中考数学易错题专题训练-锐角三角函数练习题附答案

中考数学易错题专题训练-锐角三角函数练习题附答案
一、锐角三角函数
1．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．
（1）求∠CAO＇的度数．
（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？
（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？
【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
【解析】
试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，
∴sin∠CAO′=，
∴∠CAO′=30°；
（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，
∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，
∠CAO′=30°，
∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，
∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；
（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，
理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，
∴∠EO′F=120°，
∴∠FO′A=∠CAO′=30°，
∵∠AO′B′=120°，
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．
考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．
2．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．
(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；
(2) 求证：∠ACF=90°；
(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.
图1 图2
【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析
（2）证明见解析
（3）=2π
【解析】
试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH
（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明
（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长
试题解析：（1）BE=FH．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，
∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°
又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°
∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF
∴△ABE≌△EHF（SAS）
∴BE=FH
(2)∵△ABE≌△EHF
∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"
∴CH=FH
∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°
∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°
∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°
（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形
△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°
过E作EN⊥AC于点N
Rt△ENC中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=
Rt△ENA中，EN =
又∵∠EAF=45°∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）
∴∠EAC=30°
∴AE=
Rt△AFE中，AE== EF，∴AF=8
AE所在的圆O半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90°
=2π·4·（90°÷360°）=2π
考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数
3．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=81
4
．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒
5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM （P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．（1）求cosA的值；
（2）当△PQM 与△QCN 的面积满足S △PQM =95S △QCN 时，求t 的值； （3）当t 为何值时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．
【答案】（1）coaA=45；（2）当t=35时，满足S △PQM =95
S △QCN ；（3）当t=2733-s 或2733+s 时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上． 【解析】
分析：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．利用三角形的面积公式求出BE ，利用勾股定理求出AE 即可解决问题；
（2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．利用S △PQM =95
S △QCN 构建方程即可解决问题； （3）分两种情形①如图3中，当点M 落在QN 上时，作PH ⊥AC 于H ．②如图4中，当点M 在CQ 上时，作PH ⊥AC 于H ．分别构建方程求解即可；
详解：（1）如图1中，作BE ⊥AC 于E ．
∵S △ABC =
12•AC•BE=814， ∴BE=92
， 在Rt △ABE 中，22=6AB BE -， ∴coaA=647.55
AE AB ==． （2）如图2中，作PH ⊥AC 于H ．
∵PA=5t，PH=3t，AH=4t，HQ=AC-AH-CQ=9-9t，∴PQ2=PH2+HQ2=9t2+（9-9t）2，
∵S△PQM=9
5
S△QCN，
∴3•PQ2=93
5
⨯•CQ2，
∴9t2+（9-9t）2=9
5
×（5t）2，
整理得：5t2-18t+9=0，
解得t=3（舍弃）或3
5
．
∴当t=3
5时，满足S△PQM=
9
5
S△QCN．
（3）①如图3中，当点M落在QN上时，作PH⊥AC于H．
易知：PM∥AC，
∴∠MPQ=∠PQH=60°，
∴3，
∴39-9t），
∴2733
-．
②如图4中，当点M在CQ上时，作PH⊥AC于H．
同法可得PH=3QH ， ∴3t=3（9t-9），
∴t=27+33， 综上所述，当t=2733 s 或27+3326
s 时，△PQM 的某个顶点（Q 点除外）落在△QCN 的边上．
点睛：本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、勾股定理锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
4．如图，在△ABC 中，∠ABC=∠ACB ，以AC 为直径的⊙O 分别交AB 、BC 于点M 、N ，点P 在AB 的延长线上，且∠CAB=2∠BCP ．
（1）求证：直线CP 是⊙O 的切线．
（2）若BC=2，sin ∠BCP=，求点B 到AC 的距离．
（3）在第（2）的条件下，求△ACP 的周长．
【答案】（1）证明见解析（2）4（3）20
【解析】
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB ，∠CAB=2∠BCP 判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可．
试题解析：（1）∵∠ABC=∠ACB ，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=CB=，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=，
∴sin∠CAN=，
∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，
∴x=3，
∴BF2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
考点：切线的判定
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G，连接AG交CD于K．
（1）求证：KE=GE；
（2）若KG2=KD•GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AC∥EF，证明见解析；（3）FG= ．
【解析】
试题分析：（1）如图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出
∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE；
（2）AC与EF平行，理由为：如图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF；
（3）如图3所示，连接OG，OC，先求出KE=GE，再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度．
试题解析：（1）如图1，连接OG．
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
（2）AC∥EF，理由为连接GD，如图2所示．
∵KG2=KD•GE，即，
∴，
又∵∠KGE=∠GKE，
∴△GKD∽△EGK，
∴∠E=∠AGD，
又∵∠C=∠AGD，
∴∠E=∠C，
∴AC∥EF；
（3）连接OG，OC，如图3所示，
∵EG为切线，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AKH+∠OAG=90°，
又∵OA=OG，
∴∠OGA=∠OAG，
∴∠KGE=∠AKH=∠GKE，
∴KE=GE．
∵sinE=sin∠ACH=
，设AH=3t，则AC=5t，CH=4t，∵KE=GE，AC∥EF，
∴CK=AC=5t，
∴HK=CK-CH=t．
在Rt △AHK 中，根据勾股定理得AH 2+HK 2=AK 2，
即（3t ）2+t 2=（2 ）2，解得t= ．
设⊙O 半径为r ，在Rt △OCH 中，OC=r ，OH=r-3t ，CH=4t ，
由勾股定理得：OH 2+CH 2=OC 2，
即（r-3t ）2+（4t ）2=r 2，解得r= t=．
∵EF 为切线，
∴△OGF 为直角三角形，
在Rt △OGF 中，OG=r=，tan ∠OFG=tan ∠CAH= ， ∴FG=
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
6．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点()0,0O ，点()3,0A ，点()0,4C ，连接OB ，以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOCB ，旋转角为()0360αα︒<<︒，得到矩形ADEF ，点,,O C B 的对应点分别为,,D E F .
(Ⅰ)如图，当点D 落在对角线OB 上时，求点D 的坐标；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的情况下，AB 与DE 交于点H .
①求证BDE DBA ∆≅∆；
②求点H 的坐标.
(Ⅲ)α为何值时，FB FA =.(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)点D 的坐标为5472(
,)2525；(Ⅱ)①证明见解析；②点H 的坐标为(3，258)；(Ⅲ)60α=︒或300︒.
【解析】
【分析】
(Ⅰ) 过A D 、分别作,AM OB DN OA ⊥⊥，根据点A 、点C 的坐标可得出OA 、OC 的长，根据矩形的性质可得AB 、OB 的长，在Rt △OAM 中，利用∠BOA 的余弦求出OM 的长，由旋转的性质可得OA=AD ，利用等腰三角形的性质可得OD=2OM ，在Rt △ODN 中，利用∠BOA 的正弦和余弦可求出DN 和ON 的长，即可得答案；(Ⅱ)①由等腰三角形性质可得∠DOA=∠ODA ，根据锐角互余的关系可得ABD BDE ∠∠=，利用SAS 即可证明△DBA ≌△BDE ；②根据△DBA ≌△BDE 可得∠BEH=∠DAH ，BE=AD ，即可证明
△BHE ≌△DHA ，可得DH=BH ，设AH=x ，在Rt △ADH 中，利用勾股定理求出x 的值即可得答案；（Ⅲ）如图，过F 作FO ⊥AB ，由性质性质可得∠BAF=α，分别讨论0<α≤180°时和180°<α<360°时两种情况，根据FB=FA 可得OA=OB ，利用勾股定理求出FO 的长，由余弦的定义即可求出∠BAF 的度数.
【详解】
(Ⅰ)∵点()30A ，
，点()04C ，， ∴3,4OA OC ==.
∵四边形OABC 是矩形，
∴AB=OC=4，
∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的
∴3AD AO ==.
在Rt OAB ∆中，5OB =，
过A D 、分别作B,DN OA AM O ⊥⊥
在Rt ΔOAM 中，OM OA 3cos BOA OA OB 5∠=
==， ∴9OM 5
= ∵AD=OA ，AM ⊥OB ， ∴18OD 2OM 5
==. 在Rt ΔODN 中：DN 4sin BOA OD 5∠=
=，cos ∠BOA=ON OD =35， ∴72DN 25=，54ON 25
=. ∴点D 的坐标为5472,2525⎛⎫
⎪⎝⎭.
(Ⅱ)①∵矩形DAFE 是由矩形AOBC 旋转得到的，
∴OA AD 3,ADE 90,DE AB 4∠===︒==.
∴OD AD =.
∴
DOA ODA ∠∠=.
又∵DOA OBA 90∠∠+=︒，BDH ADO 90∠∠+=︒
∴ABD BDE ∠∠=. 又∵BD BD =，
∴ΔBDE ΔDBA ≅.
②由ΔBDE ΔDBA ≅，得BEH DAH ∠∠=，BE AD 3==，
又∵BHE DHA ∠∠=，
∴ΔBHE ΔDHA ≅.
∴DH=BH ，
设AH x =，则DH BH 4x ==-，
在Rt ΔADH 中，222AH AD DH =+，
即()222x 34x =+-，得25x 8=
， ∴25AH 8
=. ∴点H 的坐标为253,
8⎛
⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅲ)如图，过F 作FO ⊥AB ，
当0<α≤180°时，
∵点B 与点F 是对应点，A 为旋转中心，
∴∠BAF 为旋转角，即∠BAF=α，AB=AF=4，
∵FA=FB ，FO ⊥AB ，
∴OA=12
AB=2， ∴cos ∠BAF=
OA AF =12
， ∴∠BAF=60°，即α=60°，
当180°<α<360°时，
同理解得：∠BAF′=60°，
∴旋转角α=360°-60°=300°.
综上所述：α60=︒或300︒.
【点睛】
本题考查矩形的性质、旋转变换、全等三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义等知识，正确找出对应边与旋转角并熟记特殊角的三角函数值是解题关键.
7．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线4y kx =+交x 轴、y 轴分别于点A 、点B ，且ABO ∆的面积为8.
（1）求k 的值；
（2）如图，点P 是第一象限直线AB 上的一个动点，连接PO ，将线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，设点P 的横坐标为t ，点C 的横坐标为m ，求m 与t 之间的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B 作直线BM OP ⊥，交x 轴于点M ，垂足为点N ，点K 在线段MB 的延长线上，连接PK ，且0PK KB P +=，2PMB KPB ∠=∠，连接MC ，求四边形BOCM 的面积.
【答案】（1）1k =；（2）4m t =+；（3）32BOCM S =Y .
【解析】
【分析】
（1）先求出A 的坐标，然后利用待定系数法求出k 的值；
(2) 过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，证
POD OCE ∆≅∆可得OE PD =，进一步得出m 与t 的函数关系式；
（3）过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，先证出QTB PTO ∆≅∆；再证出KPB BPN ∠=∠；设KPB x ∠=︒，通过计算证出PO PM =；再过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，根据tan tan OPD BMO ∠=∠得到OD BO PD MO =，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM 是平行四边形，最后可得其面积为32.
【详解】
解：（1）把0x =代入4y kx =+，4y =，
∴4BO =，
又∵
4ABO S ∆=， ∴142
AO BO ⋅=，4AO =， ∴(4,0)A -，
把4x =-，0y =代入4y kx =+，
得044k =-+，
解得1k =.
故答案为1；
（2）解：把x t =代入4y x =+，4y t =+， ∴(,4)P t t +
如图，过点P 作PD x ⊥轴，垂足为D ，过点C 作CE x ⊥轴，垂足为E ，
∴90PDO CEO ∠=∠=︒，
∴90POD OPD ∠+∠=︒，
∵线段OP 绕点O 顺时针旋转90°至线段OC ，
∴90POC ∠=︒，OP OC =，
∴90POD EOC ∠+∠=︒，
∴OPD EOC ∠=∠，
∴POD OCE ∆≅∆，
∴OE PD =，
4m t =+.
故答案为4m t =+.
（3）解：如图，过点O 作直线OT AB ⊥，交直线BM 于点Q ，垂足为点T ，连接QP ，
由（1）知，4AO BO ==，90BOA ∠=︒，
∴ABO ∆为等腰直角三角形，
∴45ABO BAO ∠=∠=︒，9045BOT ABO ABO ∠=︒-∠=︒=∠，
∴BT TO =，
∵90BTO ∠=︒，
∴90TPO TOP ∠+∠=︒，
∵PO BM ⊥，
∴90BNO ∠=︒，
∴BQT TPO ∠=∠，
∴QTB PTO ∆≅∆，
∴QT TP =，PO BQ =，
∴PQT QPT ∠=∠，
∵PO PK KB =+，
∴QB PK KB =+，QK KP =，
∴KQP KPQ ∠=∠，
∴PQT KQP QPT KPQ ∠-∠=∠-∠，TQB TPK ∠=∠，
∴KPB BPN ∠=∠，
设KPB x ∠=︒，
∴BPN x ∠=︒，
∵2PMB KPB ∠=∠，
∴2PMB x ∠=︒，
45POM PAO APO x ∠=∠+∠=︒+︒，9045NMO POM x ∠=︒-∠=︒-︒， ∴45PMO PMB NMO x POM ∠=∠+∠=︒+︒=∠，
∴PO PM =，
过点P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，
∴22OM OD t ==，
9045OPD POD x BMO ∠=︒-∠=︒-︒=∠，
tan tan OPD BMO ∠=∠，
OD BO PD MO =，442t t t
=+， 14t =，22t =-（舍）
∴8OM =，由（2）知，48m t OM =+==，
∴CM y P 轴，
∵90PNM POC ∠=∠=︒，
∴BM OC P ，
∴四边形BOCM 是平行四边形，
∴4832BOCM S BO OM =⨯=⨯=Y .
故答案为32.
【点睛】
本题考查了一次函数和几何的综合题，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，添加适当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 是⊙C 外一点，连接CP 交⊙C 于点Q ，点P 关于点Q 的对称点为P ′，当点P ′在线段CQ 上时，称点P 为⊙C “友好点”．已知A (1，0)，B (0，2)，C (3，3)
(1)当⊙O 的半径为1时，
①点A ，B ，C 中是⊙O “友好点”的是 ；
②已知点M 在直线y +2 上，且点M 是⊙O “友好点”，求点M 的横坐标m 的取值范围；
(2)已知点D 0)，连接BC ，BD ，CD ，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，半径为1，若在△BCD 上存在一点N ，使点N 是⊙T “友好点”，求圆心T 的横坐标t 的取值范围．
【答案】(1)①B；②0≤m≤3；(2)﹣4+33≤t＜33．
【解析】
【分析】
(1))①根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，所以点B是⊙O“友好点”；
②设M(m，﹣3
m+2 )，根据“友好点”的定义，OM＝
2
2
3
22
2
m m
⎛⎫
+-+≤
⎪
⎪
⎝⎭
，由此
求解即可；
(2)B(0，2)，C(3，3)，D(23，0)，⊙T的圆心为T(t，﹣1)，点N是⊙T“友好点”，NT≤2r＝2，所以点N只能在线段BD上运动，过点T作TN⊥BD于N，作TH∥y轴，与BD交于点
H．易知∠BDO＝30°，∠OBD＝60°，NT＝3
HT，直线BD：y＝﹣
3
x+2，可知H(t，﹣
3
t+2)，继而可得NT＝﹣1
2
t+
33
，由此可得关于t的不等式，解出t的范围即可.
【详解】
(1)①∵r＝1，
∴根据“友好点”的定义，OB＝＜2r＝2，
∴点B是⊙O“友好点”，
∵OC＝22
33
+=32>2r＝2，∴点C不是⊙O“友好点”，A(1，0)在⊙O上，不是⊙O“友好点”，
故答案为B；
②如图，
设M (m ，﹣33m +2 )，根据“友好点”的定义， ∴OM ＝22322
2m m ⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭
， 整理，得2m 2﹣23m ≤0，
解得0≤m ≤3；
∴点M 的横坐标m 的取值范围：0≤m ≤3；
(2)∵B (0，2)，C (3，3)，D (23，0)，⊙T 的圆心为T (t ，﹣1)，点N 是⊙T “友好点”， ∴NT ≤2r ＝2，
∴点N 只能在线段BD 上运动，过点T 作TN ⊥BD 于N ，作TH ∥y 轴，与BD 交于点H ．
∵tan ∠BDO ＝323OB OD == ∴∠BDO=30°，
∴∠OBD ＝60°，
∴∠THN=∠OBD=60°，
∴NT ＝HT•sin ∠THN=32
HT ， ∵B (0，2)，D 30)，
∴直线BD ：y 3+2， ∵H 点BD 上，
∵H (t ，﹣
33t +2)， ∴HT 3+2﹣(﹣1)3+3，
∴NT＝3
2HT＝
3
2
(﹣
3
3
t+3)＝﹣
1
2
t+
33
2
，
∴﹣1
2t+
33
≤2，
∴t≥﹣4+33，
当H与点D重合时，点T的横坐标等于点D的横坐标，即t＝33，
此时点N不是“友好点”，
∴t＜33，
故圆心T的横坐标t的取值范围：﹣4+33≤t＜33．
【点睛】
本题是圆的综合题，正确理解“友好点”的意义，熟练运用相似三角形的性质与特殊三角函数是解题的关键．
9．如图，A（0，2），B（6，2），C（0，c）（c＞0），以A为圆心AB长为半径的¶BD 交y轴正半轴于点D，¶BD与BC有交点时，交点为E，P为¶BD上一点．
（1）若c＝63+2，
①BC＝，¶DE的长为；
②当CP＝62时，判断CP与⊙A的位置关系，井加以证明；
（2）若c＝10，求点P与BC距离的最大值；
（3）分别直接写出当c＝1，c＝6，c＝9，c＝11时，点P与BC的最大距离（结果无需化简）
【答案】（1）①12，π；②详见解析；（2）①6
5
；②
6
5
（3）答案见详解
【解析】
【分析】
（1）①先求出AB，AC，进而求出BC和∠ABC，最后用弧长公式即可得出结论；②判断出△APC是直角三角形，即可得出结论；
（2）分两种情况，利用三角形的面积或锐角三角函数即可得出结论；
（3）画图图形，同（2）的方法即可得出结论．
【详解】
（1）①如图1，
∵c ＝3+2，
∴OC ＝3，
∴AC ＝3﹣2＝3
∵AB ＝6，
在Rt △BAC 中，根据勾股定理得，BC ＝12，tan ∠ABC ＝AC AB 3 ∴∠ABC ＝60°，
∵AE ＝AB ，
∴△ABE 是等边三角形，
∴∠BAE ＝60°，
∴∠DAE ＝30°， ∴»DE 的长为306180
π⨯＝π， 故答案为12，π；
②CP 与⊙A 相切． 证明：∵AP ＝AB ＝6，AC ＝OC ﹣OA ＝3 ∴AP 2+CP 2＝108，
又AC 2＝（32＝108，
∴AP 2+PC 2＝AC 2．
∴∠APC ＝90°，即：CP ⊥AP ．
而AP 是半径，
∴CP 与⊙A 相切．
（2）若c ＝10，即AC ＝10﹣2＝8，则BC ＝10．
①若点P 在»BE
上，AP ⊥BE 时，点P 与BC 的距离最大，设垂足为F ， 则PF 的长就是最大距离，如图2，
S △ABC ＝
12AB ×AC ＝1
2BC ×AF ， ∴AF ＝AB AC BC ⋅＝24
5
，
∴PF ＝AP ﹣AF ＝6
5
；
②如图3，若点P 在»DE
上，作PG ⊥BC 于点G ，
当点P 与点D 重合时，PG 最大． 此时，sin ∠ACB ＝PG AB CP BC
=， 即PG ＝
AB CP BC ⋅＝6
5
∴若c ＝10，点P 与BC 距离的最大值是6
5
； （3）当c ＝1时，如图4，
过点P 作PM ⊥BC ，sin ∠BCP ＝AB PM
BC CD
= ∴PM ＝
3737AB CD BC ⋅===4237
37
； 当c ＝6时，如图5，同c ＝10的①情况，PF ＝6131213
613
-，
当c＝9时，如图6，同c＝10的①情况，PF＝
4285
6
85 ，
当c＝11时，如图7，
点P和点D重合时，点P到BC的距离最大，同c＝10时②情况，DG 18117
．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了弧长公式，勾股定理和逆定理，三角形的面积公式，锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数是解本题的关键．
10．如图，正方形OABC的顶点O与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点
A的坐标为（4，0），点D在边AB上，且tan∠AOD＝1
2
，点E是射线OB上一动点，
EF⊥x轴于点F，交射线OD于点G，过点G作GH∥x轴交AE于点H．
（1）求B，D两点的坐标；
（2）当点E在线段OB上运动时，求∠HDA的大小；
（3）以点G为圆心，GH的长为半径画⊙G．是否存在点E使⊙G与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标．
【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣
2，8﹣2）或（2，2）或42164216++⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭
，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 1
2
得AD=
1
2
OA=2，据此可得点D 坐标； （2）由1tan 2GF GOF OF ∠==知GF=1
2
OF ，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF ，即GF=
1
2
EF ，根据GH ∥x 轴知H 为AE 的中点，结合D 为AB 的中点知DH 是△ABE 的中位线，即HD ∥BE ，据此可得答案；
（3）分⊙G 与对角线OB 和对角线AC 相切两种情况，设PG=x ，结合题意建立关于x 的方程求解可得． 【详解】
解：（1）∵A （4，0）， ∴OA ＝4，
∵四边形OABC 为正方形， ∴AB ＝OA ＝4，∠OAB ＝90°， ∴B （4，4），
在Rt △OAD 中，∠OAD ＝90°， ∵tan ∠AOD ＝12
， ∴AD ＝
12OA ＝1
2
×4＝2， ∴D （4，2）；
（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°
∴tan∠GOF＝GF
OF ＝
1
2
，即GF＝
1
2
OF，
∵四边形OABC为正方形，
∴∠AOB＝∠ABO＝45°，
∴OF＝EF，
∴GF＝1
2
EF，
∴G为EF的中点，
∵GH∥x轴交AE于H，
∴H为AE的中点，
∵B（4，4），D（4，2），
∴D为AB的中点，
∴DH是△ABE的中位线，
∴HD∥BE，
∴∠HDA＝∠ABO＝45°．
（3）①若⊙G与对角线OB相切，
如图2，当点E在线段OB上时，
过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG2x，OF＝EF＝2x，
∵OA＝4，
∴AF＝4﹣2，
∵G为EF的中点，H为AE的中点，∴GH为△AFE的中位线，
∴GH＝1
2AF＝
1
2
×（4﹣22x）＝2﹣2x，
则x＝2﹣2x，
解得：x＝22﹣2，
∴E（8﹣42，8﹣42），
如图3，当点E在线段OB的延长线上时，
x＝2x﹣2，
解得：x＝2+2，
∴E（8+42，8+42）；
②若⊙G与对角线AC相切，
如图4，当点E在线段BM上时，对角线AC，OB相交于点M，
过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，
EG＝FG2，
OF＝EF＝2x，
∵OA＝4，
∴AF＝4﹣2，
∵G为EF的中点，H为AE的中点，
∴GH为△AFE的中位线，
∴GH ＝
12AF ＝1
2
×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22， ∴3x ﹣22＝2﹣2x ， ∴422
7
x +=
， ∴42164216,77E ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭
； 如图5，当点E 在线段OM 上时，
GQ ＝PM ＝22﹣3x ，则22﹣3x ＝2﹣2x ， 解得422
7
x -=
， ∴16421642,77E ⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，
3x ﹣22x ﹣2， 解得：422
7
x =
（舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或
42164216,⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭
． 【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．
11．
如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝
3
5
，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以PA 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE ⊥CB 于点E ． （1）当⊙P 与边BC 相切时，求⊙P 的半径．
（2）连接BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的⊙Q 与⊙P 相交于AC 边上的点G 时，求相交所得的公共弦的长.
【答案】（1）409R =;（2）25880320
x
y x x x =
-++（3）505- 【解析】 【分析】
（1）设⊙P 与边BC 相切的切点为H ，圆的半径为R ，连接HP ，则HP ⊥BC ，cosC ＝3
5
，则sinC ＝
45，sinC ＝HP CP ＝10R R -＝45
，即可求解； （2）首先证明PD ∥BE ，则EB BF
PD PF
=，即：202
4588x y x x
x -+--=，即可求解；
（3）证明四边形PDBE 为平行四边形，则AG ＝EP ＝BD ，即：AB ＝DB+AD ＝AG+AD ＝
5
【详解】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，
连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3
5
，则sinC＝
4
5
，
sinC＝HP
CP
＝
10
R
R
-
＝
4
5
，解得：R＝
40
9
；
（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3
5
，
设AP＝PD＝x，∠A＝∠ABC＝β，过点B作BH⊥AC，
则BH＝ACsinC＝8，
同理可得：CH＝6，HA＝4，AB＝45，则：tan∠CAB＝2，BP＝22
8+(4)
x-＝2880
x x
-+，
DA＝25
x，则BD＝45﹣25x，
如下图所示，PA＝PD，∴∠PAD＝∠CAB＝∠CBA＝β，
tanβ＝2，则cosβ＝
5
，sinβ＝
5
， EB ＝BDcosβ＝（45﹣25
x ）×5＝4﹣25
x ，
∴PD ∥BE ，
∴EB BF
PD PF
=，即：202
4588x y x x
x -+--=，
整理得：y ＝
25x
x 8x 803x 20
-++；
（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，
两个圆交于点G ，则PG ＝PQ ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D ， GD 为相交所得的公共弦， ∵点Q 是弧GD 的中点， ∴DG ⊥EP ， ∵AG 是圆P 的直径， ∴∠GDA ＝90°， ∴EP ∥BD ，
由（2）知，PD ∥BC ，∴四边形PDBE 为平行四边形， ∴AG ＝EP ＝BD ，
∴AB ＝DB+AD ＝AG+AD ＝5 设圆的半径为r ，在△ADG 中， AD ＝2rcosβ5DG 5
AG ＝2r ， 5＝52r 51
+， 则：DG 5
50﹣5 相交所得的公共弦的长为50﹣5 【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．
12．已知抛物线y＝﹣1
6
x2﹣
2
3
x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对
称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO．
(1)求直线AC的解析式；
(2)如图，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP 面积最大时，求|PM﹣OM|的值．
(3)如图，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) y＝1
3
x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，
5
3
）时，四边形AOCP的面积最大，此时
|PM﹣OM|61 (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（
3
5
-，
19
5
）．
【解析】
【分析】
（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，求出点A、B、C坐标，即可求解；（2）连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，即可求解；
（3）存在；分①A′D′⊥A′E；②A′D′⊥ED′；③ED′⊥A′E三种情况利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】
（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，
2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，8
3
），C点坐标为（0，2），则过点C
的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k
1
3
=，则：直线AC的表达式
为：y
1
3
=x+2；
（2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H．
四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP
的面积最大即可，设点P坐标为（m，
1
6
-m2
2
3
-m+2），则点G坐标为（m，
1
3
m+2），
S△ACP
1
2
=PG•OA
1
2
=•（
1
6
-m2
2
3
-m+2
1
3
-m﹣2）•6
1
2
=-m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式
取得最大值，则点P坐标为（﹣3，5
2
）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有
最大值，直线OP的表达式为：y
5
6
=-x，当x＝﹣2时，y
5
3
=，即：点M坐标为（﹣2，
5 3），|PM﹣OM|的最大值为：2222
555
(32)()2()
233
-++--+=61．
（3）存在．
∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝
DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a
8
3
=，则：MC
10
3
=，过点D作x轴的垂线交x
轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，1
2
DH•MC
1
2
=MD•DC，即：DH
108
33
⨯=⨯2，
则：DH
8
5
=，HC22
6
5
DC DH
=-=，即：点D的坐标为（
618
55
-，）；
设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣6
1010
，D′坐标
为（
618
55
1010
，
-++），而点E坐标为（﹣6，2），则
2''
A D =22618(6)()55-++=36，2'A E =22()(2)1010+-=2410m -+，2'ED =22248()()551010+++=2128510
m ++．若△A ′ED ′为直角三角形，分三种情况讨论： ①当2''A D +2'A E =2
'ED 时，36+2410m -+=2128510m ++，解得：m =210，此时D ′（618551010
，-++）为（0，4）； ②当2''A D +2'ED =2'A E 时，36+2128510m ++=2410
m -+，解得：m =810-，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）； ③当2'A E +2'ED =2''A D 时，2410m -
++2128510m ++=36，解得：m =810-或m =10，此时D ′（618551010，-++）为（－6，2）或（35-，195）． 综上所述：D 坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（35-
，195）． 【点睛】
本题考查了二次函数知识综合运用，涉及到一次函数、图形平移、解直角三角形等知识，其中（3）中图形是本题难点，其核心是确定平移后A ′、D ′的坐标，本题难度较大．
13．已知：如图，直线y ＝－x ＋12分别交x 轴、y 轴于A 、B 点，将△AOB 折叠，使A 点恰好落在OB 的中点C 处，折痕为DE ．
(1)求AE 的长及sin ∠BEC 的值；
(2)求△CDE 的面积．
【答案】（1）2，sin ∠BEC=
35；（2）754
【解析】
【分析】 （1）如图，作CF ⊥BE 于F 点，由函数解析式可得点B ，点A 坐标，继而可得
∠A=∠B=45°，再根据中点的定义以及等腰直角三角形的性质可得OC=BC=6，
CF=BF=32，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，在Rt△CEF中，利用勾股定理求出x 的值即可求得答案；
（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，根据三角形面积公式则可得
S△CDE=S△AED=
2
4
AD×AE，设AD=y，则CD=y，OD=12-y，在Rt△OCD中，利用勾股定理求
出y，继而可求得答案.
【详解】
（1）如图，作CF⊥BE于F点，
由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，
又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=6，CF=BF=32，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=122-32-x=92-x，
在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（92-x）2+（32）2，
解得：x=52，
故可得sin∠BEC=
3
5
CF
CE
，AE=52；
（2）如图，过点E作EM⊥OA于点M，
则S△CDE=S△AED=1
2
AD•EM=
1
2
AD×AEsin∠EAM=
1
2
2
AD×AE，
设AD=y，则CD=y，OD=12-y，
在Rt△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，
解得：y=15
2
，即AD=
15
2
，
故S△CDE=S△AED=
2
4
AD×AE=
75
4
．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，涉及了勾股定理、折叠的性质、三角形面积、一次函数的性质等知识，综合性较强，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
14．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．
【答案】拦截点D处到公路的距离是(500＋500)米．
【解析】
试题分析：过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离
DA=BE+CF．解Rt△BCE，求出BE=BC=×1000=500米；解Rt△CDF，求出
CF=CD=500米，则DA=BE+CF=（500+500）米．
试题解析：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E=∠F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF．
在Rt△BCE中，∵∠E=90°，∠CBE=60°，
∴∠BCE=30°，
∴BE=BC=×1000=500米；
在Rt△CDF中，∵∠F=90°，∠DCF=45°，CD=BC=1000米，
∴CF=CD=500米，
∴DA=BE+CF=（500+500）米，
故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米．
考点：解直角三角形的应用-方向角问题．
15．如图，某次中俄“海上联合”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°．位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B侧得潜艇C的俯角为68°．试根据以上数据求出潜艇C 离开海平面的下潜深度．（结果保留整数．参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，3≈1.7）
【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
【解析】试题分析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，用锐角三角函数分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，利用
BD=AD+AB二者之间的关系列出方程求解．
试题解析：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD=
tan AD ACD
=
tan30
x
3x
在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，
∴325+x=3x•tan68°
解得：x≈100米，
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为100米．
点睛：本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是作出辅助线，从题目中找出直角三角形并选择合适的边角关系求解．
视频。