自动控制原理(胡寿松) 第三章

C(s)Ts11R(s)Ts11s13 s13sT2Ts2sT12/T
c(t)1t2 T t T 2(1 e tT) 2
t 0
当 时 间 t→∞ 时 ， 系 统 输
出信号与输入信号之差
将趋于无穷大。说明对
于一阶系统是不能跟踪
单位抛物线函数输入信
号的。
第二十一页，共108页。
21
4. 单位脉冲响应
1 1 1T T
C(s)Ts1R(s)Ts1s2
s2
s s1/T
c (t) (t T ) T e tT t 0
1t
e ss tl i [tm c(t) ]tl i [tm (t T T eT)] T
第二十页，共108页。
20
3. 单位抛物线响应
单 位 抛 物 线 信 号 R(s)1 s3
理想脉冲函数的拉普拉斯变换为
L[(t)] 1
第七页，共108页。
7
5. 正弦函数
r(t)Asint
正弦函数的拉普拉斯变换为
L[Asint]s2A 2
第八页，共108页。
8
3.1.2 动态过程与稳态过程
1. 动态过程：又称为过渡过程或瞬态过程，是指系统在典型输入信 号作用下，系统输出量从初始状态到接近最终状态的响应过程。 动态过程表现为衰减、发散或等幅振荡形式。一个实际运行的 控制系统，其动态过程必须是衰减的，换句话说，系统必须是 稳定的。动态过程的其他信息用动态性能描述。
① 微分方程：
d2c(t)2
d2t
ndd (tc )tn 2c(t)n 2r(t)
② 传递函数：
(s)C R((ss))s22n 2 nsn 2
ξ称为阻尼比(相对阻尼系数)，ωn为无阻尼自振角频率(固有频率)，它 们是二阶系统的特征参数。
③ 用闭环结构图表示为：
R(s)
(s) G(s) 1G(s)
第十一页，共108页。
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（1）上升时间tr 响应曲线从零时刻到首次到达稳态值的时间，或：响应曲
线从稳态值的10%上升到90%所需时间（无超调系统）反映响 应曲线上升趋势表示响应速度指标。
（2）峰值时间tp
响应曲线从0到达第一个峰值所需的时间。
（3）调整时间（调节时间）ts 在响应曲线从0到达且不再超过稳态值的±5%或±2%误差范围
-
G(s)s2 2n 2 nss(s 2n 2 n)
第二十七页，共108页。
2 n
s(s 2n )
C(s)
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3.3.2 二阶系统的特征根及性质
特征根方程
s22 nsn 20
特征根
s1， 2 n n 21
3.3二阶系统的时域分析
特征根性质
①过阻尼ζ>1，方程有两个不等的负实根， 输出无振荡 ②临界阻尼ζ＝1，方程有一对相等的负实根，输出无振荡 ③欠阻尼0<ζ<1，方程有一对实部为负数的共轭复根，输出振荡
s1,2njn 12
系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称为欠阻尼状态。
s1
n
c(t) c(t)
1 r(t)
0
s2
0
t
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31
s22nsn 20
3. 当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实根，称为临
界阻尼状态。
s1,2
n
1 T
s1,2
0
c (t) 1 e n t( 1 n t) (t 0 )
1. 一阶系统对典型输入信号的响应及响应之间关系
r (t) δ（t） 1（t）
t 1 t2 2
c(t)
1
1t
eT
T
1t
1 e T
1t
t T(1e T )
1t2 TtT2(1eT 1t ) 2
第二十四页，共108页。
24
2. 结论
➢一阶系统只有一个特征参数T，即其时间常数。在一定的输入信 号作用下，其时间响应c(t)由其时间常数惟一确定。 ➢从表可以看出：系统对输入信号导数的响应等于系统对该输 入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应等于系统对该 输入信号响应的积分。这一重要特性适用于任何阶次的线性定 常系统——线性定常系统的重要特性。
1 s
1
s
s
1
1
T
c(t)
L1
1s
1 s1
t
1e T
(t
0)
T
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17
c(t)
1/T
1.0
0.8 0.6
0.87
0.95
0.98 0.99
没有超调，非周期响应，
0.4
0.63
惯性环节亦称非周期环节。
0.2
T 2T 3T 4T 5T
t
特点：① 按指数规律上升 ② t=0处切线斜率为1/T
r(t)
0，t A，t
0 0
阶跃函数的拉普拉斯变换为
L[A (t)] A
s
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4
2. 斜坡函数
r(t)
0，t 0 Bt，t 0
斜坡函数的拉普拉斯变换为
L[t
(t)]
B s2
第五页，共108页。
5
3. 抛物线函数
0，t 0
r (t )
1 2
Ct 2，t
0
抛物线函数的拉普拉斯变换为
第二页，共108页。
2
典型信号的选取原则
① 输入的形式应反映系统在工作中所响应的实际输入；
② 输入信号在形式上应尽可能简单，以便于对系统响应的分析； ③ 应选取能使系统工作在最不利情况下的输入信号作为典型
输入信号。
常用的典型实验信号
阶跃、斜坡、抛物线、脉冲
正弦（频率分析法）
第三页，共108页。
3
1. 阶跃函数
③ t T
dc(t) dt
t0
1eT1t T
t0
1 T
c(t) 63%c()
∴参数未知，可由一阶系统单位阶跃响应实验曲线确定
T
第十八页，共108页。
18
调整时间ts
理论上：瞬态结束进入稳态 t→∞ 工程上：与系统要求精度有关
c(t)
1/T
1.0
0.8 0.6
0.95 0.98 0.99 0.87
单 位 抛 物 线 信 号 R(s)1
C(s) 1 R(s) 1 1 1T
Ts1
Ts1 s1/T
c(t)(1T )e tT t 0
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22
3.2 一阶系统的时域分析
一阶系统如图，系统加入单位阶跃输入。
1. 当KH=1时，求调节时间ts； 2. 若KH=0.1,则调节时间ts为多少； 3. 若要求ts=0.1秒，问KH应为何值。
第十三页，共108页。
13
2. 稳态性能指标
稳态误差是描述系统稳态性能的一种性能指标，是当时间趋于无 穷时，系统单位阶跃响应的稳态值与输入量之差，即
ess1c()
具有单调上升的阶跃响应
无超调量，只取调节时间ts 作为动态性能指标
第十四页，共108页。
14
3.2 一阶系统的时域分析
15
第十五页，共108页。
响应无振荡
c (t)
0
第三十二页，共108页。
t 32
4.当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。
s1,2nn 21
T1
1 s1
,T2
1 s2
s2
s1
c(t) 1
1
1 t
e T1
1
1 t
e T2
(T2 /T1)1
(T1 /T2)1
1 T2
1 0 T1
c(t)
响应无振荡 0
第三十三页，共108页。
t
33
3.3二阶系统的时域分析
①过阻尼（ξ>1）时的单位阶跃响应（ s1， 2 nn）21
2. 稳态过程：是系统在典型输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，
系统输出量的表现方式。稳态过程又称稳态响应，表征系统输出量最 终复现输入量的程度，用稳态误差来描述。
第九页，共108页。
9
3.1.3 时域性能指标
1. 动态性能指标
描述稳定系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随t衰减的变化 状态的指标，称为动态性能指标。
➢利用这一特点，在测试系统时，可以用一种信号输入推断出几种相应 信号的响应结果，带来很大方便。而线性时变系统和非线性系统都不具 备这种特性。
第二十五页，共108页。
25
3.3 二阶系统的时域分析
第二十六页，共108页。
26
3.3.1 二阶系统的数学模型
3.3二阶系统的时域分析
凡以二阶系统微分方程描述的系统，称为二阶系统
ess=1- h(∞) [当h(∞)＝1时，ess=0 ]
为输入值的正负5%~2%，称为误差带
性能指标有6个： •其中反映系统响应初始段快慢的有3
t 项指标：上升时间、延迟时间、峰 值时间；
•反映系统过渡过程持续时间的指 标：调节时间
•反映系统整个响应过程的振荡程
度的指标：超调量
•体现系统复现信号能力的指标： 稳态误差ess
3.2.1 一阶系统的数学模型
传递函数
(s) C(s) 1 R(s) Ts1
T=1/K，时间常数 “秒”， 表征系统惯性
结构图
R(s)
1
C(s)
Ts 1
R(s) -
1 C(s)
Ts
第十六页，共108页。
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1. 单位阶跃响应
单位阶跃信号R(s) 1 s
C(s)
1 R(s) Ts 1
1 Ts 1
0.4
0.63
ts=4T (误差范围2%) ts=3T (误差范围5%）
0.2
T 2T 3T 4T 5T
t
ts大小作为评价系统响应快慢的指标：调整系统参数
T↓提高系统快速性
注：ts只反映系统特性，与输入、输出无关。
第十九页，共108页。
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2. 单位斜坡响应
单 位 斜 坡 信 号 R(s)s12
1
L[1Ct2 (t)] C
2
s3
第六页，共108页。
6
4. 脉冲函数
0， t 0或t h
r(t)
A， h
0
t
h
其中脉冲宽度为h，脉冲面积等于A，若对脉冲的宽度h取趋于零的极限，
则有
，t 0 r(t) 0， t 0
r(t)dt A
当A=1（ h →0）时，称此脉冲函数为理想单位脉冲函数，记作 。 (t )
2.2当. 当KHK=0H.=10时.1时，则T=1秒，故调节时间为 ts 3T31 秒3
3. 3若. 若要要求求调调节节时时间间tst=s=00..11秒，有
ts
3T3 1 10KH
秒0.，1因为放大倍数
不影响调节时间，所以反馈系数为KH=3
第二十三页，共108页。
23
3.2.1 一阶系统的重要性质
二阶系统单位阶跃响应通用曲线
ξ≥1时，阶跃响应表现为无振荡的单调上升曲 线，以ξ=1时的过渡过程时间最短。
ξ=0时系统响应变成等幅振荡； 在欠阻尼情况中，ξ减小，响应的初始阶段较快， 但响应振荡特性加剧，取0.4<ξ<0.8时，过渡过程 时间短，振荡也不剧烈，ξ=0.707时系统响应性能
指标最优，称为最佳阻尼比。
所需的最少时间。（允许误差△=0.05或△= 0.02）
第十二页，共108页。
12
（4）最大超调量σ% 指在系统响应过程中，输出量的最大值超过稳态值的百分比
%c(tp)c()100%
c()
（5）振荡次数N：在调节时间ts内，c(t)偏离c(∞)的振荡次数。
注： 以上各种性能指标中，上升时间、峰值时间和调节时间都表示 动态过程进行的快慢程度，是快速性指标。超调量反映动态过程振荡 激烈程度，是平稳性指标，也称相对稳定性能 。超调量和调节时 间是反映系统动态性能好坏的两个最主要指标。
十八页，共108页。
28
3.3.3 二阶系统的单位阶跃响应
3.3二阶系统的时域分析
二阶系统输出的一般式为
式中 s1、c s(t 2) 为 系L 统1 [特s2 征 2 根，n 2 n 而sn 2c1 s 1] s1 1 (s 1 n c 21 se 2s )1 ； t cc 22 e s s2 2 t(s 2n 2 s1)
3.1 典型输入信号和时域分析法
第一页，共108页。
1
3.1.1 典型输入信号
时间响应表现系统动态性能。不仅取决于系统本身特性（微方）， 还与输入信号形式有关。
系统工作时，外加输入信号是随机的，无法确定它在某一瞬间 的形式。
系统分析和设计时，对各种系统性能进行比较要预先规定 一些具有特殊形式的实验信号作为输入，然后比较系统的响应。
c(t)
cmax c(∞)
0.05c(∞)
0
tr tp
ts
第十页，共108页。
t 10
3.1.3 时间响应及性能指标
3.1典型输入信号和时域性能指标
h(t)
δ%超调量
1.0 0.9
0.5
0.1
0 tα ttrp
延迟时间 上升时间 峰值时间
ts (调节时间)
h(tp)-h(∞)
δ%=
×100%
h(∞)
R(s)
10
C(s)
-
s
KH
解:由图得系统的闭环传闭递环函数传为递：函数
1
(s)C R((ss))11 KH 0/ s1s0s110 0KH
KH 0.1s1 KH
时间常数T=0.1/KH 总放大倍数为1/KH
1. 1当. 当KHK=1H时=1时，则T=0.1秒，故调节时间为 ts3 T30.10 秒.3
第二十九页，共108页。
29
1.当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应
作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。
s22nsn 20
s1,2 jn
c(t) 1 cos nt
1 cos 1 t
s1
c(t)
T
2
0
s2
0
t
无阻尼等幅振荡
第三十页，共108页。
30
s22nsn 20
2.当0<ξ<1时，此时系统特征方程具有一对负实部的共轭复根