2020届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学(理)科试题(含答案解析)

2020届甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数
学（理）科试题
一、单选题
1．已知集合2{|log }A x y x =={}|22B x x =-≤≤，则A B =I （ ）
A ．[]
12，
B ．(02]，
C ．[]
22-，
D ．(2]-∞，
【答案】B
【解析】2{|log }A x y x == (0,)=+∞,所以(]
02A B ⋂=，
,选B.
2．若()0,απ∈，()sin cos παα-+=
，则sin cos αα-的值为（ ）
A ．
B ．
C ．
43
D ．43
-
【答案】C
【解析】由诱导公式得sin cos 3
αα+=
，两边取平方，可得72sin cos 9αα=-，结
合()2
sin cos 12sin cos αααα-=- 及象限角的符号，即可求得答案. 【详解】
由诱导公式得()sin cos sin cos 3
παααα-+=+=， 平方得()2
2sin cos 12sin cos 9αααα+=+=，则7
2sin cos 09
αα=-<， 所以()2
16sin cos 12sin cos 9
αααα-=-=
， 又因为()0,απ∈，所以sin cos 0αα->， 所以4sin cos 3
αα-=， 故选C. 【点睛】
本题考查利用三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系化简求值，考查
sin +cos αα、sin -cos αα和sin cos αα知一求二的灵活运用.
3．已知等比数列{}n a 满足2
13562,4a a a a ==，则3a 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．
14
D ．
12
【答案】A
【解析】∵等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，∴22
464a a =，又偶数项同号，
∴462a a = ∴2
12
q =
，∴2
311a a q =⨯= 故选：A
4．已知m ∈R ，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上是减函数”的（ ）．
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不
必要条件 【答案】B
【解析】试题分析：由题意得，由函数
有零点可得，
，而由函数在
上为减函数可得
，因此是必要不充分条件，故选B ．
【考点】1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件. 5．已知0.3log 2a =，0.12b =，sin 789c =o ，则a ，b ，c 的大小关系是 A ．a b c << B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
【答案】B
【解析】分析：分别判断出a ，b ，c 的大致范围，即可比较出它们的大小. 详解：0.3log 20a =<，0.121b =>，sin 789sin 6901c c ︒︒==⇒<<.
b c a ∴>>.
故选：B.
点睛：(1)比较幂、对数的大小可以利用数形结合和引入中间量利用函数单调性两种方法． (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1. 6．已知函数在
处取得最大值，则函数
的图象
A ．关于点
对称 B ．关于点
对称
C ．关于直线对称
D ．关于直线对称
【答案】B 【解析】利用
在处取得最大值，可以求得
，再结合余弦型函数的图像判定. 【详解】 因为函数在
处取得最大值，
所以
，即
.
,令
可得对称中心为
，
时，可得一个对称中心为
，选项B 正确；令
可得对称轴为
，选项C,D 均错误，所以选B.
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像和性质.利用整体代换的方法，可以求得对称中心和对称轴.
7．已知不等式201x ax +<+的解集为(2,1)--，则二项式6
21ax x ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭展开式的常数项是（ ） A ．15- B ．15 C ．5- D ．5
【答案】B 【解析】∵不等式
201x ax +<+的解集为()2,1--，1
1,1a a
∴-=-∴= ．二项式6
6
22
11ax x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭的展开式式的通项公式为6316r r
r T C x -+=， 令630r -= ，求得2r = ，可得展开式的常数项是26
15.C = 故选B ．
8．如图所示的三视图表示的几何体的体积为
32
3
，则该几何体的外接球的表面积为
A ．12π
B ．24π
C ．36π
D ．48π
【答案】C
【解析】由三视图可得该几何体为底面边长为4m 、 ，一条侧棱垂直底面的四棱锥，设高为4， 则132
44,233
m m ⨯⨯⨯∴=＝
，
将该几何体补成一个长方体，则其外接球半径为3R =，
故这个几何体的外接球的表面积为24π36πR = ． 故选C ．
【点睛】本题考查了由三视图，求体积和表面积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．属于中档题．
9．被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产
和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比m =
的近似值，
黄金分割比还可以表示成2sin18︒=（ ）
A ．4
B 1
C ．2
D 1
【答案】C
【解析】由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4cos 218°，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简，计算即可得解． 【详解】
由题意得m ＝2sin18°，∴4﹣m 2＝4﹣4sin 218°＝4（1﹣sin 218°）＝4cos 218°，
∴22cos 271︒-＝2sin184sin18cos1821cos541sin 36
︒︒︒︒
==+-． 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
10．已知点A 在抛物线()2
20y px p =>上，且A 为第一象限的点，过A 作y 轴的垂
线，垂足为B ，F 为该抛物线的焦点，78
p
AF =
，则直线BF 的斜率为（ ）
A ．
B ．
C ．-1
D ．-2
【答案】B
【解析】设()00,A x y ，由78p AF =
，利用抛物线定义求得038
p x =，进而得
0y =
进而tan BFO ∠=即可求解 【详解】
设()00,A x y ，因为78p AF =，所以0728p p x +=，解得038p x =，代入抛物线方程
得0y =，所以OB =2p OF =，tan BFO ∠=BF 的斜率
为故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的性质及定义，考查运算求解能力，是基础题.
11．F 为双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>右焦点，,M N 为双曲线上的点，四边形
OFMN 为平行四边形，且四边形OFMN 的面积为bc ，则双曲线的离心率为（ ）
A ．2
B ．C
D
【答案】B
【解析】设00(,)M x y ，∵四边形OFMN 为平行四边形，∴02c x =
， ∵四边形OFMN 的面积为bc ，∴0y c bc =，即0y b =，∴(,)2
c
M b ，
代入双曲线方程得2
114
e -=，∵1e >，∴e = B.
12．设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为
'()f x ，且有
22()'()f x xf x x +>，则不等式2
(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ）
A ．(2020,0)-
B ．(,2020)-∞-
C ．(2016,0)-
D ．(,2016)-∞-
【答案】B
【解析】由()()2
2'f x xf x x +>，0x （＜），
得：232xf x x f x x +'（）（）＜， 即23[]0x f x x '（）＜＜， 令F （x ）=x 2f （x ），则当0x ＜ 时， 得0F x '（）＜，
即0F x -∞（）在（，） 上是减函数，2
201820182018242F x x f x F f ∴+=++-=-（）（）（），（）（），
即不等式等价为201820F x F +--（）（）＞， F x Q （） 在0-∞（，） 是减函数，∴由F 20182x F +-（）＞（） 得，20182x +-＜ ，即2020.x -＜ 故选B ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及抽象不等式的解法，其中利用一种条件合理构造函数，正确利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键
二、填空题
13．已知()f x 为偶函数，当0x <时，()x f x e x -=-，则(ln 2)f =__________． 【答案】2ln2+
【解析】由偶函数的性质直接求解即可 【详解】
()()()ln2ln2ln2ln22ln2f f e =-=--=+.
故答案为2ln2+ 【点睛】
本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力
14．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()3log 11n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为_____． 【答案】8,
123,2
n n
n a n =⎧=⎨
⨯≥⎩ 【解析】先根据对数的运算性质可得1
13n n S ++=，再通过1n n n a S S -=-求通项公式．
【详解】
解：()3log 11n S n +=+，
113n n S +∴+=，
当1n =时，119a +=，解得18a =，
当2n ≥时，1
1313123n n n n n n a S S +-=-=--+=⨯，
当1n =时，168a =≠，
故8,
123,2n n
n a n =⎧=⎨⨯≥⎩． 故答案为：8,123,2
n n
n a n =⎧=⎨⨯≥⎩． 【点睛】
本题考查通过数列的递推公式求通项公式，考查了运算能力和转化能力，属于基础题． 15．在直角梯形ABCD 中，//AD BC ，090,4,2ABC AB BC AD ∠====，则向量
BD
u u u r
在向量AC u u u r 上的投影为_______. 【答案】2-
【解析】建立平面直角坐标系，利用数量积投影的定义及坐标运算即可得到结果. 【详解】
如图建立平面直角坐标系，易得：()()()()A 0,4B 0,0C 4,0D 2,4，，，
∴()()442,4AC BD =-=u u u r u u u r ，，
∴向量BD u u u v 在向量AC u u u v 上的投影为
242BD AC AC
==-u u u r u u
n ur u u u r 【点睛】
平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
16．已知四边形为矩形, ,为的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为,在翻折过程中,得到如下有三个命题:
①平面，且的长度为定值；
②三棱锥的最大体积为；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得.
其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①②
【解析】取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，得出，可判断出命题①的正误；由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，并由平面平面，得出三棱锥体积的最大值，可判断出命题②的正误；取的中点，连接，由，结合得出平面，推出得出矛盾，可判断出命题③的正误.
【详解】
如下图所示：
对于命题①，取的中点，连接、，则，，
，由勾股定理得，
易知，且，、分别为、的中点，所以，，四边形为平行四边形，，，
平面，平面，平面，命题①正确；
对于命题②，由为的中点，可知三棱锥的体积为三棱锥的一半，当平面平面时，三棱锥体积取最大值，
取的中点，则，且，
平面平面，平面平面，，平面，平面，
的面积为，
所以，三棱锥的体积的最大值为，
则三棱锥的体积的最大值为
，命题②正确； 对于命题③，，为
的中点，所以，
，
若，且，
平面
，
由于
平面
，
，事实上，易得
，，
，由勾股定理可得
，这与
矛盾，命题③错误.
故答案为：①②. 【点睛】
本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.
三、解答题
17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且ABC ∆的面积为
2sin sin sin B C
A
.
（1）求a 的值；
（2）若3
A π
=
，求ABC ∆周长的最大值.
【答案】（1）2a = （2）6 【解析】（1）由面积公式1
sin 2
ABC S ab C ∆=，利用正弦定理将角化边即可求出边a 的值；
（2）由余弦定理及基本不等式可求周长的最大值. 【详解】
解：（1）由题意可得
12sin sin sin 2sin B C ab C A =， 因为sin 0C ≠，所以12sin 2sin B
ab A =，
由正弦定理可得122b
ab a
=，得2a =.
（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-及3
A π
=
，可得
()()2
2
2
23c 32b c a b c b b c +⎛⎫=+-≥+-⨯ ⎪⎝⎭()2
4
b c +=
，
又2a =，所以4b c +≤，
所以6a b c ++≤，当且仅当2b c ==时等号成立. 故ABC ∆周长的最大值是6. 【点睛】
本题考查正弦定理，余弦定理及三角形面积公式解三角形，以及基本不等式的应用，属于中档题.
18．如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，
PC ⊥底面ABCD ，224AB AD CD ===，2PC a =，E 是PB 的中点.
（1）求证：AC ⊥平面PBC ； （2）若二面角P AC E --6
，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）
2
3
【解析】（1）由线面垂直得到AC PC ⊥，再由勾股定理可证AC BC ⊥，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法由二面角P AC E --6
，求出a ，再求线面角的正弦值. 【详解】
解：（1）因为PC ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以AC PC ⊥．
因为4AB =，2AD CD ==， 所以22AC BC ==．
所以222AC BC AB +=，所以AC BC ⊥，
又BC PC C ⋂=，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以AC ⊥平面PBC .
（2）如图，以点C 为原点，平行于DA ，CD, CP 分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，
则()0,0,0C ，()2,2,0A ，()2,2,0B -． 设()()0,0,20P a a >，
则()1,1,E a -， ()2,2,0CA =u u u r ，()0,0,2CP a =u u u r ，()1,1,CE a =-u u u r
， 取()1,1,0m =-u r
则0m CA m CP ⋅=⋅=u r u u u r u r u u u r ，m u r
为面PAC 的法向量．
设(),,n x y z =r 为面EAC 的法向量，则由0n CA n CE ⋅=⋅=r u u u r r u u u r ， 即0
0x y x y az +=⎧⎨-+=⎩
，取x a =，y a =-，2z =-，则(),,2n a a =--r ，
依题意26
cos ,32m
n m n m n a ⋅<>===+u r r u r r u r r ，则2a =． 于是()2,2,2n =--r ，()2,2,4PA =-u u u r
．
设直线PA 与平面EAC 所成角为θ，
则2sin cos ,3PA n PA n PA n
θ⋅=<>==u u u r r u u u r r u u
u r r . 【点睛】
本题考查线面垂直的判定，利用空间向量法求二面角及线面角，属于中档题.
19．2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，所有大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：
（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率； （2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记X 表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X 的分布列及数学期望. 【答案】（1）
121
140
（2）见解析 【解析】（1）根据题意，利用概率的求和公式，计算所求的概率值；
（2）由题意知随机变量X
的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，再计算数学期望值． 【详解】
解：（1）设i A 表示所抽取3个中有i 所大学食堂评分不低于9分，至多有1个评分不低
于9分记为事件A ，则()()()312
124120133
1616121
140
C C C P A P A P A C C =+=+=. （2）由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为41
164
=， 由题知X 的可能取值为0，1，2，3
()()312
1332713270,14644464P X P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()2
1
3
23
139312,34464464
P X C P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫======
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴X 的分布列为
∴()27911230.75646464
E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.
20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为1F ，离心率为2
2
，过点1F 且与x 轴
2 . （1）求椭圆C 的方程;
（2）若24y a =上存在两点,M N ，椭圆C 上存在两个,P Q 点满足：1,,M N F 三点共线，1,,P Q F 三点共线，且PQ MN ⊥，求四边形PMQN 的面积的最小值.
【答案】（1）2
212
x y +=；（2）【解析】【详解】
分析：（1）由题意可知,a a ==及222a b c =+，即可求得a 和b 的值，求得
椭圆的标准方程；
（2）讨论直线MN 的斜率不存在，求得弦长，求得四边形的面积；当直线MN 的斜率存在时，设直线的方程为()1y x =-，联立方程组，运用韦达定理和弦长公式，以及四边形的面积公式，计算即可求得最小值.
详解：（1）∵，∴22b a
=，
∵，∴c a =，又222a b c =+，解得a =1c =，1b =， ∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=
（2）（i ）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，
此时4MN =，PQ =，PMQN S =四边形
（ii ）当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为()()10y k x k =-≠，联立
24y x =，
得(
)
22
2
2
240(0)k x k x k -++=∆>， 设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，
则242M N x x k +=
+，∴2
4
4M N MN x x p k =++=+， 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为()()1
10y x k k
=--≠，联立椭圆C 的方程，消去
y ，
得(
)
2
22
24220(0)k x x k +-+-=∆>
设,P Q 的横坐标为,P Q x x ，则24,2P Q x x k +=+ 2
2
222P Q k
x x k
-=+
∴PQ =
)
22
12k k
+=+
)
(
)
222
1122PMQN
k S MN PQ k k
+=⋅=+四边形，令()2
1(1)k t t +=>，
则()()211PMQN
S t t =-+四边形
2111t ⎫==+>⎪-⎭
， 综上(
)
min
PMQN
S =四边形
点睛：本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.
21．已知函数()()()
2
ln 2
x a f x x a R +=+∈的导函数为()'f x .
（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线310x y ++=垂直，求a 的值； （2）若()'f x 的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，证明：()1
22
x f x >. 【答案】（1）1a = （2）证明见解析
【解析】（1）求出()f x 的导函数，由直线310x y ++=的斜率为13
-，可得()'13f =-，即可求出参数的值；
（2）由()()21
'0x ax f x x x
++=>则()'f x 的零点即210x ax ++=的两根，所以
12x x a +=-，121=x x ，又1>0x ，20x >，12x x <，所以1201x x <<<且22
1a x x =--
， 欲证()1
22
x f x >，只需证
()2112f x x >，构造函数，利用导数说明其单调性即可得证. 【详解】
解：（1）因为()
()()2
ln 02
x a f x x x +=
+>，所以()()1
'0f x x a x x
=++
>. 因为直线310x y ++=的斜率为1
3
-，
曲线()y f x =在1x =处的切线与直线310x y ++=垂直，所以()1'113f ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭
，
即113a ++=，所以1a =.
（2）因为()()21
'0x ax f x x x
++=>，且()'f x 的两个零点从小到大依次为1x ，2x ，
所以1x ，2x 是方程210x ax ++=的两个根， 所以12x x a +=-，121=x x ，
又1>0x ，20x >，12x x <，所以1201x x <<<且22
1a x x =--
， 欲证()1
22
x f x >
，只需证
()2112f x x >， 而
()
()2
222221
22
1ln 12ln 12x a x f x x x x x x ++==+，
令()()1ln 12x g x x x x =
+>，则()2'1
ln 102x x
g x =-++>， 所以()g x 在()1,+∞上单调递增，
()121g =
Q 所以()12
g x >， 所以()122
x
f x >成立.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，属于中档题.
22．在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a y b ϕ
ϕ
=⎧⎨=⎩（0,a b ϕ>>为参
数),在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线1C
上的点(1,2
M 对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2
C 交于点(1,
)3
D π
（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；
（2）若点,A B 在曲线1C 上的两个点且OA OB ⊥，求
2
2
11OA
OB
+
的值.
【答案】（1）2
214
x y +=，22(1)1x y -+=；
（2）54 【解析】分析：（1
）将M 及对应的参数3πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨
=⎩
，解得,a b ，即可得出曲线1C 的直角坐标方程，由于曲线2C 是圆心在极轴上，且过极点的圆，将点
(1,)3
D π
代入2cos R ρθ=，即可求解曲线2C 的方程；
（2）设12(,),(,)2
A B π
ρθρθ+在曲线1C 上，求得2
1
ρ和2
2ρ，即可求解2
2
11OA
OB
+
的值.
详解：（1
）将M ⎛ ⎝⎭及对应的参数3π
ϕ=，代入x acos y bsin ϕϕ
=⎧⎨=⎩，
得132
3acos bsin ππ
⎧
=⎪⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩，
所以曲线1C 的方程为2x cos y sin ϕϕ
=⎧⎨=⎩ ϕ为参数，即2
214x y +=.
设圆2C 的半径为R ，由题意，圆2C 的极坐标方程为2cos R ρθ=.（或
()
2
22x R y R -+=）
将点1,
3D π⎛⎫
⎪
⎝⎭
代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R = 所以曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即()2
211x y -+= （2）设()12,,,2A B πρθρθ⎛
⎫
+
⎪⎝
⎭
在曲线1C 上， 所以
2222
11
cos sin 14ρθ
ρθ+=，222222sin cos 14
ρθ
ρθ+=，
所以
222
2
2
2
1211
1
1
cos sin 4OA
OB
θθρρ⎛⎫+
=
+
=+ ⎪⎝⎭ 22sin 5cos 44
θθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭
点睛：本题主要考查了椭圆的参数方程，极坐标方程与直角坐标方程，以及圆的极坐标与直角坐标方程的互化，以及直线极坐标方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
23．己知0a >，函数()f x x a =-.
（1）若2a =，解不等式()()35f x f x ++≤；
（2）若函数()()()2g x f x f x a =-+，且存在0x R ∈使得()2
02g x a a ≥-成立，求实
数a 的取值范围.
【答案】（1）{}|23x x -≤≤；（2）(0,4]
【解析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于()2
max 2g x a c ≥-，由
2x a x a x a x a a --+≤---=，得不等式即可求解
【详解】
（1）当2a =时，()()12,1
3213,1221,2x x f x f x x x x x x -<-⎧⎪
++=-++=-≤<⎨⎪-≥⎩
，
当1x <-时，由125x -≤，解得21x -≤<-； 当12x -≤<时，由35≤，解得12x -≤<； 当2x ≥时，由215x -≤，解得23x ≤≤. 综上可知，原不等式的解集为{}|23x x -≤≤. （2）()()()2g x f x f x a x a x a =-+=--+.
存在0x R ∈使得()2
02g x a a ≥-成立，等价于()2
max 2g x a a ≥-.
又因为2x a x a x a x a a --+≤---=，所以222a a a ≥-，即240a a -≤. 解得04a ≤≤，结合0a >，所以实数a 的取值范围为(]
0,4. 【点睛】
本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题。