北师大版高中数学必修2第七节球的综合问题课件
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M
F
E
D
17
【详解】
∵ ME DE ， ME EF ，∴ ME 平面 DEF ，将四面体 M DEF 补成以 DEF 为 底面 ME 为侧棱的直三棱柱，该三棱柱的外接球就是四面体 M DEF 的外接球，由题知，
球心到平面 DEF 的距离为 2， DEF
外接圆的半径为 r
BC 2sin BAC
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
3
3
M F
E
D
结论：无论底面是什么形状，只要有一条侧 棱与底面垂直的三棱锥就一定可以补形成直三棱柱.
图8-3-11 特别地，当底面是直角三角形时就可以进一步补形成长方体.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
4
OP＝ 1 a，OA＝R，所以R2＝
2
1、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）及直棱柱的外接球球心位于上下两底面圆心
A
B
25
【详解】
根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为 3 的四棱锥，
且侧面 PAB 垂直底面 ABCD，如图所示：还原长方体的长
是 2，宽为 1，高为 3 。设四棱锥的外接球的球心为 O，
则过 O 作 OM 垂直平面 PAB，M 为三角形 PAB 的外心， 作 ON 垂直平面 ABCD，则 N 为矩形 ABCD 的对角线交点，
【详解】
解：Q ABC 所在截面圆的圆心 O 在 AB 上， SO 平面 ABC, AC 3, BC 1 ，三棱锥的
体积是 3 ，则三角形 ABC 为直角三角形，且 ACB 90 ， ABC 的外接圆的半径为
3
1 AB 1 12
2
2
2
3 1设球心为 O1 ，半径为 R ，过 O 作 OD AC 交 AC 于点 D ，
O 2r O1
14
3、在半径为15的球 内有一个底面边长为
锥
.求此正三棱锥的体积。
的内接正三棱
分析：由正三棱锥性质知，点A在∆BCD上的投影 为∆BCD中心，设为H, 即点A在直径OH上。
又正∆BCD外接圆半径(r=HC=HB=HD)为三角形 高线长的三分之二，所以
O
D
C
H
B
在Rt∆OHC中，OC=R=15，可得球心O到平面BCD距离OH=9.
2
2
2
得 xy≤ 25 当且仅当 x=y= 5 2 时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得 x+y≤5 2 ,
2
2
当且仅当 x=y= 5 2 时取等号，∴S≤5 2
2
+
1 2
25 2
=5
2 25 4
当且仅当 x=y= 5 2 时取等号. ∴三棱锥 A-BCD 的 2
25
O
图甲，球心在棱锥内
图乙，球心在棱锥外
高AH=OA+OH=15+9=24. 高AH=OA-OH=15-9=6.
16
＝4πR2＝ 7 πa2. 1、已知四面体 M DEF 中，DEF ，DF 2 3 ，ME DE ，ME EF ，ME 4 ，
3 3
则该四面体的外接球的体积为______.
连接 O1D ，Q SO 平面 ABC ， OD 平面 ABC ，SO OD ，又 OD AC ， OD 平面 SOD ， SO 平面 SOD ， SO I OD O ，AD 平面 SOD Q O1D 平面 SOD AD O1D ，则 O1D 为球心到 AC 的距离。
依题意可得 OD 1 BC 3 1 1 3 1 SO 3 ，SO 2 ， A
13a42
r,
3
r
a
2
r6,a.r
6 a.
12 123
34
4 12
12
10
法二、球心定位法 续：求棱长为a的正四面体的内切球半径r
正课四堂篇体探究内学习切球
分析：设E为CD中,点F、G分别为∆BCD、∆ACD中心(每个面上中线的2:1处).
球心必在高线AF上，球切每个面于中心。由Rt∆AOG与 Rt∆AEF相似或勾股定理可求r.
3
12
2、正四面体外接球与内切球球心重合，
重合在高线上3:1处 ，球心也叫正面体
R
中心。
3、外接球半径
R 3 h 4
6 4
a.
r
内切球半径
r 1 h 6 a. 4 12
12
1、一个棱长为 6 2 的正四体内部有一个可以任意旋转的正方体，
当正方体的棱长取最大值时，正方体的表面积是（ C ）
A、6
6a，∴S 4
球＝4π×
6a 4
2＝3πa2. 2
正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：R＝ 6a 4
9
法一 等体积法
正四课堂体篇探内究学切习 球
例3、求棱长为a的正四面体的内切球半径r.
解:如图,在四面体 S-ABC 中,取底面△ABC 的中心为 O1,连接 O1,O1A,
则 SO1⊥O1A.∵AO1= 3232 2233aa 3333a a ,∴
A B
设正方体
棱长为 x，
D
a 2x
2R 3x
2R 3
C
a
2
R 6a 4
正四体外接球
续：求棱长为a的正四面体外接球的半径R.
∵棱长为 a，∴BE＝ 3a×2＝ 3a. 2 33
∴在 Rt△ABE 中，AE＝ a2－a2＝ 6a. 33
设球心为 O，半径为 R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝
2 2
3 3
2，
2
M
∴外接球的半径 R 22 22 2 2 ，∴该球的外接球的体积为
4
2
2 3 64
2
.
F
3
3
E
D
18
已知三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上， AD 平面 ABC ， BAC 90 ， AD 2 ，若球 O 的表面积为 29 ，则三棱锥 A BCD 的侧面积的最大值为（ ）
B、12
C、24
D、36
分析可得，正方体内切于球，而该球又内切于这个正四面体！
设正四面体棱长为 、高为 , 正方体棱长为 ,球半径为 .
则关系式为：
3x 2r, r 1 h, h 6 a, S 6x2.
4
3
13
在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球的半径的最大值为 .
分析：四个小球的球心为一个正四面体的四个顶点, 正四面体中心与大球球心O重 合. 四个小球的球心分别记为A、B、C、D，半径为r, 记O1为∆BCD外心.
2
2 32
3
设球体的半径 R ，则 R
1 (2 R)2
， R
5 4
，OO1
SO R 2 5 4
3 4
O1D
OO12 OD2
3 2
2
3 4
2
21 4
S
O Q C
B
22
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（ ）
A． 8 2 B． 4 2π C． 4 3 D．8 6
3
C1
A1
B1
C
A
B
23
【详解】
解：该几何体是一个四面体，画出其直观图，如图中的四面体 ABCD .该四面体可以嵌入到
一个直三棱柱中，四面体的外接球即直三棱柱的外接球.该三棱柱的底面是斜边长为 2 的等
腰直角三角形，三棱柱的高为 2，可以扩展到一个底面是边长为 2 的正方形，高为 2 的长
方体中，从而求得其外接球半径为 r 1
a2 c2 24
解得： R 7 ，三棱锥外接球的表面积为 S 4 R2 28 .故答案为： 28
28
4、已知四面体 ABCD 内接于球 O，且 AB BC 2, AC 2 ，若四面体 ABCD 的体积
为 2 3 ，球心 O 恰好在棱 DA 上，则球 O 的表面积是_____． 3
29
OM 1 , ON 1 3 3 . 所以外接球的半径 R：
2
3
3
R2 ON 2 AN 2 ( 3 )2 ( 12 22 )2 19 R 19 .
3
2
12
12
所以外接球的体积V 4 R3 19 57 .
3
54
26
2、三棱锥 A BCD 中, AC BD 2 6 ,其余棱长都均为 4，则该三棱锥外接球的表面积
RtAEF中，AE 3 a, EF 3 a.
2
6
RtAOG中，OG r OF , AO 6 a r. 3
EF OG ,r 6 a.
AE AO
12
Or rG FE
11
总结：正四面体的三条结论
正四面体：四个面均为全等的正三角形，设棱长为 .
1、正四面体高 h 6 a,体积V 2 a3.
h =S O1=
aa2 2
33
2
a 3 3
a
62 3
a
6 a,
3
∴四面体的体积为
V
=11
33
4433aa2 23636a a
1221a223
a3 ,
设内切球球心为 O,半径为 r,连接 OA,OB,OC,
∴V
S
-ABC=V
O-SAB+V
O-SBC+V
O-SAC+V
O-A
BC=
1 3
S表
r
2
a3
21
a43
2
2
2 2 22 2 ，
2
所以外接球体积V 4 r3 8 2 .
3
3
24
7、网格纸上小正方 形的边长为1 ，粗实线画出的 是某几何体的三视图，已知 其俯视图是正
三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）
A． 19 57
54
B． 22 66
54
3
C． 19
3
D． 22
3 C1
A1 C
B1
6
续：若将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”,已知三棱锥
P-ABC为“鳖臑”,侧棱PA与底面ABC垂直,PA＝AB＝2，AC＝4，
三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为（ ）
A.8π
B.12π C.20π D.24π
7
法一、补形法或构造法
正四体外接球
例2、求棱长为a的正四面体（每个面都是正三角形）外接球的半径R.
侧面积的最大值为 5 2 .故选 A.
4
20
3、已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在同一个球面上，球心为 O，△ABC 所在截面圆的圆心
Q 在 AB 上，SO⊥面 ABC，AC=1，BC= 3 ，若三棱锥的体积是 3 ，则该球体的球心到 3
棱 AC 的距离是___________
S
O
O
B
Q
A
C
21
满足关系d＝ R2－.r2
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
2
补形成长方体的三棱锥常见的有两类：
A D
类型1、对棱相等的三棱锥. C B
类型2、至少有一个面是直角三角形，并且与第四
个顶点在其上的投影形成一个直角三形或矩形.
用途：方便快捷求外接球直径 2R a2 b2 c2
核心概念掌握
北师大版必修2第一章第7节简单几何体再认识
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
1
(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平 面问题(圆的问题)的关键，是转化与化归思想在球的接、切问题中的 应用． (2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r
【详解】
如图:在三角形 ABC 中,因为 AB2 BC2 AC2 ,所以△ ABC 为直角三角形,所以三角形 ABC 的外接圆的圆心为 AC 的中点O1 ,连 OO1 ,根据垂径定理,可得OO1 平面 ABC ,因为 O,O1 为 AD, AC 的中点可知 DC 平面 ABC ,所以 DC 为四面体 ABCD 的高.
15
接直上线：AH球上又 ∴心，VSO△三那B棱到C锥D么平＝ A－三又∴B面C4D3V棱S＝B×△三锥CB棱13(C1锥×DDA2＝A－1距-B0B3C48离)3DC2＝×＝DO313(×11的H×0228=1高4093＝38)A，2，8＝H36且×41=0球?2834.半＝3，8径64为31.5，且顶点A
为____.
A D C
B
27
【详解】
三棱锥 A BCD 的三条对棱两两相等，所以把它补成一个长方体，它也外接于三棱锥的外
接球，且此长方体的面对角线的长分别是 4, 4， 2 6 ，设长方体的棱长分别为 a,b, c a2 b2 16
b2 c2 16 ，三式相加可得 a2 b2 c2 28 ，2R a2 b2 c2 2 7 ，
A． 5 2 25 4
B． 5 2 5 41 4
C． 6 3 27 2
D．10 2 25 2
墙角型三棱锥补形成长方体
19
【详解】
设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由 4πR2=29π，得 4R2=29．又 x2+y2+22=（2R）2，得 x2+y2=25．
三棱锥 A-BCD 的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC= 1 2x 1 2 y 1 xy 由 x2+y2≥2xy，
或外接圆圆心连线的中点。
＝4πR ＝ πa . 7 2、一般多面体的外接球球心分析如下： 2
2
3 从某一个表面出发,假设这个平面多边形外接圆圆心为P，则球心O必在过
点P且与该平面垂直的直线上.
C1
A1
O
C2
A2
D d OR C
Pr
B
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
例1、若将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”,已知 三棱锥P-ABC为“鳖臑”,侧棱PA与底面ABC垂直,PA＝AB＝ 2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球 O的表面积为（ ） A.8π B.12π C.20π D.24π
F
E
D
17
【详解】
∵ ME DE ， ME EF ，∴ ME 平面 DEF ，将四面体 M DEF 补成以 DEF 为 底面 ME 为侧棱的直三棱柱，该三棱柱的外接球就是四面体 M DEF 的外接球，由题知，
球心到平面 DEF 的距离为 2， DEF
外接圆的半径为 r
BC 2sin BAC
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
3
3
M F
E
D
结论：无论底面是什么形状，只要有一条侧 棱与底面垂直的三棱锥就一定可以补形成直三棱柱.
图8-3-11 特别地，当底面是直角三角形时就可以进一步补形成长方体.
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
4
OP＝ 1 a，OA＝R，所以R2＝
2
1、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）及直棱柱的外接球球心位于上下两底面圆心
A
B
25
【详解】
根据三视图可知，几何体是底面为矩形，高为 3 的四棱锥，
且侧面 PAB 垂直底面 ABCD，如图所示：还原长方体的长
是 2，宽为 1，高为 3 。设四棱锥的外接球的球心为 O，
则过 O 作 OM 垂直平面 PAB，M 为三角形 PAB 的外心， 作 ON 垂直平面 ABCD，则 N 为矩形 ABCD 的对角线交点，
【详解】
解：Q ABC 所在截面圆的圆心 O 在 AB 上， SO 平面 ABC, AC 3, BC 1 ，三棱锥的
体积是 3 ，则三角形 ABC 为直角三角形，且 ACB 90 ， ABC 的外接圆的半径为
3
1 AB 1 12
2
2
2
3 1设球心为 O1 ，半径为 R ，过 O 作 OD AC 交 AC 于点 D ，
O 2r O1
14
3、在半径为15的球 内有一个底面边长为
锥
.求此正三棱锥的体积。
的内接正三棱
分析：由正三棱锥性质知，点A在∆BCD上的投影 为∆BCD中心，设为H, 即点A在直径OH上。
又正∆BCD外接圆半径(r=HC=HB=HD)为三角形 高线长的三分之二，所以
O
D
C
H
B
在Rt∆OHC中，OC=R=15，可得球心O到平面BCD距离OH=9.
2
2
2
得 xy≤ 25 当且仅当 x=y= 5 2 时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得 x+y≤5 2 ,
2
2
当且仅当 x=y= 5 2 时取等号，∴S≤5 2
2
+
1 2
25 2
=5
2 25 4
当且仅当 x=y= 5 2 时取等号. ∴三棱锥 A-BCD 的 2
25
O
图甲，球心在棱锥内
图乙，球心在棱锥外
高AH=OA+OH=15+9=24. 高AH=OA-OH=15-9=6.
16
＝4πR2＝ 7 πa2. 1、已知四面体 M DEF 中，DEF ，DF 2 3 ，ME DE ，ME EF ，ME 4 ，
3 3
则该四面体的外接球的体积为______.
连接 O1D ，Q SO 平面 ABC ， OD 平面 ABC ，SO OD ，又 OD AC ， OD 平面 SOD ， SO 平面 SOD ， SO I OD O ，AD 平面 SOD Q O1D 平面 SOD AD O1D ，则 O1D 为球心到 AC 的距离。
依题意可得 OD 1 BC 3 1 1 3 1 SO 3 ，SO 2 ， A
13a42
r,
3
r
a
2
r6,a.r
6 a.
12 123
34
4 12
12
10
法二、球心定位法 续：求棱长为a的正四面体的内切球半径r
正课四堂篇体探究内学习切球
分析：设E为CD中,点F、G分别为∆BCD、∆ACD中心(每个面上中线的2:1处).
球心必在高线AF上，球切每个面于中心。由Rt∆AOG与 Rt∆AEF相似或勾股定理可求r.
3
12
2、正四面体外接球与内切球球心重合，
重合在高线上3:1处 ，球心也叫正面体
R
中心。
3、外接球半径
R 3 h 4
6 4
a.
r
内切球半径
r 1 h 6 a. 4 12
12
1、一个棱长为 6 2 的正四体内部有一个可以任意旋转的正方体，
当正方体的棱长取最大值时，正方体的表面积是（ C ）
A、6
6a，∴S 4
球＝4π×
6a 4
2＝3πa2. 2
正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：R＝ 6a 4
9
法一 等体积法
正四课堂体篇探内究学切习 球
例3、求棱长为a的正四面体的内切球半径r.
解:如图,在四面体 S-ABC 中,取底面△ABC 的中心为 O1,连接 O1,O1A,
则 SO1⊥O1A.∵AO1= 3232 2233aa 3333a a ,∴
A B
设正方体
棱长为 x，
D
a 2x
2R 3x
2R 3
C
a
2
R 6a 4
正四体外接球
续：求棱长为a的正四面体外接球的半径R.
∵棱长为 a，∴BE＝ 3a×2＝ 3a. 2 33
∴在 Rt△ABE 中，AE＝ a2－a2＝ 6a. 33
设球心为 O，半径为 R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，
∴R＝
2 2
3 3
2，
2
M
∴外接球的半径 R 22 22 2 2 ，∴该球的外接球的体积为
4
2
2 3 64
2
.
F
3
3
E
D
18
已知三棱锥 A BCD 的所有顶点都在球 O 的球面上， AD 平面 ABC ， BAC 90 ， AD 2 ，若球 O 的表面积为 29 ，则三棱锥 A BCD 的侧面积的最大值为（ ）
B、12
C、24
D、36
分析可得，正方体内切于球，而该球又内切于这个正四面体！
设正四面体棱长为 、高为 , 正方体棱长为 ,球半径为 .
则关系式为：
3x 2r, r 1 h, h 6 a, S 6x2.
4
3
13
在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球，则小球的半径的最大值为 .
分析：四个小球的球心为一个正四面体的四个顶点, 正四面体中心与大球球心O重 合. 四个小球的球心分别记为A、B、C、D，半径为r, 记O1为∆BCD外心.
2
2 32
3
设球体的半径 R ，则 R
1 (2 R)2
， R
5 4
，OO1
SO R 2 5 4
3 4
O1D
OO12 OD2
3 2
2
3 4
2
21 4
S
O Q C
B
22
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球体积为（ ）
A． 8 2 B． 4 2π C． 4 3 D．8 6
3
C1
A1
B1
C
A
B
23
【详解】
解：该几何体是一个四面体，画出其直观图，如图中的四面体 ABCD .该四面体可以嵌入到
一个直三棱柱中，四面体的外接球即直三棱柱的外接球.该三棱柱的底面是斜边长为 2 的等
腰直角三角形，三棱柱的高为 2，可以扩展到一个底面是边长为 2 的正方形，高为 2 的长
方体中，从而求得其外接球半径为 r 1
a2 c2 24
解得： R 7 ，三棱锥外接球的表面积为 S 4 R2 28 .故答案为： 28
28
4、已知四面体 ABCD 内接于球 O，且 AB BC 2, AC 2 ，若四面体 ABCD 的体积
为 2 3 ，球心 O 恰好在棱 DA 上，则球 O 的表面积是_____． 3
29
OM 1 , ON 1 3 3 . 所以外接球的半径 R：
2
3
3
R2 ON 2 AN 2 ( 3 )2 ( 12 22 )2 19 R 19 .
3
2
12
12
所以外接球的体积V 4 R3 19 57 .
3
54
26
2、三棱锥 A BCD 中, AC BD 2 6 ,其余棱长都均为 4，则该三棱锥外接球的表面积
RtAEF中，AE 3 a, EF 3 a.
2
6
RtAOG中，OG r OF , AO 6 a r. 3
EF OG ,r 6 a.
AE AO
12
Or rG FE
11
总结：正四面体的三条结论
正四面体：四个面均为全等的正三角形，设棱长为 .
1、正四面体高 h 6 a,体积V 2 a3.
h =S O1=
aa2 2
33
2
a 3 3
a
62 3
a
6 a,
3
∴四面体的体积为
V
=11
33
4433aa2 23636a a
1221a223
a3 ,
设内切球球心为 O,半径为 r,连接 OA,OB,OC,
∴V
S
-ABC=V
O-SAB+V
O-SBC+V
O-SAC+V
O-A
BC=
1 3
S表
r
2
a3
21
a43
2
2
2 2 22 2 ，
2
所以外接球体积V 4 r3 8 2 .
3
3
24
7、网格纸上小正方 形的边长为1 ，粗实线画出的 是某几何体的三视图，已知 其俯视图是正
三角形，则该几何体的外接球的体积是（ ）
A． 19 57
54
B． 22 66
54
3
C． 19
3
D． 22
3 C1
A1 C
B1
6
续：若将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”,已知三棱锥
P-ABC为“鳖臑”,侧棱PA与底面ABC垂直,PA＝AB＝2，AC＝4，
三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为（ ）
A.8π
B.12π C.20π D.24π
7
法一、补形法或构造法
正四体外接球
例2、求棱长为a的正四面体（每个面都是正三角形）外接球的半径R.
侧面积的最大值为 5 2 .故选 A.
4
20
3、已知三棱锥 S-ABC 的各顶点都在同一个球面上，球心为 O，△ABC 所在截面圆的圆心
Q 在 AB 上，SO⊥面 ABC，AC=1，BC= 3 ，若三棱锥的体积是 3 ，则该球体的球心到 3
棱 AC 的距离是___________
S
O
O
B
Q
A
C
21
满足关系d＝ R2－.r2
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平达标
课后课时精练
2
补形成长方体的三棱锥常见的有两类：
A D
类型1、对棱相等的三棱锥. C B
类型2、至少有一个面是直角三角形，并且与第四
个顶点在其上的投影形成一个直角三形或矩形.
用途：方便快捷求外接球直径 2R a2 b2 c2
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北师大版必修2第一章第7节简单几何体再认识
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1
(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平 面问题(圆的问题)的关键，是转化与化归思想在球的接、切问题中的 应用． (2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有以下性质： ①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面； ②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r
【详解】
如图:在三角形 ABC 中,因为 AB2 BC2 AC2 ,所以△ ABC 为直角三角形,所以三角形 ABC 的外接圆的圆心为 AC 的中点O1 ,连 OO1 ,根据垂径定理,可得OO1 平面 ABC ,因为 O,O1 为 AD, AC 的中点可知 DC 平面 ABC ,所以 DC 为四面体 ABCD 的高.
15
接直上线：AH球上又 ∴心，VSO△三那B棱到C锥D么平＝ A－三又∴B面C4D3V棱S＝B×△三锥CB棱13(C1锥×DDA2＝A－1距-B0B3C48离)3DC2＝×＝DO313(×11的H×0228=1高4093＝38)A，2，8＝H36且×41=0球?2834.半＝3，8径64为31.5，且顶点A
为____.
A D C
B
27
【详解】
三棱锥 A BCD 的三条对棱两两相等，所以把它补成一个长方体，它也外接于三棱锥的外
接球，且此长方体的面对角线的长分别是 4, 4， 2 6 ，设长方体的棱长分别为 a,b, c a2 b2 16
b2 c2 16 ，三式相加可得 a2 b2 c2 28 ，2R a2 b2 c2 2 7 ，
A． 5 2 25 4
B． 5 2 5 41 4
C． 6 3 27 2
D．10 2 25 2
墙角型三棱锥补形成长方体
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【详解】
设球 O 得半径为 R，AB=x，AC=y，由 4πR2=29π，得 4R2=29．又 x2+y2+22=（2R）2，得 x2+y2=25．
三棱锥 A-BCD 的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC= 1 2x 1 2 y 1 xy 由 x2+y2≥2xy，
或外接圆圆心连线的中点。
＝4πR ＝ πa . 7 2、一般多面体的外接球球心分析如下： 2
2
3 从某一个表面出发,假设这个平面多边形外接圆圆心为P，则球心O必在过
点P且与该平面垂直的直线上.
C1
A1
O
C2
A2
D d OR C
Pr
B
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例1、若将四个面都为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”,已知 三棱锥P-ABC为“鳖臑”,侧棱PA与底面ABC垂直,PA＝AB＝ 2，AC＝4，三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,则球 O的表面积为（ ） A.8π B.12π C.20π D.24π