概率论与数理统计总复习

XY
pi
1 1 1 5 5
5 1 5 1 5
1
1 65 EXY xi y j Pij COV ( X , Y ) EXY EX EY 8 8 i j
COV ( X , Y ) 3 20 320 DX DY
6. 设随机变量X ~N (1,3 ), Y ~ N (0, 4 ),已知
X z M z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 M = max(X,Y) 的分布 函数为: FM(z) =P(X≤z)P(Y≤z)
即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
2. N = min(X,Y) 的分布函数 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z)
=1-P(X>z,Y>z)
例1 设 X 具有概率密度f X ( x ), 求 Y=X2 的概率密度.
解 设Y 和 X 的分布函数分别为 FY ( y)和 FX ( x)，
2
注意到Y X 0, 故当y 0时有，FY ( y) P(Y y) 0
当 y>0 时,
2 P ( X y) FY ( y ) P(Y y )
P ( y X y ) FX ( y ) FX ( y )
FY y P Y y
求导可得
1 f X ( y ) f X ( y ) , dFY ( y ) fY ( y ) 2 y dy 0,


y0 y0
若
1 fX ( x) 2
2、解：设 X 表示电子管寿命，
Y 表示5个电子管使用1000小时后损坏的个数。则
Y ~ b(5, p),其中p P( X 1000 ) x 1 e 1000 , x 0 f ( x) 1000 0, 其他
1000
p P( X 1000 )

0
1 1000 e dx 0.632 1000
2
xe
x2 2
dx 0
x2 2 2
1 D( X ) ( x E ( X )) ( x )dx 2

xe
dx 1
若X ~ N (0,1), 则
E ( X ) 0, D( X ) 1
若X ~ N ( , )，则Z
FM z [ F z ]n FN z 1 [1 F z ]
n
例4 解
设X ~ N (0,1), 求E ( X )和D( X ). X的概率密度为
1 ( x) e 2

x2 2
x

于是
1 E ( X ) x ( x )dx 2
P( D | H1 ) 0.2, P( D | H 2 ) 0.6, P( D | H3 ) 0.9
P( H1 ) P( AB C ) P( A BC ) P( A B C) 0.47 P( H 2 ) P( ABC ) P( AB C) P( A BC) 0.22 P( H3 ) P( ABC) 0.03
3、设有甲、乙、丙3门炮，同时独立向某目标射击，命中 率分别为0.2, 0.3, 0.5,目标被命中1发炮弹而被击落的概率为 0.2,目标被命中2发炮弹而被击落的概率为0.6,目标被命中3 发炮弹而被击落的概率为0.9,求: (1)3门炮在1次射击中击落目标的概率 条件下,是由甲炮击中的概率. (2)在目标被击落的
且 C1 X 1 C 2 X 2 C n X n ~ N ( C i i , C )
i 1 i 1 2 i 2 i

n
5. 设二维随机向量(X,Y)的分布律为
求EX , EY , DX , DY , XY 8 EY 3 DX 20 解 : EX 9 3
0.2 0.2 0.7 0.5 0.0554 0.253
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分 布函数分别为FX(x) 和 FY(y),我们来求 M = max(X,Y) 及 N = min(X,Y) 的分布函数.
1. M = max(X,Y) 的分布函数 FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z)
2
X
E ( Z ) 0, D( Z ) 1
~ N（0， 1）
而X Z ,由数学期望和方差的性质得
E ( X ) E (Z ) E ( Z ) E ( )
D( X ) D(Z ) 2 D( Z ) D( ) 2
（1）由全概率公式
P( D) P( H i ) P( D | H i ) 0.47 0.2 0.22 0.6 0.03 0.9 0.253
i 1 3
（2）由贝叶斯公式
P( AB C D) P( AB C ) P( D | AB C ) P( AB C | D) P ( D) P ( D)
解X 题步 骤 : 先写出 P , P pi i j 1 2 3 4 5 Y EY 11 2 11 12 j P j 1 1 2 y 2 1 28 1 1 1 1 1 EY 1 2 EX x P 24 2 2 12 224 2 2 3 30 2 0 1 j i 5 i EX 1 1 21 5 3 4 5 5 5 61 3 1 1 1 i 3 6 6 6 1 24 1 24 1 24 1 301 5 2 EY24 1 1 1 2 4 13 1 1 5 1 1 1 8 11 2 28 2 20 1 1 64 5 5 5 5 30 5 5 5 11 24 12 0 24 3 EX EX 1 2 2 3 4 5 DX ( EX ) 24 1 1 3 15 69 1 5 1 3 6 6 6 3 9 3 30 5 24 12 24 02 4 2 1 1 11 9 1 1 EY 1 1 DY ( EY ) 30 5 24 24 24 24 5 1 1 1 1 2 1 p j 1 6 6 6 6 3
1 1 1 1 1 1 DZ D X Y DX DY 2COV X , Y 2 9 4 2 3 3
1 2 1 2 1 3 4 ( 6 ) 3 9 4 3
P(Y 3) P( A | Y 3)
1 0.0067 0.95 0.058 0.7 0.199 0 0.201
3、解：设A，B，C分别表示甲、乙、丙3门炮击中目标 D：表示目标被击落
Hi 目标被击中 i次, i 0,1,2,3
则： P( A) 0.2, P( B) 0.3, P(C ) 0.5

y } 8 代替 {2X+8 ≤ y } 2
用 { y X
y} 代替{ X2 ≤ y }
这样做是为了利用已知的 X的分布，从而求出 相应的概率.
这是求r.v的函数的分布的一种常用方法.
2、一台电子设备内装有5个某种类型的电子管，已知这
种电子管的寿命（单位：小时）服从参数为1000 的指 数分布。如果有一个电子管损坏，设备仍能正常工作的 概率为95%，两个电子管损坏，设备仍能正常工作的概 率是70%，若两个以上的电子管损坏，则设备不能正常 工作。求这台电子设备在正常工作1000小时后仍能正常 工作的概率。（设各电子管工作相互独立）
e

x
2
2
, x
则 Y=X2 的概率密度为：
1 fY ( y ) 2 0, 自由度为 1 的 2分布
y e

1 2

y 2
,
y0 y0
从上述两例中可以看到，在求P(Y≤y) 的过程中， 关键的一步是设法从{ g(X) ≤ y }中解出X, 从而得到与 {g(X) ≤ y }等价的X 的不等式 . 例如，用 { X
1 P(Y 1) C5 p(1 p)4 0.058
x
0 0 P(Y 0) C5 p (1 p)5 0.0067
2 2 P(Y 2) C5 p (1 p)3 0.199
又设：A=“电子设备在正常工作1000小时后仍能正常工作”
由全概率公式，有
P( A) P(Y 0) P( A | Y 0) P(Y 1) P( A | Y ) P(Y 2) P( A | Y 2)
DY 2
设二维随机向量(X,Y)的分布律为 X 1 2 3 4 5 Y 1 1 1 1 24 24 0 1 12 30 1 1 1 1 1 24 24 30 24 24 2 1 1 1 1 30 24 12 0 24 3 1 1 1 1 30 24 12 24 0 4 1 1 1 1 1 30 24 24 24 24 5 1 1 1 1 1 p j 6 6 6 6 3
则Z 2 X 3Y也服从正态分布，而E ( Z ) 4, D( Z ) 48, 故有Z ~ N（ 4， 48）
若X i ~ N ( i , i2 ), i 1,2,n, 且它们相互独立，则
它们的线性组合 : C1 X 1 C 2 X 2 C n X n (C1 , C 2 ,C n是不全为0的常数)仍然服从正态分布.
XY
1 1 1 ,Z X Y 2 3 2
2
2
求： (1)Z与X的相关系数 ZX ; (2)EZ , DZ.
解 ：EX 1••DX 3 ••EY 0••DY 4 •• XY
2 2
1 1 COV ( X , Y ) DX DY 3 4 6 2 2 1 1 (1) COV ( X , Z ) COV ( X , X Y ) 3 2
X z N z Y z
由于 X 和 Y 相互独立,于是得到 N = min(X,Y) 的分布 函数为: FN(z) =1- P(X>z)P(Y>z) 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
设 X1,…,Xn 是 n 个相互独立的随机变量,它们的 分布函数分别为 FX i z (i = 1, …, n) 我们来求 M=max(X1,…,Xn) 和N=min(X1,…,Xn) 的分布函数. 用与二维时完全类似的方法，可得 M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:
FM z FX1 z FX 2 z
FX n z
N=min(X1,…,Xn)的分布函数是 FN z 1 [1 FX1 z ][1 FX 2 z ] [1 FX n z ]
特别地，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分 布函数F(x)时，有
1 2
1 1 COV ( X , X ) COV ( X , Y ) 1 DX 1 COV ( X , Y ) 0 3 2 3 2
EX 1••DX 3 ••EY 0••DY 4 •• ρXY
2 2
XY
1 2
1 2
COV ( X , Y ) 6
1 1 X Y 1 ( 2) EZ E EX EY 2 3 3 2 3
若X ~ N ( , 2 )，则 E ( X ) , D( X ) 2
这就是说，正态分布的概率密度中的两个参数和 2 分别是该分布的数学期望和方差，因而正态分布完全 可由它的数学期望和方差所确定。
例如, 若X ~ N (1,3),Y ~ N ( 2,4), 且X和Y相互独立,