高考复习课件第49讲数学归纳法

答案：C
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3．已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明 1－12＋31－14＋…＋n－1 1＝2(n＋1 2＋n＋1 4＋…＋21n)
时，若已假设 n＝k(k≥2，k 为偶数)时命题为真，则还 需要证明( )
A．n＝k＋1 时命题成立 B．n＝k＋2 时命题成立 C．n＝2k＋2 时命题成立 D．n＝2(k＋2)时命题成立
解得
Sk＋1＝
k＋2
＝
，
k＋1＋1
这表明，当 n＝k＋1 时，猜想也成立．
由①②可知，对所有
n∈N*，均有
2n Sn＝n＋1.
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证法 2：(累乘法)
因为 Sn＝n2an，所以 Sn＝n2(Sn－Sn－1)， 即SSn－n 1＝n2n－2 1(n>1)． 所以 Sn＝S1×SS21×SS23×…×SSn－n 1 ＝222－2 1×323－2 1×…×n2n－2 1 ＝1×22 3×2×32 4×…×n－1n2n＋1
答案：C
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2．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2
(a≠1，n∈N*)，在验证 n＝1 成立时，左边计算所得的项是
() A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
解：验证初值时需要考察和式的结构特点．n＝1 时，
左边＝1＋a＋a2.
即 2k 项．
答案：D
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5．用数学归纳法证明：凸多边形的内角和 f(n)＝(n－
2)×180°(n≥3)，第一步应验证
；假设 n 边形内
角和 f(n)＝(n－2)×180°，则 f(n＋1)＝f(n)＋
，
从而再用假设．
解：由 n≥3，故初值 n0＝3，即三角形内角和为 180°. 由凸 n 边形变为凸 n＋1 边形时，相当于增加了一个三角
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解：(1)当 n＝2 时，S2＝4a2＝4(S2－a1)，解得 S2＝43； 36
当 n＝3 时，S3＝9a3＝9(S3－S2)，解得 S3＝2＝4； 8
当 n＝4 时，S4＝16a4＝16(S4－S3)，解得 S4＝5. (2)猜想 Sn＝n2＋n1.下面进行证明：
(2)与正整数有关的命题，猜想得到的结论，常常用 数学归纳法进行证明，当然根据特点，也可选择其他方 法进行证明．
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【变式探究】
3．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，Sn＝n2an(n ∈N*)．求：
(1)S2，S3，S4； (2)数列{an}的前 n 项和 Sn(写出推证过程)．
形，故 f(n＋1)＝f(n)＋180°.
答案：f(3)＝180° 180°
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证明恒等式 证明不等式 归纳、猜想、证明
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考点一·证明恒等式
【例 1】用数学归纳法证明：1－21＋13－41＋…＋2n1－1－ 21n＝ n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n.
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3．使用数学归纳法应注意的问题 (1)两个步骤缺一不可，第一步验证 P(n0)成立是推理的 基础，第二步由 P(k)⇒P(k＋1)成立是推理的依据(由 n0 成立， 推出 n0＋1 成立；由 n0＋1 成立，又可推出 n0＋2 成立…… 如此递推，可知命题对一切自然数 n (n≥n0)均成立)． (2)n0 是命题成立的起始值，不一定是正整数的起始值 1. (3)由 n＝k 到 n＝k＋1 必须使用归纳假设，否则不是数 学归纳法． (4)由 n＝k 到 n＝k＋1 时，增加的项也不一定只有一项．
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k＋1 1－2k＋1 2
＝ 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＋ 1 .
k＋2 k＋3
2k＋1 2k＋2
上式表明当 n＝k＋1 时命题也成立．
根据(1)、(2)可知，对任意的 n∈N*，等式都成立．
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点评：用数学归纳法证明与自然数有关的一些命题的
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解：由题意知，g(x)＝ x ， 1＋x
由已知，g1(x)＝1＋x x，
x
1＋x
g2(x)＝g(g1(x))＝ 1＋源自x＝x， 1＋2x
1＋x
x
1＋2x
g3(x)＝g(g2(x))＝ 1＋
x
＝x， 1＋3x
1＋2x
……
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猜想 gn(x)＝1＋xnx.下面用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，g1(x)＝1＋x x，结论成立； ②假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时结论成立，即 gk(x)＝1＋xkx，
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高中数学课件
第49讲 数学归纳法
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1．了解数学归纳法的原理． 2．会用数学归纳法证明与正整数有关的命题． 3．会用观察、归纳、猜想、证明的思维方法解决有 关问题．
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1．数学归纳的基本思想 数学归纳法是证明与 正整数 有关的命题的一种方
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点评：(1)用数学归纳法证明不等式时，常常要结合分 析法、放缩法等其他证明不等式的方法．
(2)用数学归纳法证明不等式要有目标意识，在本题中， 考虑到 n＝k＋1 时不等式的左边为分式，右边是根式，一般 将要证明的不等式两端都化为同一形式，根据目标进行合 理放缩．
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证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立． (2)假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时命题成立，即 1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k.
那么当 n＝k＋1 时，
左边＝1－21＋31－41＋…＋2k－1 1－21k＋2k＋1 1－2k＋1 2
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解：用数学归纳法证明时，首先要明确 n 的定义域， 只有在定义域内的假设证明才是有效的．此题当 n＝k 时命 题成立，那么 k 是偶数，k＋1 就是奇数了，故 A 是错误的．数 学归纳法中 n＝k＋1 时命题成立，是表明 n 取下一个“合 理”的自然数时命题也成立，此题中要证明 n 取下一个偶 数 k＋2 时命题也成立，故选 B.
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考点二·证明不等式
【例
2】证明不等式：1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1 n<2
n(n∈
N*)．
证明：(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，
不等式成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，
即
1＋
12＋
13＋…＋
1 k<2
k，
则 n＝k＋1 时，
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【变式探究】
2．求证：n＋1 1＋n＋1 2＋…＋31n>65(n≥2，n∈N*)．
证明：(1)当 n＝2 时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成 立．
(2)假设 n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即 k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k>56， 则 n＝k＋1 时，
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使问题的证明有目的性．
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【变式探究】
1．用数学归纳法证明：
12 ＋ 22 ＋ 32 ＋ … ＋ (n － 1)2 ＋ n2 ＋ (n － 1)2 ＋ … ＋ 12 ＝
n2n32＋1(n∈N*)． 证明：(1)当 n＝1
时，左边＝12＝1，右边＝31×1×(2×12
证法 1：(数学归纳法)
①当 n＝1 时，猜想显然成立；
②假设
n＝k(k≥1，k∈N*)时，猜想成立，即
2k Sk＝k＋1，
则当 n＝k＋1 时，
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Sk＋1＝(k＋1)2ak＋1＝(k＋1)2(Sk＋1－Sk)， 即 Sk＋1＝(k＋1)2(Sk＋1－k＋2k1)．
2k＋2 2k＋1
＝ 2n . n＋1
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1．数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种方 法，数学归纳法的思想是一种递推的思想，它的证明共分 两步，其中第一步是命题成立的基础；第二步是递推的依 据，解决的是延续性问题．运用数学归纳法证明有关命题 要注意以下几点：
(1)“两个步骤，一个结论”，缺一不可； (2)第二步中，证明“n＝k＋1 时结论正确”的过程中， 必须利用“归纳假设”，即必须用上“n＝k 时结论成立” 这一条件，没有运用“归纳假设”的证明不是数学归纳法．
关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的
两边各有多少项，项的多少与 n 的取值有关，当 n＝k 到 n
＝k＋1 时，等式的两边各会增加多少项，增加怎样的项．对
于证明恒等式的问题，在由 n＝k 到 n＝k＋1 时，应及时
把结论和推导过程对比，也就是我们通常所说的两边凑的
方法，以减小计算的复杂程度，从而发现所要证明的式子，
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左边＝1＋ 12＋ 13＋…＋ 1k＋
1 k＋1
<2 k＋
1
2 k· k＋1＋1 ＝
k＋1
k＋1
k＋k＋1＋1 2k＋1
<
＝
＝2 k＋1＝右边．
k＋1
k＋1
这就是说，当 n＝k＋1 时，不等式也成立． 由(1)、(2)可知，原不等式对任意正整数都成立．
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那么，n＝k＋1 时，
x
1＋kx
gk＋1＝g(gk(x))＝ 1＋
x
＝
x
，
1＋k＋1x
1＋kx
即 n＝k＋1 时，结论也成立． 由①②可知，结论对 n∈N*恒成立，即 gn(x)＝1＋xnx.
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点评：(1)“归纳—猜想—证明”，是不完全归纳法 与完全归纳法的综合运用，是一种重要的数学方法，其 中猜想是证明的前提，证明可论证猜想的可靠性，两者 相辅相成．
＋1)＝1，等式成立．
(2)假设 n＝k(k≥1，k∈N*)时等式成立，即
12 ＋ 22 ＋ … ＋ (k － 1)2 ＋ k2 ＋ (k － 1)2 ＋ … ＋ 22 ＋ 12 ＝
k2k2＋1 3，
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则当 n＝k＋1 时， 左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k＋1)2＋k2＋…＋22 ＋12 ＝13k(2k2＋1)＋k2＋(k＋1)2＝31k(2k2＋3k＋1)＋(k＋1)2 ＝13k(2k＋1)(k＋1)＋(k＋1)2＝31(k＋1)(2k2＋k＋3k＋3) ＝13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]＝右边， 所以 n＝k＋1 时，等式也成立． 根据(1)、(2)可知，对 n∈N*，等式成立．
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1．如果命题 P(n)对于 n＝k(k∈N*)时成立，则它对一切
n＝k＋2 也成立，若 P(n)对于 n＝1 时成立，则 P(n)对所有( )
A．正整数成立
B．正偶数成立
C．正奇数成立
D．大于 1 的正整数成立
解：由 n＝1 成立，根据 n＝k 时成立，n＝k＋2 时成立 知 n＝3 成立，又由第 2 步，得到 n＝5 成立……由此可知对 一切正奇数成立．
所以当 n＝k＋1 时不等式也成立．
由(1)、(2)可知，原不等式对一切 n≥2，n∈N*均成立．
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考点三·归纳、猜想、证明
【例 3】(2014·陕西卷节选)设函数 f(x)＝ln(1＋x)，g(x) ＝xf′(x)，x≥0，其中 f′(x)是 f(x)的导函数．令 g1(x)＝g(x)， gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N*，求 gn(x)的表达式．
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1 k＋1＋1
＋
1 k＋1＋2
＋
…
＋
1 3k
＋
1 3k＋1
＋
1 3k＋2
＋
1
3k＋1
＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋31k＋(3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1)
>56＋(3k＋1 1＋3k＋1 2＋3k＋1 3－k＋1 1)
>56＋(3×3k＋1 3－k＋1 1)＝56.
答案：B
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4．利用数学归纳法证明不等式“1＋21＋13＋…＋2n－1 1
<n(n≥2，n∈N*)”的过程中，由 n＝k 变到 n＝k＋1 时，左
边增加了( )
A．1 项 C．2k－1 项
B．k 项 D．2k 项
解：增加了的项为：21k＋2k＋ 1 1＋…＋2k＋12k－1，
法，数学归纳法的思想是一种 递推 的思想．
2．数学归纳法证明的步骤 (1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立； (2)(归纳递推)假设 当n＝k (k∈N*，且 k≥n0)时 命题成立，证明 n＝k＋1 时命题也成立． 由(1)、(2)可知，结论对于 n≥n0，n∈N* 都成立．
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