人教a版数学【选修1-1】作业：2.1.2椭圆的简单几何性质(含答案)

2.1.2 椭圆的简单几何性质
课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a ，b 以及c ，e 的几何意义，a 、b 、c 、e 之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的 位置
焦点在x 轴上 焦点在y 轴上
图形
标准 方程
范围 顶点
轴长 短轴长＝______，长轴长＝______
焦点 焦距
对称性 对称轴是________，对称中心是______
离心率
2.直线与椭圆
直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的位置关系：
直线与椭圆相切⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交⇔
⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2b 2＝1有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离⇔⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b x 2a 2＋y 2
b 2＝1________实数解，即Δ______0.
一、选择题
1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A ．5,3，45
B ．10,6，4
5
C ．5,3，35
D ．10,6，3
5
2．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( )
A ．x 236＋y 216＝1
B ．x 216＋y 2
36＝1
C ．x 26＋y 24＝1
D ．y 26＋x 2
4
＝1
3．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1
2，则m 等于( )
A ． 3
B ．32
C ．83
D ．2
3
4．如图所示，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y
2b
2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，
则该椭圆的离心率为( )
A.－1＋52 B ．1－22
C.2－1
D.2
2
5．若直线mx ＋ny ＝4与圆O ：x 2
＋y 2
＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋
y 2
4
＝1的交点个数为( )
A ．至多一个
B ．2
C ．1
D ．0
6．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点。

满足1MF ·MF 2→
＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )
A ．(0,1)
B ．⎝⎛⎦
⎤0，12 C ．⎝⎛⎭⎫0，22 D ．⎣⎡⎭
⎫2
2，1
题号
1 2 3 4 5 6 答案
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为5
5
，且过点P (－5,4)，则椭圆的
方程为______________．
8．直线x ＋2y －2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的
离心率等于______．
9．椭圆E ：x 216＋y 2
4
＝1内有一点P (2,1)，则经过P 并且以P 为中点的弦所在直线方程为
____________．
三、解答题
10．如图，已知P 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1 (a >b >0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆的右焦
点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线x ＝－a 2
c
(c 是椭圆的半焦距)与x 轴的交
点，若PF ⊥OF ，HB ∥OP ，试求椭圆的离心率e .
11．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
能力提升 12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A ．45
B ．35
C ．25
D ．13
13．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F 1(－3，
0)，且右顶点为D (2，0)．设点A 的坐标是⎝⎛⎭
⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P 是椭圆上的动点，求线段P A 的中点M 的轨迹方程．
1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
2．1.2 椭圆的简单几何性质
答案
知识梳理 1.
焦点的 位置
焦点在x 轴上
焦点在y 轴上
图形
标准方程 x 2
a 2＋y 2
b 2＝1 y 2
a 2＋x
2
b 2
＝1 范围 －a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b －b ≤x ≤b ，－a ≤y ≤a
顶点 (±a,0)，(0，±b ) (±b,0)，(0，±a )
轴长 短轴长＝2b ，长轴长＝2a 焦点 (±c,0) (0，±c )
焦距 2c ＝2a 2－b 2
对称性 对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率
e ＝c
a
，0<e <1 2.一 ＝ 二 > 没有 < 作业设计
1．B [先将椭圆方程化为标准形式：x 29＋y 2
25＝1，
其中b ＝3，a ＝5，c ＝4.] 2．A 3.B
4．A [由(a ＋c )2＝a 2＋2b 2＋c 2， ∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋ac －a 2＝0，
∵e ＝c a ，∴e 2
＋e －1＝0，∴e ＝－1＋52
.]
5．B [∵4
m 2＋n 2
>2，∴m 2＋n 2<4.
∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 2
4
＝1的内部，
∴过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 2
4
＝1有两个交点．]
6．C [∵ MF 1→·MF 2→
＝0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径， 由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部， 设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立， 由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长， ∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22
. 又∵0<e <1，∴0<e <2
2
.]
7.x 245＋y
236
＝1 解析 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1 (a >b >0)，
将点(－5,4)代入得25a 2＋16
b
2＝1，
又离心率e ＝c a ＝55，即e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2
a 2＝15
，
解之得a 2
＝45，b 2
＝36，故椭圆的方程为x 245＋y 2
36
＝1.
8.255
解析 由题意知椭圆的焦点在x 轴上，又直线x ＋2y －2＝0与x 轴、y 轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b ＝1，c ＝2，从而a ＝5，e ＝c a ＝25
5
.
9．x ＋2y －4＝0
解析 设弦的两个端点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则⎩⎨⎧
x 21
16＋y 2
14
＝1x 22
16＋y 22
4＝1
，
两式相减，得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)
4＝0.
又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，k MN ＝
y 1－y 2x 1－x 2
，
∴k MN ＝－1
2，由点斜式可得弦所在直线的方程为
y ＝－1
2
(x －2)＋1，即x ＋2y －4＝0.
10．解 依题意知H ⎝⎛⎭⎫－a 2c ，0，F (c,0)，B (0，b )． 设P (x P ，y P )，且x P ＝c ，代入到椭圆的方程， 得y P ＝b 2a
.∴P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2
a .
∵HB ∥OP ，∴k HB ＝k OP ，即b －00＋
a 2c ＝
b 2
a
c .
∴ab ＝c 2.
∴e ＝c a ＝b
c ，∴e 2＝a 2－c 2c
2＝e －2－1.
∴e 4＋e 2－1＝0.∵0<e <1，∴e ＝
5－1
2
. 11．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧
4x 2＋y 2
＝1，
y ＝x ＋m ，
得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0. 因为直线与椭圆有公共点， 所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0. 解得－
52≤m ≤52
. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－2m
5
，
x 1x 2＝1
5(m 2－1)．
设弦长为d ，且y 1－y 2＝(x 1＋m )－(x 2＋m ) ＝x 1－x 2， ∴d ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2
＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]
＝2⎣⎡⎦⎤4m 2
25－45(m 2
－1) ＝25
10－8m 2.
∴当m ＝0时，d 最大，此时直线方程为y ＝x . 12．B [由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2， ∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2＋2ac .
∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2＝0. ∴5e 2＋2e －3＝0.∴e ＝3
5或e ＝－1(舍去)．]
13．解 (1)∵a ＝2，c ＝3，∴b ＝
a 2－c 2＝1.
∴椭圆的标准方程为x 24
＋y 2
＝1.
(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，
得⎩⎨⎧
x ＝x 0＋12
，
y ＝y 0
＋
1
2
2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －1，y 0＝2y －1
2.
又∵x 20
4＋y 20＝1，∴(2x －1)24
＋⎝⎛⎭⎫2y －122＝1 即为中点M 的轨迹方程．
第一章 章末总结
知识点一四种命题间的关系
命题是能够判断真假、用文字或符号表述的语句．一个命题与它的逆命题、否命题之间的关系是不确定的，与它的逆否命题的真假性相同，两个命题是等价的；原命题的逆命题和否命题也是互为逆否命题．
例1判断下列命题的真假．
(1)若x∈A∪B，则x∈B的逆命题与逆否命题；
(2)若0<x<5，则|x－2|<3的否命题与逆否命题；
(3)设a、b为非零向量，如果a⊥b，则a·b＝0的逆命题和否命题．
知识点二充要条件及其应用
充分条件和必要条件的判定是高中数学的重点内容，综合考察数学各部分知识，是高考的热点，判断方法有以下几种：
(1)定义法
(2)传递法：对于较复杂的关系，常用推出符号进行传递，根据这些符号所组成的图示就可以得出结论．互为逆否的两个命题具有等价性，运用这一原理，可将不易直接判断的命题化为其逆否命题加以判断．
(3)等价命题法：对于含有逻辑联结词“非”的充分条件、必要条件的判断，往往利用原命题与其逆否命题是等价命题的结论进行转化．
(4)集合法：与逻辑有关的许多数学问题可以用范围解两个命题之间的关系，这时如果能运用数形结合的思想(如数轴或Venn图等)就能更加直观、形象地判断出它们之间的关系．例2若p：－2<a<0,0<b<1；q：关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的正根，则p是q的什么条件？
例3设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
知识点三逻辑联结词的应用
对于含逻辑联结词的命题，根据逻辑联结词的含义，利用真值表判定真假．
利用含逻辑联结词命题的真假，判定字母的取值范围是各类考试的热点之一．
例4判断下列命题的真假．
(1)对于任意x，若x－3＝0，则x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，则(x－3)(x－6)＝0.
例5 设命题p ：函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫ax 2－x ＋1
16a 的定义域为R ；命题q ：不等式2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立．如果命题p 或q 为真命题，命题p 且q 为假命题，求实数a 的
取值范围．
知识点四 全称命题与特称命题
全称命题与特称命题的判断以及含一个量词的命题的否定是高考的一个重点，多以客观题出现．
全称命题要对一个范围内的所有对象成立，要否定一个全称命题，只要找到一个反例就行．特称命题只要在给定范围内找到一个满足条件的对象即可．
全称命题的否定是特称命题，应含存在量词． 特称命题的否定是全称命题，应含全称量词． 例6 写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)3＝2； (2)5>4；
(3)对任意实数x ，x >0； (4)有些质数是奇数．
例7 已知函数f (x )＝x 2－2x ＋5.
(1)是否存在实数m ，使不等式m ＋f (x )>0对于任意x ∈R 恒成立，并说明理由． (2)若存在一个实数x 0，使不等式m －f (x 0)>0成立，求实数m 的取值范围．
章末总结
重点解读
例1 解 (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈B 是假命题，故其逆否命题为假，逆命题为若x ∈B ，则x ∈A ∪B ，为真命题．
(2)∵0<x <5，∴－2<x －2<3， ∴0≤|x －2|<3.
原命题为真，故其逆否命题为真． 否命题：若x ≤0或x ≥5，则|x －2|≥3.
例如当x ＝－12，⎪⎪⎪⎪－12－2＝52<3. 故否命题为假．
(3)原命题：a ，b 为非零向量，a ⊥b ⇒a·b ＝0为真命题． 逆命题：若a ，b 为非零向量，a·b ＝0⇒a ⊥b 为真命题．
否命题：设a ，b 为非零向量，a 不垂直b ⇒a·b ≠0也为真．
例2 解 若a ＝－1，b ＝1
2，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0无实根，
故p ⇒q .若关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0有两个小于1的正根，不妨设这两个根为x 1、x 2，且0<x 1≤x 2<1，
则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b . 于是0<－a <2,0<b <1， 即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p . 所以，p 是q 的必要不充分条件．
例3 解 设A ＝{x |p }＝{x |x 2－4ax ＋3a 2<0，a <0}＝{x |3a <x <a ，a <0}． B ＝{x |q }＝{x |x 2－x －6≤0或x 2＋2x －8>0} ＝{x |x <－4或x ≥－2}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．
∴A B ，∴⎩⎨⎧ a ≤－4a <0或⎩⎨⎧
3a ≥－2
a <0
，
解得－2
3
≤a <0或a ≤－4.
故实数a 的取值范围为(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－2
3，0. 例4 解 (1)∵x －3＝0，有x －3≤0，∴命题为真； (2)∵当x ＝5时，(x －3)(x －6)≠0， ∴命题为假．
例5 解 p ：由ax 2－x ＋1
16
a >0恒成立得
⎩⎪⎨⎪⎧
a >0Δ＝1－4×a ×a 16
<0，∴a >2. q ：由2x ＋1<1＋ax 对一切正实数均成立， 令t ＝
2x ＋1>1，则x ＝t 2－1
2
，
∴t <1＋a ·t 2－1
2
，
∴2(t－1)<a(t2－1)对一切t>1均成立．
∴2<a(t＋1)，∴a>2
t＋1
，∴a≥1.
∵p或q为真，p且q为假，∴p与q一真一假．
若p真q假，a>2且a<1不存在．
若p假q真，则a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值范围为1≤a≤2.
例6解(1)3≠2，真命题；
(2)5≤4，假命题；
(3)存在一个实数x，x≤0，真命题；
(4)所有质数都不是奇数，假命题．
例7解(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，
即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，
只需m>－4即可．
故存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时，只需m>－4. (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.
所以，所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．。