2022年贵州省安顺市中考数学试卷含答案解析

2022年贵州省安顺市中考数学试卷及答案解析
一、选择题：以下每小题均有A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B 铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（3分）（2022•安顺）下列实数中，比﹣5小的数是（ ）
A ．﹣6
B ．−12
C ．0
D ．√3
2．（3分）（2022•安顺）某几何体如图所示，它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．（3分）（2022•安顺）贵州省近年来经济飞速发展，经济增长速度名列前茅，据相关统计，2021年全省GDP 约为196000000万元，则数据196000000用科学记数法表示为（ ）
A ．196×106
B ．19.6×107
C ．1.96×108
D ．0.196×109
4．（3分）（2022•安顺）如图，a ∥b ，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（ ）
A ．20°
B ．25°
C ．30°
D ．45°
5．（3分）（2022•安顺）一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（ ）
A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差 6．（3分）（2022•安顺）估计（2√5+5√2）×√15的值应在（ ）
A ．4和5之间
B ．5和6之间
C ．6和7之间
D ．7和8之间
7．（3分）（2022•安顺）如图，在△ABC 中，∠ABC ＜90°，AB ≠BC ，BE 是AC 边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相
交于点M，N；②作直线MN，分别交BC，BE于点D，O；③连结CO，DE．则下列结论错误的是（）
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．△BOC≌△BDE 8．（3分）（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
9．（3分）（2022•安顺）如图，边长为√2的正方形ABCD内接于⊙O，P A，PD分别与⊙O 相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（）
A．5﹣πB．5−π
2C．
5
2
−
π
2
D．
5
2
−
π
4
10．（3分）（2022•安顺）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝
ax+b和反比例函数y=c
x（c≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．（3分）（2022•安顺）如图，在△ABC 中，AC ＝2√2，∠ACB ＝120°，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点，若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长为（ ）
A ．√52
B ．√2+12
C ．√2
D ．√3
12．（3分）（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE 绕点O 顺时针旋转n 个45°，得到正六边形OA n B n ∁n D n E n ，当n ＝2022时，正六边形OA n B n ∁n D n E n 的顶点D n 的坐标是（ ）
A ．（−√3，﹣3）
B ．（﹣3，−√3）
C ．（3，−√3）
D ．（−√3，3）
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（4分）（2022•安顺）要使函数y =√2x −1在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．
14．（4分）（2022•安顺）若a +2b ＝8，3a +4b ＝18，则a +b 的值为 ．
15．（4分）（2022•安顺）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球标号的和等于5的概率为 ．
16．（4分）（2022•安顺）已知正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 上一点，连接AE 并延长交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M 为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若
S △DCG S △FCE =19，则MC +MN 的最小值为 ．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−√3|−√12．
（2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x =12．
18．（10分）（2022•安顺）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t （单位：小时）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计表：
睡眠时间频数频率
t＜730.06
7≤t＜8a0.16
8≤t＜9100.20
9≤t＜1024b
t≥1050.10
请根据统计表中的信息回答下列问题．
（1）a＝，b＝；
（2）请估计该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的人数；
（3）研究表明，初中生每天睡眠时间低于9小时，会影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
19．（10分）（2022•安顺）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．
20．（10分）（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在y轴上，A，
C两点的坐标分别为（4，0），（4，m），直线CD：y＝ax+b（a≠0）与反比例函数y=k
x（k
≠0）的图象交于C，P（﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m的值；
（2）判断点B是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
21．（10分）（2022•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰
角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈4 5，
cos53°≈3
5，tan53°≈
4
3）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
22．（10分）（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A块种植杂交水稻，B块种植普通水稻，A块试验田比B块试验田少4亩．（1）A块试验田收获水稻9600千克、B块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B块试验田改种杂交水稻？
23．（12分）（2022•安顺）如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠P AD＝∠AED，且DE=√2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．
（1）求证：P A是⊙O的切线；
（2）若tan ∠DAE =√22，求EF 的长；
（3）延长DE ，AB 交于点C ，若OB ＝BC ，求⊙O 的半径．
24．（12分）（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P 为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点． （1）判断函数y ＝2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y ＝ax 2+6x +c （a ≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）． ①求a ，c 的值；
②若1≤x ≤m 时，函数y ＝ax 2+6x +c +14（a ≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．
25．（12分）（2022•安顺）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝8，E 是AD 边上的一点，连接CE ，将矩形ABCD 沿CE 折叠，顶点D 恰好落在AB 边上的点F 处，延长CE 交BA 的延长线于点G ．
（1）求线段AE 的长；
（2）求证四边形DGFC 为菱形；
（3）如图2，M ，N 分别是线段CG ，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DCM ，设DN ＝x ，是否存在这样的点N ，使△DMN 是直角三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．
2022年贵州省安顺市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B 铅笔在答题卡相应位置作答，每小题3分，共36分．
1．（3分）（2022•安顺）下列实数中，比﹣5小的数是（）
A．﹣6B．−1
2C．0D．√3
【分析】根据实数的大小做出判断即可．
【解答】解：∵﹣6＜﹣5，−1
2＞−5，0＞﹣5，√3＞−5，
∴A选项符合题意，
故选：A．
【点评】本题主要考查实数大小的比较，根据实数的大小做出正确的判断是解题的关键．2．（3分）（2022•安顺）某几何体如图所示，它的俯视图是（）
A．B．C．D．
【分析】根据俯视图的意义，从上面看该几何体所得到的图形结合选项进行判断即可．【解答】解：从上面看该几何体，是两个同心圆，
故选：D．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，明确能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的前提．
3．（3分）（2022•安顺）贵州省近年来经济飞速发展，经济增长速度名列前茅，据相关统计，2021年全省GDP约为196000000万元，则数据196000000用科学记数法表示为（）A．196×106B．19.6×107C．1.96×108D．0.196×109
【分析】根据把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
【解答】解：196000000＝1.96×108，
故选：C．
【点评】本题考查了科学记数法﹣表示较大的数，掌握1≤a＜10是解题的关键．4．（3分）（2022•安顺）如图，a∥b，将一个等腰直角三角板放置到如图所示位置．若∠1＝15°，则∠2的大小是（）
A．20°B．25°C．30°D．45°
【分析】过点B作BC∥b，利用平行线的性质可得∠CBD＝15°，再利用等腰直角三角形的性质可得∠ABD＝45°，从而可得∠ABC＝30°，然后再利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BC∥b，
∴∠1＝∠CBD＝15°，
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝45°，
∴∠ABC＝∠ABD﹣∠CBD＝30°，
∵a∥b，
∴a∥BC，
∴∠2＝∠ABC＝30°，
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
5．（3分）（2022•安顺）一组数据：3，4，4，6，若添加一个数据6，则不发生变化的统计量是（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】依据平均数、中位数、众数、方差的定义和公式求解即可．
【解答】解：A 、原来数据的平均数是
174
，添加数字6后平均数为
235
，故不符合题意；
B 、原来数据的中位数是4，添加数字6后中位数仍为4，故符合题意；
C 、原来数据的众数是4，添加数字6后众数为4和6，故不符合题意；
D 、原来数据的方差=14
[（3−
174）2+2×（4−174）2+（6−174）2]=1916， 添加数字6后的方差=15[（3−23
5）2+2×（4−23
5）2+2×（6−23
5）2]=36
25，故方差发生了变化，故不符合题意； 故选：B ．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．
6．（3分）（2022•安顺）估计（2√5+5√2）×√1
5的值应在（ ） A ．4和5之间
B ．5和6之间
C ．6和7之间
D ．7和8之间
【分析】直接利用二次根式的性质结合估算无理数的大小方法得出答案． 【解答】解：原式＝2+√10， ∵3＜√10＜4， ∴5＜2+√10＜6， 故选：B ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，估算无理数的大小，正确估算无理数是解题关键．
7．（3分）（2022•安顺）如图，在△ABC 中，∠ABC ＜90°，AB ≠BC ，BE 是AC 边上的中线，按下列步骤作图：①分别以点B 和点C 为圆心，大于1
2BC 的长为半径作弧，两弧相
交于点M ，N ；②作直线MN ，分别交BC ，BE 于点D ，O ；③连结CO ，DE ．则下列结论错误的是（ ）
A．OB＝OC B．∠BOD＝∠COD C．DE∥AB D．△BOC≌△BDE 【分析】根据线段的垂直平分线的性质一一判断即可．
【解答】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴OB＝OC，
∴∠BOD＝∠COD，
∵AE＝EC，CD＝DB，
∴DE∥AB，
故A，B，C正确，
故选：D．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
8．（3分）（2022•安顺）定义新运算a*b：对于任意实数a，b满足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况是（）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根D．没有实数根
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，计算出根的判别式的值，判断即可．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，
整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，
∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
【点评】此题考查了根的判别式，方程的定义，以及实数的运算，弄清题中的新定义是
解本题的关键．
9．（3分）（2022•安顺）如图，边长为√2的正方形ABCD内接于⊙O，P A，PD分别与⊙O 相切于点A和点D，PD的延长线与BC的延长线交于点E，则图中阴影部分的面积为（）
A．5﹣πB．5−π
2C．
5
2
−
π
2
D．
5
2
−
π
4
【分析】连接AC，OD，根据已知条件得到AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，根据切线的性质得到∠P AO＝∠PDO＝90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到PE＝3，根据梯形和圆的面积公式即可得到答案．
【解答】解：连接AC，OD，
∵四边形BCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC是⊙O的直径，∠AOD＝90°，
∵P A，PD分别与⊙O相切于点A和点D，
∴∠P AO＝∠PDO＝90°，
∴四边形AODP是矩形，
∵OA＝OD，
∴矩形AODP是正方形，
∴∠P＝90°，AP＝AO，AC∥PE，
∴∠E＝∠ACB＝45°，
∴△CDE是等腰直角三角形，
∵AB=√2，
∴AC＝2AO＝2，DE=√2CD＝2，
∴AP＝PD＝AO＝1，
∴PE＝3，
∴图中阴影部分的面积=1
2（AC+PE）•AP−
1
2AO
2•π=1
2（2+3）×1−
1
2
×12•π=12（5﹣π）
=52−π2，
故选：C．
【点评】本题考查了正多边形与圆，正方形的性质，切线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
10．（3分）（2022•安顺）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝
ax+b和反比例函数y=c
x（c≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C ．
D ．
【分析】直接利用二次函数图象经过的象限得出a ，b ，c 的取值范围，进而利用一次函数与反比例函数的性质得出答案．
【解答】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象开口向上， ∴a ＞0，
∵该抛物线对称轴位于y 轴的右侧， ∴a 、b 异号，即b ＜0． ∵抛物线交y 轴的负半轴， ∴c ＜0，
∴一次函数y ＝ax +b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y =c
x （c ≠0）在二、四象限． 故选：A ．
【点评】此题主要考查了反比例函数、一次函数、二次函数的图象，正确把握相关性质是解题关键．
11．（3分）（2022•安顺）如图，在△ABC 中，AC ＝2√2，∠ACB ＝120°，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点，若DE 平分△ABC 的周长，则DE 的长为（ ）
A ．
√5
2
B ．
√2+1
2
C ．√2
D ．√3
【分析】延长BC至F，使CF＝CA，连接AF，根据等边三角形的性质求出AF，根据三角形中位线定理解答即可．
【解答】解：延长BC至F，使CF＝CA，连接AF，
∵∠ACB＝120°，
∴∠ACF＝60°，
∴△ACF为等边三角形，
∴AF＝AC＝2√2，
∵DE平分△ABC的周长，
∴BE＝CE+AC，
∴BE＝CE+CF＝EF，
∵BD＝DA，
∴DE=1
2AF=√2，
故选：C．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键．
12．（3分）（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，将边长为2的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转n个45°，得到正六边形OA n B n∁n D n E n，当n＝2022时，正六边形OA n B n∁n D n E n的顶点D n的坐标是（）
A．（−√3，﹣3）B．（﹣3，−√3）C．（3，−√3）D．（−√3，3）【分析】由题意旋转8次应该循环，因为2022÷8＝252…6，所以D n的坐标与D6的坐标相同．
【解答】解：由题意旋转8次应该循环，
∵2022÷8＝252…6，
∴D n的坐标与D6的坐标相同，
如图，过点D6H⊥OE于点H，
∵∠DOD6＝90°，∠DOE＝30°，OD＝OD6＝2√3，
∴OH＝OD6•cos60°=√3，HD6=√3OH＝3，
∴D6（−√3，﹣3），
∴顶点D n的坐标是（−√3，﹣3），
故选：A．
【点评】本题考查正多边形与圆，坐标与图形变化﹣性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
二、填空题：每小题4分，共16分．
13．（4分）（2022•安顺）要使函数y=√2x−1在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥1
2．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：2x﹣1≥0，
解得：x≥1 2，
故答案为：x≥1 2．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．（4分）（2022•安顺）若a+2b＝8，3a+4b＝18，则a+b的值为5．【分析】直接利用已知解方程组进而得出答案．
【解答】解：方法一、∵a +2b ＝8，3a +4b ＝18， 则a ＝8﹣2b ， 代入3a +4b ＝18， 解得：b ＝3， 则a ＝2， 故a +b ＝5．
方法二、∵a +2b ＝8，3a +4b ＝18， ∴2a +2b ＝10， ∴a +b ＝5， 故答案为：5．
【点评】此题主要考查了解二元一次方程组，正确掌握解题方法是解题关键． 15．（4分）（2022•安顺）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后不放回，再随机摸取一个小球，则两次取出的小球标号的和等于5的概率为
13
．
【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和等于5的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次取出的小球标号和等于5的结果有4种， ∴两次取出的小球标号和等于5的概率为412
=1
3
，
故答案为：1
3．
【点评】本题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（4分）（2022•安顺）已知正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 上一点，连接AE 并延长
交BC 的延长线于点F ，过点D 作DG ⊥AF ，交AF 于点H ，交BF 于点G ，N 为EF 的中点，M 为BD 上一动点，分别连接MC ，MN ．若
S △DCG S △FCE
=1
9
，则MC +MN 的最小值为
5√17
2
．
【分析】由正方形的性质，可得A 点与C 点关于BD 对称，则有MN +CM ＝MN +AM ≥AN ，所以当A 、M 、N 三点共线时，MN +CM 的值最小为AN ，先证明△DCG ∽△FCE ，再由
S △DCG S △FCE
=19
，可知
CD CF
=1
3
，分别求出DE ＝1，CE ＝3，CF ＝12，即可求出AN ．
【解答】解：如图，连接AM ，
∵四边形ABCD 是正方形， ∴A 点与C 点关于BD 对称， ∴CM ＝AM ，
∴MN +CM ＝MN +AM ≥AN ，
∴当A 、M 、N 三点共线时，MN +CM 的值最小， ∵AD ∥CF ， ∴∠DAE ＝∠F ， ∵∠DAE +∠DEH ＝90°， ∵DG ⊥AF ，
∴∠CDG +∠DEH ＝90°， ∴∠DAE ＝∠CDG ， ∴∠CDG ＝∠F ， ∴△DCG ∽△FCE ，
∵S △DCG S △FCE =1
9，
∴
CD CF
=13
，
∵正方形边长为4， ∴CF ＝12， ∵AD ∥CF ， ∴
AD CF
=
DE CE
=1
3
，
∴DE ＝1，CE ＝3，
在Rt △CEF 中，EF 2＝CE 2+CF 2， ∴EF =√32+122=3√17， ∵N 是EF 的中点， ∴EN =
3√17
2
， 在Rt △ADE 中，EA 2＝AD 2+DE 2， ∴AE =√42+12=√17， ∴AN =
5√172
， ∴MN +MC 的最小值为5√172
，
故答案为：
5√17
2
， 【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质，用轴对称求最短距离的方法，灵活应用三角形相似、勾股定理是解题的关键．
三、解答题：本大题9小题，共98分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）（2022•安顺）（1）计算：（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−√3|−√12． （2）先化简，再求值：（x +3）2+（x +3）（x ﹣3）﹣2x （x +1），其中x =1
2． 【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先去括号，再合并同类项，然后把x 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）（﹣1）2+（π﹣3.14）0+2sin60°+|1−√3|−√12 ＝1+1+2×√3
2+√3−1﹣2√3 ＝2+√3+√3−1﹣2√3 ＝1；
（2）（x+3）2+（x+3）（x﹣3）﹣2x（x+1）＝x2+6x+9+x2﹣9﹣2x2﹣2x
＝4x，
当x=1
2时，原式＝4×
1
2
=2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（10分）（2022•安顺）国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》指出，要加强中小学生作业、睡眠、手机、读物、体质管理．某校数学社团成员采用随机抽样的方法，抽取了七年级部分学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间t（单位：小时）进行了调查，将数据整理后得到下列不完整的统计表：睡眠时间频数频率
t＜730.06
7≤t＜8a0.16
8≤t＜9100.20
9≤t＜1024b
t≥1050.10
请根据统计表中的信息回答下列问题．
（1）a＝8，b＝0.48；
（2）请估计该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的人数；
（3）研究表明，初中生每天睡眠时间低于9小时，会影响学习效率．请你根据以上调查统计结果，向学校提出一条合理化的建议．
【分析】（1）根据统计表中的数据，可以计算出本次抽查的人数，然后即可计算出a、b 的值；
（2）根据统计表中的数据，可以计算出该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的人数；
（3）根据表格中的数据，写出一条合理化建议即可，本题答案不唯一．
【解答】解：（1）本次抽取的学生有：3÷0.06＝50（人），
a＝50×0.16＝8，b＝24÷50＝0.48，
故答案为：8，0.48；
（2）600×（0.06+0.16+0.20）
＝600×0.42
＝252（人），
答：估计该校600名七年级学生中平均每天的睡眠时间不足9小时的有252人；
（3）根据表格中的数据可知，有接近一半的学生的睡眠时间不足9小时，给学校的建议是：近期组织一次家长会，就学生们的睡眠时间进行强调，要求家长监管好孩子们的睡眠时间，要不少于9小时．
【点评】本题考查统计表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，求出本次调查的人数．
19．（10分）（2022•安顺）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，D 是BC 边上的一点，以AD 为直角边作等腰Rt △ADE ，其中∠DAE ＝90°，连接CE ．
（1）求证：△ABD ≌△ACE ；
（2）若∠BAD ＝22.5°时，求BD 的长．
【分析】（1）由“SAS ”可证△ABD ≌△ACE ；
（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC 的长，由角度关系可求∠ADC ＝67.5°＝∠CAD ，可得AC ＝CD ＝1，即可求解．
【解答】（1）证明：∵∠BAC ＝90°＝∠DAE ，
∴∠BAD ＝∠CAE ，
在△ABD 和△ACE 中，
{AB =AC ∠BAD =∠CAE AD =AE
，
∴△ABD ≌△ACE （SAS ）；
（2）解：∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝1，
∴BC =√2，∠B ＝∠ACB ＝45°，
∵∠BAD ＝22.5°，
∴∠ADC ＝67.5°＝∠CAD ，
∴AC ＝CD ＝1，
∴BD =√2−1．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（10分）（2022•安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点D 在y 轴上，A ，C 两点的坐标分别为（4，0），（4，m ），直线CD ：y ＝ax +b （a ≠0）与反比例函数y =k x （k ≠0）的图象交于C ，P （﹣8，﹣2）两点．
（1）求该反比例函数的解析式及m 的值；
（2）判断点B 是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【分析】（1）把P （﹣8，﹣2）代入y =k x 可得反比例函数的解析式为y =16x ，即得m =164=4；
（2）连接AC ，BD 交于H ，由C （4，4），P （﹣8，﹣2）得直线CD 的解析式是y =12x +2，即得D （0，2），根据四边形ABCD 是菱形，知H 是AC 中点，也是BD 中点，由A （4，
0），C （4，4）可得H （4，2），设B （p ，q ），有{p+02=4q+22=2，可解得B （8，2），从而可知B 在反比例函数y =16x
的图象上． 【解答】解：（1）把P （﹣8，﹣2）代入y =k x 得：
﹣2=k −8，
解得k ＝16，
∴反比例函数的解析式为y =16x ，
∵C （4，m ）在反比例函数y =
16x
的图象上， ∴m =164=4； ∴反比例函数的解析式为y =16x ，m ＝4；
（2）B 在反比例函数y =16x 的图象上，理由如下： 连接AC ，BD 交于H ，如图：
把C （4，4），P （﹣8，﹣2）代入y ＝ax +b 得：
{4a +b =4−8a +b =−2
， 解得{a =12b =2
， ∴直线CD 的解析式是y =12x +2，
在y =12x +2中，令x ＝0得y ＝2，
∴D （0，2），
∵四边形ABCD 是菱形，
∴H 是AC 中点，也是BD 中点，
由A （4，0），C （4，4）可得H （4，2），
设B （p ，q ），
∵D （0，2），
∴{p+02=4q+22=2， 解得{p =8q =2
， ∴B （8，2），
在y =16x 中，令x ＝8得y ＝2，
∴B在反比例函数y=16
x的图象上．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数法，菱形的性质及应用，函数图象上点坐标的特征等，解题的关键是求出点B的坐标．
21．（10分）（2022•安顺）随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰
角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈4 5，
cos53°≈3
5，tan53°≈
4
3）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
【分析】（1）过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．由勾股定理可求出答案；
（2）设DF＝4a米，则ME＝4a米，BF＝3a米，由于△ACN是等腰直角三角形，可表示BE，在△ADF中由锐角三角函数可列方程求出DF，进而求出AB．
【解答】解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt △CDM 中，由勾股定理得：CM 2＝CD 2﹣DM 2，
∴CM ＝40米，
∴斜坡CB 的坡度＝DM ：CM ＝3：4；
（2）设DF ＝4a 米，则MN ＝4a 米，BF ＝3a 米，
∵∠ACN ＝45°，
∴∠CAN ＝∠ACN ＝45°，
∴AN ＝CN ＝（40+4a ）米，
∴AF ＝AN ﹣NF ＝AN ﹣DM ＝40+4a ﹣30＝（10+4a ）米．
在Rt △ADF 中，
∵DF ＝4a 米，AF ＝（10+4a ）米，∠ADF ＝53°，
∴tan ∠ADF =
AF DF ， ∴43=10+4a 4a
， ∴解得a =152，
∴AF ＝10+4a ＝10+30＝40（米），
∵BF ＝3a =452
米， ∴AB ＝AF ﹣BF ＝40−452=352
（米）． 答：基站塔AB 的高为352米．
【点评】本题考查解直角三角形，通过作垂线构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系和坡度的意义进行计算是常用的方法．
22．（10分）（2022•安顺）阅读材料：被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，A 块种植杂交水稻，B 块种植普通水稻，A 块试验田比B 块试验田少4亩．
（1）A 块试验田收获水稻9600千克、B 块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？
（2）为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的B 块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩B 块试验田改种杂交水稻？
【分析】（1）设普通水稻的亩产量是x 千克，则杂交水稻的亩产量是2x 千克，利用种植亩数＝总产量÷亩产量，结合A 块试验田比B 块试验田少4亩，即可得出关于x 的分式
方程，解之即可得出普通水稻的亩产量，再将其代入2x 中即可求出杂交水稻的亩产量；
（2）设把y 亩B 块试验田改种杂交水稻，利用总产量＝亩产量×种植亩数，结合总产量不低于17700千克，即可得出关于y 的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设普通水稻的亩产量是x 千克，则杂交水稻的亩产量是2x 千克， 依题意得：7200x −96002x =4，
解得：x ＝600，
经检验，x ＝600是原方程的解，且符合题意，
则2x ＝2×600＝1200．
答：普通水稻的亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克；
（2）设把y 亩B 块试验田改种杂交水稻，
依题意得：9600+600（
7200600−y ）+1200y ≥17700， 解得：y ≥1.5．
答：至少把1.5亩B 块试验田改种杂交水稻．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
23．（12分）（2022•安顺）如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是劣弧BD 上一点，∠P AD ＝∠AED ，且DE =√2，AE 平分∠BAD ，AE 与BD 交于点F ．
（1）求证：P A 是⊙O 的切线；
（2）若tan ∠DAE =√22，求EF 的长；
（3）延长DE ，AB 交于点C ，若OB ＝BC ，求⊙O 的半径．
【分析】（1）由AB 是⊙O 的直径，可得∠DAB +∠ABD ＝90°，而∠P AD ＝∠AED ，∠
AED ＝∠ABD ，有∠P AD ＝∠ABD ，故∠DAB +∠P AD ＝90°，可得AB ⊥PB ，BP 是⊙O 的切线；
（2）连接BE ，由AB 是⊙O 的直径，得∠AEB ＝90°，又AE 平分∠BAD ，有∠DAE ＝
∠BAE ，故DE
̂=BE ̂，∠DAE ＝∠BAE ＝∠DBE ，可得√2=√22，EF ＝1； （3）连接OE ，可得OE ∥AD ，有OC OA =CE
DE ，从而CE ＝2√2，CD ＝CE +DE ＝3√2设BC
＝OB ＝OA ＝R ，证明△CBD ∽△CEA ，及有3√23R =2√2，解得⊙O 的半径是2． 【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB ＝90°，
∴∠DAB +∠ABD ＝90°，
∵∠P AD ＝∠AED ，∠AED ＝∠ABD ，
∴∠P AD ＝∠ABD ，
∴∠DAB +∠P AD ＝90°，即∠ABP ＝90°，
∴AB ⊥PB ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴BP 是⊙O 的切线；
（2）解：连接BE ，如图：
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB ＝90°，
∵AE 平分∠BAD ，
∴∠DAE ＝∠BAE ，
∴DE
̂=BE ̂，∠DAE ＝∠BAE ＝∠DBE ， ∴BE ＝DE =√2，tan ∠DAE ＝tan ∠BAE ＝tan ∠DBE =EF BE =√2
2，
∴√2=√22， ∴EF ＝1；
（3）解：连接OE ，如图：
∵OE ＝OA ，
∴∠AEO ＝∠OAE ，
∵∠OAE ＝∠DAE ，
∴∠AEO ＝∠DAE ，
∴OE ∥AD ，
∴OC OA =CE
DE ，
∵OA ＝OB ＝BC ，
∴
OC OA =2， ∴CE
DE =2， ∵DE =√2，
∴CE ＝2√2，CD ＝CE +DE ＝3√2
设BC ＝OB ＝OA ＝R ，
∵∠BDC ＝∠BAE ，∠C ＝∠C ，
∴△CBD ∽△CEA ，
∴CD AC =BC CE ，即3√2
3R =2√2，
∴R ＝2，
∴⊙O 的半径是2．
【点评】本题考查圆的性质及应用，涉及相似三角形判定与性质，锐角三角函数，圆的切线等知识，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，平行线转化比例解决问题．
24．（12分）（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点
P 为和谐点．例如：点（1，1），（12，12），（−√2，−√2），……都是和谐点． （1）判断函数y ＝2x +1的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数y ＝ax 2+6x +c （a ≠0）的图象上有且只有一个和谐点（52，52）． ①求a ，c 的值；
②若1≤x ≤m 时，函数y ＝ax 2+6x +c +14（a ≠0）的最小值为﹣1，最大值为3，求实数m 的取值范围．
【分析】（1）设函数y ＝2x +1的和谐点为（x ，x ），可得2x +1＝x ，求解即可；
（2）将点（52，52）代入y ＝ax 2+6x +c ，再由ax 2+6x +c ＝x 有且只有一个根，Δ＝25﹣4ac ＝0，两个方程联立即可求a 、c 的值；
②由①可知y ＝﹣x 2+6x ﹣6＝﹣（x ﹣3）2+3，当x ＝1时，y ＝﹣1，当x ＝3时，y ＝3，当x ＝5时，y ＝﹣1，则3≤m ≤5时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数y ＝2x +1的和谐点为（x ，x ），
∴2x +1＝x ，
解得x ＝﹣1，
∴和谐点为（﹣1，﹣1）；
（2）①∵点（52，52）是二次函数y ＝ax 2+6x +c （a ≠0）的和谐点， ∴52=254a +15+c ，
∴c =−254a −252
， ∵二次函数y ＝ax 2+6x +c （a ≠0）的图象上有且只有一个和谐点，
∴ax 2+6x +c ＝x 有且只有一个根，
∴Δ＝25﹣4ac ＝0，
∴a ＝﹣1，c =−254
； ②由①可知y ＝﹣x 2+6x ﹣6＝﹣（x ﹣3）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线x ＝3，
当x ＝1时，y ＝﹣1，
当x ＝3时，y ＝3，
当x ＝5时，y ＝﹣1，
∵函数的最大值为3，最小值为﹣1；
当3≤m ≤5时，函数的最大值为3，最小值为﹣1．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．
25．（12分）（2022•安顺）如图1，在矩形ABCD 中，AB ＝10，AD ＝8，E 是AD 边上的一点，连接CE ，将矩形ABCD 沿CE 折叠，顶点D 恰好落在AB 边上的点F 处，延长CE 交BA 的延长线于点G ．
（1）求线段AE 的长；
（2）求证四边形DGFC 为菱形；
（3）如图2，M ，N 分别是线段CG ，DG 上的动点（与端点不重合），且∠DMN ＝∠DCM ，设DN ＝x ，是否存在这样的点N ，使△DMN 是直角三角形？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在直角三角形BCF 中，由勾股定理求出BF ＝6，进而求得AF ＝4，设AE ＝x ，则EF ＝DE ＝8﹣x ，在直角三角形AEF ，根据勾股定理累出关于x 的方程；
（2）根据CD ∥AB 得出△AGE ∽△DCE ，从而得出AG CD =AE DE ，求出AG ＝6；
（3）先求得∠BGC 的正切和正弦值，当∠MDN ＝90°时，解直角三角形DGM 和直角三角形DMN ；当∠DMN ＝90°时，解直角三角形DMG 和直角三角形DMN ．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠DAB ＝∠B ＝∠ADC ＝90°，CD ＝BD ＝10，BC ＝AD ＝8，
在Rt △BCF 中，CF ＝CD ＝10，BC ＝8，
∴BF ＝6，
∴AF ＝AB ﹣BF ＝4，
设AE ＝x ，则EF ＝DE ＝8﹣x ，。