2017年高考数学(考点解读命题热点突破)专题16椭圆、双曲线、抛物线理
高中数学高考试卷考点之椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用知识汇总,带参考答案共五十六页
数学高考试卷椭圆双曲线抛物线和圆锥曲线的综合应用，带参考答案本文收集整理了高中数学高考试卷椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，并配上详细参考答案，内容全共五十六页。
同学们认真完成这些练习，并对过答案，对学习高中椭圆、双曲线、抛物线和圆锥曲线的综合应用知识知识，一定有很大的帮助，希望大家喜欢这份文档。
一、椭圆知识1．（2018全国Ⅱ，12）已知F 1，F 2是椭圆C ： x 2a +y 2b =1 (a >b >0)的左，右焦点，A是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为√36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，则C 的离心率为( )A ．23 B ．12 C ．13 D ．141.答案：D 因为△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P =120°，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为√36得，tan∠PAF 2=√36,∴sin∠PAF 2=√13cos∠PAF 2=√12√13，由正弦定理得PF 2AF 2=sin∠PAF 2sin∠APF 2,所以2c a+c =1√13sin(π3−∠PAF 2)1√13√32⋅√12√13−12⋅1√1325∴a =4c,e =14，选D.2.（2017•新课标Ⅲ,10）已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的左、右顶点分别为A 1 ， A 2 ， 且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切，则C 的离心率为（ ）A. B. C. D.2. 答案：A 以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx ﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离=a ，化为：a 2=3b 2 ． ∴椭圆C 的离心率e= = = ．故选A ．3.（2017•浙江,）椭圆+=1的离心率是（ ）A. B. C. D.3. 答案：B 椭圆+=1，可得a=3，b=2，则c==，所以椭圆的离心率为： =．故选B ．4.(2016·浙江，7)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A.m ＞n 且e 1e 2＞1B.m ＞n 且e 1e 2＜1C.m ＜n 且e 1e 2＞1D.m ＜n 且e 1e 2＜14.答案： A [由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2， 又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1.] 5.(2016·全国Ⅲ，11)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( ) A.13 B.12 C.23 D.345.A [设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2（a －c ），又B ，D ，M 三点共线，所以m 2（a －c ）＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.]6.(2014·大纲全国，6)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点.若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 6.A [由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ， ∴△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝ 3.又e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2，∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1，故选A.]7．（2018浙江，17）已知点P (0，1)，椭圆x24+y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．7.5 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，由AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =2PB ⃑⃑⃑⃑⃑ 得−x 1=2x 2,1−y 1=2(y 2−1),∴−y 1=2y 2−3, 因为A ,B 在椭圆上,所以x 124+y 12=m,x 224+y 22=m, ∴4x 224+(2y 2−3)2=m,∴x 224+(y 2−32)2=m4，与x 224+y 22=m 对应相减得y 2=3+m 4,x 22=−14(m 2−10m +9)≤4，当且仅当m =5时取最大值.8.(2016·江苏，10)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.8.63 [联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B 、C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2,C ⎝⎛⎭⎫32a ，b2,又F (c ,0),则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得：c 2－34a 2＋b 24＝0①，又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝ca＝23＝63. 9.(2014·辽宁，15)已知椭圆C ：x 29＋y 24＝1，点M 与C 的焦点不重合.若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则|AN |＋|BN |＝________.9.12 [设MN 交椭圆于点P ，连接F 1P 和F 2P (其中F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN |＋|BN |＝2|F 1P |＋2|F 2P |＝2×2a ＝4a ＝12.] 10.(2014·安徽，14)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若|AF 1|＝3|F 1B |，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________. 10.x 2＋3y 22＝1 [设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2，则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)，由|AF 1|＝3|F 1B |，可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎨⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y 22＝1.] 11.(2014·江西，15)过点M (1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)相交于A ，B两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________. 11.22 [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程相减得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）a 2＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）b 2＝0，根据题意有x 1＋x 2＝2×1＝2，y 1＋y 2＝2×1＝2，且y 1－y 2x 1－x 2＝－12，所以2a 2＋2b 2×⎝⎛⎭⎫－12＝0，得a 2＝2b 2，所以a 2＝2(a 2－c 2)，整理得a 2＝2c 2得c a ＝22，所以e ＝22.] 12．（2018全国Ⅲ，20）已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ： x 24+y 23=1交于A ，B 两点，线段AB的中点为M(1 ， m)(m >0)． （1）证明：k <−12；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP ⃑⃑⃑⃑⃑ +FA ⃑⃑⃑⃑⃑ +FB ⃑⃑⃑⃑⃑ =0．证明：|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |，|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列，并求该数列的公差． 12.（1）设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 124+y 123=1,x 224+y 223=1.两式相减，并由y 1−y2x 1−x 2=k 得x 1+x 24+y 1+y 23⋅k =0. 由题设知x 1+x 22=1,y 1+y 22=m ，于是k =−34m .①由题设得0<m <32，故k <−12. （2）由题意得F(1,0)，设P(x 3,y 3)，则 (x 3−1,y 3)+(x 1−1,y 1)+(x 2−1,y 2)=(0,0).由（1）及题设得x 3=3−(x 1+x 2)=1,y 3=−(y 1+y 2)=−2m <0. 又点P 在C 上，所以m =34，从而P(1,−32)，|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |=32. 于是|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x 1−1)2+y 12=√(x 1−1)2+3(1−x 124)=2−x 12. 同理|FB⃑⃑⃑⃑⃑ |=2−x 22.所以|FA⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=4−12(x 1+x 2)=3. 故2|FP⃑⃑⃑⃑⃑ |=|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |+|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |，即|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FP ⃑⃑⃑⃑⃑ |,|FB ⃑⃑⃑⃑⃑ |成等差数列. 设该数列的公差为d ，则2|d|=||FB⃑⃑⃑⃑⃑ |−|FA ⃑⃑⃑⃑⃑ ||=12|x 1−x 2|=12√(x 1+x 2)2−4x 1x 2.② 将m =34代入①得k =−1.所以l 的方程为y =−x +74，代入C 的方程，并整理得7x 2−14x +14=0.故x 1+x 2=2,x 1x 2=128，代入②解得|d|=3√2128. 所以该数列的公差为3√2128或−3√2128. 13．（2018天津，19）设椭圆22221x x a b+= (a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B . 已知椭圆的点A 的坐标为(),0b，且FB AB ⋅=（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ： (0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若sin 4AQ AOQ PQ=∠ (O 为原点) ，求k 的值. 13.（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，由已知有2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得， FB a =，AB =，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2．所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）． 由已知有y 1>y 2>0，故12PQ sin AOQ y y ∠=-． 又因为2y AQ sin OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ =．由4AQ sin AOQ PQ=∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22{ 194y kx x y =+=，，消去x，可得1y =． 易知直线AB 的方程为x +y –2=0， 由方程组{20y kx x y =+-=，，消去x ，可得221ky k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）= 两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =． 所以，k 的值为12或1128．14.（2017•江苏,17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ： =1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1 ， F 2 ， 离心率为，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1 ， 过点F 2作直线PF 2的垂线l 2 ． （Ⅰ）求椭圆E 的标准方程；（Ⅱ）若直线l 1 ， l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．14.（1）设椭圆的半焦距为c .因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以12c a =， 228a c =，解得2,1a c ==，于是b ==因此椭圆E 的标准方程是22143x y +=. （2）由（1）知， ()11,0F -， ()21,0F . 设()00,P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时， 2l 与1l 相交于1F ，与题设不符. 当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为001y x -.因为11l PF ⊥， 22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为001x y --， 从而直线1l 的方程： ()0011x y x y +=-+， ① 直线2l 的方程： ()0011x y x y -=--. ② 由①②，解得2001,x x x y y -=-=，所以20001,x Q x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点Q 在椭圆上，由对称性，得20001x y y -=±，即2201x y -=或22001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故2200143x y +=. 由22002201{ 143x y x y-=+=，解得00x y ==； 220022001{ 143x y x y +=+=，无解.因此点P的坐标为⎝⎭15.(2016·全国Ⅱ，20)已知椭圆E ：x 2t ＋y 23＝1的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k (k >0)的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA . (1)当t ＝4，|AM |＝|AN |时，求△AMN 的面积； (2)当2|AM |＝|AN |时，求k 的取值范围.15.解 (1)设M (x 1，y 1)，则由题意知y 1>0.当t ＝4时，E 的方程为x 24＋y 23＝1,A (-2,0).由|AM |＝|AN |及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为π4.因此直线AM 的方程为y ＝x ＋2.将x ＝y －2代入x 24＋y 23＝1得7y 2－12y ＝0，解得y ＝0或y ＝127，所以y 1＝127.因此△AMN 的面积S △AMN ＝2×12×127×127＝14449.(2)由题意t >3，k >0，A (－t ，0)，将直线AM 的方程y ＝k (x ＋t )代入x 2t ＋y 23＝1得(3＋tk 2)x 2＋2t ·tk 2x ＋t 2k 2－3t ＝0.由x 1·(－t )＝t 2k 2－3t 3＋tk 2得x 1＝t （3－tk 2）3＋tk 2，故|AM |＝|x 1＋t |1＋k 2＝6t （1＋k 2）3＋tk 2.由题设，直线AN 的方程为y ＝－1k (x ＋t )，故同理可得|AN |＝6k t （1＋k 2）3k 2＋t .由2|AM |＝|AN |得23＋tk 2＝k3k 2＋t ，即(k 3－2)t ＝3k (2k －1)，当k ＝32时上式不成立，因此t ＝3k （2k －1）k 3－2.t >3等价于k 3－2k 2＋k －2k 3－2＝（k －2）（k 2＋1）k 3－2<0，即k －2k 3－2<0.由此得⎩⎪⎨⎪⎧k －2>0，k 3－2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －2<0，k 3－2>0，解得32<k <2.因此k 的取值范围是(32，2).16.(2016·四川，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值. 16.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1).(2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎨⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2. 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎨⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)， 由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 12＋⎝⎛⎭⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m3－x 1⎝⎛⎭⎫2－2m 3－x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3（x 1＋x 2）＋x 1x 2 ＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫2－2m 32－⎝⎛⎭⎫2－2m 3⎝⎛⎭⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.17.(2015·重庆，21)如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于P 、Q 两点，且PQ ⊥PF 1.(1)若|PF 1|＝2＋2，|PF 2|＝2－2，求椭圆的标准方程； (2)若|PF 1|＝|PQ |，求椭圆的离心率e .17.解 (1)由椭圆的定义，2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a ＝2. 设椭圆的半焦距为c ，由已知PF 1⊥PF 2，因此2c ＝|F 1F 2|＝|PF 1|2＋|PF 2|2＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，即c ＝3，即c ＝3，从而b ＝a 2－c 2＝1. 故所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)法一 如图设点P (x 0，y 0)在椭圆上，且PF 1⊥PF 2，则x 20a 2＋y 20b2＝1，x 20＋y 20＝c 2， 求得x 0＝±a c a 2－2b 2，y 0＝±b 2c .由|PF 1|＝|PQ |＞|PF 2|得x 0＞0，从而 |PF 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2－2b 2c ＋c 2＋b 4c 2＝2(a 2－b 2)＋2a a 2－2b 2＝(a ＋a 2－2b 2)2. 由椭圆的定义,|PF 1|＋|PF 2|＝2a ,|QF 1|＋|QF 2|＝2a , 从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|,有|QF 1|＝4a －2|PF 1|. 又由PF 1⊥PF 2，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|， 因此，(2＋2)|PF 1|＝4a ，即(2＋2)(a ＋a 2－2b 2)＝4a ， 于是(2＋2)(1＋2e 2－1)＝4，解得e ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫42＋2－12＝6－ 3. 法二 如图，由椭圆的定义，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|QF 1|＋|QF 2|＝2a .从而由|PF 1|＝|PQ |＝|PF 2|＋|QF 2|，有|QF 1|＝4a －2|PF 1|.又由PF 1⊥PQ ，|PF 1|＝|PQ |，知|QF 1|＝2|PF 1|，因此，4a －2|PF 1|＝2|PF 1|，得|PF 1|＝2(2－2)a ，从而|PF 2|＝2a －|PF 1|＝2a －2(2－2)a ＝2(2－1)a . 由PF 1⊥PF 2，知|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝(2c )2，因此e ＝ca ＝|PF 1|2＋|PF 2|22a ＝（2－2）2＋（2－1）2＝9－62＝6－ 3. 18.(2015·福建，18)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.18.解 法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b＝2，c ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0.所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）24 ＝（1＋m 2）（y 1－y 2）24＝（1＋m 2）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)， 故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516＝5m 22（m 2＋2）－3（1＋m 2）m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以|GH |＞|AB |2.故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 法二 (1)同法一.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1，GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而GA →·GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3（m 2＋1）m 2＋2＋52m2m 2＋2＋2516＝17m 2＋216（m 2＋2）＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外. 19.(2015·陕西，20)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12c .(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E的方程.19.解 (1)过点(c ，0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0， 则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a,由d ＝12c ,得a ＝2b ＝2a 2－c 2,解得离心率c a ＝32.(2)法一 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.① 依题意，圆心M (－2，1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10，易知,AB 与x 轴不垂直,设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1,代入①得(1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k （2k ＋1）1＋4k 2，x 1x 2＝4（2k ＋1）2－4b 21＋4k 2，由x 1＋x 2＝－4，得－8k （2k ＋1）1＋4k 2＝－4，解得k ＝12，从而x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2），由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.法二 由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2，②依题意，点A ，B 关于圆心M (－2，1)对称，且|AB |＝10，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2，两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0， 易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2， 所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12， 因此直线AB 的方程为y ＝12(x ＋2)＋1，代入②得x 2＋4x ＋8－2b 2＝0，所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2， 于是|AB |＝1＋⎝⎛⎭⎫122|x 1－x 2|＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝10（b 2－2）.由|AB |＝10，得10（b 2－2）＝10，解得b 2＝3， 故椭圆E 的方程为x 212＋y 23＝1.20.(2015·北京，19)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，点P (0,1)和点A (m ，n )(m ≠0)都在椭圆C 上，直线P A 交x 轴于点M .(1)求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标(用m ，n 表示)；(2)设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由.20.解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，c a ＝22，a 2＝b 2＋c2解得a 2＝2，故椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.设M (x M ，0).因为m ≠0，所以－1＜n ＜1.直线P A 的方程为y －1＝n －1m x .所以x M ＝m 1－n，即M ⎝⎛⎭⎫m 1－n ，0. (2)因为点B 与点A 关于x 轴对称，所以B (m ，－n ). 设N (x N ，0)，则x N ＝m1＋n.“存在点Q (0，y Q )使得∠OQM ＝∠ONQ ”，等价于“存在点Q (0，y Q )使得|OM ||OQ |＝|OQ ||ON |”，即y Q 满足y 2Q ＝|x M ||x N |.因为x M ＝m 1－n ，x N ＝m 1＋n ，m 22＋n 2＝1.所以y 2Q ＝|x M ||x N |＝m 21－n 2＝2.所以y Q ＝2或y Q ＝－ 2.故在y 轴上存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ，点Q 的坐标为(0，2)或(0，－2). 21.(2015·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22,且右焦点F 到左准线l 的距离为3. (1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ,C ,若PC ＝2AB ,求直线AB 的方程. 21.解 (1)由题意,得c a ＝22且c ＋a 2c＝3,解得a ＝2,c ＝1,则b ＝1,所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时,AB ＝2,又CP ＝3,不合题意.当AB 与x 轴不垂直时,设直线AB 的方程为y ＝k (x －1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 将AB 的方程代入椭圆方程,得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0, 则x 1,2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2,C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2,且 AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k 2.若k ＝0,则线段AB 的垂直平分线为y 轴,与左准线平行,不合题意. 从而k ≠0,故直线PC 的方程为y ＋k 1＋2k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x －2k 21＋2k 2,则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2）,从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）.因为PC ＝2AB ,所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2,解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.二、双曲线知识1．（2018浙江，2）双曲线x 23−y 2=1的焦点坐标是( ) A ．(−√2，0)，(√2，0) B ．(−2，0)，(2，0) C ．(0，−√2)，(0，√2) D ．(0，−2)，(0，2)1.B 因为双曲线方程为x 23−y 2=1，所以焦点坐标可设为(±c,0)，因为c 2=a 2+b 2=3+1=4,c =2，所以焦点坐标为(±2,0)，选B. 2．（2018全国Ⅰ，11）已知双曲线C ：x 23−y 2=1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |=( ) A ．32 B ．3 C ．2√3 D ．42.B 根据题意，可知其渐近线的斜率为±√33，且右焦点为F(2,0)，从而得到∠FON =30°，所以直线MN 的倾斜角为60°或120°，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60°，可以得出直线MN 的方程为y =√3(x −2)，分别与两条渐近线y =√33x 和y =−√33x 联立，求得M(3,√3),N(32,−√32)，所以|MN |=2)√2)=3，故选B.3．（2018全国Ⅱ，5）双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为( )A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±√22x D ．y =±√32x 3.A ∵e =ca =√3,∴b 2a 2=c 2−a 2a 2=e 2−1=3−1=2,∴ba =√2,因为渐近线方程为y =±ba x ，所以渐近线方程为y =±√2x ，选A. 4．（2018全国Ⅲ，11）设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若|PF 1|=√6|OP |，则C 的离心率为( ) A ．√5 B ．√3 C ．2 D ．√24.B 由题可知|PF 2|=b,|OF 2|=c ,∴|PO |=a ,在Rt △POF 2中，cos∠PF 2O =|PF 2||OF 2|=bc, ∵在△PF 1F 2中,cos∠PF 2O =|PF 2|2+|F 1F 2|2−|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2−(√6a)22b∙2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e =√3.故选C.5．（2018天津，7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为( )A ．221412x y -= B ．221124x y -= C ．22139x y -= D ．22193x y -=5.C 设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设： 22,,,b b Ac B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为： 0bx ay -=，据此可得：21bc b d c -==，22bc b d c +==，则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==，双曲线的离心率：2c e a ====，据此可得： 23a =，则双曲线的方程为22139x y -=. 本题选择C 选项.6.（2017•新课标Ⅱ,9）若双曲线C ： ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A.2B.C.D.6. A 双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，圆（x ﹣2）2+y 2=4的圆心（2，0），半径为：2，双曲线C ： ﹣=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为： = ，解得：，可得e 2=4，即e=2．故选A ．7.（2017•新课标Ⅲ,5）已知双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y= x ，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C 的方程为（ ）A.﹣ =1B.﹣ =1C.﹣=1 D.﹣=17. B 椭圆 +=1的焦点坐标（±3，0），则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3，双曲线C ：﹣ =1 （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为y=x ，可得 ，即 ，可得 = ，解得a=2，b= ，所求的双曲线方程为： ﹣ =1．故选B ．8.（2017·天津,5）已知双曲线 ﹣ =1（a ＞0，b ＞0）的左焦点为F ，离心率为 ．若经过F 和P （0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（ ） A.=1 B.=1 C.=1 D.=18. B 设双曲线的左焦点F （﹣c ，0），离心率e= =，c=a ，则双曲线为等轴双曲线，即a=b ， 双曲线的渐近线方程为y=±x=±x ，则经过F 和P （0，4）两点的直线的斜率k= =，则=1，c=4，则a=b=2，∴双曲线的标准方程：；故选B ．9.(2016·全国Ⅰ，5)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A.(－1，3)B.(－1，3)C.(0，3)D.(0，3)9.A [∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A.]10.(2016·全国Ⅱ，11)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A.2B.32C.3D.210.A [离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin Msin F 1－sin F 2＝2231－13＝ 2.故选A.]11.(2015·福建，3)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A.11B.9C.5D.311.B [由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ,∵|PF 1|＝3,∴P 在左支上,∵a ＝3,∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.]12.(2015·安徽，4)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A.x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D.y 2－x 24＝112.C [由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.]13.(2015·广东，7)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 216－y 29＝1C.x 29－y 216＝1D.x 23－y 24＝1 13.B [因为所求双曲线的右焦点为F 2(5，0)且离心率为e ＝c a ＝54，所以c ＝5，a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，所以所求双曲线方程为x 216－y 29＝1，故选B.] 14.(2015·四川，5)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |＝( ) A.433B.2 3C.6D.4 314.D [焦点F (2，0)，过F 与x 轴垂直的直线为x ＝2，渐近线方程为x 2－y 23＝0，将x ＝2代入渐近线方程得y 2＝12，y ＝±23，∴|AB |＝23－(－23)＝4 3.选D.]15.(2015·新课标全国Ⅱ，11)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 15.D [如图，设双曲线E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0),则|AB |＝2a ,由双曲线的对称性,可设点M (x 1，y 1)在第一象限内,过M 作MN ⊥x 轴于点N (x 1，0)，∵△ABM 为等腰三角形，且∠ABM ＝120°，∴|BM |＝|AB |＝2a ，∠MBN ＝60°，∴y 1＝|MN |＝|BM |sin ∠MBN ＝2a sin 60°＝3a ，x 1＝|OB |＋|BN |＝a ＋2a cos 60°＝2a .将点M (x 1，y 1)的坐标代入x 2a 2－y 2b 2＝1，可得a 2＝b 2，∴e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝2，选D.] 16.(2015·新课标全国Ⅰ，5)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－33，33 B.⎝⎛⎭⎫－36，36 C.⎝⎛⎭⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎫－233，233 16.A [由题意知M 在双曲线C ：x 22－y 2＝1上，又在x 2＋y 2＝3内部，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，x 2＋y 2＝3，得y ＝±33，所以－33<y 0<33.] 17.(2014·天津，5)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 17.A [由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以ba ＝2且左焦点为(-5,0),所以a 2＋b 2＝c 2＝25,解得a 2＝5,b 2＝20,故双曲线方程为x 25－y 220＝1.选A.]18.(2014·广东，4)若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A.离心率相等B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.焦距相等18.D [由0<k <9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x 轴上，由25＋9－k ＝25－k ＋9，得两双曲线的焦距相等，选D.]19.(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( ) A. 3 B.3 C.3m D.3m19.A [∵双曲线的方程为x 23m －y 23＝1，∴焦点F 到一条渐近线的距离为 3.]20.(2014·重庆，8)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D.3 20.B [由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||＝2a ,又|PF 1|＋|PF 2|＝3b ,所以(|PF 1|＋|PF 2|)2－(|PF 1|-|PF 2|)2＝9b 2-4a 2,即4|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 2，又4|PF 1|·|PF 2|＝9ab ，因此9b 2－4a 2＝9ab ，即9⎝⎛⎭⎫b a 2-9b a －4＝0,则⎝⎛⎭⎫3b a ＋1⎝⎛⎭⎫3b a －4＝0，解得b a ＝43⎝⎛⎭⎫b a ＝－13舍去，则双曲线的离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝53.]21.(2014·山东，10)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A.x ±2y ＝0 B.2x ±y ＝0 C.x ±2y ＝0 D.2x ±y ＝021.A [椭圆C 1的离心率为a 2－b 2a ,双曲线C 2的离心率为a 2＋b 2a ，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，所以a 4－b 4＝34a 4，即a 4＝4b 4，所以a ＝2b ，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±12x ，即x ±2y ＝0.]22.(2014·大纲全国，9)已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1、F 2，点A 在C 上.若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( ) A.14 B.13 C.24 D.2322.A [由双曲线的定义知|AF 1|－|AF 2|＝2a ，又|AF 1|＝2|AF 2|，∴|AF 1|＝4a ，|AF 2|＝2a . ∵e ＝ca ＝2，∴c ＝2a ，∴|F 1F 2|＝4a .∴cos ∠AF 2F 1＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2－|AF 1|22|AF 2|·|F 1F 2|＝（2a ）2＋（4a ）2－（4a ）22×2a ×4a＝14，故选A.]23．（2018江苏，8）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a −y 2b =1(a >0,b >0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值是________．23.2 因为双曲线的焦点F(c,0)到渐近线y =±ba x,即bx ±ay =0的距离为√a 2+b2=bc c=b,所以b =√32c ，因此a 2=c 2−b 2=c 2−34c 2=14c 2, a =12c,e =2.24.（2017•山东,14）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的右支与焦点为F 的抛物线x 2=2py （p ＞0）交于A ，B 两点，若|AF|+|BF|=4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．24. y=± x 把x 2=2py （p ＞0）代入双曲线=1（a ＞0，b ＞0），可得：a 2y2﹣2pb 2y+a 2b 2=0，∴y A +y B =，∵|AF|+|BF|=4|OF|，∴y A +y B +2× =4× ，∴ =p ，∴ = ．∴该双曲线的渐近线方程为：y=± x ．故答案为：y=± x ．25.（2017•北京,9）若双曲线x 2﹣=1的离心率为 ，则实数m=________．25.2 双曲线x 2﹣=1（m ＞0）的离心率为 ，可得： ，解得m=2．故答案为：2．26.（2017•江苏,8）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线﹣y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1 ， F 2 ， 则四边形F 1PF 2Q 的面积是________． 26.2双曲线﹣y 2=1的右准线：x=，双曲线渐近线方程为：y= x ，所以P （ ， ），Q （ ，﹣ ），F 1（﹣2，0）．F 2（2，0）．则四边形F 1PF 2Q 的面积是： =2．故答案为：2．27.(2016·山东，13)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________.27.2 [由已知得|AB |＝2b 2a ,|BC |＝2c ,∴2×2b 2a ＝3×2c ,又∵b 2＝c 2-a 2,整理得：2c 2-3ac -2a 2=0，两边同除以a 2得2⎝⎛⎭⎫c a 2－3c a－2＝0，即2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去).] 28.(2015·浙江，9)双曲线x 22－y 2＝1的焦距是______，渐近线方程是______.28.23 y ＝±22x [由双曲线方程得a 2＝2，b 2＝1，∴c 2＝3，∴焦距为23，渐近线方程为y ＝±22x .]29.(2015·北京，10)已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a ＞0)的一条渐近线为3x ＋y ＝0，则a ＝________.29.33 [双曲线渐近线方程为y ＝±b a x ，∴b a ＝3，又b ＝1，∴a ＝33.] 30.(2015·湖南，13)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.30.5 [不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a 2＝5，∴e ＝ 5.]31.(2015·江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________. 31.22[双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22.] 32.(2014·浙江，16)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________. 32.52 [联立直线方程与双曲线渐近线方程y ＝±bax 可解得交点为 ⎝⎛⎭⎫am 3b －a ，bm 3b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－am 3b ＋a ，bm 3b ＋a ，而k AB ＝13，由|P A |＝|PB |，可得AB 的中点与点P 连线的斜率为－3，即bm 3b －a ＋bm3b ＋a2－0am3b －a ＋－am 3b ＋a2－m＝－3，化简得4b 2＝a 2，所以e ＝52.]33.(2014·江西，20)如图，已知双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点). (1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值.33.(1)解 设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，解得B ⎝⎛⎭⎫c 2，－c 2a . 又直线OA 的方程为y ＝1a x ，则A ⎝⎛⎭⎫c ，c a ，k AB ＝c a －⎝⎛⎭⎫－c 2a c －c 2＝3a.又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)证明 由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0.因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝⎛⎭⎫2，2x 0－33y 0；直线l 与直线x ＝32的交点为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32x 0－33y 0. 则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝⎛⎭⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2， 因为P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得 |MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43， 所求定值为|MF ||NF |＝23＝233.三、抛物线1．（2018全国Ⅰ，8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．81.D 根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为y =23(x +2)，与抛物线方程联立{y =23(x +2)y 2=4x ，消元整理得：y 2−6y +8=0，解得M(1,2),N(4,4)，又F(1,0)，所以FM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(0,2),FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =(3,4)，从而可以求得FM⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅FN ⃑⃑⃑⃑⃑ =0×3+2×4=8，故选D. 2.(2016·全国Ⅰ，10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点.已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.82.B [不妨设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，则圆的方程可设为x 2＋y 2＝r 2(r >0),如图，又可设A (x 0，22)，D ⎝⎛⎭⎫－p2，5，点A (x 0，22)在抛物线y 2＝2px 上，∴8＝2px 0，① 点A (x 0，22)在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴x 20＋8＝r 2，② 点D ⎝⎛⎭⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴5＋⎝⎛⎭⎫p22＝r 2，③ 联立①②③，解得p ＝4，即C 的焦点到准线的距离为p ＝4，故选B.]3.(2015·天津，6)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 3.D [双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，又渐近线过点(2，3)，所以2ba ＝3，即2b ＝3a ，①抛物线y 2＝47x 的准线方程为x ＝－7，由已知，得a 2＋b 2＝7，即a 2＋b 2＝7②， 联立①②解得a 2＝4，b 2＝3，所求双曲线的方程为x 24－y 23＝1，选D.] 4.(2015·浙江，5)如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋14.A [由图象知S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝x B x A ，由抛物线的性质知|BF |＝x B ＋1，|AF |＝x A ＋1，∴x B ＝|BF |-1，x A ＝|AF |－1，∴S △BCF S △ACF ＝|BF |－1|AF |－1.故选A.]5．（2018全国Ⅲ，16）已知点M(−1 ， 1)和抛物线C ： y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB =90°，则k =________．5.2 设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则{y 12=4x 1y 22=4x2,所以y 12−y 22=4x 1−4x 2,所以k =y 1−y 2x 1−x 2=4y 1+y 2.取AB 中点M′(x 0，y 0),分别过点A,B 作准线x =−1的垂线，垂足分别为A ′,B′,因为∠AMB =90°,∴|MM ′|=12|AB |=12(|AF |+|BF |)=12(|AA ′|+|BB′|),因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴,因为M(-1,1),所以y 0=1，则y 1+y 2=2即k =2.6.（2017•新课标Ⅱ,16）已知F 是抛物线C ：y 2=8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则|FN|=________．6. 6 抛物线C ：y 2=8x 的焦点F （2，0），M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，可知M 的横坐标为：1，则M 的纵坐标为： ，|FN|=2|FM|=2 =6．故答案为：6．7.(2016·浙江，9)若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________. 7.9 [抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0).准线为x ＝-1,由M 到焦点的距离为10,可知M 到准线x ＝-1的距离也为10,故M 的横坐标满足x M ＋1＝10,解得x M ＝9,所以点M 到y 轴的距离为9.] 8.(2015·陕西，14)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过双曲线x 2－y 2＝1的一个焦点，则p ＝________.8.22 [由于双曲线x 2－y 2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p ＝2 2.]9.(2014·湖南，15)如图，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ， b (a <b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p >0)经过C ，F 两点，则b a ＝________.9.1＋2 [由正方形的定义可知BC ＝CD ，结合抛物线的定义得点D 为抛物线的焦点，所以|AD |＝p ＝a ，D ⎝⎛⎭⎫p 2，0，F ⎝⎛⎭⎫p2＋b ，b ，将点F 的坐标代入抛物线的方程得b 2＝2p⎝⎛⎭⎫p 2＋b ＝a 2＋2ab ，变形得⎝⎛⎭⎫b a 2－2b a －1＝0，解得b a ＝1＋2或b a＝1－2(舍去)，所以ba ＝1＋ 2.]10.(2014·上海，3)若抛物线y 2＝2px的焦点与椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为______________. 10.x ＝-2[∵c 2＝9-5＝4,∴c ＝2.∴椭圆x 29＋y 25＝1的右焦点为(2，0),∴p2＝2,即p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝-2.]。
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
2017年高考数学(文)黄金易错点：专题15-椭圆、双曲线、抛物线(含答案)
1．已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A2．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案 D解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b2，y ＝2b4＋b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b2，y ＝－2b4＋b 2，即第一象限的交点为⎝⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.故选D.3．已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( ) A.2B.32C.3D ．2答案 A4．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．4个答案 C解析 由椭圆方程x 225＋y 216＝1可得a 2＝25，b 2＝16，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3.由椭圆的定义可得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，且|F 1F 2|＝2c ＝6，∴△MF 1F 2的周长|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝10＋6＝16. 设△MF 1F 2的内切圆的半径为r ， 由题意可得2πr ＝3π，解得r ＝32.设M (x 0，y 0)， 则12MF F S＝12(|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|)·r ＝12|F 1F 2|·|y 0|，即12×16×32＝12×6·|y 0|， 解得|y 0|＝4.∴y 0＝±4. ∴M (0,4)或(0，－4)．即满足条件的点M 有2个．故选C.5．已知圆x 2＋y 2＝a 216上点E 处的一条切线l 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F ，且与双曲线的右支交于点P ，若OE →＝12(OF →＋OP →)，则双曲线的离心率是______________．答案264解析 如图所示，设双曲线的右焦点为H ，连接PH ，因为直线l 与圆相切，所以PF ⊥OE . 又OE ∥PH ，所以PF ⊥PH .在Rt △PFH 中，|FH |2＝|PH |2＋|PF |2， 即(2c )2＝(a 2)2＋(5a2)2，整理得c a ＝264，即e ＝264.6．经过椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点的直线l 交抛物线y 2＝4x 于A 、B 两点，点A 关于y 轴的对称点为C ，则OB →·OC →＝________. 答案 －5由题意知C (－x 1，y 1)，∴OB →·OC →＝(x 2，y 2)·(－x 1，y 1)＝－x 1x 2＋y 1y 2＝－1－4＝－5. 7．若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________． 答案 9解析 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)．准线为x ＝－1，由M 到焦点的距离为10，可知M 到准线x ＝－1的距离也为10，故M 的横坐标满足x M ＋1＝10，解得x M ＝9，所以点M 到y 轴的距离为9.8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，且点(1，32)在该椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左焦点F 1的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若△AOB 的面积为627，求圆心在原点O 且与直线l 相切的圆的方程． 解 (1)由题意可得e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2， 所以b 2＝34a 2.因为椭圆C 经过点(1，32)，所以1a 2＋9434a 2＝1，解得a ＝2，所以b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由(1)知F 1(－1,0)，设直线l 的方程为x ＝ty －1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty －1，x 24＋y 23＝1消去x ，得(4＋3t 2)y 2－6ty －9＝0， 显然Δ>0恒成立，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2，9．已知椭圆C 的长轴左，右顶点分别为A ，B ，离心率e ＝22，右焦点为F ，且AF →·BF →＝－1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若P 是椭圆C 上的一动点，点P 关于坐标原点的对称点为Q ，点P 在x 轴上的射影点为M ，连接QM 并延长交椭圆于点N ，求证：∠QPN ＝90°. (1)解 依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (－a,0)，B (a,0)，F (c,0)，由e ＝c a ＝22，得a ＝2c .①由AF →·BF →＝－1，得(c ＋a,0)·(c －a,0)＝c 2－a 2＝－1.② 联立①②，解得a ＝2，c ＝1， 所以b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 设P (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由题意知x i ≠0，y i ≠0(i ＝1,2)， 且x 1≠x 2，易错起源1、圆锥曲线的定义与标准方程例1、(1)△ABC 的两个顶点为A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 周长为18，则C 点轨迹方程为( ) A.x 216＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.y 216＋x 29＝1(y ≠0) D.x 225＋y 29＝1(y ≠0) (2)在平面直角坐标系中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin Csin B＝________.答案 (1)D (2)54解析 (1)∵△ABC 的两顶点A (－4,0)，B (4,0)，周长为18，∴|AB |＝8，|BC |＋|AC |＝10.∵10>8，∴点C 到两个定点的距离之和等于定值，满足椭圆的定义，∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，∴2a ＝10,2c ＝8，∴b ＝3.∴椭圆的标准方程是x 225＋y 29＝1(y ≠0)．故选D.(2)由椭圆方程知其焦点坐标为(－4,0)和(4,0)，恰分别为△ABC 的顶点A 和C 的坐标，由椭圆定义知|BA |＋|BC |＝2a ＝10，在△ABC 中，由正弦定理可知，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝108＝54. 【变式探究】(1)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝24y 的焦点重合，其一条渐近线的倾斜角为30°，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 227＝1 B.y 29－x 227＝1 C.y 212－x 224＝1 D.y 224－x 212＝1 (2)抛物线y 2＝4x 上的两点A ，B 到焦点的距离之和为8，则线段AB 的中点到y 轴的距离为________． 答案 (1)B (2)3【名师点睛】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值． 易错起源2、圆锥曲线的几何性质例2 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． (2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a 2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±22x C ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x答案 (1)3－1 (2)C易得直线BC 的斜率为a b ，cos ∠CF 1F 2＝bc ，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得 |CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒ba ＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .【变式探究】(1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆C 的离心率为( )A.36 B.13 C.12 D.33(2)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－2，0)∪(0，2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案(1)D(2)A由x 2a 2－y2b 2＝1可知A (a,0)，F (c,0)． 易得B ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，C ⎝⎛⎭⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a ，∴k CD ＝aa －cb 2. ∵k AC ＝b 2a a －c ＝b 2a a －c ，∴k BD ＝－aa －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a＝－a a －cb 2(x －c )，【名师点睛】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 【锦囊妙计，战胜自我】1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca ＝1－b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．易错起源3、直线与圆锥曲线例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程． 解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c ＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±21＋k 21＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝1＋k2x 2－x 12＝221＋k 21＋2k 2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意．【变式探究】(1)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( ) A ．－12，12]B ．－2,2]C ．－1,1]D ．－4,4](2)设椭圆C ：x 24＋y 23＝1与函数y ＝tan x4的图象相交于A 1，A 2两点，若点P 在椭圆C 上，且直线P A 2的斜率的取值范围是－2，－1]，那么直线P A 1斜率的取值范围是________． 答案 (1)C (2)38，34]解析 (1)由题意知抛物线的准线为x ＝－2，∴Q (－2,0)，显然，直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，x ＝0，此时交点为(0,0)，当k ≠0时，Δ≥0， 即4(k 2－2)]2－16k 4≥0，解得－1≤k <0或0<k ≤1， 综上，k 的取值范围为－1,1]，故选C.【名师点睛】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 【锦囊妙计，战胜自我】判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标． (2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．1．点F 为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点，若椭圆上存在点A 使△AOF 为正三角形，那么椭圆的离心率为( ) A.22 B.32C.2－12D.3－1答案 D解析 如图所示，设F 为椭圆的右焦点，点A 在第一象限，由已知得直线OA 的斜率为k ＝tan60°＝3，2．已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞0)与双曲线C 2：x2n 2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m ＞n 且e 1e 2＞1B ．m ＞n 且e 1e 2＜1C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1 答案 A解析 由题意可得：m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n . 又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n2 ＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. 3．已知双曲线C ：x 23－y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与双曲线C 的右支相交于P ，Q 两点，且点P 的横坐标为2，则△PF 1Q 的周长为( ) A.1633B ．5 3 C.1433D ．4 3答案 A4．设抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 为抛物线E 上一点，|MF |的最小值为3，若点P 为抛物线E 上任意一点，A (4,1)，则|P A |＋|PF |的最小值为( ) A ．4＋32B ．7C ．4＋2 3D ．10答案 B解析 由题意，|MF |的最小值为3，∴p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线E ：y 2＝12x ，抛物线y 2＝12x 的焦点F 的坐标是(3,0)； 设点P 在准线上的射影为D ， 则根据抛物线的定义可知|PF |＝|PD |，∴要求|P A |＋|PF |取得最小值，即求|P A |＋|PD |取得最小值，当D ，P ，A 三点共线时|P A |＋|PD |最小，为4－(－3)＝7，故选B.5．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有一个共同的焦点F ，两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝5，则点F 到双曲线的渐近线的距离为( ) A. 3 B ．2 C. 6 D ．3答案 A解析 ∵抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 的坐标为(2,0)，∴c 2＝a 2＋b 2＝4.①∵P 是两曲线的一个交点，且|PF |＝5， ∴x p ＋2＝5，∴x p ＝3，∴y 2p ＝24. ∵P (x p ，y p )在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上，6．已知点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，若双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________． 答案 x 2－y 23＝1解析 ∵点A (2,4)在抛物线y 2＝2px (p >0)上， ∴16＝4p ，解得p ＝4. ∴抛物线的准线方程为x ＝－2.又抛物线的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，∴c ＝2，又e ＝ca ＝2，∴a ＝1，则b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3， ∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1.7．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为__________． 答案 x 225＋y 216＝1解析 两定圆的圆心和半径分别是O 1(－3,0)，r 1＝1； O 2(3,0)，r 2＝9.设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件， 可得|MO 1|＝R ＋1，|O 2M |＝9－R . ∴|MO 1|＋|MO 2|＝10>|O 1O 2|＝6.由椭圆的定义知点M 在以O 1，O 2为焦点的椭圆上，且2a ＝10,2c ＝6，∴b 2＝16. ∴动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.8．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________． 答案 539．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y22－x 2＝1的焦点重合，过点P (4,0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．解 (1)由双曲线y 22－x 2＝1得其焦点为(0，±3)，∴b ＝ 3.又由e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝4，c ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4，x 24＋y 23＝1，消去y ，得(4k 2＋3)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0， 由Δ＝(－32k 2)2－4(4k 2＋3)(64k 2－12)>0， 得k 2<14.10.如图所示，抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，动点T (－1，m )，过F 作TF 的垂线交抛物线于P ，Q 两点，弦PQ 的中点为N .(1)证明：线段NT 平行于x 轴(或在x 轴上)； (2)若m ＞0且|NF |＝|TF |，求m 的值及点N 的坐标．(1)证明 易知抛物线的焦点F (1,0)，准线x ＝－1，动点T (－1，m )在准线上，则kTF ＝－m2.当m ＝0时，T 为抛物线准线与x 轴的交点，这时PQ 为抛物线的通径，点N 与焦点F 重合，显然线段NT 在x 轴上．当m ≠0时，由条件知kPQ ＝2m ，所以直线PQ 的方程为y ＝2m (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝2m x －1，得x 2－(2。
椭圆双曲线抛物线专题
椭圆双曲线抛物线一、考向1.以客观题形式考查圆锥曲线的标准方程、圆锥曲线的定义、离心率、焦点弦长问题、双曲线的渐近线等，可能会与数列、三角函数、平面向量、不等式结合命题，若与立体几何结合，会在定值、最值、定义角度命题．2.每年必考一个大题，相对较难，且往往为压轴题，具有较高的区分度．平面向量的介入，增加了本部分高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本部分还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识结合进行综合考查．考点一 椭圆例1．【2017课标3，文11】已知椭圆C ：22221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A ．B ．C ．3D ．13【变式探究】【2016高考浙江文数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n –y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m <n 且e 1e 2>1 D ．m <n 且e 1e 2<1考点二 双曲线例2．【2017课表1，文5】已知F 是双曲线C ：1322=-y x 的右焦点，P是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为（ ）A ．13B ．1 2C ．2 3D ．3 22.若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．33.若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A. (2,)+∞B. (2,2)C. (1,2)D. (1,2)4.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )（A ）()1,3- （B ）()1,3- （C ）()0,3 （D ）()0,35.已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为( )A. 5B ．2 C. 3 D. 2考点三 抛物线例3．在平面直角坐标系xOy 中,双曲线22221(00)x y a b a b-=>>， 的右支与焦点为F 的抛物线22(0)x py p =>交于A ,B 两点,若|AF |+|BF |=4|OF |,则该双曲线的渐近线方程为 .2.以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=42DE|=5则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)83.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1课堂练习1.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF△是边长为2的等边三角形（O为原点），则双曲线的方程为（A）221412x y-=（B）221124x y-=（C）2213xy-=（D）2213yx-=2.双曲线22219x ya-=（a>0）的一条渐近线方程为35y x=，则a= .3.抛物线 (a>0)的焦点为F，其准线与双曲线相交于M，N两点，若，则 a= .4.抛物线上的点到焦点的距离为2，则5.设离心率为的椭圆的右焦点与双曲线的右焦点重合，则椭圆方程为（）A．B．C. D．6.已知双曲线的离心率为,则双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．7.设点F1为双曲线的左右焦点，点P为C右支上一点，点O为坐标原点，若△OPF1是底角为30°等腰三角形，则C的离心率为（）A．B．C．D．。
圆锥曲线椭圆双曲线抛物线知识点总结例题习题精讲详细复习资料
课程星级：★★★★★【椭圆】 一、椭圆的定义1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a 、b ，焦点为c ）（1）当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=；（2）当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=；2、两种标准方程可用一般形式表示：221x y m n+=或者 mx 2+ny 2=1 三、椭圆的性质（以12222=+by a x )0(>>b a 为例）知能梳理1、对称性：对于椭圆标准方程12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+by a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。
③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=，b B B 221=。
a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
干货椭圆、双曲线、抛物线重点知识总结常考题型技巧讲解
干货椭圆、双曲线、抛物线重点知识总结常考题型技巧讲解基础知识总结圆锥曲线常见题型+解题技巧1.直线与圆锥曲线位置关系这类问题主要采用分析判别式，有△＞0，直线与圆锥曲线相交；△=0，直线与圆锥曲线相切；△＜0，直线与圆锥曲线相离．若且a=0，b≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点．注意：设直线方程时一定要考虑斜率不存在的情况，可单独提前讨论。
2.圆锥曲线与向量结合问题这类问题主要利用向量的相等，平行，垂直去寻找坐标间的数量关系，往往要和根与系数的关系结合应用，体现数形结合的思想，达到简化计算的目的。
3.圆锥曲线弦长问题弦长问题主要记住弦长公式：设直线l与圆锥曲线C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则：4.定点、定值问题（1）定点问题可先运用特殊值或者对称探索出该定点，再证明结论，即可简化运算；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．5.最值、参数范围问题这类常见的解法有两种：几何法和代数法．（1）若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法；（2）若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代数法．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．6.轨迹问题轨迹问题一般方法有三种：定义法，相关点法和参数法。
定义法：（1）判断动点的运动轨迹是否满足某种曲线的定义；（2）设标准方程，求方程中的基本量（3）求轨迹方程相关点法：（1）分析题目：与动点M（x，y）相关的点P（x0，y0）在已知曲线上；（2）寻求关系式，x0=f（x，y），y0=g（x，y）；（3）将x0，y0代入已知曲线方程；（4）整理关于x，y的关系式得到M的轨迹方程。
高考数学专题复习《椭圆、双曲线、抛物线》突破解析
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线【要点提炼】考点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a(2a>|F 1F 2|)．(2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a(0<2a<|F 1F 2|)．(3)抛物线：|PF|＝|PM|，l 为抛物线的准线，点F 不在定直线l 上，PM ⊥l 于点M.2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．【热点突破】【典例】1 (1)(2020·广州四校模拟)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M 的周长为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 216＋y 225＝1 B.x 225＋y 29＝1C.x 29＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1【答案】 D【解析】 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的两焦点分别为F 1，F 2，M 为椭圆上一点，且△F 1F 2M的周长为16，可得2a ＋2c ＝16，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(其中a>b>0)的离心率为35，可得c a ＝35，解得a ＝5，c ＝3，则b ＝4，所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)(2020·全国Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP|＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A.72 B ．3 C.52 D ．2【答案】 B【解析】 方法一 由题意知a ＝1，b ＝3，c ＝2，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，如图，因为|OF 1|＝|OF 2|＝|OP|＝2，所以点P 在以F 1F 2为直径的圆上，故PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c)2＝16.由双曲线的定义知||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2，所以|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|＝4，所以|PF 1||PF 2|＝6，所以△PF 1F 2的面积为12|PF 1||PF 2|＝3.方法二 由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F 1，F 2在x 轴上，且|F 1F 2|＝21＋3＝4.设点P 的坐标为(x 0，y 0)，则Error!解得|y 0|＝32.所以△PF 1F 2的面积为12|F 1F 2|·|y 0|＝12×4×32＝3.易错提醒 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误双曲线的定义中忽略“绝对值”致错；椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a 2＝b 2＋c 2，双曲线中的关系式为c 2＝a 2＋b 2；圆锥曲线方程确定时还要注意焦点位置．【拓展训练】1 (1)设抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF|＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x【答案】 C【解析】 方法一 因为以MF 为直径的圆过点(0,2)，所以点M 在第一象限．由|MF|＝x M ＋p 2＝5，得x M ＝5－p2，即M (5－p2，2p (5－p2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52，122p (5－p2)).因为点N 的横坐标恰好等于圆的半径，所以圆与y 轴相切于点(0,2)，从而2＝122p (5－p2)，即p 2－10p ＋16＝0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.方法二 由已知得抛物线的焦点F (p2，0)，设点A(0,2)，点M(x 0，y 0)，则A F → ＝(p 2，－2)，A M →＝(y 202p ，y 0－2).由已知，得A F → ·A M →＝0，即y 20－8y 0＋16＝0，解得y 0＝4，M (8p，4).由|MF|＝5，得(8p －p2)2＋16＝5.又因为p>0，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x.(2)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点为F ，点A(－2,2)为椭圆C 内一点，若椭圆C上存在一点P ，使得|PA|＋|PF|＝8，则实数m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25] B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5]【答案】 A【解析】 椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m>4)的右焦点F 的坐标为(2,0)．设左焦点为F ′，则F ′(－2,0)．由椭圆的定义可得2m ＝|PF|＋|PF ′|，即|PF ′|＝2m －|PF|，可得|PA|－|PF ′|＝|PA|＋|PF|－2m ＝8－2m .由||PA|－|PF ′||≤|AF ′|＝2，可得－2≤8－2m ≤2，解得3≤m ≤5，所以9≤m ≤25.①又点A 在椭圆内，所以4m ＋4m －4<1(m>4)，所以8m －16<m(m －4)(m>4)，解得m<6－25(舍)或m>6＋25.②由①②得6＋25<m ≤25，故选A.【要点提炼】考点二 圆锥曲线的几何性质1．求离心率通常有两种方法(1)求出a ，c ，代入公式e ＝ca.(2)根据条件建立关于a ，b ，c 的齐次式，消去b 后，转化为关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．2．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)共渐近线bx±ay ＝0的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．【热点突破】【典例】2 (1)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，且A F 1→ ·A F 2→ ＝0，A F 2→ ＝2F 2B →，则椭圆E 的离心率为( )A.23 B.34 C.53 D.74【答案】 C【解析】 ∵A F 2→ ＝2F 2B →，设|BF 2|＝x ，则|AF 2|＝2x ，∴|AF 1|＝2a －2x ，|BF 1|＝2a －x ，∵A F 1→ ·A F 2→＝0，∴AF 1⊥AF 2，在Rt △AF 1B 中，有(2a －2x)2＋(3x)2＝(2a －x)2，解得x ＝a3，∴|AF 2|＝2a3，|AF 1|＝4a3，在Rt △AF 1F 2中，有(4a 3)2＋(2a 3)2＝(2c)2，整理得c 2a 2＝59，∴e ＝c a ＝53.(2)(2020·莆田市第一联盟体联考)已知直线l ：y ＝x －1与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，M 是AB 的中点，则点M 到抛物线准线的距离为( )A.72 B ．4 C ．7 D ．8【答案】 B【解析】 由题意可知直线y ＝x －1过抛物线y 2＝4x 的焦点(1,0)，如图，AA ′，BB ′，MM ′都和准线垂直，并且垂足分别是A ′，B ′，M ′，由图象可知|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)，根据抛物线的定义可知|AA ′|＋|BB ′|＝|AB|，∴|MM ′|＝12|AB|，联立Error!得x 2－6x ＋1＝0，设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝6，∴|AB|＝x 1＋x 2＋2＝8，∴|MM ′|＝4.二级结论 抛物线的有关性质：已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则(1)|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝2ps i n 2α(α为直线l 的倾斜角)．(2)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．(3)1|A F |＋1|B F |＝2p .【拓展训练】2 (1)已知F 是抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点，抛物线C 的准线与双曲线Γ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则Γ的离心率e 等于( )A.32B.233C.217D.213【答案】 D【解析】 抛物线的焦点坐标为(p 2，0)，准线方程为x ＝－p 2，联立抛物线的准线方程与双曲线的渐近线方程得Error!解得y ＝±p b 2a ，可得|AB|＝p ba，由△ABF 为等边三角形，可得p ＝32·p ba ，即有b a ＝23，则e ＝ca＝1＋b 2a 2＝1＋43＝213.(2)已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点M(x 0,22)(x 0>p 2)是抛物线C 上一点，圆M与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p2截得的弦长为3|MA|，若|M A ||A F |＝2，则|AF|等于( )A.32 B ．1 C ．2 D ．3【答案】 B【解析】 如图所示，由题意知，|MF|＝x 0＋p2.∵圆M 与线段MF 相交于点A ，且被直线x ＝p2截得的弦长为3|MA|，∴|MA|＝2|DM|＝2(x 0－p2).∵|M A ||A F |＝2，∴|MF|＝32|MA|，∴x 0＝p.又∵点M(x 0,22)在抛物线上，∴2p 2＝8，又∵p>0，∴p ＝2.∴|MA|＝2(x 0－p2)＝2，∴|AF|＝1.【要点提炼】考点三 直线与圆锥曲线的位置关系解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题要点如下：(1)设直线与椭圆的交点坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)；(2)联立直线的方程与椭圆的方程；(3)消元得到关于x 或y 的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为含有x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的式子，进而求解即可．【热点突破】【典例】3 (2020·全国Ⅲ)已知椭圆C ：x 225＋y 2m 2＝1(0<m<5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x ＝6上，且|BP|＝|BQ|，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【解析】解 (1)由题设可得25－m 25＝154，得m 2＝2516，所以C 的方程为x 225＋y 22516＝1.(2)设P(x P ，y P )，Q(6，y Q )，根据对称性可设y Q >0，由题意知y P >0.由已知可得B(5,0)，直线BP 的方程为y ＝－1y Q(x －5)，所以|BP|＝y P1＋y 2Q，|BQ|＝1＋y 2Q .因为|BP|＝|BQ|，所以y P ＝1.将y P ＝1代入C 的方程，解得x P ＝3或－3.由直线BP 的方程得y Q ＝2或8，所以点P ，Q 的坐标分别为P 1(3,1)，Q 1(6,2)；P 2(－3,1)，Q 2(6,8)．所以|P 1Q 1|＝10，直线P 1Q 1的方程为y ＝13x ，点A(－5,0)到直线P 1Q 1的距离为102，故△AP 1Q 1的面积为12×102×10＝52；|P 2Q 2|＝130，直线P 2Q 2的方程为y ＝79x ＋103，点A 到直线P 2Q 2的距离为13026，故△AP 2Q 2的面积为12×13026×130＝52.综上，△APQ 的面积为52.规律方法 解决直线与圆锥曲线位置关系的注意点(1)注意使用圆锥曲线的定义．(2)引入参数，注意构建直线与圆锥曲线的方程组．(3)注意用好圆锥曲线的几何性质．(4)注意几何关系和代数关系之间的转化．【拓展训练】3 (1)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B|，|AB|＝|BF 1|，则C 的方程为( )A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1【答案】 B【解析】 由题意设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)，连接F 1A ，令|F 2B|＝m ，则|AF 2|＝2m ，|BF 1|＝3m.由椭圆的定义知，4m ＝2a ，得m ＝a2，故|F 2A|＝a ＝|F 1A|，则点A 为椭圆C 的上顶点或下顶点．令∠OAF 2＝θ(O 为坐标原点)，则sin θ＝ca ＝1a .在等腰三角形ABF 1中，cos2θ＝ 2m 2＋ 3m 2－ 3m 22×2m ·3m ＝13，因为cos 2θ＝1－2sin 2θ，所以13＝1－2(1a)2，得a 2＝3.又c 2＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝2，椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.(2)设F 为抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点，斜率为k(k>0)的直线过F 交抛物线于A ，B 两点，若|FA|＝3|FB|，则直线AB 的斜率为( )A.12B．1 C.2 D.3【答案】 D【解析】 假设A在第一象限，如图，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形，由抛物线定义可知|AD|＝|AF|，|BE|＝|BF|，又∵|FA|＝3|FB|，∴|AD|＝|CE|＝3|BE|，即B为CE 的三等分点，设|BF|＝m，则|BC|＝2m，|AF|＝3m，|AB|＝4m，即|AC|＝|A B|2－|B C|2＝16m2－4m2＝23m，则tan∠ABC＝|A C||B C|＝23m2m＝3，即直线AB的斜率k＝3.专题训练一、单项选择题1．(2020·福州模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±23x，则此双曲线的离心率为( )A.134B.132C.133D.134【答案】 C【解析】 因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±23x，所以ba＝23，所以双曲线的离心率e＝ca＝1＋(b a)2＝1＋(23)2＝133.2．(2020·全国Ⅰ)已知A为抛物线C：y2＝2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p等于( )A．2 B．3 C．6 D．9【答案】 C【解析】 设A(x，y)，由抛物线的定义知，点A到准线的距离为12，即x＋p2＝12.又因为点A到y轴的距离为9，即x＝9，所以9＋p2＝12，解得p＝6.3．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为43，且直线AM与AN的斜率之积为－23，则C的方程为( )A.x212＋y28＝1 B.x212＋y24＝1C.x23＋y22＝1 D.x23＋y2＝1【答案】 C【解析】 由△AF1B的周长为43，可知|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝43，解得a ＝3，则M (－3，0)，N(3，0)．设点A(x 0，y 0)(x 0≠±3)，由直线AM 与AN 的斜率之积为－23，可得y 0x 0＋3·y 0x 0－3＝－23，即y 20＝－23(x 20－3)，①又x 203＋y 20b 2＝1，所以y 20＝b 2(1－x 203)，②由①②解得b 2＝2.所以C 的方程为x 23＋y 22＝1.4．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为( )A.2 B.3 C ．2 D.5【答案】 A【解析】 如图，由题意，知以OF 为直径的圆的方程为(x －c2)2＋y 2＝c 24，①将x 2＋y 2＝a 2记为②式，①－②得x ＝a 2c，则以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2的公共弦所在直线的方程为x ＝a 2c，所以|PQ|＝2a 2－(a 2c)2.由|PQ|＝|OF|，得2a 2－(a 2c )2＝c ，整理得c 4－4a 2c 2＋4a 4＝0，即e 4－4e 2＋4＝0，解得e ＝2.5．(2020·潍坊模拟)已知点P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)右支上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，直线PF 1与C 的一条渐近线垂直，垂足为H ，若|PF 1|＝4|HF 1|，则该双曲线的离心率为( )A.153 B.213 C.53 D.73【答案】 C【解析】 如图，取PF 1的中点M ，连接MF 2.由条件可知|HF 1|＝14|PF 1|＝12|MF 1|，∵O 是F 1F 2的中点，∴OH ∥MF 2，又∵OH ⊥PF 1，∴MF 2⊥PF 1，∴|F 1F 2|＝|PF 2|＝2c.根据双曲线的定义可知|PF 1|＝2a ＋2c ，∴|HF1|＝a＋c 2，直线PF1的方程是y＝ab(x＋c)，即ax－by＋ac＝0，原点到直线PF1的距离|OH|＝|a c|a2＋b2＝a，∴在△OHF1中，a2＋(a＋c2)2＝c2，整理为3c2－2ac－5a2＝0，即3e2－2e－5＝0，解得e＝53或e＝－1(舍)．二、多项选择题6．(2020·新高考全国Ⅰ)已知曲线C：mx2＋ny2＝1.( ) A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＝n>0，则C是圆，其半径为nC．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y＝±－m n xD．若m＝0，n>0，则C是两条直线【答案】 ACD【解析】 对于A，当m>n>0时，有1n>1m>0，方程化为x21m＋y21n＝1，表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确．对于B，当m＝n>0时，方程化为x2＋y2＝1n，表示半径为1n的圆，故B错误．对于C，当m>0，n<0时，方程化为x21m－y2－1n＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，其中a＝1m，b ＝－1n ，渐近线方程为y ＝±－m nx ；当m<0，n>0时，方程化为y 21n －x 2－1m ＝1，表示焦点在y 轴上的双曲线，其中a ＝1n ，b ＝－1m ，渐近线方程为y ＝±－mn x ，故C 正确．对于D ，当m ＝0，n>0时，方程化为y ＝±1n，表示两条平行于x 轴的直线，故D 正确．7．已知双曲线C 过点(3，2)且渐近线为y ＝±33x ，则下列结论正确的是( )A ．C 的方程为x 23－y 2＝1B ．C 的离心率为3C ．曲线y ＝e x －2－1经过C 的一个焦点D ．直线x －2y －1＝0与C 有两个公共点【答案】 AC【解析】 因为渐近线方程为y ＝±33x ，所以可设双曲线方程为x 29－y 23＝λ，代入点(3，2)，得λ＝13，所以双曲线方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；该双曲线的离心率为233，选项B 不正确；双曲线的焦点为(±2,0)，曲线y ＝e x －2－1经过双曲线的焦点(2,0)，选项C 正确；把x ＝2y ＋1代入双曲线方程，得y 2－22y ＋2＝0，解得y ＝2，故直线x －2y －1＝0与曲线C 只有一个公共点，选项D 不正确．8．已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D.若|AF|＝8，则下列结论正确的是( )A ．p ＝4 B.D F → ＝F A →C ．|BD|＝2|BF|D ．|BF|＝4【答案】 ABC【解析】 如图所示，分别过点A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，M ，连接EF.抛物线C 的准线交x 轴于点P ，则|PF|＝p ，由于直线l 的斜率为3，则其倾斜角为60°.又AE ∥x 轴，∴∠EAF ＝60°，由抛物线的定义可知，|AE|＝|AF|，则△AEF 为等边三角形，∴∠EFP ＝∠AEF ＝60°，则∠PEF ＝30°，∴|AF|＝|EF|＝2|PF|＝2p ＝8，解得p ＝4，故A 正确；∵|AE|＝|EF|＝2|PF|，PF ∥AE ，∴F 为线段AD 的中点，则D F → ＝F A →，故B 正确；∵∠DAE ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴|BD|＝2|BM|＝2|BF|(抛物线定义)，故C 正确；∵|BD|＝2|BF|，∴|BF|＝13|DF|＝13|AF|＝83，故D 错误．三、填空题9．(2019·全国Ⅲ)设F 1，F 2为椭圆C ：x 236＋y 220＝1的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限．若△MF 1F 2为等腰三角形，则M 的坐标为________．【答案】 (3，15)【解析】 不妨令F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点，根据题意可知c ＝36－20＝4.因为△MF 1F 2为等腰三角形，所以易知|F 1M|＝2c ＝8，所以|F 2M|＝2a －8＝4.设M(x ，y)，则Error!得Error!所以M 的坐标为(3，15)．10．(2020·全国Ⅰ)已知F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a>0，b>0)的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为3，则C 的离心率为________．【答案】 2【解析】 如图，A(a,0)．由BF ⊥x 轴且AB 的斜率为3，知点B 在第一象限，且B (c ，b 2a )，则k AB ＝b 2a －0c －a ＝3，即b 2＝3ac －3a 2.又∵c 2＝a 2＋b 2，即b 2＝c 2－a 2，∴c 2－3ac ＋2a 2＝0，∴e 2－3e ＋2＝0.解得e ＝2或e ＝1(舍去)．故e ＝2.11．设双曲线mx 2＋ny 2＝1的一个焦点与抛物线y ＝18x 2的焦点相同，离心率为2，则抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为________．【答案】 3【解析】 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)，∴mx 2＋ny 2＝1的一个焦点为(0,2)，∴焦点在y 轴上，∴a 2＝1n ，b 2＝－1m，c ＝2.根据双曲线三个参数的关系得到4＝a 2＋b 2＝1n －1m，又离心率为2，即41n ＝4，解得n ＝1，m ＝－13，∴此双曲线的方程为y 2－x 23＝1，则双曲线的一条渐近线方程为x －3y ＝0，则抛物线的焦点(0,2)到双曲线的一条渐近线的距离为d ＝|23|1＋3＝3.12.如图，抛物线C 1：y 2＝2px 和圆C 2：(x －p 2)2＋y 2＝p 24，其中p>0，直线l 经过C 1的焦点，依次交C 1，C 2于A ，D ，B ，C 四点，则A B → ·C D → 的值为________．【答案】 p 24【解析】 易知A B → ·C D →＝|AB|·|CD|，圆C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F ，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝p 2，所以A (p 2，p )，B (p 2，p 2)，C (p 2，－p 2)，D (p 2，－p )，|A B →|＝|C D → |＝p 2，所以A B → ·C D → ＝p 2·p 2＝p 24；当直线l 的斜率存在时，设A(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，则|AB|＝|FA|－|FB|＝x 1＋p 2－p2＝x 1，同理|CD|＝x 2，设l 的方程为y ＝k (x －p 2)，由Error!可得k 2x 2－(pk 2＋2p)x ＋k 2p 24＝0，则A B → ·C D → ＝|AB|·|CD|＝x 1·x 2＝p 24.综上，A B → ·C D →＝p 24.四、解答题13．(2020·全国Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD|＝43|AB|.(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF|＝5，求C 1与C 2的标准方程．【解析】解 (1)由已知可设C 2的方程为y 2＝4cx ，其中c ＝a 2－b 2.不妨设A ，C 在第一象限，由题设得A ，B 的纵坐标分别为b 2a ，－b 2a；C ，D 的纵坐标分别为2c ，－2c ，故|AB|＝2b 2a ，|CD|＝4c.由|CD|＝43|AB|得4c ＝8b 23a，即3×ca＝2－2(ca )2，解得ca ＝－2(舍去)，ca ＝12.所以C 1的离心率为12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，故C 1：x 24c 2＋y 23c 2＝1.设M(x 0，y 0)，则x 204c 2＋y 203c 2＝1，y 20＝4cx 0，故x 204c 2＋4x 03c＝1.①由于C 2的准线为x ＝－c ，所以|MF|＝x 0＋c ，而|MF|＝5，故x 0＝5－c ，代入①得 5－c 24c 2＋4 5－c 3c＝1，即c 2－2c －3＝0，解得c ＝－1(舍去)，c ＝3.所以C 1的标准方程为x 236＋y 227＝1，C 2的标准方程为y 2＝12x.14．已知点F 为抛物线E ：y 2＝2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E 上，且到原点的距离为23.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点G(－1,0)，延长AF 交抛物线于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．【解析】(1)解 由题意可得Error!解得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x.(2)证明 设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E ：y 2＝4x 上，所以m ＝±22，由抛物线的对称性，不妨取A(2,22)．由A(2,22)，F(1,0)可得直线AF 的方程为y ＝22(x －1)，联立Error!得2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12，从而B (12，－2).所以直线GB 的方程为22x ＋3y ＋22＝0，易知直线GA 的方程为22x －3y ＋22＝0，从而r＝|22＋22|8＋9＝4217.因为点F到直线GB的距离d＝|22＋22|8＋9＝4217＝r，所以以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切．。
高考数学二轮复习名师知识点总结：椭圆、双曲线、抛物线
椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质1122|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.考点一 圆锥曲线的定义与标准方程例1 (1)设椭圆x 22＋y 2m ＝1和双曲线y 23－x 2＝1的公共焦点分别为F 1、F 2，P 为这两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值等于________．(2)已知直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点．若|F A |＝2|FB |，则k ＝________. 答案 (1)3 (2)223解析 (1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m －2＝4，故m ＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF 1|＋|PF 2|＝26，||PF 1|－|PF 2||＝23，两式平方相减得4|PF 1||PF 2|＝4×3，所以|PF 1|·|PF 2|＝3.(2)方法一 抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k (x ＋2)(k ＞0)恒过定点P (－2,0)． 如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于点M ，BN ⊥l 于点N .由|F A |＝2|FB |，则|AM |＝2|BN |，点B 为AP 的中点．连接OB ，则|OB |＝12|AF |，∴|OB |＝|BF |，点B 的横坐标为1，故点B 的坐标为(1,22)．∴k ＝22－01－(－2)＝223.方法二 如图，由图可知，BB ′＝BF ，AA ′＝AF ，又|AF |＝2|BF |，∴|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|＝12，即B 是AC 的中点．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2x B ＝x A －2，2y B ＝y A 与⎩⎪⎨⎪⎧y 2A ＝8x A ，y 2B ＝8x B ，联立可得A (4,42)，B (1,22)． ∴k AB ＝42－224－1＝223. (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求|PF 1|＋|PF 2|＞|F 1F 2|，双曲线的定义中要求||PF 1|－|PF 2||＜|F 1F 2|，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化． (2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)(2012·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为( )A.x 28＋y 22＝1B.x 212＋y 26＝1C.x 216＋y 24＝1D.x 220＋y 25＝1(2)如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ， 交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x答案 (1)D (2)C∵双曲线x 2－y 2＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴渐近线x ±y ＝0与椭圆x 2＋4y 2＝4b 2在第一象限的交点为⎝⎛⎭⎫255b ，255b ，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为255b ×255b ＝4，∴b 2＝5，∴a 2＝4b 2＝20.∴椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.(2)如图，分别过A ，B 作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定 义知，|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，∵|BC |＝2|BF |，∴|BC |＝2|BB 1|，∴∠BCB 1＝30°，∴∠AFx ＝60°. 连接A 1F ，则△AA 1F 为等边三角形， 过F 作FF 1⊥AA 1于F 1，则F 1为AA 1的中点，设l 交x 轴于N ，则|NF |＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF |，即p ＝32，∴抛物线方程为y 2＝3x ，故选C.考点二 圆锥曲线的几何性质例2 (1)(2013·辽宁)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF .若|AB |＝10，|BF |＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为( )A.35B.57C.45D.67(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 (1)B (2)53解析 (1)在△ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2－2|AB |·|BF |cos ∠ABF ， ∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2，则AF ⊥BF . ∴c ＝|OF |＝12|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6，∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，a ＝7. 因此椭圆的离心率e ＝c a ＝57.(2)设∠F 1PF 2＝θ，由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4|PF 2|得⎩⎨⎧|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a ，由余弦定理得cos θ＝17a 2－9c 28a 2＝178－98e 2.∵θ∈(0,180°]，∴cos θ∈[－1,1)，－1≤178－98e 2<1， 又e >1，∴1<e ≤53.解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(1)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点D ，且B F →＝2 F D →，则C 的离心率为________．(2)过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 作圆x 2＋y 2＝a 24的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若E 为PF 的中点，则双曲线的离心率为________． 答案 (1)33 (2)102解析 (1)设椭圆C 的焦点在x 轴上，如图，B (0，b )，F (c,0)，D (x D ，y D )， 则B F →＝(c ，－b )，F D →＝(x D －c ，y D )，∵B F →＝2F D →，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2(x D －c )，－b ＝2y D ，∴⎩⎨⎧x D ＝3c2，y D＝－b2.又∵点D 在椭圆C 上，∴⎝⎛⎭⎫3c 22a2＋⎝⎛⎭⎫－b 22b2＝1，即e 2＝13.∴e ＝33.(2)设c ＝a 2＋b 2，双曲线的右焦点为F ′.则|PF |－|PF ′|＝2a ，|FF ′|＝2c .∵E 为PF 的中点，O 为FF ′的中点，∴OE ∥PF ′，且|PF ′|＝2|OE |. ∵OE ⊥PF ，|OE |＝a2，∴PF ⊥PF ′，|PF ′|＝a ，∴|PF |＝|PF ′|＋2a ＝3a .∵|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2，∴9a 2＋a 2＝4c 2，∴c a ＝102. ∴双曲线的离心率为102.考点三 直线与圆锥曲线的位置关系例3 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，点F 为椭圆的右焦点，点A 、B 分别为椭圆的左、右顶点，点M 为椭 圆的上顶点，且满足MF →·FB →＝2－1. (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，当直线l 交椭圆于P 、Q 两点时，使点F 恰为△PQM 的垂心？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)根据题意得，F (c,0)(c >0)，A (－a,0)，B (a,0)，M (0，b )，∴MF →＝(c ，－b )，FB →＝(a －c,0)，∴MF →·FB →＝ac －c 2＝2－1.又e ＝c a ＝22，∴a ＝2c ，∴2c 2－c 2＝2－1，∴c 2＝1，a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的直线l .∵k MF ＝－1，且MF ⊥l ，∴k l ＝1.设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1消去y 得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则有Δ＝16m 2－12(2m 2－2)>0，即m 2<3，又x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23，∴y 1y 2＝(x 1＋m )(x 2＋m )＝x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝2m 2－23－4m 23＋m 2＝m 2－23.又F 为△MPQ 的垂心，连接PF ，则PF ⊥MQ ，∴PF →·MQ →＝0，又PF →＝(1－x 1，－y 1)，MQ →＝(x 2，y 2－1)，∴PF →·MQ →＝x 2＋y 1－x 1x 2－y 1y 2＝x 2＋x 1＋m －x 1x 2－y 1y 2 ＝－43m ＋m －2m 2－23－m 2－23＝－m 2－m 3＋43＝－13(3m 2＋m －4)＝－13(3m ＋4)(m －1)＝0，∴m ＝－43或m ＝1(舍去)， 经检验m ＝－43符合条件，∴存在满足条件的直线l ，其方程为3x －3y －4＝0.(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．(2)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． (2013·北京)已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积； (2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1.在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y 2－y 1|＝3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形．因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2， ∵M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k . 又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．1． 对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．2． 椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A 、B 是不等的常数，A >B >0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B >A >0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB <0时表示双曲线．3． 求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；方法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求ca.4． 通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a，过椭圆焦点的弦中通径最短；抛物线通径长是2p ，过抛物线焦点的弦中通径最短． 椭圆上点到焦点的最长距离为a ＋c ，最短距离为a －c . 5． 抛物线焦点弦性质：已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点弦， F 为抛物线的焦点，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝p 24；(2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)S △AOB ＝p 22sin α；(4)1|F A |＋1|FB |为定值2p； (5)以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切.1． 已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(1,1＋2)D ．(2,1＋2)答案 B解析 由AB ⊥x 轴，可知△ABE 为等腰三角形，又△ABE 是锐角三角形，所以∠AEB 为锐角，即∠AEF <45°，于是|AF |<|EF |，b 2a<a ＋c ，于是c 2－a 2<a 2＋ac ，即e 2－e －2<0，解得－1<e <2.又双曲线的离心率e >1，从而1<e <2.2． 设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能答案 A解析 ∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－c a .∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2.∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2.∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．(推荐时间：70分钟)一、选择题1． (2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x答案 C解析 由题意知：F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M ＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝⎛⎭⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －522＋⎝⎛⎭⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝⎛⎭⎫5－p2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ，故选C. 2． 与椭圆x 212＋y 216＝1共焦点，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－x 23＝1B.y 23－x 2＝1C.3x 24－3y 28＝1D.3y 24－3x 28＝1 答案 A解析 椭圆x 212＋y 216＝1的离心率为16－1216＝12，且焦点为(0，±2)，所以所求双曲线的焦点为(0，±2)且离心率为2，所以c ＝2，2a ＝2得a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3，故所求双曲线方程是y 2－x 23＝1. 3． (2013·江西)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |等于( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3 答案 C解析 由抛物线定义知M 到F 的距离等于M 到准线l 的距离MH . 即|FM |∶|MN |＝|MH |∶|MN |＝|FO |∶|AF |＝1∶ 5.4． 过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F ，作圆x 2＋y 2＝a 2的切线FM 交y 轴于点P ，切圆于点M,2OM →＝OF →＋OP →，则双曲线的离心率是( )A. 2B. 3C ．2D. 5答案 A解析 由已知条件知，点M 为直三角形OFP 斜边PF 的中点，故OF ＝2OM ，即c ＝2a ，所以双曲线的离心率为 2.5． (2013·山东)抛物线C 1：y ＝12p x 2(p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p 等于( ) A.316B.38C.233D.433答案 D解析 抛物线C 1的标准方程为x 2＝2py ，其焦点F 为⎝⎛⎭⎫0，p2，双曲线C 2的右焦点F ′为(2,0)，渐近线方程为 y ＝±33x . 由y ′＝1p x ＝33得x ＝33p ，故M ⎝⎛⎭⎫33p ，p6. 由F 、F ′、M 三点共线得p ＝433.6． 椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且PF →1·PF →2的最大值的取值范围是[c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆M 的离心率e 的取值范围是( )A ．[14，12]B ．[12，22]C ．(22，1)D ．[12，1)答案 B解析 设P (x ，y )，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF →1＝(－c －x ，－y )，PF →2＝(c －x ，－y )， PF →1·PF →2＝x 2＋y 2－c 2. 又x 2＋y 2可看作P (x ，y )到原点的距离的平方， 所以(x 2＋y 2)max ＝a 2，所以(PF 2→·PF 2→)max ＝b 2，所以c 2≤b 2＝a 2－c 2≤3c 2，即14≤e 2≤12， 所以12≤e ≤22.故选B.二、填空题7． (2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为________．答案 2解析 建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4， ∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.8． (2013·福建)椭圆Г：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Г的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________． 答案3－1解析 由直线方程为y ＝3(x ＋c )，知∠MF 1F 2＝60°， 又∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，所以∠MF 2F 1＝30°，MF 1⊥MF 2，所以|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c 所以|MF 1|＋|MF 2|＝c ＋3c ＝2a . 即e ＝ca＝3－1.9． (2013·辽宁)已知F 为双曲线C ：x 29－y 216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________． 答案 44解析 由双曲线C 的方程，知a ＝3，b ＝4，c ＝5，∴点A (5,0)是双曲线C 的右焦点， 且|PQ |＝|QA |＋|P A |＝4b ＝16，由双曲线定义，|PF |－|P A |＝6，|QF |－|QA |＝6.∴|PF |＋|QF |＝12＋|P A |＋|QA |＝28，因此△PQF 的周长为 |PF |＋|QF |＋|PQ |＝28＋16＝44.10．已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为________． 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为 |PF 1|＋|PF 2|－1－2＝7. 三、解答题11．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值． 解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 x 21a 2＋y 21b 2＝1 ① x 22a 2＋y 22b2＝1②①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0. 因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)，因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)．所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2，又因为c ＝3，所以a 2＝6， 所以M 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0， 所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ， 将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得： 3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463； 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得： 3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2，又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863.12．(2013·江西)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A 、PB 、PM 的斜率分别为k 1、k 2、k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1上，得 1a 2＋94b 2＝1，① 又e ＝c a ＝12，得a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，②②代入①得，c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)x 24＋y 23＝1得，(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3.k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1 ＝2k －32·8k 24k 2＋3－24k 2－124k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1.又将x ＝4代入y ＝k (x －1)得M (4,3k )，∴k 3＝3k －323＝k －12，∴k 1＋k 2＝2k 3. 故存在常数λ＝2符合题意．知 识 点 总 结 与 练 习11 / 11 13．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其一个顶点的抛物线x 2＝－43 y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标；(3)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，且满足P A →·PB →＝PM →2？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y23＝1.(2)因为过点P (2,1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1 (k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 23＝1y ＝k (x －2)＋1得(3＋4k 2) x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0.整理，得32(6k ＋3)＝0，解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.(3)若存在直线l 1满足条件，则直线l 1的斜率存在，设其方程为y ＝k 1(x －2)＋1，代入椭圆C 的方程得 (3＋4k 21)x 2－8k 1(2k 1－1)x ＋16k 21－16k 1－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点A ，B ，所以Δ＝[－8k 1(2k 1－1)]2－4(3＋4k 21)(16k 21－16k 1－8)＝32(6k 1＋3)>0. 所以k 1>－12.x 1＋x 2＝8k 1(2k 1－1)3＋4k 21，x 1x 2＝16k 21－16k 1－83＋4k 21.因为P A →·PB →＝PM →2，即(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 21)＝54， 即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 21)＝54.所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 21－16k 1－83＋4k 21－2·8k 1(2k 1－1)3＋4k 21＋4(1＋k 21) ＝4＋4k 213＋4k 21＝54，解得k 1＝±12.因为A ，B 为不同的两点，所以k 1＝12. 于是存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .。
高中 高考理科数学专项复习 解析几何 椭圆、双曲线、抛物线的基本问题
的基本问题
高考定位
1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多
以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题； 2直线与圆 锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存 在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化
归与分类讨论思想方法的考查.
真题感悟
x2 y2 1.(2016· 全国Ⅰ卷)已知方程 2 － 2 ＝1 表示双曲线，且 m ＋n 3m －n 该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( A.(－1，3) C.(0，3) B.(－1， 3) D.(0， 3) )
解析
如图，不妨设点 M 位于第一象限
内，抛物线 C 的准线交 x 轴于点 A ，过点 M 作准线的垂线，垂足为点 B ，交 y 轴于 点P，∴PM∥OF. 由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，
1 ∴|MP|＝ |FO|＝1. 2 又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.Fra bibliotek答案 6
x2 2 4.(2017· 全国Ⅱ卷)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2 ＋y → ＝ 2NM →. ＝1 上， 过 M 作 x 轴的垂线， 垂足为 N， 点 P 满足NP (1)求点 P 的轨迹方程； → ·PQ → ＝1.证明：过点 P 且 (2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP 垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.
考点整合 1.圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)；
(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)；
2017年高考数学深化复习命题热点提分专题16圆锥曲线中的热点问题文
专题16 圆锥曲线中的热点问题1．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2n＝1有相同的焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12【答案】：A【解析】：由题意知m >0，n <0，椭圆与双曲线的焦点都在x 轴上，∵椭圆与双曲线有相同的焦点，∴m ＋2＋n ＝m －n ，n ＝－1，∴e ＝m ＋2＋nm ＋2＝m ＋1m ＋2＝1－1m ＋2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. 2．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1斜率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，1 【答案】：B【解析】：椭圆的左顶点为A 1(－2,0)，右顶点为A 2(2,0)，设点P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，得y 20x 20－4＝－34.而k2PA ＝y 0x 0－2，k 1PA ＝y 0x 0＋2，所以k 2PA ·k 1PA ＝y 20x 20－4＝－34.又k 2PA ∈[－2，－1]，所以k 1PA ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.3．过定点C (0，p )的直线与抛物线x 2＝2py (p >0)相交于A ，B 两点，若点N 是点C 关于坐标原点的对称点，则△ANB 面积的最小值为( )A ．22p B.2p C ．22p 2D.2p 2【答案】：C4．若以F 1(－3,0)，F 2(3,0)为焦点的双曲线与直线y ＝x －1有公共点，则该双曲线的离心率的最小值为( )A.62B.355C.32D. 3【答案】：B【解析】：依题意，设题中的双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则有a 2＋b 2＝9，b 2＝9－a 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1x 2a 2－y 2b2＝1消去y ，得x 2a 2－x －12b 2＝1，即(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2(1＋b 2)＝0(*)有实数解，注意到当b2－a 2＝0时，方程(*)有实数解，此时双曲线的离心率e ＝2；当b 2－a 2≠0时，Δ＝4a 4＋4a 2(b 2－a 2)(1＋b 2)≥0，即a 2－b 2≤1，a 2－(9－a 2)≤1(b 2＝9－a 2>0且a 2≠b 2)，由此解得0<a 2≤5且a 2≠92，此时e ＝3a ≥35＝355.综上所述，该双曲线的离心率的最小值是355，选B.5．已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1,2)C ．(2,1＋2)D ．(1,1＋2)【答案】：B【解析】：若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF <45°，在Rt△AFE 中，|AF |＝b 2a ，|FE |＝a ＋c ，则b 2a <a ＋c ⇒b 2<a 2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac >0⇒e 2－e －2<0⇒－1<e <2，又e >1，则1<e <2，故选B.6．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别为椭圆的左，右焦点，O 是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M →·MP →＝0，则|OM →|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]【答案】：B7．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点且|PF 1|＝2|PF 2|，则此双曲线离心率的取值范围是________．【答案】：(1,3]【解析】：由双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，而由题意|PF 1|＝2|PF 2|，故|PF 2|＝2a ，|PF 1|＝4a .又|F 1F 2|＝2c ，由三角不等式有6a ≥2c .又由定义有c >a ，故离心率e ＝ca∈(1,3]．8．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．【答案】：17－1【解析】：由题意知，圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心为C (0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F (1,0)．根据抛物线的定义，点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线准线的距离之和O 即为点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ |＋|PF |≥|PC |＋|PF |－1≥|CF |－1＝17－1.9．设抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，已知A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝60°，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线为MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．【答案】：110．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12，∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k2， |AB |＝1＋k 2·12k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>063＋k 2≤12|AB |，解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.11．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，D 、E 分别是椭圆的上顶点与右顶点，且S △DEF 2＝1－32. (1)求椭圆C 1的方程；(2)在椭圆C 1落在第一象限的图象上任取一点作C 1的切线l ，求l 与坐标轴围成的三角形的面积的最小值．根据题意可得方程①只有一实根，∴Δ＝(2km )2－4⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14(m 2－1)＝0，整理得：m 2＝4k 2＋1.②∵直线l 与两坐标轴的交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0，(0，m )且k <0，∴l 与坐标轴围成的三角形的面积S ＝12·m2－k ，③将②代入③可得：S ＝－2k ＋1－2k≥2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当k ＝－12时取等号， ∴l 与坐标轴围成的三角形面积的最小值为2.12．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由．联立⎩⎨⎧y －3＝k x －2x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0， ∴x 1＋2＝8k2k －31＋4k2. 同理可得：x 2＋2＝－8k －2k －31＋4k 2＝8k 2k ＋31＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k x 1＋x 2－4k x 1－x 2＝36.∴直线AB 的斜率为定值36. 13．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1的右焦点为F (c,0)且a >b >c >0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF的距离为32，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ， B 且使得OP →2＝4PA →·PB →成立？若存在，试求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．∵OP →2＝4PA →·PB →，即4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)·(y 2－1)]＝5，∴4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，∴4⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k 2k －13＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5， 解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去．∴存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12x .14.如图，过顶点在原点、对称轴为y 轴的抛物线E 上的定点A (2,1)作斜率分别为k 1、k 2的直线，分别交抛物线E 于B 、C 两点．(1)求抛物线E 的标准方程和准线方程； (2)若k 1＋k 2＝k 1k 2，证明：直线BC 恒过定点．15.已知抛物线y 2＝2px (p >0)上点T (3，t )到焦点F 的距离为4.(1)求t ，p 的值；(2)设A ，B 是抛物线上分别位于x 轴两侧的两个动点，且OA →·OB →＝5(其中O 为坐标原点)． ①求证：直线AB 必过定点，并求出该定点P 的坐标；②过点P 作AB 的垂线与抛物线交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最小值．即－4t ＝－20⇒t ＝5，所以直线AB 过定点P (5,0)；②由①得|AB |＝1＋m 2|y 2－y 1| ＝1＋m 2·16m 2＋80， 同理得|CD |＝ 1＋⎝⎛⎭⎪⎫－1m 2|y 2－y 1|＝1＋1m 2·16m 2＋80，则四边形ACBD 面积S ＝12|AB |·|CD |＝12 1＋m 2·16m 2＋80·1＋1m 2·16m 2＋80＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤26＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋1m 2. 令m 2＋1m2＝μ(μ≥2)，则S ＝85μ2＋36μ＋52是关于μ的增函数，故S min ＝96，当且仅当m ＝±1时取到最小值96.。
2017年高考数学(考点解读+命题热点突破)专题16 圆锥曲线中的热点问题 文
专题16 圆锥曲线中的热点问题 文【命题热点突破一】轨迹方程、存在探索性问题 例1、【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞的离心率是2，抛物线E ：22x y =的焦点F是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M .（i ）求证：点M 在定直线上;（ii ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22( 【解析】（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线l 方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ，)14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ， 当211=t ，即2=t 时，21S S 取得最大值49，此时22=m ，满足0∆>，所以点P 的坐标为)41,22(，因此12SS 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(. 【变式探究】椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点P(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点Q(－5，0)任作一直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，记MQ →＝λQN →，线段MN 上的点R 满足MR →＝－λRN →，求点R 的轨迹方程．因为点M ，N 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 235＋y 234＝1，x 245＋y 244＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧[－λx 4－5（λ＋1）]25＋（－λy 4）24＝1，x 245＋y 244＝1，第二个等式两边同乘λ2，两式相减得x 4＝－3－2λ①.由MR →＝－λRN →，得（x －x 3，y －y 3）＝－λ（x 4－x ，y 4－y ），即x －x 3＝－λ（x 4－x ），即（1－λ）x ＝x 3－λx 4＝－2λx 4－5（1＋λ）②.把①代入②得（1－λ）x ＝λ－1，根据已知λ≠1，所以x ＝－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 24＝1，x ＝－1解得y ＝±4 55.所以点R 的轨迹方程为x ＝－1（－4 55<y<4 55）.【特别提醒】求动点的轨迹方程的基本方法有直接法、待定系数法(定义法)和代入法，在圆锥曲线的解答题中往往第一个问题就是求出圆锥曲线的方程．当求出的曲线方程含有可变参数时，要根据参数范围确定方程表示的曲线．【变式探究】已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，该椭圆的离心率为22，A 是椭圆上一点，AF 2⊥F 1F 2，原点O 到直线AF 1的距离为13.(1)求椭圆的方程．(2)是否存在过F 2的直线l 交椭圆于B ，C 两点，且满足△BOC 的面积为23？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【特别提醒】解析几何中存在探索性问题的解法和其他的存在探索性问题的解法的思想是一致的，即在假设其存在的情况下进行计算和推理，根据得出的结果是否合理确定其存在与否．【命题热点突破二】圆锥曲线中的定点、定值问题 例2、【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --； ②求p 的取值范围.【答案】（1）x y 82（2）①详见解析，②)34,0( 【解析】【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)经过点(1，32)，离心率为32，过椭圆右顶点的两条斜率之积为－14的直线分别与椭圆交于点M ，N.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)直线MN 是否过定点D ？若过，求出点D 的坐标；若不过，请说明理由．设直线AN 的斜率为k′，则kk′＝－14，即k′＝－14k ，把点M 坐标中的k 替换为－14k ，得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k24k 2＋1，4k 4k 2＋1.当M ，N 的横坐标不相等，即k≠±12时，k MN ＝2k 1－4k 2，直线MN 的方程为y －4k 4k 2＋1＝2k 1－4k 2（x －2－8k24k 2＋1），即y ＝2k1－4k2x ，该直线恒过定点（0，0）. 当k ＝±12时，M ，N 的横坐标为零，直线MN 也过定点（0，0）.综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.方法二：当直线MN 的斜率存在时，设MN ：y ＝kx ＋m ， 代入椭圆方程得（1＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设M （x 1，y 1），N （x 2， y 2），则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k2.设右顶点为A （2，0），根据已知y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－14，即4y 1y 2＋（x 1－2）（x 2－2）＝0，即（1＋4k 2）x 1x 2＋（4km －2）（x 1＋x 2）＋4m 2＋4＝0，所以（1＋4k 2）·4m 2－41＋4k 2＋（4km －2）（－8km 1＋4k2）＋4m 2＋4＝0，即（4km －2）（－8km ）＋8m 2（1＋4k 2）＝0，即m 2＋2km ＝0，得m ＝0或m ＝－2k. 当m ＝0时，直线y ＝kx 经过定点D （0，0）.由于AM ，AN 的斜率之积为负值，故点M ，N 在椭圆上位于x 轴的两侧，直线MN 与x 轴的交点一定在椭圆内部，而当m ＝－2k 时，直线y ＝kx －2k 过定点（2，0），这是不可能的.当MN 的斜率不存在时，点M ，N 关于x 轴对称，此时AM ，AN 的斜率分别为一12，12，此时M ，N 恰为椭圆的上下顶点，直线MN 也过定点（0，0）.综上可知，直线MN 过定点D （0，0）.【特别提醒】证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程，根据方程的成立与参数值无关得出关于x ，y 的方程组，以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左焦点是F(－1，0)，上顶点是B ，且|BF|＝2，直线y ＝k(x ＋1)与椭圆C 相交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若在x 轴上存在点P ，使得PM →·PN →与k 的取值无关，求点P 的坐标．若PM →·PN →与k 的取值无关，则只需8x 0－5－12＝43，解得x 0＝－118，所以在x 轴上存在点P ，使得PM →·PN →与k 的取值无关，P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，0.【特别提醒】定值问题就是证明一个量与其他的变化因素无关，这些变化的因素可能是直线的斜率、截距，也可能是动点的坐标等，这类问题的一般解法是用变化的量表达求证目标，通过运算求证目标的取值与变化的量无关．当使用直线的斜率和截距表达直线方程时，在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系，把双参数问题化为单参数问题来解决．【命题热点突破三】圆锥曲线中的范围与最值问题 例3. 【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞因此直线MH 的方程为设),(M M y x M ，由方程组消去y ，解得在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥M x ，即所以，直线l 的斜率的取值范围为【变式探究】已知圆心在x 轴上的圆C 过点(0，0)和(－1，1)，圆D 的方程为(x －4)2＋y 2＝4. (1)求圆C 的方程；(2)由圆D 上的动点P 向圆C 作两条切线分别交y 轴于A ，B 两点，求|AB|的取值范围．（2）设圆D 上的动点P 的坐标为（x 0，y 0），则（x 0－4）2＋y 20＝4，即y 20＝4－（x 0－4）2≥0，解得2≤x 0≤6. 设点A （0，a ），B （0，b ），则直线PA ：y －a ＝y 0－ax 0x ，即（y 0－a ）x －x 0y ＋ax 0＝0.因为直线PA 与圆C 相切，所以|a －y 0＋ax 0|（y 0－a ）2＋x 2＝1，化简得（x 0＋2）a 2－2y 0a －x 0＝0.① 同理得（x 0＋2）b 2－2y 0b －x 0＝0.②【特别提醒】解析几何中产生范围的有如下几种情况：(1)直线与曲线相交(判别式)；(2)曲线上点的坐标的范围；(3)题目中要求的限制条件．这些产生范围的情况可能同时出现在一个问题中，在解题时要注意全面把握范围产生的原因．【变式探究】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，上顶点为B ，BF 2的延长线交椭圆于点A ，△ABF 1的周长为8，且BF 1→·BA →＝0.(1)求椭圆的方程；(2)过点P(1，0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，点T(4，3)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2最大时，求直线l 的方程．【解析】：（1）由椭圆定义得△ABF 1的周长为4a ，所以4a ＝8，a ＝2.因为BF 1→·BA →＝0，所以F 1B ⊥F 2B ，△F 1BF 2为等腰直角三角形，所以b ＝c ＝22a ＝2，所以椭圆的方程为x 24＋y22＝1. （2）①当直线l 的斜率为0时，取M （－2，0），N （2，0），k 1·k 2＝34＋2×34－2＝34.【特别提醒】解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法．几何法是根据已知几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识解决问题的方法(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等)；代数法是建立求解目标关于某个(或两个)变量的函数，通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决问题的方法．【命题热点突破四】向量、圆锥曲线性质、点线距与基本不等式问题例4、已知抛物线y 2＝4 2x 的焦点为椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点F 2，且椭圆的长轴长为4，左、右顶点分别为A ，B ，经过椭圆左焦点F 1的直线l 与椭圆交于C ，D(异于A ，B)两点．(1)求椭圆的标准方程．(2)求四边形ADBC 的面积的最大值．(3)若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是椭圆上的两动点，且满足x 1x 2＋2y 1y 2＝0，动点P 满足OP →＝OM →＋2ON →(其中O 为坐标原点)，是否存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|为定值？若存在，求出该定值；若不存在，说明理由．【解析】：（1）由题设知，因为抛物线y 2＝4 2x 的焦点为（2，0），所以椭圆中的c ＝2，又由椭圆的长轴长为4，得a ＝2， 所以b 2＝a 2－c 2＝2，所以椭圆的标准方程为x 24＋y22＝1.方法二：易知A （－2，0），B （2，0），F 1（－2，0）， 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x ＝－2，此时S 四边形ADBC ＝4.当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝k （x ＋2）（其中k≠0），即x ＝1k y －2，代入椭圆方程得（2k 2＋1）y 2－2 2ky －2k 2＝0，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则有y 3＋y 4＝2 2k 2k 2＋1，y 3y 4＝－2k22k 2＋1.S 四边形ADBC ＝S △ABC ＋S △ABD ＝12|AB||y 3|＋12|AB||y 4|＝12|AB|·|y 3－y 4|＝12×4×（y 3＋y 4）2－4y 3y 4＝2（2 2k 2k 2＋1）2＋4×2k 22k 2＋1＝8 k 4＋k22k 2＋1＝81k2＋1＋11k2＋1<4.综上所述，四边形ADBC 的面积的最大值为4.（3）设P （x ，y ），因为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），由OP →＝OM →＋2ON →，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋2x 2，y ＝y 1＋2y 2.①因为M ，N 是椭圆上的点，所以x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4.由①及x 1x 2＋2y 1y 2＝0可得x 2＋2y 2＝（x 1＋2x 2）2＋2（y 1＋2y 2）2＝（x 21＋2y 21）＋4（x 22＋2y 22）＝20，所以x 2＋2y 2＝20，即x 220＋y210＝1，即为点P 的轨迹方程，由椭圆的定义可得，存在两定点G 1，G 2使得|PG 1|＋|PG 2|＝4 5.【易错提醒】 (1)错用圆锥曲线中系数的意义，如误以为长轴长就是a ，焦距就是c ；(2)忽视特殊情况，如使用直线的斜率时，忽视直线的斜率可能不存在；(3)不能正确地把几何条件(一般的几何条件、向量式表达的几何条件)转化为以坐标、方程表达的代数条件；(4)运算错误．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线y 22－x 2＝1的焦点重合，过点P(4，0)且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)求OA →·OB →的取值范围．【高考真题解读】1.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA e OA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有FH (1,)H y =-，9(BF -=由HF BF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以0=，解得因此直线MH 的方程为设),(M M y x M ，由方程组消去y ，解得在MAO △中，||||MO MA MAO MOA ≤⇔∠≤∠，即2222)2(M M M M y x y x +≤+-，化简得1≥Mx ，即所以，直线l 的斜率的取值范围为2.【2016高考新课标3理数】已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于,A B 两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）21y x =-．3.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【答案】（I）22221a k a k +（II）02e <≤．【解析】（Ⅱ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP AQ =．记直线AP ，AQ 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（Ⅰ）知，1AP =2AQ =，12=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由于12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此22221211(1)(1)1(2)a a k k ++=+-， ①因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是221(2)1a a +->，所以a >因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a <≤，由c e a ==得，所求离心率的取值范围为02e <≤．4.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)2.（Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM的方程(y k x =+代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++-=.由(221233t k tx tk -⋅=+得)21233tk x tk -=+，故1AM x ==.由题设，直线AN 的方程为(1y x k=-，故同理可得AN ==，由2AM AN =得22233ktk k t=++，即()()32321k t k k -=-.5.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB ∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】（Ⅰ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab ac 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （Ⅱ）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y .6.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T .（Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【解析】（I ）由已知，222(2)a a c +=，即a =，所以a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ， 此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.所以123m PA x ==-- ，同理223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=----21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+ 2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 7. 【2016高考上海理数】本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.双曲线2221(0)y x b b-=>的左、右焦点分别为12F F 、，直线l 过2F 且与双曲线交于A B 、两点。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)； 1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a ba bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y <<（00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时：当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2.3. 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PF e d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
简记为：左“＋”右“－”。
由此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。
22221x y a b +=；若焦点在y 轴上，则为22221y x a b+=。
有时为了运算方便，设),0(122n m m ny mx ≠>=+。
双曲线的定义、方程和性质1． 定义（1）第一定义：平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于定长2a （小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：①||PF 1|-|PF 2||=2a （2a <|F 1F 2|）是双曲线；若2a=|F 1F 2|，轨迹是以F 1、F 2为端点的射线；2a >|F 1F 2|时无轨迹。
②设M 是双曲线上任意一点，若M 点在双曲线右边一支上，则|MF 1|>|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=2a ；若M 在双曲线的左支上，则|MF 1|<|MF 2|，|MF 1|-|MF 2|=-2a ，故|MF 1|-|MF 2|=±2a ，这是与椭圆不同的地方。
2017高考数学理新课标版考前冲刺复习讲义：第2部分专题5第2讲椭圆、双曲线、抛物线 含答案 精品
第2讲 椭圆、双曲线、抛物线圆锥曲线的定义及标准方程 共研典例 类题通法1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后定量”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“定量”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．(1)(2016·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 (2)设F 1，F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，且|PF 1→＋PF 2→|＝23，则∠F 1PF 2＝( )A.π6B.π4C.π3D.π2(3)设抛物线y ＝14x 2上的一点P 到x 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离为________．【解析】 (1)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.(2)法一：设∠F 1PF 2＝θ，根据余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ，即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos θ.由|PF 1→＋PF 2→|＝23，得12＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|cos θ.两式相减得4|PF 1|·|PF 2|cos θ＝0，cos θ＝0，θ＝π2.法二：因为PF 1→＋PF 2→＝2PO →，O 为坐标原点，|PF 1→＋PF 2→|＝23，所以|PO →|＝3，又|OF 1|＝|OF 2|＝3，所以P ，F 1，F 2在以点O 为圆心的圆上，且F 1F 2为直径，所以∠F 1PF 2＝π2.(3)抛物线的标准方程为x 2＝4y ，准线方程为y ＝－1，x 轴与准线间的距离为1，故点P 到抛物线准线的距离为4＋1＝5，所以点P 到该抛物线焦点的距离为5.【答案】 (1)A (2)D (3)5(1)圆锥曲线定义的应用①已知椭圆、双曲线上一点及焦点，首先要考虑使用椭圆、双曲线的定义求解． ②应用抛物线的定义，灵活将抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相互转化使问题得解．(2)圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”．①定型．就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程． ②计算．即利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2或p .另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，椭圆常设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，双曲线常设为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．[题组通关]1．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1 B.x 28＋y 26＝1 C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 A [解析] 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1，0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故选A. 2．(2016·兰州实战考试)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与双曲线C 的渐近线交于A ，B 两点，△OAB (O 为坐标原点)的面积为42，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝2xD ．y 2＝43xA [解析] 因为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，所以b ＝2a ，故双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .又抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，故|AB |＝2p .又△OAB 的面积为42，x 轴是∠AOB 的角平分线，所以12³p2³2p ＝42，得p ＝4.则抛物线的方程为y 2＝8x ，故选A.3．(2016·贵州适应性考试)在一次导弹实验中，为了确定爆炸点的位置，设立了A ，B ，C 三个观测点．已知B 在A 的正西方向4a 米处，C 在A 的正南方向a 米处．实验中，在B ，C 两点听到导弹着地时的爆炸声比在A 点分别晚2秒和1秒，且声速v ＝a 米/秒，则此导弹爆炸点离A 点的距离为( )A ．a 米B ．2a 米C ．3a 米D ．4a 米C [解析] 以BA 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A (2a ，0)，B (－2a ，0)，C (2a ，－a )，设爆炸点为P (x ，y )(x >0)，由|PB |－|P A |＝2a ，得点P 的轨迹方程是x 2a 2－y 23a2＝1(x >0)，则由|PC |－|P A |＝a 得（x －2a ）2＋（y ＋a ）2－（x －2a ）2＋y 2＝a ，化简得x ＝2a ，则P A ⊥x 轴，|P A |＝b 2a＝3a ，选项C 正确．圆锥曲线的几何性质 共研典例 类题通法 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝⎛⎭⎫b a 2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．(1)(2016·广州市高考模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为( )A ．2x ±y ＝0B ．x ±2y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．3x ±4y ＝0(2)(2016·高考江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．【解析】 (1)双曲线的右焦点到左顶点的距离等于a ＋c ，右焦点到渐近线y ＝±ba x 的距离为bc a 2＋b 2＝b ，a ＋c ＝2b ，c ＝2b －a ，a 2＋b 2＝c 2＝(2b －a )2，所以3b ＝4a ，b a ＝43，所以所求渐近线方程为4x ±3y ＝0.(2)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C⎝⎛⎭⎫32a ，b 2，F (c ，0)，则由∠BFC ＝90°得BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫c ＋32a ，－b 2·⎝⎛⎭⎫c －32a ，－b 2＝c 2－34a 2＋14b 2＝0，化简得3c ＝2a ，则离心率e ＝c a ＝23＝63. 【答案】 (1)C (2)63圆锥曲线性质的应用(1)分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．[注] 求椭圆、双曲线的离心率，常利用方程思想及整体代入法，该思想及方法利用待定系数法求方程时经常用到．[题组通关]1．已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点P 在双曲线上，则双曲线的离心率为( )A ．4＋23B ．2 C.3＋12D.3＋1D [解析] 因为MF 1的中点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，△MF 1F 2为正三角形，边长都是2c ，所以3c －c ＝2a ，所以e ＝c a ＝23－1＝3＋1，故选D.2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝4px (p >0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则椭圆的离心率是________．[解析] 依题意，抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点F (p ，0)也是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点，所以a 2＝b 2＋p 2.因为点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，横坐标为p ，代入抛物线方程得A (p ，2p )或A (p ，－2p )，将其代入椭圆方程中得p 2a 2＋4p 2b 2＝1，又a 2＝b 2＋p 2，所以p 2a 2＋4p 2a 2－p 2＝1.而椭圆的离心率e ＝p a ，e 2＝p 2a 2，所以p 2a 2＋4p 2a 2－p 2＝p 2a 2＋4p 2a 2a 2－p 2a 2＝e 2＋4e 21－e2＝1，得e 2＝3±2 2.又因为椭圆离心率的取值范围为(0，1)，所以e 2＝3－22＝(2－1)2，即e ＝2－1.[答案] 2－1直线与圆锥曲线 高频考点 多维探明 1．直线与圆锥曲线位置关系与“Δ”的关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如y )得到方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0. ①若A ＝0，则：圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点． ②若A ≠0，则：当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点(相交)；当Δ＝0时，直线与圆锥曲线有一个交点(相切)；当Δ＜0时，直线与圆锥曲线没有交点(相离)．2．直线与圆锥曲线相交时的弦长设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入，即当直线与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2²|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|， 其中|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.研究直线与圆锥曲线的位置关系(2016·高考全国卷乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |； (2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 【解】 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝⎛⎭⎫t22p ，t . 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝⎛⎭⎫t 2p ，t ，ON 的方程为y ＝pt x ，代入y 2＝2px ，整理得px 2－2t 2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2p.因此H ⎝⎛⎭⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点．理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其他公共点．由直线与圆锥曲线的位置关系研究直线或圆锥曲线的方程及性质(2016·河北三市第二次联考)已知离心率为63的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个焦点为F ，过F 且与x 轴垂直的直线与椭圆交于A 、B 两点，|AB |＝233. (1)求此椭圆的方程；(2)已知直线y ＝kx ＋2与椭圆交于C 、D 两点，若以线段CD 为直径的圆过点E (－1，0)，求k 的值．【解】 (1)设焦距为2c ， 因为e ＝c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，所以b a ＝33，因为b 2a ＝33，所以b ＝1，a ＝3， 所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入椭圆方程，得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0，又直线与椭圆有两个交点，所以Δ＝(12k )2－36(1＋3k 2)>0，解得k 2>1.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－12k 1＋3k 2，x 1x 2＝91＋3k 2， 若以CD 为直径的圆过E 点，则EC →·ED →＝0，即(x 1＋1)·(x 2＋1)＋y 1y 2＝0，而y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，则(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝(k 2＋1)x 1x 2＋(2k ＋1)(x 1＋x 2)＋5＝9（k 2＋1）1＋3k 2－12k （2k ＋1）1＋3k 2＋5＝0，解得k ＝76，满足k 2>1.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤(1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． [跟踪训练]已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝22，且经过点(6，1)，O 为坐标原点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)圆O 是以椭圆E 的长轴为直径的圆，M 是直线x ＝－4在x 轴上方的一点，过M 作圆O 的两条切线，切点分别为P 、Q ，当∠PMQ ＝60°时，求直线PQ 的方程．[解] (1)由题意可得e ＝c a ＝22，因为椭圆E 经过点(6，1)，所以6a 2＋1b 2＝1，又a 2－b 2＝c 2，解得a ＝22，b ＝2， 所以椭圆E 的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)法一：连接OM ，OP ，OQ ，OM 与PQ 交于点A ，依题意可设M (－4，m )．由圆的切线性质及∠PMQ ＝60°，可知△OPM 为直角三角形且∠OMP ＝30°， 因为|OP |＝22，所以|OM |＝42， 所以（－4）2＋m 2＝42，又m >0， 解得m ＝4，所以M (－4，4)， 所以直线OM 的斜率k OM ＝－1， 由MP ＝MQ ，OP ＝OQ 可得OM ⊥PQ ， 所以直线PQ 的斜率k PQ ＝1， 设直线PQ 的方程为y ＝x ＋n ，因为∠OMP ＝30°，所以∠POM ＝60°，所以∠OP A ＝30°， 由|OP |＝22知|OA |＝2，即点O 到直线PQ 的距离为2， 所以|n |12＋（－1）2＝2，解得n ＝±2(舍去负值)，所以直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0. 法二：同法一求得M (－4，4)，设P (x 1，y 1)，则由圆的切线性质知∠OPM 为直角，故有k OP ²k PM ＝－1， 即y 1x 1·y 1－4x 1＋4＝－1， 整理得x 21＋y 21＝4y 1－4x 1，又点P (x 1，y 1)在圆O ：x 2＋y 2＝8上，故有x 21＋y 21＝8，所以4y 1－4x 1＝8，即y 1－x 1＝2， 同理设Q (x 2，y 2)，则有y 2－x 2＝2， 所以直线PQ 的方程为x －y ＋2＝0.课时作业1．已知方程x 22－k ＋y 22k －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1，2)D.⎝⎛⎭⎫12，1C [解析] 由题意可得，2k －1>2－k >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2k －1>2－k ，2－k >0，解得1<k <2，故选C. 2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3，0)，离心率等于32，则C 的方程是( )A.x 24－y 25＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 22－y 25＝1 D.x 22－y 25＝1 B [解析] 右焦点为F (3，0)说明两层含义：双曲线的焦点在x 轴上；c ＝3.又离心率为ca ＝32，故a ＝2，b 2＝c 2－a 2＝32－22＝5，故C 的方程为x 24－y 25＝1，故选B. 3．若焦点在x 轴上的双曲线x 22－y 2m ＝1的离心率为62，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±2xA [解析] 由题意可得a 2＝2，b 2＝m .因为e ＝c a ＝62，所以c 2a 2＝2＋m 2＝32，解得m ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±22x .故选A.4．设F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，曲线y ＝kx (k >0)与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2D [解析] 易知抛物线的焦点为F (1，0)，设P (x P ，y P )，由PF ⊥x 轴可得x P ＝1，代入抛物线方程得y P ＝2(－2舍去)，把P (1，2)代入曲线y ＝kx(k >0)得k ＝2.5．已知离心率e ＝52的双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双曲线C 的一条渐近线相交于O ，A 两点，若△AOF 的面积为4，则a 的值为( )A ．2 2B ．3C ．4D ．5C [解析] 因为e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝52，所以b a ＝12，|AF ||OA |＝b a ＝12，设|AF |＝m ，|OA |＝2m ，由面积关系得12·m ·2m ＝4，所以m ＝2，由勾股定理，得c ＝m 2＋（2m ）2＝25，又ca ＝52，所以a ＝4，故选C. 6．(2016·高考全国卷丙)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴．过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为( )A.13B.12C.23D.34A [解析] 由题意，不妨设点P 在x 轴上方，直线l 的方程为y ＝k (x ＋a )(k ＞0)，分别令x ＝－c 与x ＝0，得|FM |＝k (a －c )，|OE |＝ka ，设OE 的中点为G ，由△OBG ∽△FBM ，得|OG ||FM |＝|OB ||BF |，即ka 2k （a －c ）＝a a ＋c，整理得c a ＝13，所以椭圆C 的离心率e ＝13，故选A. 7．(2016·石家庄第一次模考)已知椭圆x 2a 2＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 1关于直线y ＝－x 的对称点P 仍在椭圆上，则△PF 1F 2的周长为________．[解析] 椭圆左焦点F 1(－c ，0)关于直线y ＝－x 的对称点P (0，c )仍在椭圆上，则c ＝b ＝1，a ＝2，则△PF 1F 2的周长为2a ＋2c ＝22＋2.[答案] 2＋2 28．(2016·武汉模拟)双曲线C ：y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为54，焦点到渐近线的距离为3，则C 的实轴长等于________．[解析] 因为e ＝c a ＝54，所以c ＝54a ，设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ab x ，即ax －by ＝0，焦点为(0，c )，所以bc a 2＋b2＝b ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2516a 2－9，所以a 2＝16，即a ＝4，故2a ＝8.[答案] 89．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线方程为________．[解析] 依题意，设M (x ，y )，|OF |＝p 2，所以|MF |＝2p ，x ＋p 2＝2p ，x ＝3p2，y ＝3p ，又△MFO 的面积为43，所以12³p2³3p ＝43，p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .[答案] y 2＝8x10．(2016·山西重点中学协作体模拟)若椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．[解析] 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2＋y 212＝1，设A (x 0，y 0)是椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 20＋2y 20＝3x 20，解得x 20＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 20＝43. [答案] 4311．(2016·东北四市教研联合体模拟)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1，0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)．[解] (1)由题意得2a ＝4，即a ＝2. 因为c a ＝12，所以c ＝1，所以b ＝3，所以椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝12（k 2＋1）3＋4k 2. 因为圆心(0，0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1， 又|CD |24＋d 2＝4，所以|CD |＝24k 2＋3k 2＋1， 因为AB ⊥CD ，所以S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3， 由12k 2＋14k 2＋3＝12147， 解得k ＝1或k ＝－1，由k >0，得k ＝1.12．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点， |AF 1|＝3|F 1B |.(1)若|AB |＝4，△ABF 2的周长为16，求|AF 2|；(2)若cos ∠AF 2B ＝35，求椭圆E 的离心率． [解] (1)由|AF 1|＝3|F 1B |，|AB |＝4，得|AF 1|＝3，|F 1B |＝1.因为△ABF 2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a ＝16，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ＝8.故|AF 2|＝2a －|AF 1|＝8－3＝5.(2)设|F 1B |＝k ，则k >0且|AF 1|＝3k ，|AB |＝4k .由椭圆定义可得|AF 2|＝2a －3k ，|BF 2|＝2a －k .在△ABF 2中，由余弦定理可得|AB |2＝|AF 2|2＋|BF 2|2－2|AF 2|·|BF 2|·cos ∠AF 2B ，即(4k )2＝(2a －3k )2＋(2a －k )2－65(2a －3k )(2a －k )， 化简可得(a ＋k )(a －3k )＝0.而a ＋k >0，故a ＝3k .于是有|AF 2|＝3k ＝|AF 1|，|BF 2|＝5k .因此|BF 2|2＝|F 2A |2＋|AB |2，可得F 1A ⊥F 2A ，故△AF 1F 2为等腰直角三角形．从而c ＝22a ，所以椭圆E 的离心率e ＝c a ＝22. 13．(2016·高考全国卷丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．[解] 由题知F ⎝⎛⎭⎫12，0.设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ，R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2 . 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.设AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝k 2. 所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1，0)，则S △ABF ＝12|b －a ||FD |＝12|b －a ||x 1－12|， S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2³12|b －a ||x 1－12|＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)，x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)． 而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)． 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.14．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， 由题意得b ＝3，c a ＝12， 解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.①因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0.整理，得2k ＋1＝0，解得k ＝－12. 所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32.。
高考数学(考点解读+命题热点突破)专题16 椭圆、双曲线
专题16 椭圆、双曲线、抛物线【考向解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质特别是离心率以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系弦长、中点等【命题热点突破一】 圆锥曲线的定义与标准方程1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=42422112n n n n ++>+ ，故121e e >．故选A ． 【特别提醒】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 (1)A (2)D【命题热点突破二】 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2、【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【变式探究】 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2015·西北工业大学附中四模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±22x C ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x答案 (1)3－1 (2)C解析 (1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b， cos ∠CF 1F 2＝b c，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22×2a ×2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒b a＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 (2)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 (1)D (2)A解析 (1)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2， 当2QF k 存在时，则1F P k ＝cy a 2＋c 2，k 2QF ＝cy b 2－2c 2，由k 1F P ·k 2QF ＝－1，得y 2＝a 2＋c 2c 2－b 2c2，y 2≥0，但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当2QF k 不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. (2)由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)， F (c,0)．易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a，∴k CD ＝a a －cb 2. ∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb 2(x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a.∴x D ＝c ＋b 4a 2a －c. ∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2a －c .∴b 4a 2c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.【命题热点突破三】 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．解析 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±＋k 21＋2k2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 2－x 12＝22＋k 21＋2k2.若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k ＋2k 2，从而|PC |＝k 2＋1＋k2|k ＋2k2. 因为|PC |＝2|AB |，所以k 2＋1＋k 2|k ＋2k 2＝42＋k21＋2k2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【特别提醒】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 【变式探究】(1)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 (1)D (2)D解析 (1)由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程有，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得，x 1＋x 2x 1－x 2a2＋y 1＋y 2y 1－y 2b2＝0.∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2.∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，∴b 2a 2＝12⇒a 2＝2b 2， ∵右焦点为F (3,0)， ∴a 2－b 2＝c 2＝9， 解得a 2＝18，b 2＝9， 又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1.【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A）3 （B ）23（C）2 （D ）1 【答案】C【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-=⎪⎝⎭()222max 22,,21123633,122212,,233OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴=⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，，故选C.3.【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a ==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a=，故双曲线离心率e ==.选A. 4.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A5.【2016高考浙江理数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=6.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=,|DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =即A点纵坐标为,则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224()()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.7.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8.【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是 ▲.【解析】由题意得,),C(,),22b b B，因此22222)()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 10.【2016高考天津理数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE的面积为p 的值为_________.【解析】抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=， 又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y =，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF==，所以2CEF CEA S S ==V VACF AEC CFE S S S =+=V V V所以132p ⨯=p =11.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.【答案】212.【2016年高考北京理数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2【解析】∵OABC 是正方形，∴45AOB ∠=︒，即直线OA 方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意OB =，∴222a a +=，2a =．故填：2．13.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.【答案】【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴=焦距为2c故答案应填：。
圆锥曲线椭圆双曲线抛物线学习的知识点的总结计划例题习题精讲标准答案.doc
知能梳理【椭圆】一、椭圆的定义1 、椭圆的第一定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数( PF1PF22a F1 F2 )，这个动点P 的轨迹叫椭圆。
这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。
注意：若 ( PF1 PF2 F1 F2 ) ，则动点P的轨迹为线段F1 F2；若 ( PF1 PF 2 F1 F2 ) ，则动点P的轨迹无图形。
二、椭圆的方程1、椭圆的标准方程（端点为a、 b，焦点为 c）（ 1）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：x 2 y 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2；a 2b 2（ 2）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：y 2 x 2 1 (a b 0) ，其中 c 2 a 2 b2；a 2b 22、两种标准方程可用一般形式表示：x2 y22 2 m n1 或者mx +ny =1三、椭圆的性质（以 x 2 y 2 1 (a b 0) 为例）a 2b 21、对称性：对于椭圆标准方程x 2y 2(a b 0) ：是以 x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形；并且是以原点为对a12 b 2称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
2、范围 ：椭圆上所有的点都位于直线x a 和 y b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 x a ，y b 。
3、顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆x2 2y221 (a b 0) 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 A 1 ( a,0) ，abA 2 (a,0) ，B 1 (0, b) ， B 2 (0,b) 。
③线段 A 1 A 2 ， B 1B 2 分别叫做椭圆的长轴和短轴， A 1 A 22a ，B 1 B 22b 。
a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
4、离心率：① 椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作 e2c c 。
2a a② 因为 (a c 0) ，所以 e 的取值范围是 (0 e 1) 。
高考数学(命题热点提分)专题16 椭圆、双曲线、抛物线 理(2021年最新整理)
2017年高考数学（深化复习+命题热点提分）专题16 椭圆、双曲线、抛物线理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学（深化复习+命题热点提分）专题16 椭圆、双曲线、抛物线理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年高考数学（深化复习+命题热点提分）专题16 椭圆、双曲线、抛物线理的全部内容。
专题16 椭圆、双曲线、抛物线1．已知双曲线错误!－错误!＝1(b〉0)的离心率等于错误!b，则该双曲线的焦距为（)A．2错误!B．2错误!C．6 D．8解析：设双曲线的焦距为2c。
由已知得错误!＝错误!b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，则该双曲线的焦距为8。
答案：D2．已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1、F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4），则此双曲线的方程为( ）A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1解析：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝错误!＝5，故c＝5,a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝错误!x过点（3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3,故选C.答案:C3．已知双曲线错误!－错误!＝1（b>0）的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ）A。
错误!B．4错误!C．3 D．5解析：由题易得抛物线的焦点为(3，0）,∴双曲线的右焦点为（3，0)，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5,∴双曲线的一条渐近线方程为y＝错误!x，即错误!x－2y＝0,∴所求距离为d＝错误!＝错误!.答案：A4．已知椭圆x2a2＋错误!＝1(a〉b〉0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A,B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为（）A.错误!B．2－错误!C。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
专题16 椭圆、双曲线、抛物线【考向解读】1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质 特别是离心率 .2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系 弦长、中点等 .【命题热点突破一】 圆锥曲线的定义与标准方程 1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．例1 【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A【解析】由题意知2211m n -=+，即222m n =+，由于m ＞1，n ＞0，可得m ＞n ，又22212222222111111()(1)(1)(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++=42422112n n n n ++>+ ，故121e e >．故选A ． 【特别提醒】(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．【变式探究】(1)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( ) A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 228＝1 B.x 228－y 221＝1 C.x 23－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 答案 (1)A (2)D【命题热点突破二】 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－ b a2； (2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a ＝1＋ b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．例2、【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A【变式探究】 (1)椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．(2)(2015²西北工业大学附中四模)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1作圆x 2＋y 2＝a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B 、C ，且|BC |＝|CF 2|，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±22x C ．y ＝±(3＋1)xD ．y ＝±(3－1)x答案 (1)3－1 (2)C解析 (1)直线y ＝3(x ＋c )过点F 1(－c,0)，且倾斜角为60°，所以∠MF 1F 2＝60°，从而∠MF 2F 1＝30°，所以MF 1⊥MF 2.在Rt △MF 1F 2中，|MF 1|＝c ，|MF 2|＝3c ，所以该椭圆的离心率e ＝2c 2a ＝2cc ＋3c ＝3－1.(2)由题意作出示意图，易得直线BC 的斜率为a b， cos ∠CF 1F 2＝b c，又由双曲线的定义及|BC |＝|CF 2|可得|CF 1|－|CF 2|＝|BF 1|＝2a ， |BF 2|－|BF 1|＝2a ⇒|BF 2|＝4a ，故cos ∠CF 1F 2＝b c ＝4a 2＋4c 2－16a 22³2a ³2c ⇒b 2－2ab －2a 2＝0⇒(b a )2－2(b a )－2＝0⇒b a＝1＋3，故双曲线的渐近线方程为y ＝±(3＋1)x .【感悟提升】(1)明确圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解问题的关键．(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c ，a ，b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围． 【变式探究】(1)设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，若在直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，33 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 (2)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC 的距离小于a ＋a 2＋b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－2，0)∪(0，2) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 答案 (1)D (2)A解析 (1)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，y ，线段F 1P 的中点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22c ，y 2， 当2QF k 存在时，则1F Pk ＝cya 2＋c2，k 2QF ＝cyb 2－2c 2，由k 1F P ²k 2QF ＝－1，得y 2＝ a 2＋c 2² 2c 2－b 2c2，y 2≥0， 但注意到b 2－2c 2≠0，即2c 2－b 2>0， 即3c 2－a 2>0，即e 2>13，故33<e <1.当2QF k 不存在时，b 2－2c 2＝0，y ＝0，此时F 2为中点，即a 2c －c ＝2c ，得e ＝33，综上，得33≤e <1， 即所求的椭圆离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1. (2)由题作出图象如图所示．由x 2a 2－y 2b 2＝1可知A (a,0)， F (c,0)．易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a . ∵k AB ＝b 2ac －a ＝b 2a c －a，∴k CD ＝a a －cb 2. ∵k AC ＝b 2aa －c ＝b 2a a －c，∴k BD ＝－a a －cb 2. ∴l BD ：y －b 2a ＝－a a －cb (x －c )，即y ＝－a a －c b 2x ＋ac a －c b 2＋b 2a ，l CD ：y ＋b 2a ＝a a －cb 2(x －c )，即y ＝a a －c b 2x －ac a －c b 2－b 2a .∴x D ＝c ＋b 4a 2 a －c.∴点D 到BC 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 4a 2 a －c .∴b 4a 2 c －a<a ＋a 2＋b 2＝a ＋c ， ∴b 4<a 2(c 2－a 2)＝a 2b 2，∴a 2>b 2，∴0<b 2a 2<1.∴0<ba<1.【命题热点突破三】 直线与圆锥曲线判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ，y 的方程组，消去y (或x )得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标；(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．例3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且右焦点F 到直线l ：x ＝－a 2c的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线与椭圆交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若|PC |＝2|AB |，求直线AB 的方程．解析 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1. (2)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝2，又|CP |＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将直线AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 则x 1,2＝2k 2±2 1＋k 21＋2k2， C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且|AB |＝ x 2－x 1 2＋ y 2－y 1 2＝ 1＋k 2x 2－x 1 2＝22 1＋k 21＋2k. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与直线l 平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k 1＋2k 2 ，从而|PC |＝2 3k 2＋1 1＋k2|k | 1＋2k 2. 因为|PC |＝2|AB |，所以2 3k 2＋1 1＋k 2|k | 1＋2k 2 ＝42 1＋k 21＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.【特别提醒】解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解． 【变式探究】(1)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.433B ．2 3C ．6D ．4 3(2)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A.x 245＋y 236＝1 B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 (1)D (2)D解析 (1)由题意知，双曲线x 2－y 23＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，将x ＝c ＝2代入得y ＝±23，即A ，B两点的坐标分别为(2，23)，(2，－23)，所以|AB |＝4 3. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程有，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减得， x 1＋x 2 x 1－x 2 a ＋ y 1＋y 2 y 1－y 2 b＝0. ∵线段AB 的中点坐标为(1，－1)， ∴x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2代入上式得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2.∵直线AB 的斜率为0＋13－1＝12，∴b 2a ＝12⇒a 2＝2b 2， ∵右焦点为F (3,0)， ∴a 2－b 2＝c 2＝9， 解得a 2＝18，b 2＝9， 又此时点(1，－1)在椭圆内， ∴椭圆方程为x 218＋y 29＝1.【高考真题解读】1. 【2016高考新课标1卷】已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )（A ）()1,3- （B）(- （C ）()0,3 （D）( 【答案】A2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(p 0)y px => 上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )（A（B ）23 （C（D ）1【答案】C【解析】设()()22,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则212,2.,23p FP pt pt FM FP ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭()222max 22,,21123633,122212,,233OM OM p p p p p x t x t t k t k pt pt t t t y y t ⎧⎧-=-=+⎪⎪⎪⎪∴∴∴==≤=∴⎨⎨+⎪⎪+==⎪⎪⎩⎩当且仅当时取等号，选C.3.【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =，故双曲线离心率e ==选A. 4.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（ ）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1 【答案】A5.【2016高考浙江理数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9【解析】1109M M x x +=⇒=6.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB|=DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B【解析】如图,设抛物线方程为22y px =,,AB DE 交x 轴于,C F 点,则AC =即A点纵坐标为则A 点横坐标为4p ,即4OC p=,由勾股定理知2222DF OF DO r +==,2222AC OC AO r +==,即22224()()2p p+=+,解得4p =,即C 的焦点到准线的距离为4,故选B.7.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（ ）（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34【答案】A8.【2016高考天津理数】已知双曲线2224=1x y b -（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为（ ）（A ）22443=1y x -（B ）22344=1y x -（C ）2224=1x y b -（D ）2224=11x y - 【答案】D【解析】根据对称性，不妨设A 在第一象限，(,)A x y，∴22422x x y bb y x y ⎧=⎧+=⎪⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪⎩， ∴221612422b b xy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为221412x y -=，故选D. 9.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 ▲.【解析】由题意得,),C(,),22b b B，因此22222)()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 10.【2016高考天津理数】设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩，（t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （72p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE的面积为p 的值为_________.【解析】抛物线的普通方程为22y px =，(,0)2p F ，7322pCF p p =-=， 又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32AB p =，所以A x p =，则||A y =，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CFEA AF==，所以2CEF CEA S S ==V VACF AEC CFE S S S =+=V V V所以132p ⨯=p =11.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22221x y a b-= （a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______.【答案】212.【2016年高考北京理数】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a =_______________. 【答案】2【解析】∵OABC 是正方形，∴45AOB ∠=︒，即直线OA 方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意OB =，∴222a a +=，2a =．故填：2．13.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________▲________.【答案】【解析】222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=∴= 焦距为2c故答案应填：。