湘教版数学八年级下册第2章四边形测试题带答案

湘教版八年级数学下册第2章测试卷
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A．B．C．D．
2．下列命题中正确的有()
(1)等边三角形是中心对称图形；
(2)一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；
(3)两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
(4)两条对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．一个多边形的外角和是内角和的，这个多边形的边数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．已知四边形ABCD，下列说法正确的是（）
A．当AD=BC，AB//DC时，四边形ABCD是平行四边形
B．当AD=BC，AB＝DC时，四边形ABCD是平行四边形
C．当AC=BD，AC平分BD时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形
5．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于（）
A．3
5
B．
5
3
C．
7
3
D．
5
4
6．已知菱形的周长为6，则菱形的面积为()
A．2 B C．3 D．4
7．如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG∥AD 交CD于点G，过点F作FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为（）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
8．如图，D，E，F分别是△ABC各边的中点，连接DE，EF，DF.若△ABC的周长为10，则△DEF的周长为()
A．5 B．6 C．7 D．8
9．如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）
A．B．C．9 D．
二、填空题
10．若平行四边形中两个内角的度数比为1：2，则其中较大的内角是度．
11．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成
阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__________．
12．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点的连线EF为边的正方形EFGH的周长为________．
13．如图矩形ABCD中，AD=√2，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，
∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，则AB=__．
14．如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，
GE⊥CD，GF⊥BC，AD=1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为
B→A→D→E→F．若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__________m．
三、解答题
15．如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：B C=BF．
16．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．
（1）证明：AF=CE；
（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．
17．如图所示，已知平行四边形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，∠OBC＝∠OCB．（1）求证：平行四边形ABCD是矩形；
（2）请添加一个条件使矩形ABCD为正方形．
18．如图，正方形ABCD的边长为8 cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的动点，且AE＝BF＝CG＝DH.
(1)求证：四边形EFGH是正方形；
(2)判断直线EG是否经过某一定点，并说明理由．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形. 【详解】
解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；
C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．
故选D.
【点睛】
本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.
2．A
【解析】
【分析】
根据中心对称的概念以及平行四边形、正方形、菱形的判定定理进行判断即可．
【详解】
(1)、因为正奇边形不是中心对称图形，故等边三角形不是中心对称图形，此选项错误；(2)、一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，因为等腰梯形也符合此条件，此选项错误；(3)、两条对角线互相垂直的矩形是正方形，此选项正确；(4)、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，此选项错误．故选A．
【点睛】
本题考查了正方形的判定；等边三角形的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；命题与定理，属于中等难度的题型．解题的关键是熟练掌握平行四边形、正方形、菱形的各种判定定理．
3．C
【解析】
试题分析：多边形的外角和为360°，由题可知该多边形内角和为360°×=900°，根据多边形内角和公式=（n-2）×180°=900°，解得n=7.
故选C.
考点：1.多边形的内角和；2.外角和的计算.
4．B
【解析】
试题解析：∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
∴A不正确；
∵两组对边分别相等的四边形是平行四边形，
∴B正确；
∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴C不正确；
∵对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，
∴D不正确；
故选B．
考点：1.平行四边形的判定；2.矩形的判定；3.正方形的判定．
5．B
【解析】
【详解】
解：∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°．
又∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，
∴AE=DC．
在△AEF与△CDF中，
∵∠AFE=∠CFD，∠E=∠D，AE=CD，
∴△AEF≌△CDF（AAS），
∴EF=DF．
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=4．
∵Rt△AEF≌Rt△CDF，
∴FC=F A．
设F A=x，则FC=x，FD=6﹣x．
在Rt△CDF中，CF2=CD2+DF2，
即x2=42+（6﹣x）2，
解得x=13
3
，
则FD=6﹣x=5
3
．
故选B．
6．D
【解析】
如图
四边形ABCD是菱形，AC+BD=6，
∴AB=AC⊥BD，AO=1
2
AC，BO=
1
2
BD，
∴AO+BO=3，
∴AO2+BO2=AB2，（AO+BO）2=9，
即AO2+BO2=5，AO2+2AO•BO+BO2=9，∴2AO•BO=4，
∴菱形的面积=1
2
AC•BD=2AO•BO=4；
故选D．
【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理；解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直．
7．C
【解析】
试题分析：根据题意可得四边形AEOF和四边形CGOH为菱形，且OH=EB，设AE=x，则BE=8－x，根据菱形的周长之差为12，可得两个菱形的边长之差为3，即x－（8－x）=3，解得：x=5．5
考点：菱形的性质
8．A
【解析】
【分析】
由于D 、E 分别是AB 、BC 的中点，则DE 是△ABC 的中位线，那么DE=12
AC ，同理有EF=12AB ，DF=12
BC ，于是易求△DEF 的周长． 【详解】
解：如上图所示，
∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点，
∴DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=
12AC ，同理有EF=12AB ，DF=12
BC ， ∴△DEF 的周长=12（AC+BC+AB ）=12×10=5． 故答案为5．
【点睛】
本题考查三角形中位线定理．解题关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 9．A
【解析】
解：如图，连接BE ，设BE 与AC 交于点P ′，∵四边形ABCD 是正方形，∴点B 与D 关于AC 对称，∴P ′D =P ′B ，∴P ′D +P ′E =P ′B +P ′E =BE 最小．即P 在AC 与BE 的交点上时，
PD +PE
最小，为BE 的长度．
∵直角△CBE 中，∠BCE =90°，BC =9，CE =13
CD =3，∴BE
=故选A ．
点睛：此题考查了轴对称﹣﹣最短路线问题，正方形的性质，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P 点位置是解题的关键．
10．120．
【解析】
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠B：∠C=1：2，
∴∠C=2
3
×180°=120°，
故答案为120．
11．12
【解析】
【分析】
根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积解答．
【详解】
∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，
∴菱形的面积=1
2
×6×8=24，
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴阴影部分的面积=1
2
×24=12．
故答案是：12．
【点睛】
本题考查了中心对称，菱形的性质，熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
12．
【解析】
【分析】
由正方形的性质和已知条件得出，∠BCD=90°，CE=CF=1
2
，得出△CEF是
等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长,即可得出正方形EFGH的周长．【详解】
解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴=1，∠BCD=90°，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=1
2
BC=
1
2
，CF=
1
2
CD=
1
2
，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴
∴正方形EFGH的周长=4EF=4×
2
；
故答案为．
【点睛】
本题考查正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解题关键．
13．√6
【解析】
试题分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠AGC=∠GAF+∠F=40°，再根据等腰三角形的性质求出∠CAG，然后求出∠CAF=120°，再根据∠BAC=∠CAF-∠BAF求出∠BAC=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
试题解析：由三角形的外角性质得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，
∵∠ACG=∠AGC，
∴∠CAG=180°-∠ACG-∠AGC=180°-2×40°=100°，
∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，
∴∠BAC=∠CAF-∠BAF=30°，
在Rt △ABC 中，AC=2BC=2AD=2√2，
由勾股定理，AB=√AB 2−BC 2=√(2√2)2−(√2)2=√6．
【考点】1.矩形的性质；2.等腰三角形的判定与性质；3.含30度角的直角三角形；4.直角三角形斜边上的中线；5.勾股定理．
14．4600
【解析】小敏走的路程为AB+AG+GE=1500+（AG+GE ）=3100，则AG+GE=1600m ， 小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF ）.
连接CG ，
在正方形ABCD 中，∠ADG=∠CDG=45°，AD=CD ，
在△ADG 和△CDG 中，
0{90 AD CD
ADG CDG DG DG
=∠=∠==
∴△ADG ≅△CDG ，
∴AG=CG.
又∵GE ⊥CD ，GF ⊥BC ，∠BCD=90°，
∴四边形GECF 是矩形，
∴CG=EF.
又∵∠CDG=45°，
∴DE=GE ，
∴小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（GE+AG ）=3000+1600=4600m.
点睛：本题主要考查了正方形的性质，解决本题从两人的行走路线得到他们所走的路程和，可以得到AG+GE=1600m ，小聪走的路程为BA+AD+DE+EF=3000+（DE+EF ），即要求出DE+EF ，通一系列的证明即可得到DE=GE ，EF=CG=AG ，从而解决问题.
15．证明见解析．
【解析】试题分析：首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS 可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF．
试题解析：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠1=∠2．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE．
在△ADE与△BFE中，
∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE，∴△ADE≌△BFE（AAS），∴AD=BF，∴BC=BF ．
点睛：本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边、对顶角以及公共角．
16．（1）证明见解析；（2）四边形ACEF是菱形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；
AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=1
2
出AC=CE，即可得出结论．
【详解】
试题解析：（1）∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，
∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：
AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=1
2
又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定、三角形中位线定理、直角三角形斜边上
的中线性质、等边三角形的判定与性质等，结合图形，根据图形选择恰当的知识点是关键．
17．（1）证明见解析；（2）AB =AD （或AC ⊥BD 答案不唯一）．
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形对角线互相平分可得OA =OC ，OB =OD ，根据等角对等边可得OB =OC ，然后求出AC =BD ，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明；
（2）根据正方形的判定方法添加即可．
试题解析：解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA =OC ，OB =OD ，∵∠OBC =∠OCB ，∴OB =OC ，∴AC =BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形；
（2）AB =AD （或AC ⊥BD 答案不唯一）．
理由：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AB =AD ，∴四边形ABCD 是正方形．
或：∵四边形ABCD 是矩形，又∵AC ⊥BD ，∴四边形ABCD 是正方形．
18．（1）证明见解析；（2）EG 必过BD 中点这个点，理由见解析.
【解析】
试题分析：（1）由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°
，AB=BC=CD=DA ，证出AH=BE=CF=DG ，由SAS 证明△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG ，得出
EH=FE=GF=GH ，∠AEH=∠BFE ，证出四边形EFGH 是菱形，再证出∠HEF=90°，即可得出结论；（2）直线EG 经过正方形ABCD 的中心， 连接BD 交EG 于点O ，易证△EOB ≌△GOD ．可得BO=DO 即点O 为BD 的中点．所以直线EG 经过正方形ABCD 的中心．
试题解析：
（1）∵四边形ABCD 是正方形．
∴90BAD ABC BCD CDA ∠=∠=∠=∠=︒，AB BC CD DA ===．
∵AE BF CG DH ===．
∴AH BE CF DG ===．
∴EAH ≌FBE ≌GCF ≌HDG ．
∴EH EF FG HG ===，AEH BFE ∠=∠． ∴四边形EFGH 是菱形．
∵90BEF BFE ∠+∠=︒，AEH BFE ∠=∠． ∴90BEF AEH ∠+∠=︒．
∴90HEF ∠=︒．
∵四边形EFGH 是菱形，90HEF ∠=︒．
∴四边形EFGH 是正方形．
（2）直线EG 经过正方形ABCD 的中心，理由如下： 连接BD 交EG 于点O ．
∵四边形ABCD 是正方形．
∴AB DC ．
∴EBD GDB ∠=∠．
∵EOB GOD ∠=∠，EBD GDB ∠=∠，BE DG =． ∴EOB ≌GOD ．
∴BO DO =，即点O 为BD 的中点．
∴直线EG 经过正方形ABCD 的中心．。