直线与平面的垂直练习题

直线与平面的垂直练习题
1.在三棱锥P-ABC中，AB=AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上。

证明：AP⊥BC。

证明：连接OP，由于PO⊥平面ABC，所以OP垂直于平面ABC，又因为D为BC的中点，所以AD⊥BC，所以AP 垂直于平面ABC，即AP⊥BC。

2.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，点D是AB的中点，D1是A1B1中点。

1）证明：AC1 //平面CDB1.
连接AC1，BD1，C1D1，由于AC⊥BC，所以AC⊥平面ABC，又因为ABCD为平行四边形，所以AD=BC，所以AD1=BC1，所以D1为B1C1的中点，所以BD1=CD1，所以BD1C1为等腰三角形，所以∠C1BD1=∠BD1C1，又因为
AC⊥平面ABC，所以AC1⊥平面ABC，所以AC1与BD1C1平行，所以AC1//平面CDB1.
2）证明：面AC1D//面B1CD。

连接A1D，C1B1，由于D为AB的中点，所以
AD=C1B1，又因为AC⊥BC，所以AC⊥平面ABC，所以AC1⊥平面ABC，所以AC1与C1B1平行，所以AC1C1B1为平行四边形，所以AC1=CB1，所以AC1B1C1为菱形，所以∠C1A1D=∠C1B1D，又因为AC1⊥平面ABC，所以
∠B1CD=∠C1BD，所以∠C1A1D=∠B1CD，所以面AC1D//面B1CD。

3）证明：AC⊥BC1.
连接AC1，BC，由于AC⊥BC，所以AC垂直于平面BC1C，又因为AC1 //平面CDB1，所以AC1垂直于平面
BC1C，所以AC与AC1均垂直于平面BC1C，所以AC⊥平面BC1C，即AC⊥BC1.
3.四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，E 是SD的中点。

1）证明：XXX。

连接SE，AE，由于SD⊥平面ABCD，所以SD垂直于
平面EAC，又因为E为SD的中点，所以SE垂直于平面EAC，所以SE与AE均垂直于平面EAC，所以SE//平面EAC，又因
为SB与SE在平面EAC上，所以SB//平面EAC。

2）证明：AC⊥BE。

连接AC，BE，由于SD⊥平面ABCD，所以SD垂直于
平面ABCD，又因为底面ABCD是正方形，所以AC垂直于BD，所以AC与SD均垂直于平面BDSE，所以AC⊥SD，又
因为E为SD的中点，所以BE⊥SD，所以AC⊥BE。

4.已知XXX⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是
异于A、B的⊙O上任意一点，过A作AE⊥PC于E。

1）证明：XXX。

连接BC，PA，PC，由于AB是⊙O的直径，所以
∠ABC=90°，又因为XXX⊥⊙O所在的平面，所以PA垂直
于平面ABC，所以BC在平面PAC上，又因为AE⊥PC，所
以AE在平面PAC上，所以BC⊥面PAC。

2）证明：面PBC⊥面PAC。

连接PB，PC，由于AB是⊙O的直径，所以∠ABC=90°，又因为XXX⊥⊙O所在的平面，所以PA垂直于平面ABC，
所以PB在平面PAC上，又因为AE⊥PC，所以AE在平面PAC上，所以PB与AE平行，所以面PBC与面PAC平行，
又因为它们均在平面ABC上，所以面PBC⊥面PAC。

3）证明：AE⊥平面PBC。

连接BE，PC，由于AB是⊙O的直径，所以∠ABC=90°，又因为XXX⊥⊙O所在的平面，所以PA垂直于平面ABC，
所以AE在平面ABC上，又因为AE⊥PC，所以AE与PC垂直，所以AE在平面PBC上，即AE⊥平面PBC。

5.直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，
∠ACB=90°。

E为BB1的中点，D点在AB上且DE=3.
Ⅰ）证明：CD⊥平面A1ABB1.
连接CD，A1B1，由于AC=BC，∠ACB=90°，所以AB
为正方形的一条边，所以AB⊥平面A1ABB1，又因为D点在AB上，所以CD垂直于AB，所以CD垂直于平面A1ABB1.
Ⅱ）求三棱锥A1-CDE的体积。

设三棱锥A1-CDE的高为h，底面A1CD的面积为S，则
有S=1/2×AC×CD=1/2×2×3=3，又因为∠ACB=90°，所以ACB 为直角三角形，所以AB=√(AC²+BC²)=2√2，所以底面A1CD
的周长为2(2+√2)，所以A1-CDE的底面积为
S=1/2×2(2+√2)×h，所以h=3/2(2+√2)，所以A1-CDE的体积为
V=1/3×S×h=3√2.
6.已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，
E、F分别是AB、PC的中点。

1）证明：EF∥平面PAD。

连接PE，PF，由于PA⊥平面ABCD，所以PA垂直于平面PAD，又因为E、F分别是AB、PC的中点，所以EF垂直于PC和AB，所以EF垂直于平面PAD，即EF∥平面PAD。

2）证明：EF⊥CD。

连接CE，DF，由于E、F分别是AB、PC的中点，所以EF平行于AB和PC，所以EF垂直于CD，即EF⊥CD。