高二数学下第九章复习讲义

高二数学下第九章复习讲义
第1讲平面的根本性质
一、典型例题
例1、用符号语言写出以下图形应满足的条件
图〔1〕图〔2〕
分析；根据图形,准确地想象点、线、面这些根本元素的关系,然后用集合的符号语言表示出来.书写的规律一般是：先平面再直线,最后为点.
在〔1〕中：平面α∩平面β= ,a∩α=A,b∩α=B
在〔2〕中：α∩β= ,a⊂α,b⊂β,a∩ =P, b∩ =P,c∥ .
例2、作出满足以下条件的图形：
图〔1〕图〔2〕
（1）α∩β=AB,a⊂α,b⊂β,a∥AB,b∩AB=M；
（2）正方体ABCD—A1B1C1D1中,O为正方形ABCD中央,A1C∩平面C1BD=M,求作点M.
分析：〔1〕作图的顺序与读图的顺序相同,先平面再直线再到点.如图〔1〕
〔2〕设法把点M放到某两个平面的交线上,∵M∈A1C,A1C⊂平面AA1C1C〔由AA1∥C1C,A1A,CC1是可以确定一个平面的〕,∴M ∈平面AA1C1C.又M∈平面C1BD,∴M为平面AA1C1C与平面C1BD的公共点.观察图象可知,C1、O也为上述两个平面的公共点,即平面AA1C1C∩平面C1BD=C1O.∵M∈C1O,又M∈A1C,∴C1O∩A1C=M,即平面AA1C1C1内,两直线C1O与A1C的公共点就是所求作的点M.
评注：题〔2〕首先表达了转化的思想,将在空间难以把握的线面交点转化为同一平面内的线线交点,确定了交点的位置.其次,将直线A1C放在平面AA1C1C内思考,这是处理直线典型的一种思考方法.借助于平面AA1C1C,点M的位置就越来越具体了.这种类似于平面几何辅助直线的平面,称之为辅助平面.在研究空间图形时,经常要作这样的辅助平面.进一步研究M点性质,还可发现M为A1C的三等分点,M是△C1BD的重心〔中央〕.
例3、求证：两两相交且不过同一点的四条直线共面.
分析：以文字语言出现的几何证实题,首先要“译〞为符号语言写成、求证的形式,并辅之以正确的图形,然后再进行证实.
：四条直线a,b,c,d两两相交,不过同一点.
求证：a,b,c,d共面.
在正确分析四条直线位置关系时,可利用逐步添加的方法.当在两条直线上添加第三条直线时,可以发现存在以下两种位置关系；三线共点和三线不共点.因此此题需分两种情况证实：
（1）当存在三线共点时,如右图：
设a,b,c共点于Q,d∩a=M,d∩b=N,d∩c=Q
∵ a∩b=P
∴ a,b可确定平面α
∵ M∈a,N∈b
∴ M∈α,N∈α
∵ M∈d,N∈d
∴ d ⊂α ∴ Q ∈α 又P ∈c,Q ∈c ∴ c ⊂α
∴ a,b,c,d 共面于α. （2） 任何三条直线都不共点时 ∵ a,b,c,d 两两不相交且不过同一点
∴ a,b,c,d 可确定平面α 设d ∩a=N,d ∩b=M 那么M ∈α,N ∈α 又N ∈d,M ∈d ∴ d ⊂α
∴ a,b,c,d 共面于α.
评注：在证实几何问题,一忌用直观代替严谨的逻辑证实,如直接看图得出结论.由于直观图仅仅是直观,是对空间真实位置关系的某种“歪曲〞反映,看到的不一定就是实际真实位置；二忌跳步,在结论之前缺乏有序有步骤有层次的推导.三忌程序混乱,不知道应该先说什么,再说什么.当然,还有符号、语言的准确性等等. 二、同步练习
（一） 选择题
1、 空间四点中“三点共线〞是“四点共面〞的 A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充分且必要 D 、既不充分也不必要
2、下面列举了四个关于空间中直线共面的条件：〔1〕三条直线两两相交；〔2〕三条直线两两平行；〔3〕三条直线共点；〔4〕三条直线有两条平行.其中不正确的个数是
A 、 1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 3、 直线a,b,c 交于一点,经过这三条直线的平面
A 、1个
B 、3个
C 、无数个
D 、可以为0个,可以为1个 4、 三个平面最多可以把空间分成
A 、 4个局部
B 、6个局部
C 、7个局部
D 、8个局部
5、α∩β= ,M ∈α,N ∈α,P ∈β,P ∉ ,MN ∩ =R,记过M 、N 、P 三点的平面γ,那么β∩γ等于
A 、直线MP
B 、直线PR
C 、直线NP
D 、直线MR
6、空间四点A 、B 、C 、D 共面但不共线,那么下面结论成立的是 A 、四点中必有三点共线 B 、四点中必有三点不共线
C 、AB 、BC 、C
D 、DA 四条直线中总有两条平行 D 、AB 与CD 必相交
7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为4,过点A 、B 1、D 1三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1相交于直线 ,那么点A 到直线 的距离为 A 、62 B 、33 C 、34 D 、64 〔二〕填空题
8、不共面的四点可以确定________个平面.
9、一条直线过平面内一点与平面外一点,它和这个平面有________个公共点. 10、如图,平面ABC 和平面DEF 的交点有________个.
11、P 为正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱B 1C 1上的点〔异于B 1、C 1〕,那么直线A 1P 必与棱______所在直线相交. 12、如图为水平放置的△ABC 的直观图,由图判定原三角形中AB 、BO 、BD 、OD 由小到大的顺序__________. 13、空间三个平面的交线条数为k,那么k 的可能值是__________.
14、α∩β=BC,A ∈α,D ∈β,E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、DB 上的点,假设EF ∩GH=P,那么点P 必在直线________上.
15、空间三条直线a,b,c 互相平行,但不共面,它们能确定______个平面；这些平面把空间分成______个局部. 〔三〕解做题
16、空间四边形ABCD 中,E 、F 分别是AB 和CB 的中点,G 、H 分别是CD 和AD 上的点,且3
1
DA DH DC DG ==,求证：EF 、FG 、BD 三条直线交于一点.
17、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a,M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点,过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线 .
〔1〕画出直线 ；〔2〕设 ∩A 1B 1=P,求线段PB 1的长.
18、画出满足条件的图形：
α∩β= ,AB ⊂α,CD ⊂β,AB ∥ ,CD ∥ .
19、如图,△ABC 在平面α外,AB ∩α=P,BC ∩α=Q,AC ∩α=R,求证：P 、Q 、R 三点共线.
20、直线a ∥b ∥c, ∩a=A, ∩a=A, ∩b=B, ∩c=C,求证：a,b,c, 四线共面. 该命题可作怎样的推广？
第2讲空间的平行直线和异面直线
一、典型例题
例1、如图,a,b,c 不共面,它们相交于点P,A ∈a,D ∈a,B ∈b,C ∈c,求证BD 和AC 是异面直线. 分析：
法一：直接利用判定定理 ∵ AC ⊂平面PAC,D ∈平面PAC,D ∉AC,B ∉平面PAC
∴ AC 与BD 是异面直线 法二：用反证法 假设AC 与BD 共面于β
∵ A 、D 、C 三点不共线 ① ∴ β与平面ACD 重合 ∴ a ⊂β ∴ P ∈β
∵ P 、B 、C 三点不共线
∴ β与平面PBC 重合 ② 由①②知平面PAC 与平面PBC 重合 ∴ a,b,c 共面,与矛盾 ∴ AC 与BD 异面
说明：在法一中,选平面PAC 为根本面,也可以选平面PBD 为根本面,总之,要习惯把直线放在
平面内.
例2、空间四边形PABC,连对角线AC 、PB,D 、E 分别是△PAB 和△PBC 的重心,求证：DE 3
1//
==AC. 分析：养成用轨迹的思想看待图形的习惯,即把点放在线上,把线放在面内.
如把点D 放在AB 边的中线AM 上,再把PM 、DE 放在平面PEM 内,延长PE 交BC 于N,
连MN,那么N 为BC 中点,平面PEM 即为平面PMN.
△ PMN 中 ∵
3
2
PN PE PM PD == ∴ DE 32//
=
=MN △ ABC 中 ∵ MN 21//
==AC ∴ DE 3
1//
=
=AC 例3、空间四边形DABC 中,P 、Q 为边CD 上两个不同的点,M 、N 为AB 上两个不同的点,连PM 、QN,如图,问图中共有多少对异面直线？
分析：为使计算异面直线条数的过程中不出现重、漏的现象,可采用逐步添加的方法.首先考虑空间四边形DABC 的四条边DA 、AB 、BC 、CD 连同对角线AC 、BD,这六条线段可形成三对异面直
线DA 与BC,AB 与CD,AC 与BD.
其次添加线段PM,那么除去与PM 相交的CD 、AB,又可新形成4对异面直线,即PM 与DA 、BC 、AC 、BD.
因QN 与PM 位置等同,当添上QN 时,也同样新增4对异面直线. 最后注意到,PM 与QN 也是异面直线. ∴ 图中共有3+4+4+1=12〔对〕异面直线
评注：对于复杂图形,通常用分解等手段转化为根本图形.同时学会从运动的角度观察图形,如此题的逐步添加法. 例4、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,AB=a,BC=b,AA 1=c,求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值.
分析：显然,通过平移在长方体的外表及内部不可能构造出一个BD 1和B 1C 所成的角,但同时又为了使构造出的角便于计
算,故可考虑补上一个与长方体相同的长方体DCEF —D 1C 1E 1F 1.具体作法是：延长A 1D 1,使A 1D 1=D 1F 1,延长B 1C 1至E 1,使B 1C 1=C 1E 1,连E 1F 1,分别过E 1、F 1,作E 1E //==C 1C,F 1F //
==D 1D,连EF,那么长方体C 1D 1F 1E —CDFE 为所作长方体.
∵ BC //
==D 1F 1 ∴ BD 1//
==CF 1
∴ ∠B 1CF 1就是异面直线BD 1与B 1C 所成的角. ∵ BD 2
=a 2
+b 2
∴ Rt △BDD 1中,BD 12
=BD 2
+DD 12
=a 2
+b 2
+c 2
∴ CF 12
=BD 12
=a 2
+b 2
+c 2 ∵ B 1C 2
=b 2
+c 2
,B 1F 12
=a 2
+4b 2
∴ △B 1CF 1中
cos ∠B 1CF 1=
2
2
2
2
2
2
2112
112121c
b c b a b c C
B CF 2F B
C B CF +⋅++-=⋅-+
（1） 当c>b 时, cos ∠B 1CF 1>0
∴ ∠B 1CF 1为锐角,∠B 1CF 1就是异面直线BD 1和B 1C 所成的角 （2） 当c<b 时,cos ∠B 1CF 1<0 ∴ ∠B 1CF 1是钝角
∴ π-∠B 1CF 1就是异面直线BD 1和B 1C 所成的角 （3） 当c=b 时,∠B 1CF 1=900
∴ BD 1⊥B 1C
法二：作异面直线所成角的过程,其实就是平移异面直线的过程.借助于三角形中位线的平行性,也可以到达平移的目的. 如图,分别取BC 、BB 1、B 1D 1的中点P 、M 、Q,连PM 、MQ 、PQ 那么 MP ∥B 1C,MQ ∥BD 1
∴ ∠PMQ 〔或其补角〕就是异面直线BD 1与B 1C 所成的角 △ PMQ 中,MP=
21B 1C=22c b 2
1
+ △ MQ 21=BD 1=2
22c b a 2
1++,PQ=4a c 22+
利用余弦定理可以得到与解法一同样的结果
注：此题解法一称为补形法,在此题上,还可以在原长方体的上方或下方补一个相同的长方体,同学们可以亲自试一试.解法二称为中位线法.
在求异面直线所成角的四步骤中,第一步其实就是平移异面直线,使它们相交,第三步计算的过程主要是解三角形的问题.在写结论时应注意解法一的结论. 二、同步练习
（一） 选择题
1、异面直线a 与b 满足a ⊂α,b ⊂βα⊂β,α∩β= ,那么直线 与a 、b 的位置关系是 A 、 与a 、b 都相交 B 、 至少与a 、b 中的一条相交 C 、 至多与a 、b 中的一条相交 D 、 至少a 、b 中的一条平行
2、平面α与β相交,a ⊂α,b ⊂β,那么在“①a 、b 必为异面直线,②a 、b 必互相平行,③a 、b 必为相交直线〞这三个命题中,不正确的个数是
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 3、 异面直线指的是
A 、 没有公共点的两条直线
B 、 分别位于两个不同平面内的两条直线
C 、 某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
D 、 不同在任何一个平面内的两条直线 4、分别和两条异面直线都相交的两直线一定是
A 、不平行的直线
B 、不相交的直线
C 、相交直线或平行直线
D 、既不相交也不平行 5、给出四个命题
① 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ② 四边相等的四边形是菱形
③ 四边相等且四个角也相等的四边形是正方形 ④ 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 其中正确命题的个数是
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 6、正方体ABCD —
E ’
F ’
G ’
H ’中,面对角线FG ’与EG 所成的角等于 A 、450
B 、600
C 、900
D 、1200
7、OA ∥O ’A ’,OB ∥O ’B ’是∠AOB=∠A ’O ’B ’的
A 、充要条件
B 、充分不必要条件
C 、必要不充分条件
D 、既不充分又不必要条件
8、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的外表对角线中,与AD 1成600
角的有 A 、4条 B 、6条 C 、8条 D 、10条
9、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,设AB 中点为M,DD 1的中点为N,那么异面直线B 1M 与CN 所成角的 A 、300
B 、450
C 、600
D 、900
10、给出三个命题
① 假设两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线互相平行 ② 假设两条直线都和第三条直线垂直,那么这两条直线互相平行 ③ 假设两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线互相平行 其中不正确的个数是
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 〔二〕填空题
11、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中
〔1〕假设E 、F 分别是棱A 1B 1、BB 1的中点,那么AE 和CF 所成角的余弦值是________. 〔2〕假设G 为CD 中点,那么异面直线B 1C 与AG 所成的角的正弦值是________. 〔3〕假设F 、G 分别是棱BB 1、DC 的中点,那么AF 与D 1G 所成的角是________.
12、长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,BB 1=BC=1,AB=3,那么 〔1〕AD 1与BC 所成角是__________. 〔2〕CD 1与AB 所成角是__________.
（4） CD 1与A 1D 所成角的正弦值是__________.
13、空间四边形ABCD 中,假设AB=CD=2,E 、F 分别是AC 、BD 的中点,EF=3,那么AB 与CD
所成的角是________.
14、空间四边形ABCD 中,E 、H 分别是AB 、AD 的中点,F 、G 分别是CB 、CD 上
的点,且3
2CD CG CB CF ==,假设BD=6,梯形EFGH 的面积是28,那么平行线EH 、FG 间的距离是______. 15、a 、b 是异面直线,b 、c 是异面直线,那么直线a 、c 的位置关系是________. 〔三〕解做题
16、设E 、F 、G 、H 依次是空间四边形ABCD 各边AB 、BC 、CD 、DA 的中点,设AC+BD=a,AC ·BD=b,求EG 2
+FH 2
的值.
17、M 、N 分别是空间四边形ABCD 中AB 、CD 中点,求证：MN<2
1
〔AD+BC 〕.
18、S 是正三角形ABC 所在平面外一点,SA=SB=SC,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=900
,M 、N 分别是AB 和SC 中点,求异面直线SM 与BN 所成的角.
19、长方体ABCD —A ’B ’C ’D ’中,AB=2,BC=BB ’=1,M 、N 分别是AD 和BC 中点,求异面直线MN 和BC ’所成角的大小.
20、正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,假设E 、M 、N 分别是棱AB 、BC 及B 1D 1的中点,求异面直线DN 与MC 1所成的角.
第3讲直线和平面平行与平面和平面平行
一、典型例题
例1、 P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,Q 是PA 中点,求证：PC ∥平面BDQ.
分析：为了在平面BDQ 内找到一条与PC 平行的直线,只要设法过PC 作一个与平面BDQ 相交的平面β,那么β与平面BDQ 的交线即为所求直线.
∵ PA ∩PC=P
∴ PA 、PC 可确定平面PAC 连AC,设AC ∩BD=O 那么 O ∈AC,O ∈BD
∴ O ∈平面PAC,O ∈平面QBD 又 Q ∈PA
∴ Q ∈平面PAC,Q ∈平面QBD ∴ 平面PAC ∩平面BQD=OQ
这就找到了过PC 的辅助平面PAC 与平面BDQ 的交线OQ,下证OQ ∥PC 即可. ∵ O 为平行四边形ABCD 对角线的交点 ∴ O 为BD 中点 又Q 为PA 中点 ∴ OQ ∥PC 又OQ ⊂平面BQD ∴ PC ∥平面BQD
注：1、此题通过两条相交直线PA 、PC 构造出了辅助平面PAC ； 1、 在证实PC ∥OQ 时,利用中位线定理；
2、 此题还可以通过构造辅助平面,利用面面平行的性质证实. 延长AB 至E,使AB=BE,连PE 、CE ∵ B 为AE 中点 ∴ BQ ∥PE
∵ BE //
==CD
∴ BD ∥EC 又BQ ∩BD=B
∴ 平面BDQ ∥平面PCE ∴ PC ∥平面BDQ
3、 在3中,假设再延长EC 与AD,设它们的交点为F,那么一定有平面BDQ ∥平面PEF.
4、 由上面两种证法可知,构造辅助平面在立体几何证实中的重要性.
例2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB,M ∈AC,N ∈FB,且AM=FM,求证：MN ∥平面BCE.
分析：由例1的分析可知,解题的关键是如线在直线MN 的根底上构造辅助平面. 法一：利用线面平行的判断定理
根据构造平面的位置差异,又有以下几种途径： 途径一：辅助平面由AC 与MN 确定
延长AN 交BE 延长于G,连CG,CG 为辅助平面CAN 与平面BCE 的交线,下证CG ∥MN. ∵ AF ∥BE ∴
NG
AN
NB FN =
∵ FN=AM,FB=AC ∴ NB=MC ∴
MC
AM
NB FN =
∴
NG
AN
MC AM =
该等式中的线段均在同一平面内 ∴ MN ∥CG
途径二：辅助平面与MN 由BF 确定,延长BM 交AD 于H,连FH,下证FH ∥MN.类似于途径一.略
途径三：分别过M 、N 作MM 1⊥BC,NN 1⊥BE,M 1、N 1为垂足.辅助平面由MM 1与NN 1构造,M 1N 1为辅助平面MM 1N 1N 与平面BCE 的交线,下证MN ∥M 1N 1.
∵ MM 1∥AB ∴
AB MM CA CM 1
=
① ∵ NN 1∥EF ∴
EF
NN BF BN 1
=
② ∵ AC=BF,AM=FN ∴ CM=BN 又AB=EF
∴ 由①②得MM 1=NN 1 ∴ MM 1N 1N 为平行四边形 ∴ MN ∥M 1N 1 ∴ MN ∥平面BCE
法二；利用面面平行的性质
此时,同样要在MN 根底上构造与平面BCE 平行的辅助平面 过M 、N 分别作AB 的垂线,设垂足分别为M 2、N 2 ∵ MM 2∥CB ∴
AC AM
AB AM 2=
∵ NN 2∥AF ∴
FB
FN
AB AN 2=
∵ AM=FN,AC=FB ∴ AM 2=AN 2 ∴ M 2与N 2重合 ∴ 平面MM 2N ∥平面BCE ∴ MN ∥平面BCE
注：平面几何知识是学好立体几何的根底之一,在运用平面几何知识时,应在相关元素在同一平面的前提下进行,否那么可能发生错误.如此题运用的平行线分线段成比例定理.
例3、P 是△ABC 所在平面外一点,A ’,B ’,C ’分别是△PBC,△PCA,△PAB 的重心,
（1） 求证：平面A ’B ’C ’∥平面ABC ； （2） 求S △A ’B ’C ’ ：S △ABC .
分析：根据判定定理,欲证面面平行,应先证线面平行,而线线平行又是线面平行的根底,就此题而言,应沉着易把握的线线平行着手.
连PC ’,PA ’,PB ’分别交AB,BC,CA 于D,E,F 那么D,E,F 分别为AB,BC,CA 中点,且A ’,B ’,C ’分别为PE,PF,PD 的三等分点. ∵
3
2
PE 'PA PD 'PC == ∴ A ’C ’∥DE
∵
3
2
PF 'PB PE 'PA == ∴ A ’B ’∥EF
∴ 平面A ’B ’C ’D ’∥平面ABC
注：此题直接利用面面平行判定定理的推论,不必再将线线平面转化为线面平行. 〔2〕∵
32
PD 'PC DE 'C 'A == ∴ A ’C ’=
3
2DE 又DE=
2
1AC ∴ A ’C ’=
3
1AC,即31AC 'C 'A =
同理：
31AB 'B 'A =,3
1BC 'C 'B = ∴ △A ’B ’C ’∽△ABC
∴ 9
1
AC 'C 'A S S 2
ABC 'C 'B 'A =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆
注：当两个三角形相似时,平移它们的位置到空间时,因三角形形状未变,仍然是相似的.此题在空间中运用了平面几何中的三角形相似定理,是正确的. 二、同步练习 〔一〕选择题
1、 a ∥α,那么a 平行于α内的
A 、一条确定的直线
B 、任意一条直线
C 、所有直线
D 、无穷多条平行直线
2、a,b 是异面直线,以下结论正确的选项是
A 、过不在a,b 上的任一点,可作一个平面与a,b 平行
B 、过不在a,b 上的任一点,可作一条直线与a,b 相交
C 、过不在a,b 上的任一点,可作一条直线与a,b 都平行
D 、过a 可以并且只可以作一平面与b 平行
3、设α∩β= ,a ∥α,a ∥β,那么a 与 的位置关系是
A 、异面
B 、平行
C 、相交
D 、异面或相交 4、a 是平面α外一条直线,以下条件可得出a ∥α的是
A 、a 与α内的一条直线不相交
B 、a 与α内的两条直线不相交
C 、a 与α内的无数条直线不相交
D 、a 与α内的所有直线不相交 5、a 是平面α外的一条直线,过a 作平面β,使β∥α,以下结论正确的选项是 A 、这样的β只可以作一个 B 、这样的β至少可作一个 C 、这样的β不存在 D 、这样的β至多有一个 6、α∥β,a ⊂α,B ∈β,那么在β内过点B 的直线中
A 、不存在与a 平行的直线
B 、不一定存在与a 平行的直线
C 、有且只有一条与a 平行的直线
D 、有无穷多条与a 平行的直线 〔二〕填空题
7、A ∉α,过点A 可作______条直线与α平行.
8、ABCD 是梯形,AB ∥CD,AB=a,CD=b,AC 与BD 交于O,过O 作平面α与AB 平行,AD ∩α
=M,BC ∩α=N,那么MN=__________.
9、a ∥α,A 是α另一侧的点,B,C,D ∈a,线段AB,AC,AD 交α于E,F,G,假设
BD=4,CF=4,AF=5,
那么EG=__________.
10、△ABC 中,AB=5,AC=7,A=600
,G 是重心,过G 的平面α与BC 平行,AB ∩α=M,AC ∩α=N,那么MN=__________. 11、设α∥β,A 、C ∈α,B 、D ∈β,直线AC 与CD 交于点S,且AS=8,BS=9,CD=34. 〔1〕当S 在α,β之间时,CS=__________. 〔2〕当S 不在α,β之间时,CS=___________.
12、α∥β,△ABC 在平面β内,P 是α,β间一点,线段PA,PB,PC 分别交α于A ’,B ’,C ’,假设BC=12,AC=5,AB=13,且PA ’∶PA=2∶3,那么△A ’B ’C ’的面积为________.
13、假设a ∥b,a ∥α,那么b 与α的位置关系是________. 14、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中
（1） BD 与平面AD 1C 的位置关系是__________； （2） BD 与平面CB 1D 1的位置关系是__________； （3） 平面CB 1D 1与平面A 1BD 的位置关系是__________. （三） 解做题
15、 a ∥b,a ∥α,b ⊄α,求证b ∥α. 16、 α∩β= ,a ∥α,a ∥β,求证：a ∥ .
17、 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,E 、F 、G 分别为B 1C 1,A 1D 1,A 1B 1的中点, 求证：平面EBD ∥平面FGA
18、两条异面直线a,b 分别与三个平行平面α,β,γ相交于点A,B,C 和P,Q,R,又AR,CP 与平面β相交于点M,N,求证：MBNQ 为平行四边形.
FD
CF
EB AE =
,19、α∥β,C ∈α,B 、D ∈β,点E 、F 分别在线段AB 、CD 上,且求证：EF ∥β.
第4讲直线和平面平行的判定和性质
一、典型例题
例1、MN⊥a,MN⊥b,a、b为异面直线,a∥α,b∥α,
求证：MN⊥α.
分析：只要将a、b平移到α内去即可.设MN∩α=0,设a与O确定的平面交α于a’,那么由线面平行的性质定理a∥a’设b与O确定的平面交α于b’,那么b∥b’
∵ MN⊥a,a’∥a
∴ MN⊥a’
同理：MN⊥b’
∵ a’∩b’=0,a’⊂α,b’⊂α
∴ MN⊥α
例2、〔1〕P是△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,H是△ABC的垂心,求证：PH⊥平面ABC.
〔2〕P是△ABC所在平面外一点,PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,PH⊥平面ABC,H为垂足,求证：H为垂心.
分析：从线线垂直与线面垂直的相互转化入手
〔1〕∵ PA⊥PB,PA⊥PC
∴ PA⊥平面PBC
∴ PA⊥BC
∵ H为△ABC垂心
∴ BC⊥AH
∵ PA∩AH=A
∴ BC⊥平面PAH
∴ BC⊥PH
同理：AB⊥PH
∵ AB∩BC=B
∴ PH⊥平面ABC
〔2〕由〔1〕得：PA⊥BC
∵ PH⊥平面ABC
∴ AH为PA在平面ABC上的射影
∵ BC⊂平面ABC,BC⊥PA
∴ BC⊥AH
同理：AB⊥CH
∴ H为△ABC垂心
注：此题中的两个小问题可以看成是一对逆命题.在过同一顶点的三条棱PA、PB、PC两两都垂直的条件下,P在平面ABC 上的射影与△ABC的垂心为同一点.
例3、a⊄α,a⊥b,b⊥α,求证：a∥α.
分析：设法构造经过直线a的辅助平面β,使得β与α相交,那么只要证实a平行于交线即可.
∵ b⊥α
∴ b垂直于α内任一条直线
又 a⊥b
由此联想到平面几何中的定理“垂直于同一条直线的两条直线平行〞,从把a、b转移到同一平面内着手.
任取点A∈a,过A作b’∥b,设b’∩α=B,那么b’⊥α〔请同学们思考如何证实〕
设由a,b’确定的平面β交α于c,那么b’⊥c
∵ a ⊥b,b ’∥b ∴ b ’⊥a
∵ a,b ’,c 均在平面β内 ∴ a ∥c ∴ a ∥α
例4、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中
（1） 求证：A 1C ⊥BD,A 1C ⊥C 1D,A 1C ⊥B 1A ； （2） 求证：A 1C ⊥平面BDC 1；
（3） 设O 是正方形BCC 1B 1的中央,求证：BC 1⊥DO.
分析：〔1〕此题中的三组线线垂直都是异面垂直,假设用定义证实,那么繁顼.考虑用三垂线
定理及逆定理.
在正方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中,由每一个面都是正方形,利用线面垂直的判定定理,易证：AA 1、BB 1、CC 1、D 1D 都与平面ABCD 及平面A 1B 1C 1D 1垂直；AB 、DC 、A 1B 1、D 1C 1都与平面BB 1C 1C 、平面AA 1D 1D 垂直；A 1D 1、AD 、B 1C 1、BC 都与平面AA 1B 1B 、平面CC 1D 1D 垂直.这些垂直关系应熟记,可直接作为结论使用.
∵ A 1A ⊥平面ABCD
∴ AC 为A 1C 在平面ABCD 上的射影 ∵ BD ⊥AC,BD ⊂平面ABCD ∴ BD ⊥A 1C
在这里选取根本平面为ABCD
同理,选取平面CC 1D 1D 为根本平面,证A 1C ⊥C 1D 选取AA 1B 1B 为根本平面,证A 1C ⊥B 1A 〔2〕由〔1〕,A 1C ⊥BD,A 1C ⊥C 1D
∵ BD ∩C 1D=D ∴ A 1C ⊥平面BDC 1 〔3〕∵ DC ⊥平面BB 1C 1C
∴ OC 为DO 在平面BB 1C 1C 上的射影 ∵ BC 1⊂平面BB 1C 1C,BC 1⊥OC ∴ BC 1⊥DO
注：在垂直关系的证实中,应有意识地培养线线垂直与线面垂直转化的思想.三垂线定理及逆定理是证实异面直线垂直的重要方法.
例5、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 为AA 1中点,P 为正方形A 1B 1C 1D 1的中央 （1） 求证：MP ⊥B 1C ；
（2） 线段A 1B 1上的点N 满足A 1N=
3
1
NB 1,求证：MN ⊥MC. 分析：〔1〕法一：直接利用三垂线定理,选平面BB 1C 1C 为根本面.找MP 在平面BB 1C 1C 上的射影. 作MM 1∥A 1B 1交BB 1于点M 1 作PP 1∥A 1B 1交B 1C 1于点P 1
那么MM 1⊥平面BB 1C 1C,PP 1⊥平面BB 1C 1C ∴ M 1P 1为MP 在平面BB 1C 1C 上的射影 ∵ M 为AA 1中点,P 为A 1C 1中点 ∴ M 1、P 1分别为BB 1、B 1C 1的中点 ∴ M 1P 1∥BC 1 又 BC 1⊥B 1C ∴ M 1P 1⊥B 1C
由三垂线定理：MP ⊥B 1C
法二：把MP 平移,转化利用三垂线定理
矩形AA 1C 1C 中,M 、P 分别为AA 1、A 1C 1的中点 ∴ MP ∥AC 1 由上题知AC 1⊥B 1C ∴ MP ⊥B 1C
〔2〕选平面AA 1B 1B 为根本面
∵ CB ⊥平面AA 1B 1B
∴ BM 为CM 在平面AA 1B 1B 上的射影 下面只要证实BM ⊥MN 即可 ∵ BM 与MN 在同一平面内 ∴ 利用勾股定理
设正方体棱长为a,那么BM 2=AB 2
+AM 2
=a 2
+22
a 452a =⎪⎭
⎫
⎝⎛
MN 2
=MA 12
+A 1N 2
=22
2a 1654a 2a =
⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ BN 2
=BB 12
+B 1N 2
=22
2
a 16254a 3a =⎪⎭
⎫
⎝⎛+ ∵ BM 2+MN 2=BN 2
∴ BM ⊥MN ∴ MC ⊥MN
注：利用勾股定理证实线线垂直,表达了数量关系与位置关系的联系. 二、同步练习 （一） 选择题
1、 空间四边形ABCFD 的四边相等,那么它的对角线AC 与BD 的关系是 A 、 垂直相交 B 、相交但不一定垂直 C 、垂直但不相交 D 、不垂直不相交
2、 矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,PA ⊥平面ABCD,PA=1,那么P 到对角线BD 的距离为 A 、
229 B 、513 C 、517 D 、11951
3、 △ABC 中,AB=AC=5,BC=6,PA ⊥平面ABC,PA=8,那么P 到BC 的距离是 A 、
5 B 、52 C 、53 D 、54
4、P 是△ABC 所在平面α外一点,P 到△ABC 三边的距离相等,PO ⊥α,O 为垂足,O 在△ABC 内部,那么O 是△ABC 的
A 、 外心
B 、内心
C 、垂心
D 、重心
5、P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,假设P 到ABCD 四边距离相等,那么ABCD 一定是
A 、菱形
B 、矩形
C 、正方形
D 、以上都不是 6、异面直线在同一平面上的射影不可能是
A 、两平行直线
B 、同一直线
C 、两相交直线
D 、一点与一直线
7从平面外一点P 引与α相交的直线,使点P 与交点的距离等于1,那么满足条件 直线条数一定不可能是 A 、0条 B 、1条 C 、2条 D 、无数条
8、PH ⊥α,H 为垂足,HE ⊂α,EF ⊂α,HE ⊥EF,连PE 、PF 、HF,那么图中直角三角形的个数是 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
9、PE 垂直于⊙O 所在平面,EF 是⊙O 的直径,点G 为圆周上异于E 、F 的任一点,那么以下结论不正确的选项是 A 、FG ⊥平面PEG B 、PG ⊥FG C 、EG ⊥PF D 、PE ⊥GF
10、如果∠APB=∠BPC=∠CPA=600
,PA=a,PA 在平面∠BPC 上的射影为PO,那么cos ∠APO 等于
A 、
2
1
B 、2626
C 、36
D 、33
〔二〕填空题
11、PO ⊥平面AOB,∠AOB=900
,AB=a,∠PAO=∠PBO=α, C 是AB 中点,那么PC=__________.
12、假设a ∥b,a ⊥α,那么b______α；假设a ⊥b,a ⊥α,那么
b______α.
13、空间四边形ABCD 中,AB=AD,BC=CD,假设BD=5,AC=4,M 、N 、P 、Q 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,那么MNPQ 的面积是__________.
14、△ABC 中,∠ACB=900
,P 是平面ABC 外一点,PA=PB=PC,假设AC=12,P 到平面ABC 的距离为8,那么P 到BC 的距离等于__________.
15、正三角形ABC 的边长为a,AD ⊥BC,D 为垂足,沿AD 将△ABC 折起,使∠BDC=900
,那么B 到AB 的距离为__________. 〔三〕解做题
16、四面体ABCD 中,AB ⊥CD,AC ⊥BD,求证：AD ⊥BC.
17、Rt △ABC 中,∠ACB=900
,AC=3,BC=4,PC ⊥平面ABC,PC=5
9
,求点P 到直线AB 的距离.
18、假设直角ABC 的一边BC 平行于平面α,另一边AB 与平面α斜交,求证：∠ABC 在平面α上的射影仍是直角.
19、空间四边形PABC 中,PA ⊥平面ABC,假设∠BAC ≠900
,求证：A 在平面PBC 上的射影A ’不可能是△PBC 的垂心.
20、A 是△ABC 所在平面外一点,∠ABD=∠ACD=900
,AB=AC,E 是BC 中点,求证：〔1〕AD ⊥BC ；〔2〕△AED 是钝角三角形.
第5讲空间向量及其运算
一、典型例题
例1、 空间四边形ABCD 中,E 为AD 中点,F 为B 台点,求证：2
1EF =→
--〔→--AB +→
--DC 〕. 解题思路分析：
法一：利用多边形法那么,找出→
--EF 与有关向量的等量关系,再对相关向量进行变换,到达题目要求. 例如：→--EF =→--ED +→--DC +→--CF ,→--EF =→--EA +→--AB +→
--BF ∴ 2→--EF =→--ED +→--EA +→--CF +→--BF +→--DC +→
--AB ∵ E,F 分别为AD,BC 中点
∴→
--ED 与→
--EA 为相反向量,→
--ED +→
--EA =→
-0
同理,→--CF +→--BF =→
-0 ∴ 2→
--EF =→
--DC +→--AB ,2
1EF =
→
--〔→--AB +→
--DC 〕 法二：构造根本三角形,利用加法定理
例如：取AC 中点G,那么EG //
==2
1DC,21EG =→--→--DC ,FG //
==AB,21EG =→--→--AB
∴→--EF =→--EG +→
--GF =
21→--DC +21→--AB =2
1〔→--AB +→
--DC 〕 法三：选择适当基底,把问题中的向量转化为基底之间的关系或运算 例如：选基底{→
--AB ,→
--AC ,→
--AD }
那么21AE =→
--→--AD ,→--AF =2
1〔→--AB +→
--AC 〕
∴ →--EF =→--AF -→
--AE =
2
1〔→--AB +→--AC -→
--AD 〕 =
2
1〔→--AB +→
--DC 〕 说明：基底的选法是不唯一的.此题选从同一顶点出发的三条有向线段作为基底是选基底的最常用方法.还有一种常用选法是在空 间任取一点O,以从点O 出发的三条不共面的向量为基底.
例2、向量{→-a ,→-b ,→-c }中选哪一个向量,一定可以与向量→-p =→-a +→-b ,→-q =→-a -→
-b ,构成空间的另一个基底？ 解题思路分析：由空间向量根本定理可知,空间任意不共面的三个向量都可以构成空间的一个基底 ∵ →-a +→-b , →-a -→-b 与→-a ,→
-b 构成平行四边形 ∴ →-a +→-b , →-a -→-b , →-a ,→
-b 一定共面 ∴ →-a 与→-b 不能与→-a +→-b ,→-a -→
-b 构成基底 ∴ →-c 与→-a +→-b ,→-a -→
-b 可以构成空间的一个基底
例3、平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,→
--1AA =→
-a ,→
--AB =→
-b ,→
--AD =→
-c ,M,N,P,Q 分别是A 1D 1,CC 1,BC,A 1D 的中点,用基底{→-a ,→-b ,→
-c }表示以下向量： 〔1〕→--AN 〔2〕→--PQ 〔3〕→
--MN
解题思路分析：
利用多边形法那么,或构造假设干个相关的三角形 〔1〕→--AN =→--AB +→--BC +→--CN =→--AB +→
--AD +
2
1→--1CC =+→
--AB 2
1AD +→
--21AA 1=→--→-a +→-b +→
-c
或者：
→--AN =→--AC +→--CN =+→--AB →
--AD +2
1CC 211=→--→-a +→-b +→
-c 〔2〕→
--PQ =-→
--AQ 21AP =
→
--〔→--+1AA →--AD 〕-+→--AB (2
1→
--AC 〕
=
→--+1AA (2
1→--AD --→--AB +→--AB →
--AD 〕 =
2AA (211-→--→--AB 〕=21→-a -→
-b 〔3〕=→
--MN -→
--AN =→--AM -→--AN 〔+→--1AA →
--M A 1〕 =-→
--AN -→
--1AA →
--11D A 2
1 =
21→-a +→-b +→-c -→-a -21→-c =21→-a +→-b +2
1→
-c
说明：用基向量的线性组合去表示相关向量,是用向量知识研究几何问题的根底.在寻找线性组合的过程中,主要是以向量为边构造三角形或多边形〔包括平行四边形〕.
假设M 为→
--AB 中点,那么2
1OM =
→
--〔+→--OA →
--OB 〕是经常用到的重要公式. 例4、四面体ABCD 中,AB ⊥CD,AC ⊥BD,求证：AD ⊥BC. 解题思路分析：
首先将几何语言“译〞为向量语言,即→--AB ·→--CD =0,→--AC ·→--BD =0,求证：→--AD ·→
--BC =0 其次,选择适当的基底,沟通向量与未知向量之间的关系
例如：途径一：选基底{→--AB ,→--AC ,→--AD },设→
--AB =→
-a ,=→
--AC →
-b ,=→
--AD →
-c ,那么：
=→
--CD -→--AD →
--AC =→-c -→
-b ,=→
--BC →-b -→
-a ,=→
--BD →-c -→
-a
∵ →--AB ·0CD =→
-- ∴ →
-a ·〔→
-c -→
-b 〕=0
∴ →
-a ·→
-c -→
-b ·→
-a =0 ① ∵ →
--AC ·0BD =→
-- ∴ →
-b ·〔→
-c -→
-a 〕=0
∴→
-b ·→
-c -→
-b ·→
-a =0 ② ①-②得：→
-a ·→
-c -→
-b ·→
-c =0 ∴ →
-c ·〔→
-a -→-b 〕=0 ∴ →--AD ·0CB =→
-- ∴ AD ⊥BC
途径二：任取空间一点O,其基底{→
--OA ,→
--OB ,→
--OC } 设=→
--OA →
-a ,=→
--BC →
-b ,=→
--OC →-c 那么→
--AB =→-b -→
-a ,=→
--BC →-c -→
-b
→--AC =→-c -→
-a
再设=→
--OD →
-d
那么=→
--AD →-d -→
-a ,=→
--BD →-d -→
-b ,=→
--CD →-d -→
-c ∵ →--AB ·0CD =→
--
∴〔→
-b -→
-a 〕·〔→
-d -→
-c 〕=0
∴ →
-b ·→
-d -→
-b ·→
-c -→
-a ·→
-d +→
-a ·→
-c =0 ① ∵ →
--AC ·0BD =→
--
∴ →
-c ·→
-d -→
-b ·→
-c -→
-a ·→
-d +→
-a ·→
-b =0 ② ①-②得：
→
-b ·→
-d -→
-c ·→
-d +→
-a ·→
-c -→
-a ·→
-b =0 ∴ →
-d ·(→
-b -→
-c 〕-→
-a ·(→
-b -→
-c 〕=0 ∴〔→
-b -→
-c 〕·〔→
-d -→
-a 〕=0 ∴ →--CB ·→
--AD =0 ∴ CB ⊥AD
说明：由上述两种选基底的方法可知,由于基底的选择不同,向量运算的简繁程度也有所差异,因此,应学会选择适当的基底.
例5、P 是正方形ABCD 所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=AB=m,假设
M,N 分别在PA 、BD 上,且
3
1BD BN PA PM == （1） 求证：MN ∥平面PBC （2） 求证：MN ⊥AD
（3） 求MN 与PC 所成角的大小 解题思路分析：
〔1〕根据共面向量定理,只需证实→
--MN 可以表示为→--PB 、→--PC 、→
--BC 中任两个向量的线性组合,为此,必须选基底,再利用三角形法那么,利用基底找到上述向量之间的线性关系.取基底{→
--PA ,→
--PB ,→
--PC },设=→
--PA →
-a ,→
--PB =→
-b ,=→
--PC →
-c ,那么
3
1PM =
→
--→-a ,=→--BA →-a -→-b ,=→--BC →-c -→
-b ∴ =→
--BD +→
--BA =→
--BC →
-a +→
-c -2→
-b
∴ =→--PN →--PB +=→--BN →
--PB +3
1BD 31=→--(→-a +→-b +→-c ) 3
1PM =
→
--→
-a ∴ =→--MN -→
--PN 31PM =→
--〔→-b +→-c 〕=→--PB 31+→
--PC 3
1
∴ →
--MN 与→--PB ,→
--PC 共面 ∴ →
--PB ⊄平面PBC ∴ MN ∥平面PBC
〔2〕只需证→
--MN ·0AD =→
--,=→--AD =→
--BC →-c -→
-b
∵ →--MN ·31AD =→
--〔→-b +→-c 〕·〔→-c -→-b 〕=31〔2c →--2b →-〕=3
1
〔|2|c →--2|b |→-〕=0
∴ →--MN ⊥→
--AD ,MN ⊥AD （4） 利用数量积公式的变形
∵ →--MN ·→--PC =|→--MN |·|→--PC | cos<→--MN ,→
--PC >
∴ cos<→--MN ,→--PC >=〔→--MN ·→--PC 〕/〔|MN |·|→
--PC |〕 ∵ 91|MN |2
=
→
--(→-b +→-c )2=9
1(2b →-+2c →-+2→-b ·→-c ) →
-b ·→-c =|→
-b ||→
-c |cos<→
-b ,→
-c >=m 2
cos 2
m 32
=π
∴ 9
1|MN |2
=→
--(m 2+m 2+m 2)=3m 2
∴ |→
--MN |=
m 3
3
又∵ →
--MN ·31PC =
→
--〔→-b +→
-c 〕·→-c =3
1〔→-b ·→-c +2c →-〕 =222m 2
1
)m 2m (31=+
∴ cos<→--MN ,→--PC >=〔→--MN ·→--PC 〕/〔|MN |·|→--PC |〕=23m m 3
3
m 212
=⋅
∵ <→--MN ,→
--PC >∈[0,π] ∴ <→--MN ,→
--PC >=300
∴ MN 与PC 成300
角
说明：由本例可以看出,用向量解决几何问题,重在问题运算,降低了对空间图形抽象思维的要求,显得简单,易于上手. 例6、PA ⊥平面ABCD,ABCD 为矩形,PA=AD,M 、N 分别是PC 、AB 中点,求证：MN ⊥平面PCD. 解题思路分析：
只需证→
--MN 与→
--PC 、→--PD 、→
--CD 中任意两个向量的数量积等于0 选基底{→--AP ,→--AB ,→--AD },设=→
--AP →
-a ,=→
--AB →
-b ,=→
--AD →
-c
那么=→--AC +→--AB →
--AD =→-b +→
-c ,
21AM =→
--〔→--AP +→--AC 〕=2
1〔→-a +→-b +→
-c 〕
∴ =→--MN -→--AN 2
1
AM =→
--→
-b -
2
1
〔→-a +→-b +→-c 〕=-
21→-a -2
1→
-c ∵ PA ⊥平面ABCD ∴ PA ⊥AB,PA ⊥AD ∴
→
-a ·→-b =0,→-a ·→
-c =0
又AB ⊥AD。