河北省中考数学总复习 第一编 教材知识梳理篇 第4章 图形的初步认识与三角形、四边形 第2节 三角形

第二节 三角形的基本概念及全等三角形
以画图为背景利用内外关系求角度24
河北五年中考真题及模拟
三角形三边关系
1．(2017河北中考)如图是边长为10 cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm )不正确的是( A )
,A ) ,B ) ,C ) ,D )
2．(2013河北中考)如图①，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B＝30°，∠C ＝100°，如图②.则下列说法正确的是( C )
图①图②
A．点M在AB上
B．点M在BC的中点处
C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
3．(2016邢台中考模拟)下列各组数中，能成为一个三角形的三条边长的是( A)
A．2，3，4 B．2，2，4
C．1，2，3 D．1，2，6
4．(2016邯郸中考模拟)三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2－6x＋8＝0的一个根，则这个三角形的周长是( D)
A．2或4 B．11或13
C．11 D．13
三角形内外角关系
5．(2014河北中考)如图，平面上直线a，b分别过线段OK的两端点(数据如图)，则a，b相交所成的锐角是( B)
A．20°B．30°C．70°D．80°
,(第5题图)) ,(第6题图)) 6．(2017河北中考模拟)将一副直角三角板按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( C)
A．45°B．60°C．75°D．90°
7．(2016河北中考)如图，已知∠AOB＝7°，一条光线从点A出发后射向OB边．若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时∠A＝90°－7°＝83°.
当∠A<83°时，光线射到OB边上的点A1后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知∠1＝∠2.若A1A2⊥AO，光线又会沿A2→A1→A原路返回到点A，此时∠A＝__76__°.
……
若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则锐角∠A的最小值＝__6__°.
三角形的四条重要线段
8．(2016河北中考)如图为4×4的网格图，A，B，C，D，O均在格点上，点O是( B)
A．△ACD的外心B．△ABC的外心
C．△ACD的内心D．△ABC的内心
(第8题图)
(第9题图)
9．(2014河北中考)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点．若DE＝2，则BC＝( C)
A．2 B．3 C．4 D．5
10．(2017河北中考)如图，A，B两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点C，连接CA，CB，分别延长到点M，N，使AM＝AC，BN＝BC，测得MN＝200 m，则A，B间的距离为__100__m.
全等三角形
11．(2016唐山一模)在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边长为10，AC边的长度可以在3，5，7，9，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D)
A．3个B．4个
C．5个D．6个
12．(2016河北中考)如图，点B，F，C，E在直线l上(F，C之间不能直接测量)，点A，D在l异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
解：(1)∵BF＝EC，
∴BF＋FC＝EC＋CF，即BC＝EF.
又AB＝DE，AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF；
(2)AB∥DE，AC∥DF.
理由如下：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
∴AB∥DE，AC∥DF.
中考考点清单
三角形的分类及三边关系
1．三角形的分类
(1)按角分类
(2)按边分类
2．三边关系：三角形任意两边之和__大于__第三边．任意两边之差小于第三边，如图，__a＋b__>c，|a－b|<__c__．
3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．
三角形内角和定理及内外角关系
4．内角和定理：三角形的内角和等于__180°__．
5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__与它不相邻的两个内角之和．三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
三角形中的四条重要线段
6.
ADC
线
全等三角形及其性质
7．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
8．性质：
(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__；
(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．
全等三角形的判定
全等三角形的证明及性质是河北中考的必考点，单独考查过，考查方式均为在解题过程中利用三角形全等的证明及性质得到相关结论．涉及到的背景有：(1)与三角形结合；(2)与四边形结合；(3)与圆结合．每年都在图形的平移、旋转及位似等图形变换的猜想证明题中考查，设问方式为证明线段之间的数量关系．9
【方法技巧】证明三角形全等的思路：
判定
三角形全等
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧已知两边⎩⎪⎨⎪
⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS
找另一边→SSS
已知一边和一角
⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS 已知两角⎩
⎪⎨⎪
⎧找夹边→ASA 找任一边→AAS
线段的垂直平分线
10．定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
11．判定：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
,中考重难点突破
三角形三边之间的关系
【例1】若一个三角形的两边长分别是3，8，若第三边长是奇数，则第三边的长是( A ) A ．5或7 B ．7 C ．
9 D ．7或9
【解析】先用三边关系确定好第三边的范围，再考虑奇数． 【答案】D
1．(2017原创
)若一等腰三角形的两边长分别为2，4，则此等腰三角形的周长为__10__．
三角形内角和定理、外角与内角的关系
【例2】(乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，若∠B＝
35°，∠ACE ＝60°，则∠A ＝( )
A ．35°
B ．95°
C ．85°
D ．
75°
【解析】利用角平分线的定义求得∠ACD 的度数，从而利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和求解．
【答案】C
2．(临沂中考)如图，直线AB∥CD，∠A ＝40°，∠D ＝45°，则∠1的度数等于( B ) A ．80° B ．85°
C ．90°
D ．95°
(第2题图)
(第3题图)
3．(2017原创)如图，CD 是△ABC 的外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，则∠B 的大小是( A ) A ．50° B ．60° C ．40° D ．30°
全等三角形的性质与判定
【例3】(2016沧州八中一模)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.
(1)求证：△BCD≌△FCE；
(2)若EF∥CD，求∠BDC 的度数．
【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．
【答案】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DC E ＝90°. 又∵∠ACB＝90°，
∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE.
在△BCD 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧CB ＝CF ，
∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，
∴△BCD ≌△FCE(SAS )；
(2)由(1)可知△BCD≌△FCE， ∴∠BDC ＝∠E.
∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°， ∴∠BDC ＝90°.
4．(宜昌中考)如图，在方格纸中，以AB 为一边作△ABP，使之与△ABC 全等，从P 1，P 2，P 3，P 4四个点中找出符合条件的点P ，则点P 有( C )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个。