北京市朝阳区高三数学第一次综合练习(一模)试题 理(含解析)-人教版高三全册数学试题

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷（理工类） 2016．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合题目要求的一项． 1． i 为虚数单位，复数
2i 1i
+= A ．1i - B ．1i -- C ．1i -+ D ．1i + 答案：D
解析：分母实数化，即分子与分母同乘以分母的其轭复数：
2
22(1)111i i i i i i -==++-。

2． 已知全集U =R ，函数ln(1)y x =-的定义域为M ，集合{}
2
0N x x x =-<，则下列结
论正确的是 A ．M N N = B ．(
)U
M
N =∅
C ．M N U =
D ．()U M N ⊆
答案：D
解析：∵函数 y ＝ln(x －1)的定义域M ＝{}|1x x >，N ＝{}|01x x <<，又U ＝R ∴{}
|1U C N x x =≥≤或x 0，∴M
N =∅，故 A ，C 错误，D 显然正确。

3． >e e a
b
>”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 答案：A
解析>
0a b >≥，
又x
y e =是增函数，所以，a b e e >，
由a b e e >知a b >，但,a b 取负值时，,a b 无意义， 故选A 。

4． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A ．42
B ．19
C ．8
D ．3
答案：B
解析：依次执行结果如下：
S ＝2×1＋1＝3，i ＝1＋1＝2，i ＜4； S ＝2×3＋2＝8，i ＝2＋1＝3，i ＜4； S ＝2×8＋1＝19，i ＝3＋1＝42，i ≥4； 所以，S ＝19，选B 。

5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为,,.a b c 若222
()tan 3a c b B ac +-=
，则角B
的值为 A ．
3
π B ．
6
π
C ． 233
ππ
或
D ． 566
ππ
或
答案：C
解析：由余弦定理，知2222cos a c b ac B +-=，所以
所以，222
()tan 3a c b B ac +-=
可化为：sin 2cos 3cos B
ac B
ac B
=， 所以，3sin 2B =
，所以，B ＝233
ππ或。

6．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误．．
的是
A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1
B. 结余最高的月份是7月
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同
D. 前6个月的平均收入为40万元
（注：结余=收入-支出）
答案：D
解析：读图可知A、B、C均正确，对于D，前6 个月的平均收入
＝45万元．
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
A．1
3
B．
1
2
C．1 D．3 2
答案：A
解析：三棱锥如下图所示：CD＝1，BC＝2，CD⊥BC，且三棱锥A－BCD的高为1
底面积S BCD＝1
12
2
⨯⨯＝1，
所以，V＝1 3
8．若圆222(1)x y r +-=与曲线(1)1x y -=的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A ．02r << B ．1102r << C ．03r << D ．1302
r << 答案：C
解析：只需求圆心（0，1）到曲线11y x =
-上的点的最短距离，取曲线上的点1
(,)1
a a -，1a ≠，
距离2
2
111d a a ⎛⎫=+-
⎪-⎝⎭
所以，若圆与曲线无公共点，则0＜ r ＜3．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． 9． 二项式251
()x x
+的展开式中含4x 的项的系数是 （用数字作答）． 答案：10
解析：二项式251()x x
+的展开式的每一项为：
令10－3r ＝4得r ＝2，∴x 4
的系数为2
5C ＝10．
10．已知等差数列}{n a (n *
∈N )中，11=a ，47a =，则数列}{n a 的通项公式n a = ；
2610410n a a a a +++++=______．
答案：21n a n =-,(3)(411)n n ++
解析：
11．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为222x y +=，曲线2C 的参数方程为
2,
(x t t y t
=-⎧⎨
=⎩为参数)．以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线1C 与2C 的交点的极坐标．．．为 ． 答案：2,)4
π
解析：将C 2方程2x t y t
=-⎧⎨
=⎩代入C 1方程得22
(2)2t t -+=，
解得t ＝1 ∴x ＝1， y ＝1 故极坐标为(2,)4
π
12．不等式组0,,290x y x x y ≥⎧⎪
≤⎨⎪+-≤⎩
所表示的平面区域为D ．若直线(1)y a x =+与区域D 有公
共点，则实数a 的取值范围是 ． 答案：3(,]4
-∞
解析：如图所示，直线 y ＝a （x ＋1）过点 A （－1，0）
且该直线过图中B 点时为临界条件，
并且当其斜率小于AB 斜率时均与区域D 有公共点．B点坐标由x－y＝0和2x＋y－9＝0联立得B（3，3）
．
故a 的取值范围为
3 (,]
4 -∞
13．已知M为ABC
∆所在平面内的一点，且
1
4
AM AB nAC
=+．若点M在ABC
∆的内部(不
含边界)，则实数n的取值范围是____．
答案：
3 (0,)
4
解析：如图所示，点M 在△ABC 内部（不含边界）
过D 点作平行于 AC 的直线，并交BC 于F 点，则，
此时， ， M 点与F 点重合，为另一临界条件．
综上， n 的取值范围为3(0,)4
14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第
i （1,2,,12i =）项能力特征用i x 表示，0,1i i x i ⎧=⎨
⎩
如果某学生不具有第项能力特征，
，如果某学生具有第项能力特征.
若学生,A B 的十二项能力特征分别记为1212(,,,)A a a a =，1212(,,,)B b b b =，则,A B
两名学生的不同能力特征项数为 （用,i i a b 表示）．如果两个 同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为 ． 答案：12
1||i i i a b =-∑ 22
解析：设第三个学
生为
则不同能力特征项数总和恰为22 ，所以最小值为22 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知函数213
()sin 322x f x x ωω=
，0ω>． （Ⅰ）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若()13
f π
=，求()f x 的最小正周期T 的表达式并指出T 的最大值．
解析：解：（Ⅰ）当1ω=
时，21()sin 22x f x x =
1sin 2x x =+ sin()3
x π=+．
令22,232k x k k πππ
π-≤+≤π+∈Z ．
解得22,66
k x k k 5ππ
π-≤≤π+∈Z ．
所以()f x 的单调递增区间是[2,2],66
k k k 5ππ
π-π+∈Z .……………………7分
（Ⅱ）由21()sin 222
x f x x ωω=
-
1sin 22
x x ωω=
+ sin()3
x ωπ
=+．
因为()13f π=，所以sin(
)133ωππ
+=．
则2332
n ωπππ+=π+，n ∈Z ．
解得1
62
n ω=+．
又因为函数()f x 的最小正周期2T ω
π
=，且0ω>，
所以当ω1
2
=
时，T 的最大值为4π． ………………………………………13分
16．（本小题满分13分）
为了解学生暑假阅读名著的情况，一名教师对某班级的所有学生进行了调查，调查结果如下表．
（Ⅰ）从这班学生中任选一名男生，一名女生，求这两名学生阅读名著本数之和为4
的概率？
（Ⅱ）若从阅读名著不少于4本的学生中任选4人，设选到的男学生人数为X ，求随机变
量X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断男学生阅读名著本数的方差2
1s 与女学生阅读名著本数的方差2
2s 的大小（只需 写出结论）．
解析：解：（Ⅰ）设事件A ：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅
读本数之和为4 ． 由题意可知，
13+41()128P A ⨯⨯=
⨯4分
（Ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故X 的取值为
0,1,2,3,4．
由题意可得44481
(0)70C P X C ===； 13444
8168(1)7035C C P X C ====； 2244483618(2)7035C C P X C ====； 31
4448168
(3)7035C C P X C ====
；
4448(4)C P X C ===
所以随机变量X 的分布列为
随机变量X 的均值11636161
0123427070707070
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯=．…………10分 （Ⅲ）2
1s >22s ．…………………………………………………………………………13分
17．（本小题满分14分）
如图，在直角梯形11AA B B 中，190A AB ∠=︒，11//A B AB ，11122AB AA A B ===．直角梯形11AAC C 通过直角梯形11AA B B 以直线1AA 为轴旋转得到，且使得平面11AA C C ⊥平面11AA B B ．M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 上的动点．
（Ⅰ）求证：11A C AP ⊥；
（Ⅱ）当点P 是线段1BB 中点时，求二面角P AM B --的余
弦值；
（Ⅲ）是否存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ？请说明理由．
解析：解：（Ⅰ）由已知1190A AB A AC ∠=∠=︒，且平面11AA C C ⊥平面11AA B B ，
所以90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥． 又因为1AC AA ⊥且1AB
AA A =，
所以AC ⊥平面11AA B B ．
由已知11//A C AC ，所以11A C ⊥平面11AA B B ． 因为AP ⊂平面11AA B B ，
所以11AC AP ⊥．…………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1,,AC AB AA 两两垂直．
分别以1,,AC AB AA 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示．
由已知 11111222AB AC AA A B AC =====，
A
M
P
C
B
A 1
C 1
B 1
所以(0,0,0),(0,2,0),(2,0,0),A B C 1(0,1,2)B ，1(0,0,2)A ．
因为M 为线段BC 的中点，P 为线段1BB 的中点，所以3(1,1,0),(0,,1)2
M P ． 易知平面ABM 的一个法向量(0,0,1)=m ．
设平面APM 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 由 0,0,AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得0, 30. 2
x y y z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 取2y =，得(2,2,3)=--n ．
由图可知，二面角P AM B --的大小为锐角，
所以cos ,⋅〈〉===⋅m n
m n m n ． 所以二面角P AM B --
9分 （Ⅲ）存在点P ，使得直线1A C //平面AMP ．
设111(,,)P x y z ，且1BP BB λ=，[0,1]λ∈，则111(,2,)(0,1,2)x y z λ-=-，
所以1110,2,2x y z λλ==-=．所以(0,2,2)AP λλ=-．
设平面AMP 的一个法向量为0000(,,)x y z =n ，
由 000,0,
AM AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得00000, (2)20. x y y z λλ+=⎧⎨-+=⎩ 取01y =，得02(1,1,)2λλ
-=-n （显然0λ=不符合题意）． 又1(2,0,2)AC =-，若1A C //平面AMP ，则10AC ⊥n ． 所以10220AC λλ-⋅=--=n ．所以23
λ=． 所以在线段1BB 上存在点P ，且
12BP PB =时，使得直线1A C //平面AMP ．…………14分
18．（本小题满分13分）
已知函数()f x =ln ,x a x a +∈R ．
（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）当[]1,2x ∈时，都有()0f x >成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）试问过点(13)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切？并说明理由．
解析： 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}0x x >．()1a x a f x x x
+'=+=． （1）当0a ≥时，()0f x '>恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
（2）当0a <时， 令()0f x '=，得x a =-．
当0x a <<-时，()0f x '<，函数()f x 为减函数；
当x a >-时，()0f x '>，函数()f x 为增函数．
综上所述，当0a ≥时，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞．
当0a <时，函数()f x 的单调递减区间为(0,)a -，单调递增区间为(+)a -∞，．
……………………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当1a -≤时，即1a ≥-时，函数()f x 在区间[]1,2上为增函数，
所以在区间[]1,2上，min ()(1)1f x f ==，显然函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零；
（2）当12a <-<时，即21a -<<-时，函数()f x 在[)1a -，上为减函数，在(],2a - 上为增函数，所以min ()()ln()f x f a a a a =-=-+-．
依题意有min ()ln()0f x a a a =-+->，解得e a >-，所以21a -<<-．
（3）当2a -≥时，即2a ≤-时，()f x 在区间[]1,2上为减函数，
所以min ()(2)2+ln 2f x f a ==．
依题意有min ()2+ln 20f x a =>，解得2ln 2a >-，所以22ln 2a -<≤-． 综上所述，当2ln 2
a >-时，函数()f x 在区间[]1,2上恒大于零．………………8分
（Ⅲ）设切点为000,ln )x x a x +（，则切线斜率0
1a k x =+， 切线方程为0000
(ln )(1)()a y x a x x x x -+=+-． 因为切线过点(1,3)P ，则00003(ln )(1)(1)a x a x x x -+=+
-． 即00
1(ln 1)20a x x +--=． ………………① 令1()(ln 1)2g x a x x =+-- (0)x >，则 22
11(1)()()a x g x a x x x -'=-=． （1）当0a <时，在区间(0,1)上，()0g x '>， ()g x 单调递增；
在区间(1,)+∞上，()0g x '<，()g x 单调递减，
所以函数()g x 的最大值为(1)20g =-<．
故方程()0g x =无解，即不存在0x 满足①式．
因此当0a <时，切线的条数为0．
（2）当0a >时, 在区间(0,1)上，()0g x '<，()g x 单调递减，
在区间(1,)+∞上，()0g x '>，()g x 单调递增，
所以函数()g x 的最小值为(1)20g =-<． 取2
1+1e e a x =>，则221112()(1e 1)2e 0a a g x a a a
----=++--=>． 故()g x 在(1,)+∞上存在唯一零点． 取2
-1-21e
<e a x =，则221122()(1e 1)2e 24a a g x a a a a ++=--+--=--212[e 2(1)]a a a +=-+． 设21(1)t t a
=+>，()e 2t u t t =-，则()e 2t u t '=-． 当1t >时，()e 2e 20t u t '=->->恒成立．
所以()u t 在(1,)+∞单调递增，()(1)e 20u t u >=->恒成立．所以2()0g x >．
故()g x 在(0,1)上存在唯一零点．
因此当0a >时，过点P (13)，存在两条切线．
（3）当0a =时，()f x x =，显然不存在过点P (13)，的切线．
综上所述，当0a >时，过点P (13)，存在两条切线；
当0a ≤时，不存在过点P (13)，的切线．…………………………………………………13分
19．（本小题满分14分）
已知点P 和椭圆:C 22
142
x y +=． （Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为1F ，2F ，试求12PF F ∆的周长及椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线:
l 20(0)y m m -+=≠与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，
PB 与x 轴分别交于M ，N 两点，求证：PM PN =．
解析：解：(Ⅰ)由题意可知，24a =，22b =，所以22c =．
因为P 是椭圆C 上的点，由椭圆定义得124PF PF +=．
所以12PF F ∆
的周长为4+．
易得椭圆的离心率=c e a =．………………………………………………………4分 (Ⅱ)
由2220,1,42
y m x y -+=⎨+=⎪⎩
得22480x m ++-=． 因为直线l 与椭圆C 有两个交点，并注意到直线l 不过点P ，
所以22844(8)0,0.m m m ⎧-⨯->⎨≠⎩
解得40m -<<或04m <<． 设11(,)A x y ，22(,)B x y
，则12x x +=，21284
m x x -=
, 1y =
，2y =．
显然直线PA 与PB 的斜率存在，设直线PA 与PB 的斜率分别为1k ，2k ，
则12k k +=+
1221(
1)((1)(m m x x ++-+-=
=
=
=
=
220==． 因为120k k +=，所以PMN PNM ∠=∠． 所以PM PN =． ………………………………………………………14分
20．（本小题满分13分）
已知等差数列}{n a 的通项公式31()n a n n *=-∈N .设数列{}n b 为等比数列,且
n n k b a =.
（Ⅰ）若11=2b a =,且等比数列{}n b 的公比最小，
（ⅰ）写出数列{}n b 的前4项；
（ⅱ）求数列{}n k 的通项公式；
（Ⅱ）证明：以125b a ==为首项的无穷等比数列{}n b 有无数多个.
解析：
解：（Ⅰ）观察数列}{n a 的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，….
因为数列}{n a 是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是52
，最小公比是4.
（ⅰ）以2为首项,且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.
（ⅱ）由（ⅰ）可知12b =，公比4q =，所以124n n b -=⋅.
又31n n k n b a k ==-，所以13124,n n k n -*-=⋅∈N ， 即11
(241),3
n n k n -*=⋅+∈N . 再证n k 为正整数.
显然11k =为正整数，
2n ≥时，1222111(2424)24(41)2433
n n n n n n k k ------=⋅-⋅=⋅⋅-=⋅， 即2124(2)n n n k k n --=+⋅≥，故11
(241),3
n n k n -*=⋅+∈N 为正整数. 所以，所求通项公式为11(241),3
n n k n -*=⋅+∈N . ……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）设数列{}n c 是数列}{n a 中包含的一个无穷等比数列，
且115k c a ==，22231k c a k ==-，
所以公比2315
k q -=.因为等比数列{}n c 各项为整数，所以q 为整数. 取252k m =+（m *∈N ），则13+=m q ，故15(31)n n c m -=⋅+.
只要证15(31)n n c m -=⋅+是数列}{n a 的项，即证31n k -15(31)n m -=⋅+. 只要证11
[5(31)1]3
n n k m -=++()n *∈N 为正整数，显然12k =为正整数.
又2n ≥时，12215
[(31)(31)]5(31)3
n n n n n k k m m m m -----=+-+=+， 即215(31)n n n k k m m --=++，又因为12k =，25(31)n m m -+都是正整数，
故2n ≥时，n k 也都是正整数.
所以数列{}n c 是数列}{n a 中包含的无穷等比数列，
其公比13+=m q 有无数个不同的取值，对应着不同的等比数列， 故数列}{n a 所包含的以52=a 为首项的不同无穷等比数列有无数多个.
…………………………………………………………………………………………13分。