定理（共1小题）
6．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB ＝°；
②若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB
是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线P A、PB分别交⊙O2于M、N（点
M与点A、点
N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
七．正方形的性质（共1小题）
7．（2010•南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC 于点G，连接EG、FG．
（1）设AE＝x时，△EGF的面积为y
，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．
八．四边形综合题（共1小题）
8．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A、B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A关于l的对称点A'，线段A'B与直线l的交点C的位置即为所求，
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即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．
为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线l 上另外任取一点C '，连接AC '、BC '，证明AC +CB ＜AC ′+C 'B ．请完成这个证明．
（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
九．圆的综合题（共1小题） 9．（2018•南京）结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt △ABC 的内切圆与斜边AB 相切于点D ，AD ＝3，BD ＝4，求△ABC 的面积．
解：设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x ． 根据切线长定理，得AE ＝AD ＝3，BF ＝BD ＝4，CF ＝CE ＝x ． 根据勾股定理，得（x +3）2+（x +4）2＝（3+4）2． 整理，得x 2+7x ＝12． 所以S △ABC ＝AC •BC ＝（x +3）（x +4） ＝（x 2+7x +12）
＝×（12+12）
＝12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？
请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n．
可以一般化吗？
（1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn．
倒过来思考呢？
（2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°．
改变一下条件……
（3）若∠C＝60°，用m、n表示△ABC的面积．
一十．几何变换综合题（共1小题）
10．（2017•南京）折纸的思考．
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB、PC，得到△PBC．
（1）说明△PBC是等边三角形．
【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC．他发现，在矩形ABCD 中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过
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程．
（3）已知矩形一边长为3cm ，另一边长为acm ，对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围． 【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为
cm ．
一十一．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2011•南京）如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． （1）如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ．试说明E 是△ABC 的自相似点； （2）在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ．
①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点
P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
一十二．相似形综合题（共1小题）
12．（2013•南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC ∽△A ′B ′C ′，且沿周界ABCA 与A ′B ′C ′A ′环绕的方向相同，因此△ACB 和△A ′B ′C ′互为顺相似；如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，且沿周界ABCA 与A ′B ′C ′A ′环绕的方向相反，因此△ACB 和△A ′B ′C ′
互为逆相似．
（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；
②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是
；互为逆相
似的是．（填写所有符合要求的序号）．
（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．
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2010-2020南京中考汇编（二）压轴题
参考答案与试题解析
一．反比例函数的性质（共1小题） 1．（2011•南京）【问题情境】
已知矩形的面积为a （a 为常数，a ＞0），当该矩形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？ 【数学模型】
设该矩形的长为x ，周长为y ，则y 与x 的函数关系式为y ＝2（x +）（x ＞0）． 【探索研究】
（1）我们可以借鉴以前研究函数的经验，先探索函数y ＝x +（x ＞0）的图象和性质． ①填写下表，画出函数的图象； x … 1 2 3 4 … y …
…
②观察图象，写出该函数两条不同类型的性质；
③在求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到．请你通过配方求函数y ＝x +（x ＞0）的最小值．
【解决问题】
（2）用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．
【考点】完全平方公式；配方法的应用；一次函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的最值．
【专题】计算题；压轴题．
【解答】解：（1）①故答案为：，，，2，，，．
函数y＝x +的图象如图：
②答：函数两条不同类型的性质是：当0＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＞1时，
y随x的增大而增大；当x＝1时，函数y＝x +（x＞0）的最小值是2．
③y＝x +＝＝+2＝+2，
∵x＞0，所以≥0，
所以当x＝1时，的最小值为0，
∴函数y＝x +（x＞0）的最小值是2．
（2）答：矩形的面积为a（a为常数，a＞0），当该矩形的长为时，它的周长最小，最小值是4．
二．二次函数图象与几何变换（共1小题）
2．（2016•南京）如图，把函数y＝x的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝2x的图象；也可以把函数y＝x 的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝2x的图象．
类似地，我们可以认识其他函数．
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（1）把函数y ＝的图象上各点的纵坐标变为原来的 6 倍，横坐标不变，得到函数y ＝的图象；也可以把函数y ＝的图象上各点的横坐标变为原来的 6 倍，纵坐标不变，得到函数y ＝的图象．
（2）已知下列变化：①向下平移2个单位长度；②向右平移1个单位长度；③向右平移个单位长度；④纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变；⑤横坐标变为原来的倍，纵坐标不变；⑥横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．
（Ⅰ）函数y ＝x 2的图象上所有的点经过④→②→①，得到函数 y ＝4（x ﹣1）2
﹣2 的
图象；
（Ⅱ）为了得到函数y ＝﹣（x ﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y ＝﹣x 2的图象上所有的点 D ．
A ．①→⑤→③
B ．①→⑥→③
C ．①→②→⑥
D ．①→③→⑥ （3）函数y ＝的图象可以经过怎样的变化得到函数y ＝﹣的图象？（写出一种即
可）
【考点】一次函数图象与几何变换；反比例函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【解答】解：（1）把函数y ＝的图象上各点的纵坐标变为原来的6倍，横坐标不变， 设y ′＝6y ，x ′＝x ，将y ＝，x ＝x ′代入xy ＝1可得y ′＝，得到函数y ＝的
图象；
也可以把函数y ＝的图象上各点的横坐标变为原来的6倍，纵坐标不变， 设y ′＝y ，x ′＝6x ，将y ＝y ′，x ＝代入xy ＝1可得y ′＝，得到函数y ＝的
图象；
（2）（Ⅰ）函数y＝x2的图象上所有的点经过“纵坐标变为原来的4倍，横坐标不变”的变化后，得到y＝4x2的图象；y＝4x2的图象经过“向右平移1个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2的图象；y＝4（x﹣1）2的图象经过“向下平移2个单位长度”的变化后，得到y＝4（x﹣1）2﹣2的图象．
（Ⅱ）为了得到函数y ＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象，可以把函数y＝﹣x2的图象上所有的点先向下平移2个单位长度，得到y＝﹣x2﹣2的图象，再把y＝﹣x2﹣2的图象向右平移个单位长度，得到y＝﹣（x ﹣）2﹣2的图象；最后把y＝﹣（x ﹣）2﹣2的图象的横坐标变为原来的2倍，得到y ＝﹣（x ﹣）2﹣2的图象，即y ＝﹣（x﹣1）2﹣2的图象．
（3）∵y ＝﹣＝＝﹣1，
∴函数y ＝的图象先将纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到y ＝；再向左平移2个单位，向下平移1个单位即可得到函数y ＝﹣的图象．
故答案为：（1）6，6；（2）（Ⅰ）y＝4（x﹣1）2﹣2；（Ⅱ）D．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2015•南京）某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等，如图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系．
（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
（2）求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
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【专题】压轴题．
【解答】解：（1）点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；
（2）设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝k 1x +b 1， ∵y 1＝k 1x +b 1的图象过点（0，60）与（90，42）， ∴
∴，
∴这个一次函数的表达式为；y 1＝﹣0.2x +60（0≤x ≤90）；
（3）设y 2与x 之间的函数关系式为y ＝k 2x +b 2， ∵经过点（0，120）与（130，42）， ∴
，
解得：，
∴这个一次函数的表达式为y 2＝﹣0.6x +120（0≤x ≤130）， 设产量为xkg 时，获得的利润为W 元，
当0≤x ≤90时，W ＝x [（﹣0.6x +120）﹣（﹣0.2x +60）]＝﹣0.4（x ﹣75）2+2250， ∴当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2250；
当90≤x ≤130时，W ＝x [（﹣0.6x +120）﹣42]＝﹣0.6（x ﹣65）2+2535，
由﹣0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，∴90≤x ≤130时，W ≤2160， ∴当x ＝90时，W ＝﹣0.6（90﹣65）2+2535＝2160，
因此当该产品产量为75kg 时，获得的利润最大，最大值为2250． 四．二次函数综合题（共1小题） 4．（2019•南京）【概念认识】
城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy ，对两
点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．
【数学理解】
（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝3．
②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是（1，2）．
（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d （O，C）＝3．
（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．
【问题解决】
（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；新定义；二次函数图象及其性质．
【解答】解：（1）①由题意得：d （O，A）＝|0+2|+|0﹣1|＝2+1＝3；
②设B（x，y），由定义两点间的距离可得：|0﹣x|+|0﹣y|＝3，
∵0≤x≤2，
∴x+y＝3，
∴，
解得：，
∴B（1，2），
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故答案为：3，（1，2）； （2）假设函数的图象上存在点C （x ，y ）使d （O ，C ）＝3，
根据题意，得，
∵x ＞0， ∴，，
∴
，
∴x 2+4＝3x ， ∴x 2﹣3x +4＝0， ∴△＝b 2﹣4ac ＝﹣7＜0， ∴方程x 2﹣3x +4＝0没有实数根，
∴该函数的图象上不存在点C ，使d （O ，C ）＝3． （3）设D （x ，y ），
根据题意得，d （O ，D ）＝|x ﹣0|+|x 2﹣5x +7﹣0|＝|x |+|x 2﹣5x +7|， ∵，
又x ≥0，
∴d （O ，D ）＝|x |+|x 2﹣5x +7|＝x +x 2﹣5x +7＝x 2﹣4x +7＝（x ﹣2）2+3， ∴当x ＝2时，d （O ，D ）有最小值3，此时点D 的坐标是（2，1）．
（4）如图，以M 为原点，MN 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，将函数y ＝﹣x 的图象沿y 轴正方向平移，直到与景观湖边界所在曲线有交点时停止，
设交点为E ，过点E 作EH ⊥MN ，垂足为H ，修建方案是：先沿MN 方向修建到H 处，再沿HE 方向修建到E 处．
理由：设过点E 的直线l 1与x 轴相交于点F ．在景观湖边界所在曲线上任取一点P ，过
点P作直线l2∥l1，l2与x轴相交于点G ．
∵∠EFH＝45°，
∴EH＝HF，d（O，E）＝OH+EH＝OF，
同理d（O，P）＝OG，
∵OG≥OF，
∴d（O，P）≥d（O，E），
∴上述方案修建的道路最短．
五．全等三角形的判定与性质（共1小题）
5．（2014•南京）【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
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【深入探究】
第一种情况：当∠B 是直角时，△ABC ≌△DEF ．
（1）如图①，在△ABC 和△DEF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ＝90°，根据 HL ，可以知道Rt △ABC ≌Rt △DEF ．
第二种情况：当∠B 是钝角时，△ABC ≌△DEF ．
（2）如图②，在△ABC 和△DEF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角，求证：△ABC ≌△DEF ．
第三种情况：当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等．
（3）在△ABC 和△DEF ，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF ，使△DEF 和△ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹） （4）∠B 还要满足什么条件，就可以使△ABC ≌△DEF ？请直接写出结论：在△ABC 和△DEF 中，AC ＝DF ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，若 ∠B ≥∠A 或∠B +∠C ＝90° ，则△ABC ≌△DEF ．
【考点】全等三角形的判定与性质；作图—应用与设计作图．
【专题】压轴题；探究型． 【解答】（1）解：HL ；
（2）证明：如图，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作FH ⊥DE 交DE 的延长线于H ，
∵∠ABC ＝∠DEF ，且∠ABC 、∠DEF 都是钝角， ∴180°﹣∠ABC ＝180°﹣∠DEF ，
即∠CBG＝∠FEH，
在△CBG和△FEH中，
，
∴△CBG≌△FEH（AAS），
∴CG＝FH，
在Rt△ACG和Rt△DFH中，
，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），
∴∠A＝∠D，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）；
（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；
（4）解：若∠B≥∠A或∠B+∠C＝90°，则△ABC≌△DEF．
故答案为：（1）HL；（4）∠B≥∠A或∠B+∠C＝90°．
六．勾股定理（共1小题）
6．（2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、
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我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角． （1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角， ①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB ＝ 90 °； ②若⊙O 的半径是1，AB ＝
，求∠APB 的度数；
（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB 是⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线P A 、PB 分别交⊙O 2于M 、N （点M 与点
A 、点N 与点
B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．
【考点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；点与圆的位置关系；圆与圆的位置关系．
【专题】几何综合题；压轴题．
【解答】解：（1）①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB ＝90． ②如图，连接AB 、OA 、OB ． 在△AOB 中， ∵OA ＝OB ＝1．AB ＝，
∴OA 2+OB 2＝AB 2． ∴∠AOB ＝90°． 当点P 在优弧上时，∠APB ＝∠AOB ＝45°；
当点P 在劣弧上时，∠AP ′B ＝（360°﹣∠AOB ）＝135°
（2）根据点P 在⊙O 1上的位置分为以下四种情况．
第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①
∵∠MAN＝∠APB+∠ANB，
∴∠APB＝∠MAN﹣∠ANB；
第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．
∵∠MAN＝∠APB+∠ANP＝∠APB+（180°﹣∠ANB），
∴∠APB＝∠MAN+∠ANB﹣180°；
第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．
∵∠APB+∠ANB+∠MAN＝180°，
∴∠APB＝180°﹣∠MAN﹣∠ANB，
第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，
∠APB＝∠MAN+∠ANB．
七．正方形的性质（共1小题）
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7．（2010•南京）如图，正方形ABCD 的边长是2，M 是AD 的中点，点E 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止，连接EM 并延长交射线CD 于点F ，过M 作EF 的垂线交射线BC 于点G ，连接EG 、FG ．
（1）设AE ＝x 时，△EGF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（2）P 是MG 的中点，请直接写出点P 的运动路线的长．
【考点】根据实际问题列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
【专题】压轴题．
【解答】解：（1）当点E 与点A 重合时，x ＝0，y ＝×2×2＝2 当点E 与点A 不重合时，0＜x ≤2 在正方形ABCD 中，∠A ＝∠ADC ＝90° ∴∠MDF ＝90°，∴∠A ＝∠MDF 在△AME 和△DMF 中
，
∴△AME ≌△DMF （ASA ） ∴ME ＝MF
在Rt △AME 中，AE ＝x ，AM ＝1，ME ＝
∴EF ＝2ME ＝2
过M 作MN ⊥BC ，垂足为N （如图）
则∠MNG ＝90°，∠AMN ＝90°，MN ＝AB ＝AD ＝2AM ∴∠AME +∠EMN ＝90°
∵∠EMG＝90°
∴∠GMN+∠EMN＝90°
∴∠AME＝∠GMN
∴Rt△AME∽Rt△NMG
∴＝，即＝
∴MG＝2ME＝2
∴y ＝EF×MG ＝×2×2＝2x2+2∴y＝2x2+2，其中0≤x≤2；
（2）如图，PP′即为P点运动的距离；
在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；
∴∠MBG＝∠G′MG＝90°﹣∠BMG；
∴tan∠MBG ＝＝2，
∴tan∠GMG′＝tan∠MBG ＝＝2；
∴GG′＝2MG＝4；
△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，∴PP′是△MGG′的中位线；
∴PP ′＝GG′＝2；
即：点P运动路线的长为2．
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八．四边形综合题（共1小题）
8．（2020•南京）如图①，要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A 、B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．
（1）如图②，作出点A 关于l 的对称点A '，线段A 'B 与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C 处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．
为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线l 上另外任取一点C '，连接AC '、BC '，证明AC +CB ＜AC ′+C 'B ．请完成这个证明．
（2）如果在A 、B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域．请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）． ①生态保护区是正方形区域，位置如图③所示； ②生态保护区是圆形区域，位置如图④所示．
【考点】四边形综合题．
【专题】矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；推理能力． 【解答】证明：（1）如图②，连接A 'C '， ∵点A ，点A '关于l 对称，点C 在l 上，
∴CA＝CA'，
∴AC+BC＝A'C+BC＝A'B，
同理可得AC'+C'B＝A'C'+BC'，
∵A'B＜A'C'+C'B，
∴AC+BC＜AC'+C'B；
（2）如图③，
在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD+DB；（其中点D是正方形的顶点）；
如图④，
在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是AC+CD ++EB，（其中CD，BE都与圆相切）
九．圆的综合题（共1小题）
9．（2018•南京）结果如此巧合!
下面是小颖对一道题目的解答．
题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积．
解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x．
根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x．
根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2．
整理，得x2+7x＝12．
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所以S △ABC ＝AC •BC ＝（x +3）（x +4） ＝（x 2+7x +12） ＝×（12+12） ＝12．
小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC 的面积等于AD 与BD 的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索．
已知：△ABC 的内切圆与AB 相切于点D ，AD ＝m ，BD ＝n ． 可以一般化吗？
（1）若∠C ＝90°，求证：△ABC 的面积等于mn ． 倒过来思考呢？
（2）若AC •BC ＝2mn ，求证∠C ＝90°． 改变一下条件……
（3）若∠C ＝60°，用m 、n 表示△ABC 的面积．
【考点】圆的综合题．
【专题】综合题；与圆有关的位置关系．
【解答】解：设△ABC 的内切圆分别与AC 、BC 相切于点E 、F ，CE 的长为x ， 根据切线长定理，得：AE ＝AD ＝m 、BF ＝BD ＝n 、CF ＝CE ＝x ， （1）如图1，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得：（x+m）2+（x+n）2＝（m+n）2，整理，得：x2+（m+n）x＝mn，
所以S△ABC ＝AC•BC
＝（x+m）（x+n）
＝[x2+（m+n）x+mn]
＝（mn+mn）
＝mn，
（2）由AC•BC＝2mn，得：（x+m）（x+n）＝2mn，
整理，得：x2+（m+n）x＝mn，
∴AC2+BC2＝（x+m）2+（x+n）2
＝2[x2+（m+n）x]+m2+n2
＝2mn+m2+n2
＝（m+n）2
＝AB2，
根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°；
（3）如图2，过点A作AG⊥BC于点G，
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在Rt △ACG 中，AG ＝AC •sin60°＝
（x +m ），CG ＝AC •cos60°＝（x +m ），
∴BG ＝BC ﹣CG ＝（x +n ）﹣（x +m ）， 在Rt △ABG 中，根据勾股定理可得：[
（x +m ）]2+[（x +n ）﹣（x +m ）]2＝（m +n ）
2
，
整理，得：x 2+（m +n ）x ＝3mn ， ∴S △ABC ＝BC •AG ＝×（x +n ）•（x +m ）
＝[x 2+（m +n ）x +mn ] ＝×（3mn +mn ） ＝
mn ．
一十．几何变换综合题（共1小题） 10．（2017•南京）折纸的思考． 【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形．
第一步，对折矩形纸片ABCD （AB ＞BC ）（图①），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）．
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB 、PC ，得到△PBC ． （1）说明△PBC 是等边三角形． 【数学思考】
（2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC ．他发现，在矩形ABCD
中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程．
（3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为acm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围．【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为
cm．
【解答】（1）证明：由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB＝PC，PB＝CB，
∴PB＝PC＝CB，
∴△PBC是等边三角形．
（2）解：以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1；
再以点B为位似中心，将△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2；如图⑤所示；
（3）解：本题答案不唯
一，举例如图6所示，
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（4）解：如图7所示：
△CEF 是直角三角形，∠CEF ＝90°，CE ＝4，EF ＝1， ∴∠AEF +∠CED ＝90°， ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠D ＝90°，AD ＝CD ， ∴∠DCE +∠CED ＝90°， ∴∠AEF ＝∠DCE ， ∴△AEF ∽△DCE ， ∴
＝，
设AE ＝x ，则AD ＝CD ＝4x ， ∴DE ＝AD ﹣AE ＝3x ，
在Rt △CDE 中，由勾股定理得：（3x ）2+（4x ）2＝42， 解得：x ＝， ∴AD ＝4×＝．
故答案为：
．
一十一．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2011•南京）如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点．
（1）如图②，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＞∠A，CD是AB上的中线，过点B作BE⊥CD，垂足为E．试说明E是△ABC的自相似点；
（2）在△ABC中，∠A＜∠B＜∠C．
①如图③，利用尺规作出△ABC的自相似点P（写出作法并保留作图痕迹）；
②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形的内切圆与内心；作图—复杂作图；相似三角形的判定与性质．
【专题】作图题；几何综合题；压轴题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB上的中线，
∴CD ＝AB，
∴CD＝BD，
∴∠BCE＝∠ABC，
∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°，
∴∠BEC＝∠ACB，
∴△BCE∽△ABC，
∴E是△ABC的自相似点；
（2）①如图所示，
作法：①在∠ABC内，作∠CBD＝∠A，
②在∠ACB内，作∠BCE＝∠ABC，BD交CE于点P，
则P为△ABC的自相似点；
②∵P是△ABC的内心，∴∠PBC ＝∠ABC，∠PCB ＝∠ACB，
∵△ABC的内心P是该三角形的自相似点，
∴∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC＝2∠PBC＝2∠A，∠ACB＝2∠BCP＝4∠A，
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∴∠A +2∠A +4∠A ＝180°， ∴∠A ＝
，
∴该三角形三个内角度数为：
，
，
．
一十二．相似形综合题（共1小题）
12．（2013•南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC ∽△A ′B ′C ′，且沿周界ABCA 与A ′B ′C ′A ′环绕的方向相同，因此△ACB 和△A ′B ′C ′互为顺相似；如图②，△ABC ∽△A ′B ′C ′，且沿周界ABCA 与A ′B ′C ′A ′环绕的方向相反，因此△ACB 和△A ′B ′C ′互为逆相似．
（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE 与△ABC ；②△GHO 与△KFO ；③△NQP 与△NMQ ；其中，互为顺相似的是 ①② ；互为逆相似的是 ③ ．（填写所有符合要求的序号）．。