人教版八年级数学上册14.3.2 平方差公式因式分解一等奖优秀课件
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§14.3.2 运用平方差公式分解因式
制作者：小街中学 王祖云
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
1、多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，•也 就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有 公因式，如果没有公因式，•就不能使用提公因式 法对该多项式进行因式分解．
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？
3、要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因 式，•不能用提公因式法分解因式，但我们还可以 发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平 方差公式可以写成如下形式：
a2-b2=(a+b)(a-b)． 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式 分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件， 就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的 方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方 差公式分解因式
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这 两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多 项式可以运用平方差公式分解因式．
[例3]分解因式：（1）4x2-9 （2）(x+p)2-(x+q)
（1）中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式 中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方 差中的b，这说明公式中的a与b•可以表示一个数， 也可以表示一个单项式，甚至是多项式.
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b² 2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
变试训练：3、把下列各式因式分解 1)( x + z )²- ( y + z )² 2)4( a + b)²- 25(a - c)² 3)4a³- 4a 4)(x + y + z)²- (x – y – z )²
基础训练：把下列各式分解因式
（1）16a²- 1
解：1）16a²-1=(4a)²- 1
( 2 ) 4x²- m²n²
=(4a+1)(4a-1)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4 解：2） 4x²- m²n²
=(2x)²- (mn)² =（2x+mn)(2x-mn)
观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、 符号有什么特点？ （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项 的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数 的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果， 而在分解因式，•“平方差”是得分解因式的多项式
2.公式a²- b²= (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。
感受中考：
1.（杭州·中考）分解因式 m3 –
1 2
4、已知x和y满足方程组 9x2－4y2的值？
3x+2y=4，求
6x-4y=3
解1： 3x+2y=4
综
6x-4y=3
合 训
3x+2y=4 3x-2y=1.5
练
(3x+2y)(3-2y)=4×1.5=6
9x2-4y2 =6
……
1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式，可运用平 方差公式分解因式。
例4 分解因式:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分解因式, 必须进行
(1)x4-y4;
(2)
a3b
–
ab.
到每一个 多项式都
不能再分
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形解为式止,这. 样
就可以利用平方差公式进行因式分解
了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再
进一步分解.
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab
= (x2+y2)(x2-y2)
=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
基础训练：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y² 2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
4m =
.
3.(珠海·中考)因式分解: ax 2 ay 2 =______.
4、（盐城·中考）因式分解: =______.
精彩不断 创意无限
再见
制作者：小街中学 王祖云
问题1：你能叙述多项式因式分解的定义吗？
1、多项式的因式分解其实是整式乘法的逆用，•也 就是把一个多项式化成了几个整式的积的形式．
问题2：运用提公因式法分解因式的步骤是什么？
2．提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有 公因式，如果没有公因式，•就不能使用提公因式 法对该多项式进行因式分解．
问题3：你能将a2-b2分解因式吗？
3、要将a2-b2进行因式分解，可以发现它没有公因 式，•不能用提公因式法分解因式，但我们还可以 发现这个多项式是两个数的平方差形式，所以用平 方差公式可以写成如下形式：
a2-b2=(a+b)(a-b)． 多项式的乘法公式的逆向应用，就是多项式的因式 分解公式，如果被分解的多项式符合公式的条件， 就可以直接写出因式分解的结果，这种分解因式的 方法称为运用公式法．今天我们就来学习利用平方 差公式分解因式
由此可知如果多项式是两数差的形式，并且这 两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多 项式可以运用平方差公式分解因式．
[例3]分解因式：（1）4x2-9 （2）(x+p)2-(x+q)
（1）中的2x，（2）中的x+p•相当于平方差公式 中的a；（1）中的3，（2）中的x+q相当于平方 差中的b，这说明公式中的a与b•可以表示一个数， 也可以表示一个单项式，甚至是多项式.
A. -(4a+1)(4a-1)
B. -( 2a –1)(2a –1)
C. -(2a +1)(2a+1)
D. -(2a+1) (2a-1)
2. 把下列各式分解因式：
1）18-2b² 2) x4 –1
1)原式=2（3+b)(3-b) 2)原式=(x²+1)(x+1)(x-1)
变试训练：3、把下列各式因式分解 1)( x + z )²- ( y + z )² 2)4( a + b)²- 25(a - c)² 3)4a³- 4a 4)(x + y + z)²- (x – y – z )²
基础训练：把下列各式分解因式
（1）16a²- 1
解：1）16a²-1=(4a)²- 1
( 2 ) 4x²- m²n²
=(4a+1)(4a-1)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4 解：2） 4x²- m²n²
=(2x)²- (mn)² =（2x+mn)(2x-mn)
观察平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、 符号有什么特点？ （1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项 的符号相反．
（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数 的和，另一个因式是这两数的差．
（3）在乘法公式中，“平方差”是计算结果， 而在分解因式，•“平方差”是得分解因式的多项式
2.公式a²- b²= (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数， 也可以是单项式或多项式，应视具体情形灵活运用。 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再 进一步分解因式。 4.分解因式要彻底。要注意每一个因式的形式要最简， 直到不能再分解为止。
感受中考：
1.（杭州·中考）分解因式 m3 –
1 2
4、已知x和y满足方程组 9x2－4y2的值？
3x+2y=4，求
6x-4y=3
解1： 3x+2y=4
综
6x-4y=3
合 训
3x+2y=4 3x-2y=1.5
练
(3x+2y)(3-2y)=4×1.5=6
9x2-4y2 =6
……
1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式，可运用平 方差公式分解因式。
例4 分解因式:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分解因式, 必须进行
(1)x4-y4;
(2)
a3b
–
ab.
到每一个 多项式都
不能再分
分析:(1)x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形解为式止,这. 样
就可以利用平方差公式进行因式分解
了.(2)a3b-ab有公因式ab,应先提出公因式,再
进一步分解.
解:(1) x4-y4
(2) a3b-ab
= (x2+y2)(x2-y2)
=ab(a2-1)
= (x2+y2)(x+y)(x-y)
=ab(a+1)(a-1).
基础训练：
1.选择题： 1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（ D ）
A. 4X²+y² B. 4 x- (-y)² C. -4 X²-y³ D. - X²+ y² 2) -4a²+1分解因式的结果应是 （ D ）
4m =
.
3.(珠海·中考)因式分解: ax 2 ay 2 =______.
4、（盐城·中考）因式分解: =______.
精彩不断 创意无限
再见