高中数学必修五-等差数列

等差数列
知识集结
知识元
等差数列的性质
知识讲解
1．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：a n＝a1+
（n﹣1）d；前n项和公式为：S n＝na1+n（n﹣1）或S n＝（n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2a m＝a p+a q（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{a n}中，a1＜a2＜a3＜…＜a n且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．（1）求此数列{a n}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{a n}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴a n＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{a n}的通项公式为a n＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的
通项公式a n＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；（3）m，n∈N+，则a m＝a n+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则a s+a t＝a p+a q，其中a s，a t，a p，a q是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
a s+a t＝2a p；
（5）若数列{a n}，{b n}均是等差数列，则数列{ma n+kb n}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）a n，a n﹣1，a n﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2a n+1＝a n+a n+2，
2a n＝a n﹣m+a n+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）a m，a m+k，a m+2k，a m+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
例题精讲
等差数列的性质
例1.
设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=15-a5，则S9等于（）
A．18B．36C．45D．60
例2.
记等差数列{a n}的前n项和为S n．若a5=3，S13=91，则a1+a11=（）
A．7B．8C．9D．10
例3.
在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）
A．3B．6C．9D．12
等差数列的通项公式
知识讲解
1．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为a n＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为a m，则第n项为a n＝a m+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{a n}的前n项和为S n＝n2+1，求数列{a n}的通项公式，并判断{a n}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴a n＝，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{a n}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中a n的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为
解：∵等差数列{a n}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列a n是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴a n＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
例题精讲
等差数列的通项公式
例1.
在等差数列{a n}中，a4，a12是方程x2+3x+1=0的两根，则a8=（）A．B．C．D．不能确定
例2.
在等差数列{a n}中，a2+a10=0，a6+a8=-4，a100=（）
A．212B．188C．-212D．-188
例3.
在等差数列{a n}中，若a2=5，a4=3，则a6=（）
A．-1B．0C．1D．6
当堂练习
单选题
练习1.
在等差数列{a n}中，a3+a9=24-a5-a7，则a6=（）
A．3B．6C．9D．12
练习2.
等差数列{a n}中，已知a2+a6=4，则a4=（）
A．1B．2C．3D．4
练习3.
在等差数列{a n}中，若a3+a9=17，a7=9，则a5=（）
A．6B．7C．8D．9
练习4.
《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，上面记载了一道有名的“孙子问题”（又称“物不知数题”），后来我国南宋数学家秦九韶在《数书九章∙大衍求一术》中将此问题系统解决．“大衍求一术”是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题．后传入西方，被称为“中国剩余定理”．现有一道一次同余式组问题：将正整数中，被3除余2且被5除余1的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为（）A．116B．131C．146D．161
练习5.
已知2，b的等差中项为5，则b为（）
A．B．6C．8D．10
练习6.
数列{a n}是等差数列，a1=1，公差d∈[1，2]，且a4+λa10+a16=15，则实数λ的最大值为（）
A．B．C．D．
练习7.
等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，a2+a3=10，S6=54，则该数列的公差d为（）A．2B．3C．4D．6
练习8.
等差数列{a n}中，a1+a8=10，a2+a9=18，则数列{a n}的公差为（）
A．1B．2C．3D．4
练习9.
在等差数列{a n}中，已知a2+a6=18，则a4=（）
A．9B．8C．81D．63。