全国高二数学 联合竞赛预赛试题(湖北省)新人教版

全国高二数学 联合竞赛预赛试题（湖北省）新人教版
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。

填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）
1．已知P 是△ABC 所在平面上一点，满足23PA PB PC AB ++=，则△ABP 与△ABC 的面积之比为
1:2
．
2．已知数列{}n a 满足：*
1212122,1,(N )n n n n n n a a a a a a a a n ++++===++∈，则122011a a a +++=
4022 ．
3．已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为
{|2,}k k Z ααπ=∈．
4．满足方程2
8sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 8 ．
5．设z 是模为2的复数，则1
||z z
-的最大值与最小值的和为 4 ． 6．对一切满足||||1x y +≤的实数,x y ，不等式3
|23||1||23|2
x y y y x a -++-+--≤恒成立，则
实数a 的最小值为
232
．
7．设集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}A =.如果方程2
0x mx n --=（,m n A ∈）至少有一个根0x A ∈，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为 23 ．
8．已知关于x 的方程||2
x k -=[1,1]k k -+上有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是
01
k <≤．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
9．已知二次函数2
()y f x x bx c ==++的图象过点（1，13），且函数y =1()2
f x -是偶函数. （1）求()f x 的解析式；
（2）函数()y f x =的图象上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由.
解 （1）因为函数1()2
y f x =-是偶函数，所以二次函数2
()f x x bx c =++的对称轴方程为12
x =-，故1b =.
------------------------------------------4分
又因为二次函数2
()f x x bx c =++的图象过点（1，13），所以113b c ++=，故11c =. 因
此
，
()
f x 的解析式为
2()11
f x x x =++.
------------------------------------------8分
（2）如果函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，设为P 2
(,)m n ，其中m 为正整数，n 为自然数，
则22
11m m n ++=，从而2
2
4(21)43n m -+=，即[2(21)][2(21)]43n m n m ++-+=.
------------------------------------------12分
注意到43是质数，且2(21)2(21)n m n m ++>-+，2(21)0n m ++>，所以有2(21)43,
2(21)1,
n m n m ++=⎧⎨
-+=⎩解得10,11.m n =⎧⎨=⎩
因此，函数()y f x =的图象上存在符合要求的点，它的坐标为（10，121）.---------------------16分
10．已知数列{}n a 满足2
*1121,(N )3n n n a a a a n n
+==+∈.证明：对一切*
N n ∈，有
（1）11n n a a +<<； （2）11
24n a n
>
-． 解 （1）显然，0n a >，所以212n n n n a a a a n
+=+>（*
n N ∈）.
所以，对一切*
k N ∈，211221k k k k k k a a a a a a k k
++=+<+，所以21111
k k a a k +-<. --------------------5分
所以，当2n ≥时，
1111
21122111111111111()3[1]3[1()](1)1
n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k k ----====+=-->->-+=-+---∑∑∑∑ 13[11]111
n
n n =-+-
=>--， 所以1n a <. 又11
13
a =<，故对一切*n N ∈，有1n a <.因此，对一切*n N ∈，有11n n a a +<<. -------------10分
（2）显然11111
3424
a =>=-.由1n a <，知2122k k k k k a a a a a k k +=+<+，所以212
1k k k a a k +>+，所以
2211122221111
k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++，所以21111
1k k a a k +->+，
------------------------------------------15分
所以，当*
n N ∈且2n ≥时，
1111
21111111111111111()33()1(1)1n n n n k k k k n k k a a a a a k k k k
k ----====+=--<-<-=--+++∑∑∑∑ 121
3(1)n n n
+=--=
， 所
以
1111
2122(21)24n n a n n n
>
=->-++.
------------------------------------------20分
11．已知椭圆C ：22
142
x y +
=，过点
P 1)33-而不过点
Q 的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. （1）求∠AQB ；
（2）记△QAB 的面积为S ，证明：3S <．
解 （1）如果直线l 的斜率存在，设它的方程为y kx b =+，因为点P 在直线l 上，
所以133
k b -=+，
故1
1)3
b =-+.
联立直线l 和椭圆C 的方程，消去y ，得2
2
2
(21)4240k x kbx b +++-=.
设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则122421kb
x x k +=-+，2122
2421b x x k -=+， 212122242()222121
k b b
y y k x x b b k k +=++=-+=++，
22
2
2
21212121222244()()()()2121
b kb
y y kx b kx b k x x kb x x b k kb b k k -⋅=++=+++=⋅+⋅-+++
22
2421
b k k -=
+
------------------------------------------6分
因为11(1)QA x y =-
，22(1)QB x y =-，所以
11221212(2,1)(2,1)((1)(1)QA QB x y x y x x y y =----=+--
12121212)2()1x x x x y y y y =+++-++
222222224442()2121212121
b kb b k b k k k k --=-++-+++++
2221
[3221)1]21b k b k =
++--+
222112
[1)21)1]2133
k k =++-+--+ ＝0，
所以QA QB ⊥，显然A 、Q 、B 三点互不相同，所以∠AQB ＝90°.
如果直线l 的斜率不存在，则A 、B
两点的坐标为，容易验证∠AQB ＝90°也成立. 因此，∠AQB
＝
90
°
.
------------------------------------------12分
（2）由（1）知∠AQB ＝90°，所以△QAB 是直角三角形.
如果直线QA 或QB 的斜率不存在，易求得△QAB
的面积为3S =.
如果直线QA 和QB 的斜率都存在，不妨设直线QA
的方程为(1y m x =+，代入椭圆C 的方程，
消去y
，得222
(21)41)1)40m x m x +--+--=，则
||QA ==. 又QB ⊥QA ，所以，同理可求得
2
21
|()1|
||||122()1m m QB m m
-
+==+-+.
--------------------------16分
于是，△QAB 的面积为
11
||
||22
S QA QB =
=⋅2
2222222
|1|||)
|4(1)4(1)(21)(2)2(1)m m m m m m m m m +⋅-+=⋅+⋅=⋅+⋅++++222221||1142()1
m
m
m m m m -+++=⋅++. 令2
2212cos ,sin 11
m m m m θθ-==++，则21
|sin |2412sin 4
S θθθ+=⋅+.
注意到
13
sin||sin()|
22
θθθϕ
+=+≤=，2
1
2sin2
4
θ
+≥，且等号不能同时
取得，所以
3
2
43
2
S<⋅=. ------------------------------------------20分。