2020春人教版八年级数学下册 第17章 全章习题(付,167) 典中习题

∵S△PAB＝13S 长方形 ABCD，∴12AB·h＝13AB·AD，∴h＝23AD＝2.
∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的直线 l 上，如图，
作点 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 AE，BE，则 BE 的长就是
所求的最短距离．
在 Rt△ABE 中，∵AB＝5，AE＝2＋2＝4，
人教版 八年级下
第十七章 勾股定理
第1节 勾股定理 第2课时 勾股定理
提示：点击 进入习题
1 x2＋9＝(10－x)2 2B
3C 4 见习题 5 2 10
6 20 7B 8D 9B 10 见习题
答案显示
提示：点击 进入习题
11 见习题 12 见习题 13 (1)20 (2)13
答案显示
1．【2018·湘潭】《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一， 在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈， 末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是： 如图所示，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＋AB＝10，BC＝3， 求 AC 的长．如果设 AC＝x，则可列方程为__x_2＋__9_＝__(_1_0_－__x_)_2 _．
11．如图，圆柱形无盖玻璃容器，高为 18 cm，底面周长为 60 cm， 在外侧距下底 1 cm 的点 C 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形 容器的上口外侧距开口 1 cm 的 F 处有一苍蝇，试求急于捕获 苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度．
【点拨】解决几何中最短路径问题时，需把几 何体展开，根据两点之间线段最短求值．化曲 为直是这类问题的解题关键．
12．如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m， BC＝15 m，CD＝7 m，形 ABCD 分割成 △ABC 和△ACD 两个直角三角形，将这两个 直角三角形面积相加即可得到结果．
解：如图，连接 AC. 因为∠B＝∠D＝90°，所以△ABC 与△ACD 都是直角三角形． 在 Rt△ABC 中，根据勾股定理， 得 AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则 AC＝25 m. 在 Rt△ACD 中，根据勾股定理，得 AD2＝AC2－CD2＝252－72＝ 576，则 AD＝24 m．故 S 四边形 ABCD＝S△ABC＋S△ACD ＝12AB·BC＋12AD·CD＝12×20×15＋12×24×7＝234(m2)．
2．【中考·安顺】如图，有两棵树，一棵高 10 米，另一棵高 4 米， 两树相距 8 米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶， 小鸟至少飞行( B ) A．8 米 B．10 米 C．12 米 D．14 米
【点拨】 （10－4）2＋82＝10(米)，∴小鸟至少飞行 10 米．
3．【中考·绍兴】如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜 靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为 0.7 米，顶端距离 地面 2.4 米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右 墙时，顶端距离地面 2 米，则小巷的宽度为( ) A．0.7 米 B．1.5 米 C．2.2 米 D．2.4 米
O，若点 O 是 AC 的中点，则 CD 的长为( A )
A．2 2
B．4
C．3
D． 10
4．【2019·咸宁】勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”， 我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》 时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”. 2002 年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案 中是“赵爽弦图”的是( D )
7．【2019·宁波】勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我 国古算书《周髀算经》中早有记载，如图①，以直角三角形 的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片 按图②的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的 面积，则一定能求出( C ) A．直角三角形的面积 B．最大正方形的面积 C．较小两个正方形重叠部分的面积 D．最大正方形与直角三角形的面积和
11．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边 AC＝6 cm，BC＝ 8 cm，现将直角边 AC 沿 AD 折叠，使得点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，试求 CD 的长．
解：在 Rt△ABC 中，AC＝6 cm，BC＝8 cm， 由勾股定理得 AB2＝AC2＋BC2＝62＋82＝100，所以 AB＝10 cm. 由折叠的性质知 AE＝AC＝6 cm，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°， 所以 BE＝AB－AE＝10－6＝4(cm)，∠BED＝90°. 设 CD＝x cm，则 DE＝x cm，BD＝(8－x)cm， 在 Rt△BDE 中，由勾股定理得 x2＋42＝(8－x)2，解得 x＝3. 所以 CD 的长为 3 cm.
4．【中考·黄冈】在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块长 方形的标语牌 ABCD(如图所示)，已知标语牌的高 AB＝5 m， 在地面的点 E 处，测得标语牌点 A 的仰角(即∠AEB)为 30°， 在地面的点 F 处，测得标语牌点 A 的仰角(即∠AFB)为 75°， 且点 E，F，B，C 在同一直线上，求点 E 与点 F 之间的距离．(计 算结果精确到 0.1 m，参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73)
解：将曲面沿 AB 展开，如图所示，连接 CF， 过点 C 作 CE⊥AB 于 E，在 Rt△CEF 中， ∠CEF＝90°，EF＝18－1－1＝16(cm)，CE＝12×60＝30(cm)， 由勾股定理，得 CF2＝CE2＋EF2＝1 156，所以 CF＝34 cm. 即蜘蛛所走的最短路线的长度是 34 cm.
9．如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于点 D，AC＝4，BC＝3，BD ＝95，求：
(1)CD 的长； 解：在 Rt△BCD 中，CD2＝BC2－BD2＝32－952＝12454， 所以 CD＝152.
(2)AB 的长．
解：在 Rt△ACD 中，AD2＝AC2－CD2＝42－1522＝22556， 所以 AD＝156. 所以 AB＝AD＋BD＝156＋95＝5.
解：如图，作 FH⊥AE 于 H.由题意可知∠HAF＝∠HFA＝45°， ∴AH＝HF，设 AH＝HF＝x m，则 EF＝2x m，则 EH＝ 3x m， 在 Rt△AEB 中，∵∠E＝30°，AB＝5 m，∴AE＝2AB＝10 m， ∴x＋ 3x＝10，∴x＝5 3－5， ∴EF＝10 3－10≈7.3(m)， 答：点 E 与点 F 之间的距离约为 7.3 m.
2．已知一个直角三角形的两条边长分别为 3 和 4，则第三条边
长的平方为( C )
A．25
B．7
C．7 或 25
D．不确定
3．【2019·河南】如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠D＝90°，
AD＝4，BC＝3，分别以点 A，C 为圆心，大于12AC 长为半径 作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点
5．【2019·黔东南州】如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上 ， 若 EB＝1，EC＝2，那么正方形 ABCD 的面积为___3_____．
6．如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别 为 3 和 4，则 b 的面积为( D ) A．3 B．4 C．5 D．7
【点拨】如图，在 Rt△ACB 中， ∵∠ACB＝90°，BC＝0.7 米，AC＝2.4 米， ∴AB2＝0.72＋2.42＝6.25. 在 Rt△A′BD 中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2 米，BD2＋A′D2＝A′B2， ∴BD2＋22＝6.25，∴BD2＝2.25. ∵BD＞0，∴BD＝1.5 米． ∴CD＝BC＋BD＝0.7＋1.5＝2.2(米)． 【答案】A
10．在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水 面 3 尺(如图)．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵 刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，请问 水深多少？
【点拨】本题利用了方程思想，关键是根据题意 画出图形，再利用勾股定理列方程求解．
解：设水深 h 尺．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝h 尺， AC＝(h＋3)尺，BC＝6 尺． 由勾股定理得 AC2＝AB2＋BC2，即(h＋3)2＝h2＋62. 解得 h＝4.5.所以水深 4.5 尺．
人教版 八年级下
第十七章 勾股定理
第1节 勾股定理 第1课时 勾股定理
提示：点击 进入习题
1A 2C
3A 4D 53
6D 7C 8 24 9 见习题 10 见习题
答案显示
提示：点击 进入习题
11 见习题 12 见习题
答案显示
1．【2018·滨州】在直角三角形中，若勾为 3，股为 4，则弦为( A ) A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
8．【中考·安徽】如图，在长方形 ABCD 中，AB＝5，AD＝3， 动点 P 满足 S△PAB＝13S 长方形 ABCD，则点 P 到 A、B 两点距离之 和 PA＋PB 的最小值为( ) A． 29 B． 34 C．5 2 D． 41
【点拨】设△PAB 中 AB 边上的高是 h.
【答案】D
10．【中考·益阳】在△ABC 中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求 △ABC 的面积． 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按 照他们的解题思路完成解答过程．
解：作 AD⊥BC 于 D，在△ABC 中，AB＝15，BC＝14， AC＝13，设 BD＝x，则 CD＝14－x. 由勾股定理，得 AD2＝AB2－BD2＝152－x2， AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2， 所以 152－x2＝132－(14－x)2. 解得 x＝9. 所以 AD2＝AB2－BD2＝152－92＝144，所以 AD＝12. 所以 S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.
∴BE＝ AB2＋AE2＝ 52＋42＝ 41，即 PA＋PB 的最小值为 41.
9．如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的
距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点
B，需要爬行的最短距离是( B )
A．5 29
B．25
C．10 5＋5
D．35
【点拨】本题易考虑不全面，不能准确的找出最短路径而致错．
5．如图，一只蚂蚁沿着棱长为 2 的正方体表面从点 A 出发，经 过 3 个面爬到点 B，如果它运动的路径是最短的，那么最短 路径长为_2__1_0____．
6．【2018·黄冈】如图，圆柱形玻璃杯高为 14 cm，底面周长为 32 cm，在杯内壁离杯底 5 cm 的点 B 处有一滴蜂蜜，此时一 只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 3 cm 与蜂蜜相对的 A 处，则 蚂蚁从外壁 A 处到内壁 B 处的最短距离为___2_0____cm(杯壁 厚度不计)．
8．在△ABC 中，若∠B＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a， b，c，且 a＝7，b＝25，则 c 的长为___2_4____．
【点拨】在运用勾股定理时，首先要正确识别哪个角是直角，从 而确定哪条边是斜边，然后准确写出勾股定理关系式进行求 解．解这类题常见的错误是受思维定式(勾股定理的关系式：a2 ＋b2＝c2)的影响而误认为 c 一定是斜边．
7．【中考·营口】如图，在△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝90°， 点 D 在 BC 上，BD＝3，DC＝1，点 P 是 AB 上的动点，则 PC＋PD 的最小值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7
【点拨】如图，过点 C 作 CO⊥AB 于 O，延长 CO 到 C′，使 OC′ ＝OC，连接 DC′，交 AB 于 P′，连接 CP′， 此时 DP′＋CP′＝DP′＋P′C′＝DC′的值最小． 连接 BC′，由对称性可知∠C′BP′＝∠CBP′＝45°， ∴∠CBC′＝90°，∠BCC′＝∠BC′C＝45°， ∴BC′⊥BC，BC′＝BC＝3＋1＝4. 根据勾股定理可得 DC′＝ BC′2＋BD2＝ 42＋32＝5.