高考数学数列求和

[小题体验] 1 n 1．(教材习题改编)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn＝ (2 3 －1)，则 an＝________.
1 解析：当 n＝1 时，a1＝ ，当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1 3 n－1 2 1 n 1 n－1 ＝ (2 －1)－ (2 －1)＝ ，当 n＝1 时，也符合上 3 3 3 2n－1 式．故 an＝ . 3 － 2n 1 答案： 3
[即时应用] (2015· 南通调研)等差数列{an}中，a2＋a3＋a4＝15，a5＝9. (1)求数列{an}的通项公式；
an＋1 an＋1 的前 n 项和 Sn. (2)设 bn＝3 ，求数列 · b n 2 2
解：(1)设数列{an}的公差为 d，首项为 a1，
[由题悟法] 分组转化法求和的常见类型
[ 提醒]
某些数列的求和是将数列转化为若干个可
求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在 含有字母的数列中对字母的讨论．
[即时应用] 已知等比数列{an}中，首项 a1＝3，公比 q＞ 1，且 3(an＋ 2 ＋ an)－10an＋1＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式；
3 解析：当 n＝ 2 时，S2＝ a1＋ a2＝ a2，则 a2＝ 2a1＝4，当 2 n＋ 1 n an n n≥ 3 时，an＝Sn－ Sn－ 1＝ a － a ，即 ＝ ， 2 n 2 n－ 1 an－1 n－ 1 an an－1 a 因 此 ， 当 n≥ 3 时 ， 有 an ＝ · · …· 3 · a2 ＝ a2 an－1 an－2 n n－ 1 3 · · … ·× 4＝ 2n， 当 n＝ 1 或 2 时也符合上式． 从 2 n－ 1 n－ 2 而 an＝ 2n(n∈ N*)． a1＋an 2 (1)等差数列 {an}的前 n 项和 Sn＝ ＝ na1 n n－1 d ＋ . 2
推导方法：倒序相加法．
na1， q＝ 1， a1 1－ qn 1－ q ， q≠ 1. (2)等比数列 {an}的前 n 项和 Sn＝
推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前 n 项和： n n＋1 ①1＋2＋3＋…＋n＝ ； 2 ②2＋4＋6＋…＋2n＝ n(n＋1) ；
2 n ③1＋3＋5＋…＋2n－ 1＝ .
2．几种数列求和的常用方法 (1)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比 或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别 求和而后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间 的一些项可以相互抵消，从而求得前 n 项和．常用的裂项 公式有：
考点三
错位相减法求和重点保分型考点——师生共研
[典例引领 ]
(2015· 湖北高考 )设等差数列{an}的公差为 d， 前 n 项和为 Sn，等比数列{bn}的公比为 q.已知 b1＝ a1，b2＝ 2，q＝ d， S10＝ 100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； an (2)当 d＞ 1 时，记 cn＝ ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn. bn
① ②
2n－ 1 2n＋ 3 1 1 1 1 Tn＝ 2＋ ＋ 2＋ …＋ n ， n－2－1 n ＝ 3－ 2 2 2 2 a ＝ 2 n ＋ 79 ， 2 a ＝ 2n－ 1， n 9 n 故 或 n－ 1 2 n －1 bn＝ 22n＋ 3 bn＝ 9· . 故 Tn＝ 6－ n－1 . 9 2
1 ① n n＋ 1
1 1 － ＝ n n＋1 ；
1 1 － 1 ＝ 2 2n－ 1 2n＋ 1 ；
1 ② 2n－ 12n＋ 1 ③ 1 n＋ n＋ 1 ＝
n＋1－ n.
(3)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列 和一个等比数列的对应项之积构成的， 那么求这个数 列的前 n 项和即可用错位相减法求解． (4) 倒序相加法：如果一个数列 {an} 与首末两端等“距 离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个 数列的前 n 项和即可用倒序相加法求解．
3×2 9 设 { b n}的公比为 q， a1＋2d＝2,3a1＋ d＝ ， 2 2
b4 则 q ＝ ＝ 8，从而 q＝ 2， 3 1 b 1 化简得 a1＋2d＝2，a1＋d＝ ，解得 a1＝1，d＝ ， 2 2
3
n－1 n＋1 故{an}的通项公式 n an＝ 1＋ 2 n ，即 an＝ 2 . b1 1－ q 1× 1－ 2 Tn＝ ＝ ＝ 2n－ 1. 1－ q 1－ 2
1 (2)设bn＋ an 是首项为 3
1， 公差为 2 的等差数列， 求数列
{bn}的通项公式和前 n 项和 Sn.
解： (1)∵ 3(an＋2＋ an)－ 10an＋ 1＝ 0， ∴ 3(anq2＋ an)－ 10anq＝ 0，即 3q2－ 10q＋ 3＝ 0. ∵公比 q＞ 1，∴ q＝ 3.又首项 a1＝ 3， ∴数列 {an}的通项公式为 an＝ 3n.

解： (1)设等差数列{an}的公差为 d.
a1＋ d＝ 4， 由已知得 a1＋ 3d＋ a1＋ 6d＝ 15， a1＝ 3， 解得 d＝ 1.
所以 an＝ a1＋ (n－ 1)d＝ n＋ 2. (2)由 (1)可得 bn＝ 2n＋ n，所以 b1＋ b2＋ b3＋…＋ b10 ＝ (2＋ 1)＋(22＋ 2)＋(23＋ 3)＋…＋ (210＋ 10) ＝ (2＋ 22＋ 23＋…＋ 210)＋(1＋ 2＋ 3＋…＋ 10) 2 1－ 210 1＋ 10× 10 ＝ ＋ 2 1－ 2 ＝ (211－ 2)＋ 55＝ 211＋ 53＝ 2 101.
[小题纠偏] 1．已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足：对于任意 m，n∈N*， 都有 Sn＋Sm＝Sn＋m＋2n；若 a1＝1，则 a10＝________.
解析：取 m＝1 得 Sn＋S1＝Sn＋1＋2n，所以 Sn＋1－Sn＝ S1－2n， 所以 an＋1＝a1－2n＝1－2n， 所以 a10＝1－2×9 ＝－17. 答案：－17
2． 若等比数列{an}满足 a1＋a4＝10， a2＋a5＝20， 则{an} 的前 n 项和 Sn＝________.
解析：由题意 a2＋a5＝q(a1＋a4)，得 20＝q×10，故 q＝2， 10 代入 a1＋a4＝a1＋a1q ＝10，得 9a1＝10，即 a1＝ . 9
3
10 1－2n 9 10 n 故 Sn＝ ＝ (2 －1)． 9 1－2 10 n 答案： (2 －1) 9
2n－ 1 ， 10a1＋ 45d＝ 100 n－1 (2)解： 由 d＞ 1 ，知 an＝ ，故 cn＝ n－1 ， 2n－ 1， bn＝ 2 (1) 由题意有 2 a1d＝ 2，
2n－ 1 5 7 9 2a ＋ 9d3 202 ， 于是 Tn＝ ＋ ＋ 3＋ 4＋… ＋ n－1 ， 1 1＋ ＝ 2 2 2 2 2 即 a1d＝ 2， 2n－ 3 2n－ 1 1 1 3 5 7 T ＝ ＋ 2＋ 3＋ 4＋ ＋ n－1 ＋ n . a… 1＝ 9， 2 n 2 2 2 2 2 2 a1＝ 1， 解得 或 2 d＝ . d＝ 2 ①－②可得 9
3． (2015· 重庆高考 )已知等差数列 {an}满足 a3＝ 2， 前 3 项和 9 S3＝ . 2 (1)求 {an}的通项公式； (2)设等比数列{bn}满足 b1＝ a1， b4＝ a15，求 {bn}的前 n 项和 Tn.
15＋ 1 (2) 由 b1＝ 1，d b，则由已知条件得 ＝ 8. 解：(1) 设 {(1) an}得 的公差为 4＝ a15＝ 2
1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比 数列公比为参数 (字母 )时， 应对其公比是否为 1 进行讨论． 2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论 中形如 an， an 1 的式子应进行合并．
＋
3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即 前剩多少项则后剩多少项． 4． 善于转化为等差数列、 等比数列来求和， 注意项数的计算．
考点一
公式法求和
基础送分型考点——自主练透
[题组练透] 1．(易错题)(2015· 安徽高考)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1 1 ＋ (n≥2)，则数列{an}的前 9 项和等于________． 2
1 解析： 由 a1＝ 1， an＝ an－ 1＋ (n≥ 2)， 2 1 可知数列{an}是首项为 1，公差为 的等差数列， 2 9× 9－ 1 1 故 S9＝ 9a1＋ × ＝ 9＋18＝ 27. 2 2 答案： 27
2． 若数列{an}的通项公式为 an＝ 2n＋2n－1， 则数列{an} 的前 n 项和为 ________．
21－2n n1＋2n－1 ＋ 解析：Sn＝ ＋ ＝2n 1－2＋n2. 2 1－2 答案：2n＋1＋n2－2
3．已知 Sn 是数列 {an}的前 n 项和，且 a1＝ 2，当 n≥2 n＋ 1 时， Sn＝ a ，则 an＝ ________. 2 n
[由题悟法] 用错位相减法求和的 3 个注意事项 (1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数 的情形； (2) 在写出 “Sn”与 “qSn”的表达式时应特别注意将两式 “错项对齐”以便下一步准确写出“ Sn－ qSn”的表达式； (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参 数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解．
1 2．在数列{an}中， an＝ ，且 Sn＝ 9，则 n n＋ 1＋ n ＝ ________.
1 解析： 由 an＝ ＝ n＋ 1－ n， n＋ 1＋ n 得 Sn＝ 2－ 1＋ 3－ 2＋ …＋ n＋ 1－ n＝ n＋ 1－ 1＝ 9，解得 n＝ 99. 答案： 99
3．对于实数 x，用 [x]表示不超过 x 的最大整数，如 [0.3] ＝ 0， [5.6]＝ 5.若 n∈ N
1 (2)∵bn＋ an 是首项为 3
1，公差为 2 的等差数列，
1 ∴ bn＋ an＝ 1＋ 2(n－ 1)． 3 即数列 {bn}的通项公式为 bn＝ 2n－ 1－ 3n 1，
－
Sn＝－(1＋ 3＋ 32＋…＋ 3n 1)＋ [1＋ 3＋ …＋ (2n－1)]
－
1 n ＝－ (3 － 1)＋ n2. 2
*
n ， an＝ ， Sn 为数列 {an}的前 4
n 项和，则 S4n＝ ________.
解析： 因为
n an＝ ， 4
所以当 n＝ 1,2,3 时， an＝ 0； 当 n＝ 4,5,6,7 时， an＝ 1； 当 n＝ 8,9,10,11 时， an＝ 2； 当 n＝ 4k,4k＋ 1,4k＋ 2,4k＋ 3 时， an＝ k. 所以 S4n＝ 3× 0＋ 4[1＋ 2＋ …＋(n－ 1)]＋ n n－ 1 n ＝ 4× ＋ n＝ 2n2－ n. 2 答案： 2n2－ n
故 {bn}的前 n 项和
[谨记通法 ] 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项， 然后通过对通项变形，转化为等差或等比或可求数列前 n 项和的数列来求之．如“题组练透”第 1 题．
考点二
分组转化法求和 重点保分型考点——师生共研
[典例引领 ] (2015· 福建高考 )等差数列 {an}中，a2＝ 4，a4＋a7＝ 15. (1)求数列 an 的通项公式； (2)设 bn＝2an－2＋ n，求 b1＋ b2＋b3＋…＋b10 的值．
3a1＋6d＝15， 由题意得 a1＋4d＝9， a1＝1， 解得 d＝2.