2019_2020学年新教材高中数学课时素养评价二十四平面新人教A版必修2
高中数学本册综合检测题素养作业提技能含解析第二册
本册综合检测题考试时间120分钟，满分150分。
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知i是虚数单位,复数z1在复平面内对应的向量错误!＝（－2,1），则复数z＝错误!的虚部为（D）A．－错误!B．－错误!C．错误!D．错误![解析］由题意可知z1＝－2＋i，所以z＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!＋错误!i，因此，复数z的虚部为错误!。
2．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：则次品数的众数、平均数依次为（A)A．0,1.1B．0，1C．4，1D．0。
5，2[解析]由表可知,次品数的众数为0，平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0。
2＋4×0.05＝1.1．3．已知l，m表示两条不同的直线，α表示平面,则下列说法正确的是（A)A．若l⊥α，m⊂α,则l⊥mB．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αC．若l∥m，m⊂α,则l∥αD．若l∥α,m⊂α，则l∥m[解析]对于A,若l⊥α，m⊂α，则根据直线与平面垂直的性质，知l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m⊂α，则l可能在α内,故B不正确；对于C,若l∥m，m⊂α，则l∥α或l⊂α，故C不正确;对于D，若l∥α，m⊂α，则l与m可能平行，也可能异面，故D不正确.故选A．4．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别是a,b,c,若a＝a cos B ＋b cos A，则△ABC是(A）A．等腰三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形[解析]因为a＝a cos B＋b cos A，所以由余弦定理可得a＝a×错误!＋b×错误!，整理得a＝c,所以△ABC为等腰三角形。
5．已知平面向量a与b的夹角为错误!，且｜a|＝1，｜b|＝2，则｜a＋b｜＝(B)A．3B．错误!C．7D．错误
8.6.1 直线与直线垂直学习目标1. 掌握异面直线所成角的定义，会求两异面直线所成的角。
2. 掌握直线与直线垂直的定义。
基础梳理1. 空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线。
2. 已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 分别作直线，我们把直线与所成的角叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）。
3. 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直。
直线a 与直线b 垂直，记作。
4. 当两条直线a ，b 相互平行时，我们规定它们所成的角为0。
所以空间两条直线所成角α的取值范围是0<a<90。
随堂训练1、垂直于同一条直线的两条直线一定（ ） A.平行 B.相交C.异面D.以上都有可能2、如果点M 是两条异面直线外的一点,则过点M 且与a ,b 都平行的平面( ) A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 没有或只有一个D. 有无数个3、如图，在直三棱柱111ABC A B C 的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44、已知两异面直线,a b 所成的角为80o ,过空间一点P 作直线，使得l 与,a b 的夹角均为50o ,那么这样的直线有（ ）条 A ．1B ．2C ．3D ．45、将图1中的等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的中线折起得到空间四面体ABCD （如图2），则在空间四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是（ ）A.相交且垂直B.相交但不垂直C.异面且垂直D.异面但不垂直6、在正方体1111ABCD A B C D -中,E 为棱CD 的中点，则( ) A. 11A E DC ⊥B. 1A E BD ⊥C. 11A E BC ⊥D. 1A E AC ⊥ 7、在三棱锥P ABC -中,已知PA AB AC ==,BAC PAC ∠=∠,点,D E 分别为棱,BC PC 的中点,则下列结论正确的是( ) A.直线DE ⊥直线AD B.直线DE ⊥直线PA C.直线DE ⊥直线ABD.直线DE ⊥直线AC8、如图,正方体1111ABCD-A B C D 中, M 、N 分别为棱11C D 、1C C 的中点,有以下四个结论: ①直线AM 与1CC 是相交直线; ②直线BN 与1MB 是异面直线; ③直线AM 与BN 是平行直线; ④直线AM 与1DD 是异面直线.其中正确的结论为__________.9、如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, ,,,E F G H 分别为1111,,,AA AB BB B C 的中点,则异面直线EF 与GH 所成的角等于__________.10、设,a b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在的直线与,a b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB 与a 成60o 角时, AB 与b 成30o 角; ②当直线AB 与a 成60o 角时, AB 与b 成60o 角; ③直线AB 与a 所成角的最小值为45o ; ④直线AB 与a 所成角的最大值为60o .其中正确的是__________(填写所有正确结论的编号)11、如图，在正三棱锥P ABC -中，2,3PA PB PC AB BC AC ======．若PB 的中点为,M BC 的中点为,N 求AC 与MN 的夹角答案 随堂训练 1答案及解析： 答案：D解析：在空间,垂直于同一条直线的两条直线可能平行,相交,异面. 2答案及解析： 答案：C解析：当过点M 与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时,此时找不到一个过M 的平面与两条异面直线都平行；当过点M 与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线不平行时,利用线面平行的判断定理,可得1个平面与a ,b 都平行．故选C ． 3答案及解析： 答案：C解析：在直三棱柱111ABC A B C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线有:11A B ，AC ,1AA ，共3条.4答案及解析： 答案：C解析：过P 作与,a b 平行的直线','a b 如图,80CPD ∠=o直线AG 过点P 且50APC APD ∠=∠=o ,这样的直线有两条又100FPC ∠=o ,直线PE 为FPC ∠的平分线，则50FPC EPC ∠=∠=o综上，满足条件的直线的条数为3 5答案及解析： 答案:C解析: 对于原图：∵AD 是等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的中线，∴AD BC ⊥.在四面体ABCD 中，∵AD BD ⊥，AD DC ⊥，AD DC D =I ，∴AD ⊥平面BCD .∴AD BC ⊥.又AD与BC 是异面直线.综上可知：在四面体ABCD 中，AD 与BC 的位置关系是异面垂直.所以C 选项是正确的. 6答案及解析： 答案：C解析：∵1A E 在平面ABCD 上的投影为AE ,而AE 不与,AC BD 垂直,∴,B D 错误; ∵1A E 在平面11BCC B 上的投影为111,B C B C BC ⊥,∴11A E BC ⊥,故 C 正确; ∵1A E 在平面11DCC D 上的投影为1 D E ,而1 D E 不与1DC 垂直,故A 错误.故选C. 7答案及解析： 答案：D 解析：如图，，，，得，取PB 中点G ，连接AG ，CG ，则，，又，，则， D 、E 分别为棱BC 、PC 的中点，，则。
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：平面
考点
学习目标
核心素养
了解平面的概念，会用图形与字母
平面的概念
直观想象
表示平面
点、线、面的 能用符号语言描述空间中的点、直 直观想象
位置关系 线、平面之间的位置关系
能用图形、文字、符号三种语言描 三个基本事实
述三个基本事实， 及推论
理解三个基本事实的地位与作用
直观想象、 逻辑推理
问题导学 预习教材 P124－P127 的内容，思考以下问题： 1．教材中是如何定义平面的？ 2．平面的表示方法有哪些？ 3．点、线、面之间有哪些关系？如何用符号表示？ 4．三个基本事实及推论的内容是什么？各有什么作用？
■名师点拨 (1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进 行度量． (2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．
2．点、线、面之间的关系及符号表示
A 是点，l，m 是直线，α，β 是平面．
文字语言
符号语言
A在l上
A___∈____l
A在l外
A___∉____l
A在α内
A___∈____α
(3)平面的表示方法 我们常用希腊字母 α，β，γ 等表示平面，如平面 α、平面 β、平面 γ 等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内；也可以用代 表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文 字母作为这个平面的名称．如图中的平面 α，也可以表示为平面
_A__B_C_D__、平面__A_C____或者平面__B__D___．
三点共线、三线共点问题 如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F 分别为 AB、AA1 的中点．求证： CE，D1F，DA 三线交于一点．
【证明】 连接 EF，D1C，A1B， 因为 E 为 AB 的中点， F 为 AA1 的中点，所以 EF═ ∥12A1B.
2019-2020学年高中数学 阶段质量检测(三)直线与方程(含解析)新人教A版必修2
阶段质量检测（三） 直线与方程(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意可知，直线l 的斜率为－1，故由tan 135°＝－1，可知直线l 的倾斜角为135°.2．已知过点M (－2，a )，N (a,4)的直线的斜率为－12，则|MN |＝( )A ．10B ．180C ．6 3D ．6 5解析：选D 由k MN ＝a －4－2－a ＝－12，解得a ＝10，即M (－2,10)，N (10,4)，所以|MN |＝(－2－10)2＋(10－4)2＝65，故选D.3．已知直线nx －y ＝n －1和直线ny －x ＝2n 的交点在第二象限，则实数n 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选C 由题意，知当n ＝1时，两直线平行，当n ＝－1时，两直线重合，故n ≠±1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧nx －y ＝n －1，ny －x ＝2n ，得x ＝nn －1，y ＝2n －1n －1.∴n n －1＜0且2n －1n －1＞0，解得0＜n ＜12. 4．已知直线l 1：(2m 2－5m ＋2)x －(m 2－4)y ＋5＝0的斜率与直线l 2：x －y ＋1＝0的斜率相同，则实数m 等于( )A ．2或3B ．2C ．3D ．－3解析：选C 直线l 1的斜率为2m 2－5m ＋2m 2－4，直线l 2的斜率为1，则2m 2－5m ＋2m 2－4＝1，即2m 2－5m ＋2＝m 2－4，整理得m 2－5m ＋6＝0，解得m ＝2或3.当m ＝2时，2m 2－5m ＋2＝0，－(m 2－4)＝0，不符合题意，故m ＝3.5．若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝⎛⎦⎥⎤－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析：选D 若直线(m 2－1)x －y －2m ＋1＝0不经过第一象限，则直线经过第二、四象限或第三、四象限或第二、三、四象限，所以直线的斜率和截距均小于等于0.直线方程变形为y ＝(m 2－1)x －2m ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－1≤0，－2m ＋1≤0，解得12≤m ≤1.6．已知直线mx ＋ny ＋1＝0平行于直线4x ＋3y ＋5＝0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n的值分别为( )A ．4和3B ．－4和3C ．－4和－3D ．4和－3解析：选C 由题意知：－m n ＝－43，即3m ＝4n ，且有－1n ＝13，∴n ＝－3，m ＝－4.7．两点A (a ＋2，b ＋2)和B (b －a ，－b )关于直线4x ＋3y ＝11对称，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝－1，b ＝2 B ．a ＝4，b ＝－2 C ．a ＝2，b ＝4D ．a ＝4，b ＝2解析：选D A 、B 关于直线4x ＋3y ＝11对称，则k AB ＝34，即b ＋2－(－b )a ＋2－(b －a )＝34，①且AB 中点⎝⎛⎭⎪⎫b ＋22，1在已知直线上，代入得2(b ＋2)＋3＝11，②解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝2.8．直线l 1与直线l 2：3x ＋2y －12＝0的交点在x 轴上，且l 1⊥l 2，则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．－4B ．4C ．－83D.83解析：选C 设直线l 1的斜率为k 1，直线l 2的斜率为k 2，则k 2＝－32.∵l 1⊥l 2，∴k 1k 2＝－1，∴k 1＝－1k 2＝－1－32＝23.设直线l 1的方程为y ＝23x ＋b ，直线l 2与x 轴的交点为(4,0)．将点(4,0)代入l 1方程，得b ＝－83.9．光线从点A (－3,5)射到x 轴上，经反射以后经过点B (2，10)，则光线从A 到B 的路程为( )A ．5 2B ．2 5C ．510D ．10 5解析：选C 点A (－3,5)关于x 轴的对称点为A ′(－3，－5)，则光线从A 到B 的路程即A ′B 的长，|A ′B |＝(－5－10)2＋(－3－2)2＝510.10．数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B (－1,0)，C (0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( )A ．2x －4y －3＝0B ．2x ＋4y ＋3＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x ＋4y －3＝0解析：选D 本题考查欧拉线方程，∵B (－1,0)，C (0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即2x＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D.11．已知点M (1,0)和N (－1,0)，直线2x ＋y ＝b 与线段MN 相交，则b 的取值范围为( ) A ．[－2,2]B ．[－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12， 12 D ．[0,2]解析：选A 直线可化成y ＝－2x ＋b ，当直线过点M 时，可得b ＝2；当直线过点N 时，可得b ＝－2，所以要使直线与线段MN 相交，b 的取值范围为[－2,2]．12．若直线l 1：y －2＝(k －1)x 和直线l 2关于直线y ＝x ＋1对称，那么直线l 2恒过定点( )A ．(2,0)B ．(1，－1)C ．(1,1)D ．(－2,0)解析：选C ∵l 1：kx ＝x ＋y －2，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋y －2＝0，得l 1恒过定点(0,2)，记为点P ，∴与l 1关于直线y ＝x ＋1对称的直线l 2也必恒过一定点，记为点Q ，且点P 和Q 也关于直线y＝x ＋1对称．令Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＋22＝m 2＋1，n －2m ×1＝－1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝1，即Q (1,1)，∴直线l 2恒过定点(1,1)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________． 解析：BC 中点为(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10. 答案：1014．直线l 与直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 22＝－1，又y 1＝1，∴y 2＝－3，代入方程x －y －7＝0，得x 2＝4，即B (4，－3)，又x 1＋x 22＝1，∴x 1＝－2，即A (－2,1)，∴k AB ＝－3－14－(－2)＝－23.答案：－2315．已知点M (a ，b )在直线3x ＋4y ＝15上，则 a 2＋b 2的最小值为________． 解析：a 2＋b 2的最小值为原点到直线3x ＋4y ＝15的距离：d ＝|0＋0－15|32＋42＝3. 答案：316．在△ABC 中，已知C (2,5)，角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，BC 边上的高所在的直线方程是y ＝2x －1，则顶点B 的坐标为________．解析：依题意，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，则A (1,1)．因为角A 的平分线所在的直线方程是y ＝x ，所以点C (2,5)关于直线y ＝x 的对称点C ′(5,2)在边AB 所在的直线上， 所以边AB 所在的直线方程为y －1＝2－15－1(x －1)，整理得x －4y ＋3＝0.又边BC 上的高所在的直线方程是y ＝2x －1， 所以边BC 所在的直线的斜率为－12，所以边BC 所在的直线方程是y －5＝－12(x －2)，整理得x ＋2y －12＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，x ＋2y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝52，则B ⎝ ⎛⎭⎪⎫7，52.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫7，52 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,1)，且与直线x ＋y ＝0垂直． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m 的距离为2，求直线m 的方程． 解：(1)由题意得直线l 的斜率为1，故直线l 的方程为y －1＝x ＋2，即x －y ＋3＝0. (2)由直线m 与直线l 平行， 可设直线m 的方程为x －y ＋c ＝0，由点到直线的距离公式得|－2－1＋c |2＝2，即|c －3|＝2，解得c ＝1或c ＝5.故直线m 的方程为x －y ＋1＝0或x －y ＋5＝0.18．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0，当m 为何值时，l 1与l 2：(1)相交；(2)平行；(3)重合．解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2. 当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0， ∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m，得m ＝3. 故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．19．(本小题满分12分)等腰直角三角形斜边所在直线的方程是3x －y ＝0，一条直角边所在的直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，若此三角形的面积为10，求此直角三角形的直角顶点的坐标．解：设直角顶点为C ，点C 到直线y ＝3x 的距离为d ， 则12d ·2d ＝10，∴d ＝10. ∵直线l 的斜率为12，且经过点(4，－2)，∴直线l 的方程为y ＋2＝12(x －4)．即x －2y －8＝0.设直线l ′是与直线y ＝3x 平行且距离为10的直线， 则直线l ′与l 的交点就是C 点， 设直线l ′的方程是3x －y ＋m ＝0， ∴|m |32＋(－1)2＝10，∴m ＝±10，∴直线l ′的方程是3x －y ±10＝0.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y －10＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －8＝0，3x －y ＋10＝0，得点C 的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫125，－145或⎝⎛⎭⎪⎫－285，－345.20．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.21．(本小题满分12分)已知三条直线l 1：2x －y ＋a ＝0(a ＞0)；l 2：－4x ＋2y ＋1＝0；l 3：x ＋y －1＝0，且l 1与l 2间的距离是7510. (1)求a 的值．(2)能否找到一点P ，使P 同时满足下列三个条件： ①点P 在第一象限；②点P 到l 1的距离是点P 到l 2的距离的12；③点P 到l 1的距离与点P 到l 3的距离之比是2∶ 5. 若能，求点P 的坐标；若不能，说明理由． 解：(1)直线l 2的方程等价于2x －y －12＝0，所以两条平行线l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1222＋(－1)2＝7510，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋12＝72.又因为a ＞0，解得a ＝3. (2)假设存在点P ，设点P (x 0，y 0)，若点P 满足条件②，则点P 在与l 1，l 2平行的直线l ′：2x －y ＋c ＝0上，且|c －3|5＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪c ＋125，解得c ＝132或116， 所以2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0.若P 点满足条件③，由点到直线的距离公式， 得|2x 0－y 0＋3|5＝25·|x 0＋y 0－1|2， 即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|， 所以x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0.若点P 满足条件①，则3x 0＋2＝0不合适． 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12.不符合点P 在第一象限，舍去．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718.符合条件①.所以存在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718同时满足三个条件．22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，如图，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上．(1)若折痕所在直线的斜率为k ，试求折痕所在直线的方程； (2)当－2＋3≤k ≤0时，求折痕长的最大值．解：(1)①当k ＝0时，A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程为y ＝12.②当k ≠0时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为G (a,1)， ∴A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有k OG ·k ＝－1⇒1a·k ＝－1⇒a ＝－k .故G 点坐标为(－k,1)，从而折痕所在直线与OG 的交点坐标(即线段OG 的中点)为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－k 2，12. 故折痕所在的直线方程为y －12＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋k 2，即y ＝kx ＋k 22＋12. 由①②得折痕所在的直线方程为y ＝kx ＋k 22＋12.(2)当k ＝0时，折痕的长为2.当－2＋3≤k ＜0时，折痕所在直线交直线BC 于点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2k ＋k 22＋12，交y 轴于点N ⎝⎛⎭⎪⎫0，k 2＋12.则|NE |2＝22＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋k 22＋122＝4＋4k 2≤4＋4(7－43)＝32－16 3. 此时，折痕长度的最大值为32－163＝2(6－2)． 而2(6－2)＞2，故折痕长度的最大值为2(6－2)．。
新人教高中数学必修二平面课时素养评价作业
课时素养评价平面(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.下列说法中正确的个数为( )①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点只能确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.圆心和圆上两点若在同一直线上，可确定无数个平面，故③不正确；①②④正确.2.如图所示，用符号语言可表述为( )A.α∩β=m，n⊂α，m∩n=AB.α∩β=m，n∈α，m∩n=AC.α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD.α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n【解析】选A.平面α与平面β相交于m，所以α∩β=m；直线n在平面α内，所以n⊂α；直线m与直线n相交于A，所以m∩n=A.3.(多选题)如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断不正确的是( )A.A，B，C，D四点中必有三点共线B.A，B，C，D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行【解析】选ACD.A，B，C，D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB 与CD既不平行也不相交，否则A，B，C，D共面.4.如图，平面α∩平面β=l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )A.点AB.点BC.点C，但不过点DD.点C和点D【解析】选D.因为AB⊂γ，D∈AB，所以D∈γ.又D∈l，l⊂β，所以D∈β.因为C∈β，C∈γ，所以β与γ的交线为CD.二、填空题(每小题4分，共8分)5.“平面α与平面β有一条公共直线l，且直线m在平面β内”用符号语言可表示为________.【解析】平面α与平面β有一条公共直线l，记作α∩β=l，直线m在平面β内，记作m⊂β.答案：α∩β=l，且m⊂β6.给出下列命题：①A，B，C三点确定一个平面；②若直线a∩直线b=A，则直线a与b能够确定一个平面；③已知平面α，直线l和点A，B，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α. 其中正确命题的序号是________.【解析】①中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此①错误；②中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此②正确；③中，由于点A，B既在直线l上又在平面α内，即直线l上的两点在平面α内，所以直线l在平面α内，即l⊂α，因此③正确.综上，可知正确命题的序号是②③.答案：②③三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示，AB∥CD，AB∩α=B，CD∩α=D，AC∩α=E.求证：B，E，D 三点共线.【证明】因为AB∥CD，所以AB，CD共面，设为平面β，所以AC在平面β内，即E在平面β内.而AB∩α=B，CD∩α=D，AC∩α=E，可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.8.(14分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1=E.能否判断点E 在平面A1BCD1内？【解析】能.理由：如图，连接BD1，因为A1C∩平面ABC1D1=E，所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1.因为A1C⊂平面A1BCD1，所以E∈平面A1BCD1.(15分钟·30分)1.(4分)空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )A.1B.2C.3D.1或3【解析】选D.若这三条直线相交于一点，则可以确定一个或三个平面；若这三条直线相交于三点，则只能确定一个平面.2.(4分)一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )A.1个或3个B.1个或4个C.1个，3个或4个D.1个，2个或4个【解析】选C.若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.3.(4分)如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是【解析】因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.又P∈α，平面ABC∩平面α=DE，所以P∈直线DE.答案：P∈直线DE4.(4分)已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________.【解析】其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面.答案：1或45.(14分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.求证：(1)D，B，F，E四点共面.(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.【证明】如图.(1)连接B1D1，因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R，所以R∈A1C.所以R∈α，且R∈β，则R∈PQ.故P，Q，R三点共线.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD=DD1，NB=BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD=DD1，NB=BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q中，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体中过点M，N，C1的截面图形是五边形.2.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.【解析】很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上. 由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，因为E∈AC，AC⊂平面SAC，所以E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.。
2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2(含解析)新人教A版必修2
2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程章末综合测评2（含解析）新人教A 版必修2一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－2＋＋2＋－2＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】 把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝－2＋－2＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0 【解析】 圆心C (1,0)，k PC ＝0－－1－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－2＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】 设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】 圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得－＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________． 【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＋－b2＝r 2，32＋－b 2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为＋2＋－2＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】 如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)， 设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝－2＋－2＋z －2＝z －2＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B . (1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋－2＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5.(2)直线BC 的斜率k ＝1－－2－－＝34， 其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0， 化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)， 又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )， 则有a －2＋a －2＝a －2＋a －2，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32， 故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6， 即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x－55y＋330＝0，故所求直线m的方程为x＝0或48x－55y＋330＝0.。
2019-2020学年高中数学新教材人教A版必修第二册教案：8.2
第八章 立体几何初步8.2 立体图形的直观图教学设计1、教学目标1.会用斜二测法画出简单空间几何体（球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合体）的直观图。
2.会用平行投影的性质画出简单空间几何体的直观图。
3.了解空间几何体的不同表现形式。
2、教学重难点1.教学重点用斜二测画法画空间几何体的直观图。
2.教学难点斜二测画法的理解和应用。
3、教学过程1.新课导入前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构,这就需要学习直观图的有关知识。
2.探索新知直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。
画立体图形的直观图,实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此,直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同。
在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。
在初中，我们已经学习过投影。
一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关。
如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形的平行投影是一个平行四边形。
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法，利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点O 。
画直观图时，把它们画成对应的轴x '与轴，两轴相交于点O ＇，且使=45°（或135°），它们确定的面表示水平面。
y 'x O y '''∠(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段。
x 'y '(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。
2019-2020学年新素养同步人教A版高中数学必修第二册学案：6.4.3 第2课时 正弦定理 Word版含答案
第2课时 正弦定理问题导学预习教材P45－P48的内容，思考以下问题： 1．在直角三角形中，边与角之间的关系是什么？ 2．正弦定理的内容是什么？1．正弦定理对正弦定理的理解(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式．(3)揭示规律：正弦定理指出的是三角形中三条边与其对应角的正弦之间的一个关系式，它描述了三角形中边与角的一种数量关系．2．正弦定理的变形若R 为△ABC 外接圆的半径，则 (1)a ＝2R sinA，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ； (4)a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝2R .判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)正弦定理不适用于直角三角形．( ) (2)在△ABC 中必有a sin A ＝b sin B ．( )(3)在△ABC 中，若a ＞b ，则必有sin A >sin B ．( ) (4)在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则必有A ＝B .( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A.15 B.59 C.53D.1解析：选B.因为a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，所以由正弦定理得sin B ＝b sin Aa ＝5×133＝59.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝22，则c ＝( )A.22B.1C. 2D.2解析：选D.由三角形内角和定理得，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(105°＋45°)＝30°. 由正弦定理得，c ＝b sin C sin B ＝22·sin 30°sin 45°＝2.在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b，则B 的度数为________．解析：根据正弦定理知，sin A a ＝sin Bb ，结合已知条件可得sin B ＝cos B ，又0°＜B ＜180°，所以B ＝45°.答案：45°已知两角及一边解三角形在△ABC 中，已知c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，解这个三角形． 【解】 因为A ＝45°，C ＝30°，所以B ＝180°－(A ＋C )＝105°. 由a sin A ＝c sin C 得a ＝c sin Asin C ＝10×sin 45°sin 30°＝10 2.因为sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋64，所以b ＝c sin B sin C ＝10×sin （A ＋C ）sin 30°＝20×2＋64＝52＋5 6.已知三角形的两角和任一边解三角形的思路(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对的边，再由三角形内角和定理求出第三个角．(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边．1．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b ＝( ) A ．42 B ．4 3 C ．4 6D ．323解析：选C.A ＝180°－B －C ＝45°，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得b ＝a sin B sin A ＝8sin 60°sin 45°＝4 6.2．在△ABC 中，A ＝60°，sin B ＝12，a ＝3，求三角形中其他边与角的大小．解：因为sin B ＝12，所以B ＝30°或150°，当B ＝30°时，由A ＝60°得C ＝90°；当B ＝150°时，不合题意，舍去．所以由正弦定理b sin B ＝c sin C ＝a sin A ，得b ＝sin B sin A ·a ＝sin 30°sin 60°×3＝3，c ＝sin Csin A ·a ＝sin 90°sin 60°×3＝2 3.已知两边及其中一边的对角解三角形已知△ABC 中的下列条件，解三角形： (1)a ＝10，b ＝20，A ＝60°； (2)a ＝2，c ＝6，C ＝π3.【解】 (1)因为b sin B ＝asin A，所以sin B ＝b sin A a ＝20sin 60°10＝3>1，所以三角形无解．(2)因为a sin A ＝c sin C ，所以sin A ＝a sin C c ＝22.因为c ＞a ，所以C ＞A .所以A ＝π4.所以B ＝5π12，b ＝ c sin Bsin C＝6·sin5π12sin π3＝3＋1.[变条件]若本例(2)中C ＝π3改为A ＝π4，其他条件不变，求C ，B, b .解：因为a sin A ＝c sin C ，所以sin C ＝c sin A a ＝32.所以C ＝π3或2π3.当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝a sin Bsin A ＝3＋1.当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝a sin Bsin A＝3－1.(1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值；②如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角；③如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论．(2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数；②在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与除去顶点A 的射线AB 的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表：1．(2019·广东省揭阳市检测)在△ABC 中，cos A ＝12，a ＝43，b ＝42，则B 等于( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．60°解析：选C.由cos A ＝12，得sin A ＝32，A ＝60°，由正弦定理得sin B ＝b sin A a ＝22.因为三角形的内角和为180°，且a ＞b ，所以B ＝45°.2．已知在△ABC 中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45°，若三角形有两解，则x 的取值范围是( ) A ．x >2 B ．x <2 C ．2<x <2 2D ．2<x <2 3解析：选C.由a sin B <b <a ，得22x <2<x ，所以2<x <2 2.判断三角形的形状已知在△ABC 中，角A ，B 所对的边分别是a 和b ，若a cos B ＝b cos A ，则△ABC一定是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形【解析】 由正弦定理得：a cos B ＝b cos A ⇒sin A cos B ＝sin B cos A ⇒sin(A －B )＝0，由于－π＜A －B ＜π，故必有A －B ＝0，A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．【答案】 A[变条件]若把本例条件变为“b sin B ＝c sin C ”，试判断△ABC 的形状． 解：由b sin B ＝c sin C 可得sin 2B ＝sin 2C ，因为三角形内角和为180°， 所以sin B ＝sin C ．所以B ＝C .故△ABC 为等腰三角形．判断三角形形状的两种途径[注意] 在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，满足a cos A ＝bcos B＝ccos C，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形解析：选C.由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C，又acos A＝bcos B＝ccos C，得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C，所以A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．1．(2019·辽宁沈阳铁路实验中学期中考试)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝()A.33 B.63C.32 D.62解析：选B.由正弦定理，得ABsin C＝ACsin B，即2sin C＝3sin 60°，解得sin C＝33.因为AB＜AC，所以C＜B，所以cos C＝1－sin2C＝6 3.2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c ＝()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．2∶3∶1 D．1∶3∶2解析：选D.在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶2∶3，所以B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C ＝180°，所以A＝30°，B＝60°，C＝90°，所以a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶3∶2.3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c－a cos B＝(2a－b)cos A，则△ABC 的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：选D.已知c－a cos B＝(2a－b)cos A，由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A －sin B cos A，所以sin(A＋B)－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，化简得cos A(sin B－sin A)＝0，所以cos A＝0或sin B－sin A＝0，则A＝90°或A＝B，故△ABC为等腰三角形或直角三角形．[A基础达标]1．在△ABC 中，一定成立的式子是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin A D ．a cos B ＝b cos A解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C，得a sin B ＝b sin A . 2．在△ABC 中，若3a ＝2b sin A ，则B ＝( ) A.π3 B.π6 C.π3或2π3D.π6或5π6解析：选C.由正弦定理，得3sin A ＝2sin B sin A ，所以sin A (2sin B －3)＝0.因为0<A <π，0<B <π，所以sin A ≠0，sin B ＝32，所以B ＝π3或2π3. 3．(2019·济南检测)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若A ＝60°，c ＝6，a ＝6，则此三角形有( )A ．两解B ．一解C ．无解D ．无穷多解解析：选B.由等边对等角可得C ＝A ＝60°，由三角形的内角和可得B ＝60°，所以此三角形为正三角形，有唯一解．4．在△ABC 中，若c ＝3，C ＝60°，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝( )A ．6B ．2 3C ．2D ． 3解析：选C.利用正弦定理的推论，得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝c sin C ＝3sin 60°＝2.5．在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，则△ABC 的形状是 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.将a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (R 为△ABC 外接圆的半径)代入已知条件，得sin 2A tan B ＝sin 2B tan A ，则sin 2A sin B cos B ＝sin A sin 2B cos A.因为sin A sin B ≠0，所以sin A cos B ＝sin Bcos A，所以sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，所以A ＝B 或A ＋B ＝π2，故△ABC 为等腰三角形或直角三角形．6．在△ABC 中，若a ＝3，cos A ＝－12，则△ABC 的外接圆的半径为________．解析：由cos A ＝－12，得sin A ＝1－cos 2A ＝32，设△ABC 的外接圆的半径为R ，由正弦定理，有2R ＝asin A＝23，即△ABC 的外接圆的半径为 3.答案： 37．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝3，B ＝2A ，cos A ＝63，则b ＝________．解析：因为cos A ＝63，所以sin A ＝33，因为B ＝2A ，所以sin B ＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝223，又b sin B ＝asin A，所以b ＝2 6. 答案：2 68．在△ABC 中，若B ＝π4，b ＝2a ，则C ＝________．解析：在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得a sin A ＝2a sin π4＝2a 22＝2a ，所以sin A ＝12，所以A ＝π6或56π.因为b ＝2a ＞a ，所以B ＞A ，即A ＜π4，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝π－π6－π4＝712π.答案：712π9．(2019·浙江温州月考)在△ABC 中，A ＝30°，C ＝45°，c ＝2，求a ，b 及cos B . 解：因为A ＝30°，C ＝45°，c ＝2， 所以由正弦定理，得a ＝c sin A sin C ＝2sin 30°sin 45°＝1.又B ＝180°－(30°＋45°)＝105°， 所以cos B ＝cos 105°＝cos(45°＋60°)＝2－64， b ＝c sin Bsin C ＝2sin 105°sin 45°＝2sin 105°＝2sin(45°＋60°)210．如图所示，AB ⊥BC ，CD ＝33，∠ACB ＝30°，∠BCD ＝75°，∠BDC ＝45°，求AB 的长．解：在△BCD 中，∠DBC ＝180°－75°－45°＝60°，由正弦定理知，33sin 60°＝BCsin 45°，可得BC ＝116，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝116×tan 30°＝11 2.[B 能力提升]11．在△ABC 中，已知B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为( ) A ．60° B ．75° C ．90°D ．115°解析：选B.不妨设a 为最大边，c 为最小边，由题意有a c ＝sin A sin C ＝3＋12，即sin Asin （120°－A ）＝3＋12，整理，得(3－3)sin A ＝(3＋3)cos A ．所以tan A ＝2＋3，所以A ＝75°，故选B.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b cos C ＋3b sin C －a －c ＝0，则角B ＝________．解析：由正弦定理知，sin B cos C ＋3sin B sin C －sin A －sin C ＝0.(*) 因为sin A ＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ，代入(*)式得3sin B sin C －cos B sin C －sin C ＝0. 因为sin C ＞0，所以3sin B －cos B －1＝0， 所以2sin ⎝⎛⎭⎫B －π6＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫ B －π6＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.313．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，B ＝2π3，若a 2＋c 2＝4ac ，则sin （A ＋C ）sin A sin C＝________．解析：因为a 2＋c 2ac ＝b 2＋2ac cos B ac ＝4，B ＝2π3，所以b 2＝5ac .由正弦定理得sin 2B ＝5sin A sin C ＝34，所以sin A sin C ＝320，所以sin （A ＋C ）sin A sin C ＝sin B sin A sin C ＝1033.答案：103314．已知△ABC 中角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝3，求c 的值． 解：(1)由a cos C ＋32c ＝b ， 得sin A cos C ＋32sin C ＝sin B . 因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ， 所以32sin C ＝cos A sin C . 因为sin C ≠0，所以cos A ＝32. 因为0<A <π，所以A ＝π6.(2)由正弦定理，得sin B ＝b sin A a ＝32.所以B ＝π3或2π3.①当B ＝π3时，由A ＝π6，得C ＝π2，所以c ＝2；②当B ＝2π3时，由A ＝π6，得C ＝π6，所以c ＝a ＝1.综上可得c ＝1或2.[C 拓展探究]15．在△ABC 中，已知a ＋b a ＝sin B sin B －sin A，且cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C . (1)试确定△ABC 的形状；(2)求a ＋c b的取值范围． 解：(1)在△ABC 中，设其外接圆半径为R ，根据正弦定理得，sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R， 代入a ＋b a ＝sin B sin B －sin A， 得a ＋b a ＝b b －a， 所以b 2－a 2＝ab .①因为cos(A －B )＋cos C ＝1－cos 2C ，所以cos(A －B )－cos(A ＋B )＝2sin 2C ，所以sin A sin B ＝sin 2C .由正弦定理，得a 2R ·b 2R＝⎝⎛⎭⎫c 2R 2， 所以ab ＝c 2.②把②代入①得，b 2－a 2＝c 2，即a 2＋c 2＝b 2.所以△ABC 是直角三角形．(2)由(1)知B ＝π2， 所以A ＋C ＝π2， 所以C ＝π2－A . 所以sin C ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－A ＝cos A . 根据正弦定理，得a ＋cb ＝sin A ＋sin C sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4. 因为ac <ab ＝c 2，所以a <c ，所以0＜A ＜π4，所以π4＜A ＋π4＜π2. 所以22＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<1， 所以1＜2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4<2， 即a ＋cb 的取值范围是(1， 2 )．。
高中数学课时素养评价5.._5..3导数的四则运算法则简单复合函数的导数含解析选择性第二册
十五导数的四则运算法则简单复合函数的导数(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2020·秦州高二检测)函数f(x）=x—2ln x,则f′（1）=（）A。
—1 B。
1 C。
2 D.-2【解析】选A.根据题意,f(x)=x—2ln x，其导数f′(x)=1-，则f′(1)=1—2=-1.2。
（2020·福州高二检测）已知函数f（x）=,则f′(x）= (）A. B.C。
D。
【解析】选C。
根据题意，f(x）=，则f′（x）==。
3。
(2020·高安高二检测）f(x)=x（2 018+ln x)，若f′（x0)=2 020,则x0等于（）A.e2B。
1 C.ln 2 D。
e【解析】选D.f（x)=x（2 018+ln x）,则f′（x）=2 019+ln x,所以f′（x0)=2 019+ln x0=2 020,所以x0=e。
4.（2020·兰州高二检测）已知f(x)=sin x+cos x+，则f′等于（）A。
—1+ B.1+C.1 D。
—1【解析】选D。
f′(x）=cos x-sin x,故f′=cos —sin =—1。
二、填空题(每小题5分,共10分)5。
(2020·南通高二检测）已知函数f(x）=(x+a）ln x，f′(x）是函数f(x)的导函数.若f(1)=f′(1)，则实数a的值为________。
【解析】根据题意,函数f(x)=(x+a)ln x,则f(1)=(1+a）ln 1=0,则f′(x）=(x+a）′ln x+（x+a）(ln x）′=ln x+,则f′(1）=ln 1+1+a=1+a，则有1+a=0，解得a=-1.答案:—16。
(2020·全国Ⅰ卷）曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为________.【解题指南】设切线的切点坐标为(x0，y0）,对函数求导，利用y′=2，求出x0，代入曲线方程求出y0,得到切线的点斜式方程，化简即可.【解析】设切线的切点坐标为(x0,y0）,y=ln x+x+1，y′=+1，y′=+1=2，x0=1,y0=2,所以切点坐标为（1，2)，所求的切线方程为y—2=2(x—1），即y=2x.答案：y=2x三、解答题（每小题10分，共20分)7.求下列函数的导数:（1)y=x.（2)y=.(3）y=cos （3x—2).(4）f(x)=3x2+xcos x+lg x。
2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法
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2
又| AC |2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6， ∴ | AC |＝ 6 ，即AC＝ 6 .
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◆利用向量法解决长度问题的方法 （1）基向量法：利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用 公式|a|2＝a2求解； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公 式，若a＝（x，y），则|a|＝ x2 y2 .
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◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 ； (2)通过 向量运算 ，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积．
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：空间点、直线、平面之间的位置关系
■名师点拨 (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线 既不相交，也不平行． (2)不能把异面直线误认为分别在不同平面 内的两条直线，如图中，虽然有 a⊂α，b⊂β， 即 a，b 分别在两个不同的平面内，但是因 为 a∩b＝O，所以 a 与 b 不是异面直线．
2．空间中直线与平面的位置关系
2．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内有无数条直线与 平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：如图，α 内都有无数条直线与平面 β 平行．
由图知，平面 α 与平面 β 可能平行或相交．
3．[变条件]在本例中，若将条件改为平面 α 内的任意一条直线 与平面 β 平行，那么平面 α 与平面 β 的关系是什么？ 解：因为平面 α 内的任意一条直线与平面 β 平行，所以只有这 两个平面平行才能做到，所以平面 α 与平面 β 平行．
平行．( × ) (10)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行．( × )
异面直线是指( ) A．空间中两条不相交的直线 B．分别位于两个不同平面内的两条直线 C．平面内的一条直线与平面外的一条直线 D．不同在任何一个平面内的两条直线
解析：选 D.对于 A，空间两条不相交的直线有两 种可能，一是平行(共面)，另一个是异面，所以 A 应排除．对于 B，分别位于两个平面内的直线， 既可能平行也可能相交也可能异面，如图，就是 相交的情况，所以 B 应排除．对于 C，如图中的 a，b 可看作是平 面 α 内的一条直线 a 与平面 α 外的一条直线 b，显然它们是相交直 线，所以 C 应排除．只有 D 符合定义．
位置关系
直线 a 在 平面 α 内
直线 a 在平面 α 外
直线 a 与平
直线 a 与
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价二十四平面新人教A版必修
课时素养评价 二十四平面(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分.共16分.多项选择题全选对的得4分.选对但不全的得2分.有选错的得0分)1.下列说法中正确的个数为( )①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点.则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点只能确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.圆心和圆上两点若在同一直线上.可确定无数个平面.故③不正确；①②④正确.2.如图所示.用符号语言可表述为( )A.α∩β=m.n⊂α.m∩n=AB.α∩β=m.n∈α.m∩n=AC.α∩β=m.n⊂α.A⊂m.A⊂nD.α∩β=m.n∈α.A∈m.A∈n【解析】选A.平面α与平面β相交于m.所以α∩β=m；直线n在平面α内.所以n⊂α；直线m与直线n相交于A.所以m∩n=A.3.(多选题)如果空间四点A.B.C.D不共面.那么下列判断不正确的是( )A.A.B.C.D四点中必有三点共线B.A.B.C.D四点中不存在三点共线C.直线AB与CD相交D.直线AB与CD平行【解析】选ACD.A.B.C.D四点中若有三点共线.则必与另一点共面；直线AB与CD既不平行也不相交.否则A.B.C.D共面.4.如图.平面α∩平面β=l.A.B∈α.C∈β.C∉l.直线AB∩l=D.过A.B.C三点确定的平面为γ.则平面γ.β的交线必过( )A.点AB.点BC.点C.但不过点DD.点C和点D【解析】选D.因为AB⊂γ.D∈AB.所以D∈γ.又D∈l.l⊂β.所以D∈β.因为C∈β.C∈γ.所以β与γ的交线为CD.二、填空题(每小题4分.共8分)5.“平面α与平面β有一条公共直线l.且直线m在平面β内”用符号语言可表示为________.【解析】平面α与平面β有一条公共直线l.记作α∩β=l.直线m在平面β内.记作m⊂β.答案：α∩β=l.且m⊂β6.给出下列命题：①A.B.C三点确定一个平面；②若直线a∩直线b=A.则直线a与b能够确定一个平面；③已知平面α.直线l和点A.B.若A∈l.B∈l.且A∈α.B∈α.则l⊂α.其中正确命题的序号是________.【解析】①中.只有不共线的三点才可以确定一个平面.因此①错误；②中.由于两条直线相交.则必然确定一个平面.因此②正确；③中.由于点A.B既在直线l上又在平面α内.即直线l上的两点在平面α内.所以直线l在平面α内.即l⊂α.因此③正确.综上.可知正确命题的序号是②③.答案：②③三、解答题(共26分)7.(12分)如图所示.AB∥CD.AB∩α=B.CD∩α=D.AC∩α=E.求证：B.E.D三点共线.【证明】因为AB∥CD.所以AB.CD共面.设为平面β.所以AC在平面β内.即E在平面β内.而AB∩α=B.CD∩α=D.AC∩α=E.可知B.D.E为平面α与平面β的公共点.根据基本事实3可得.B.D.E三点共线.8.(14分)如图.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.设A1C∩平面ABC1D1=E.能否判断点E在平面A1BCD1内？【解析】能.理由：如图.连接BD1.因为A1C∩平面ABC1D1=E.所以E∈A1C.E∈平面ABC1D1.因为A1C⊂平面A1BCD1.所以E∈平面A1BCD1.(15分钟·30分)1.(4分)空间两两相交的三条直线.可以确定的平面数是( )A.1B.2C.3D.1或3【解析】选D.若这三条直线相交于一点.则可以确定一个或三个平面；若这三条直线相交于三点.则只能确定一个平面.2.(4分)一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )A.1个或3个B.1个或4个C.1个.3个或4个D.1个.2个或4个【解析】选C.若三点在同一直线上.且与已知直线平行或相交.或该直线在由该三点确定的平面内.则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线.且该直线在由该三点确定的平面外.则可确定4个平面.3.(4分)如图.已知D.E是△ABC的边AC.BC上的点.平面α经过D.E两点.若直线AB与平面α的交点是P.则点P与直线DE的位置关系是________.【解析】因为P∈AB.AB⊂平面ABC.所以P∈平面ABC.又P∈α.平面ABC∩平面α=DE.所以P∈直线DE.答案：P∈直线DE4.(4分)已知空间四点中无任何三点共线.那么这四点可以确定平面的个数是________.【解析】其中三个点可确定唯一的平面.当第四个点在此平面内时.可确定1个平面.当第四个点不在此平面内时.则可确定4个平面.答案：1或45.(14分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中.E.F分别为D1C1.C1B1的中点.AC∩BD=P.A1C1∩EF=Q.求证：(1)D.B.F.E四点共面.(2)若A1C交平面DBFE于R点.则P.Q.R三点共线.【证明】如图.(1)连接B1D1.因为EF是△D1B1C1的中位线.所以EF∥B1D1.在正方体AC1中.B1D1∥BD.所以EF∥BD.所以EF.BD确定一个平面.即D.B.F.E 四点共面.(2)在正方体AC1中.设平面A1ACC1确定的平面为α.又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1.所以Q∈α.又Q∈EF.所以Q∈β.则Q是α与β的公共点.同理P是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R.所以R∈A1C.所以R∈α.且R∈β.则R∈PQ.故P.Q.R三点共线.1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱DD1和BB1上的点.MD=DD1.NB=BB1.那么正方体中过点M.N.C1的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中.M.N分别是棱DD1和BB1上的点.MD=DD1.NB=BB1.如图.延长C1M交CD的延长线于点P.延长C1N交CB的延长线于点Q中.连接PQ交AD于点E.AB于点F.连接NF.ME.则正方体中过点M.N.C1的截面图形是五边形.2.如图.在直角梯形ABDC中.AB∥CD.AB>CD.S是直角梯形ABDC所在平面外一点.画出平面SBD和平面SAC的交线.【解析】很明显.点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点.即点S在交线上.由于AB>CD.则分别延长AC和BD交于点E.如图所示.因为E∈AC.AC⊂平面SAC.所以E∈平面SAC.同理.可证E∈平面SBD.所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上.则连接SE.直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价二向量的加法运算新人教A版必修
课时素养评价 二向量的加法运算(25分钟·40分)一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1.(20xx·烟台高一检测)如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则++=( )A. B.C. D.【解析】选B.++=++=.2.(多选题)在平行四边形ABCD中，下列结论正确的是 ( )A.=B.=+C.=+D.+=0【解析】选A，B，D.因为，是相等向量，，是方向相反且模相等的向量，故A，D正确，B选项满足向量加法的平行四边形法则，C选项不满足向量加法的三角形法则.3.在四边形ABCD中，=+，则一定有( )A.四边形ABCD是矩形B.四边形ABCD是菱形C.四边形ABCD是正方形D.四边形ABCD是平行四边形【解析】选D.由=+得=，即AD=BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD一组对边平行且相等，故为平行四边形.4.在矩形ABCD中，AB=，BC=1，则向量(++)的长等于( )A.2B.2C.3D.4【解析】选D.在矩形ABCD中，因为AB=，BC=1，所以AC=2，因为++=++=+=2.因为AC=2，故其长度为4.二、填空题(每小题4分，共8分)5.若|a|=|b|=1，则|a+b|的取值范围为________，当|a+b|取得最大值时，向量a，b的方向________.【解析】由||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|知0≤|a+b|≤2.当|a+b|取得最大值时，向量a，b 的方向相同.答案：[0，2] 相同6.已知平行四边形ABCD，设+++=a，且b是一非零向量，则下列结论：①a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|<|a|+|b|.其中正确的是________.(填序号)【解析】因为在平行四边形ABCD中，+=0，+=0，所以a为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误.答案：①③三、解答题7.(16分)如图所示，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.【解析】设，分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是||+||；两次飞行的位移的和指的是+=.依题意，有||+||=800+800=1 600(km)，又因为α=35°，β=55°，∠ABC=35°+55°=90°，所以||===800(km).其中∠BAC=45°，所以方向为北偏东35°+45°=80°.从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80°.(15分钟·30分)1.(4分)若四边形ABCD为菱形，则下列等式中成立的是( )A.+=B.+=C.+=D.+=【解析】选A.因为四边形ABCD为菱形，所以+=，+≠，+≠，+≠.2.(4分)向量(+)+(+)+化简后等于( )A. B. C.D.【解析】选C.(+)+(+)+=(+)+(++)=+0=. 3.(4分)(20xx·湖州高一检测)当非零向量a，b满足________时，a+b平分以a与b为邻边的平行四边形的内角.【解析】当|a|=|b|时，以a与b为邻边的平行四边形为菱形，则a+b平分此菱形的内角. 答案：|a|=|b|4.(4分)(20xx·临沂高一检测)已知||=|a|=3，||=|b|=3，∠AOB=60°，则|a+b|=________.【解析】如图，因为||=||=3，所以四边形OACB为菱形.连接OC，AB，则OC⊥AB，设垂足为D.因为∠AOB=60°，所以AB=||=3，所以在Rt△BDC中，CD=，所以||=|a+b|=×2=3.答案：35.(14分)如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a+b+c+d.(2)设|a|=2，e为单位向量，求|a+e|的最大值.【解析】(1)在平面内任取一点O，作=a，=b，=c，=d，则=a+b+c+d.(2)在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=，因为e为单位向量，所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1处时，O，A，B1三点共线，所以||即|a+e|的最大值，最大值是3.。
2020学年新教材高中数学课时素养评价二十七直线与平面平行新人教A版必修2(最新整理)
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课时素养评价二十七直线与平面平行（25分钟·50分）一、选择题（每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分,有选错的得0分)1.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线（）A。
至少有一条B。
至多有一条C。
有且只有一条D。
没有【解析】选B。
设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上,那么直线a和点P确定一个平面β，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交。
设交线为直线b,则直线b过点P.又直线a∥平面α,a⊂平面β，则a∥b。
很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条。
2.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（)A。
平行 B.平行或异面C.平行或相交D.异面或相交【解析】选B。
由题意知，CD∥α，则平面α内的直线与CD可能平行,也可能异面。
3.若直线l∥平面α，则过l作一组平面与α相交，记所得的交线分别为a,b,c,…，那么这些交线的位置关系为（)A.都平行B。
2019-2020学年新教材高中数学课时素养评价三十三平面与平面垂直二新人教A版必修
课时素养评价 三十三平面与平面垂直(二)(25分钟·50分)一、选择题(每小题4分，共16分)1.已知l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与m垂直，则n与α的关系是( )A.n∥αB.n∥α或n⊂αC.n⊂α或n与α不平行D.n⊂α【解析】选A.因为l，m，n为两两垂直的三条异面直线，过l作平面α与m垂直，所以l ⊂α，且l与n异面，又因为m⊥α，n⊥m，所以n∥α.2.如图，点P为平面ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD，点E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是( )A.PE⊥ACB.PE⊥BCC.平面PBE⊥平面ABCDD.平面PBE⊥平面PAD【解析】选D.因为PA=PD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立.又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立.若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，此关系不一定成立.3.三棱锥P-ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的( )A.内心B.外心C.垂心D.重心【解析】选C.如图所示，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则AP⊥平面PBC，因为BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，因为PH⊥平面ABC，BC⊂面ABC，所以PH⊥BC，又AP∩PH=P，所以BC⊥平面APH，因为AH⊂平面APH，所以AH⊥BC，同理可得CH⊥AB，故H为△ABC的垂心.4.在三棱锥P-ABC中，PA=PB=，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，AB⊥BC，∠BAC=30°，则PC= ( )A. B.2 C. D.2【解析】选C.因为PA=PB=，PA⊥PB，所以AB=2，因为AB⊥BC，∠BAC=30°，所以BC=ABtan 30°=2，因为平面PAB⊥平面ABC，AB⊥BC，平面PAB∩平面ABC=AB，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB，所以PC==.二、填空题(每小题4分，共8分)5.把Rt△ABC沿斜边上的高CD折起使平面ADC⊥平面BDC，如图所示，互相垂直的平面有________对.【解析】由已知得CD⊥AB，所以平面ADC⊥平面ABD，平面ADB⊥平面BDC，又因为ADC⊥平面BDC，所以互相垂直的平面有3对.答案：36.在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为________.【解析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，因为AB=AD=BC=CD=1，所以OA⊥BD，OC⊥BD.又平面ABD⊥平面BCD，所以OA⊥平面BCD，OA⊥OC.又AB⊥AD，所以DB=.取OB中点N，连接MN，CN，所以MN∥OA，MN⊥平面BCD.CN2=ON2+OC2，所以CM==.答案：三、解答题(共26分)7.(12分)(20xx·清江高一检测)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.(1)求证：PB∥平面MNC.(2)若AC=BC，求证：平面PAC⊥平面MNC.【证明】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，又MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为AC=BC，M为AB的中点，所以CM⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面PAB，所以CM⊥PA，因为PA⊥PB，PB∥MN，所以PA⊥MN，又MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，所以PA⊥平面MNC，又PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面MNC.8.(14分)如图甲，在四边形ABCD中，AD=2，CD=2，△ABC是边长为4的正三角形，把△ABC沿AC折起到△PAC的位置，使得平面PAC⊥平面ACD；如图乙所示，点O，M，N分别为棱AC，PA，AD的中点.(1)求证：平面PAD⊥平面PON.(2)求三棱锥M-ANO的体积.【解析】(1)因为PA=PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，又平面PAC⊥平面ACD，平面PAC∩平面ACD=AC，所以PO⊥平面ACD，又AD⊂平面ACD，所以PO⊥AD，因为AD=2，CD=2，AC=4，所以AD2+CD2=AC2，所以AD⊥CD，因为ON是△ACD的中位线，所以ON∥CD，所以AD⊥ON，又ON∩PO=O，所以AD⊥平面PON，又AD⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面PON.(2)因为△PAC是边长为4的等边三角形，所以PO=2，所以M到平面ACD的距离d=PO=，因为ON是△ACD的中位线，所以S△AON=S△ACD=××2×2=，所以V M-ANO=S△AON·PO=××=.(15分钟·30分)1.(4分)如图，已知平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，且AB=4，AC=3，BD=12，则CD等于( )A.8B.10C.13D.16【解析】选C.连接BC，因为AC⊥l，所以△ACB为直角三角形，所以BC===5，又因为BD⊥l，BD⊂β，α∩β=l，α⊥β，所以BD⊥α，所以BD⊥BC.在Rt△DBC中，CD===13.2.(4分)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，则下列结论不成立的是( )A.PB⊥ACB.PD⊥平面ABCDC.AC⊥PDD.平面PBD⊥平面ABCD【解析】选B.在A中，取PB中点O，连接AO，CO，因为四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD，所以AO⊥PB，CO⊥PB，因为AO∩CO=O，所以PB⊥平面AOC，因为AC⊂平面AOC，所以PB⊥AC，故A成立.在B中，因为△PAB与△PBC是正三角形，所以PA=PC，AB=AC，设AC∩BD=M，连接PM，则PM⊥AC，所以PD与AC不垂直，所以PD与平面ABCD不垂直，故B不成立.在C中，因为PB⊥平面AOC，AC⊂平面AOC，所以AC⊥PB，因为AC⊥BD，PB∩BD=B，所以AC⊥平面PBD，因为PD⊂平面PBD，所以AC⊥PD，故C成立.在D中，因为AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD，所以平面PBD⊥平面ABCD，故D成立.3.(4分)边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________.【解析】如图所示，取BD的中点O，连接A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角.即∠A′OC=90°，又A′O=CO=a，所以A′C==a，即折叠后AC的长(A′C)为a.答案：a4.(4分)如图，在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD=90°，且AB=AD，则AD 与平面BCD所成的角是________.【解析】过A作AO⊥BD于O点，因为平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥平面BCD，则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.因为∠BAD=90°，AB=AD.所以∠ADO=45°.答案：45°5.(14分)(20xx·大兴高一检测)如图，四棱锥P-ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥AB，AB ∥CD，∠DAB=90°，PA=AD，DC=2AB，E为PC中点.(1)求证：PA⊥BC.(2)求证：平面PBC⊥平面PDC.【证明】(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PA⊥AB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥平面ABCD.又因为BC⊂平面ABCD，所以PA⊥BC.(2)因为AP=AD，设F为PD的中点，连接，AF，EF，则EF CD.又AB CD，所以EF AB.所以四边形ABEF为平行四边形，所以BE∥AF.经过证明知AF⊥平面PCD.所以BE⊥平面PBC.又因为BE⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PDC.1.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD∶BC∶AB=2∶3∶4，E，F分别是AB，CD 的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：①DF⊥BC；②BD⊥FC；③平面DBF⊥平面BFC；④平面DCF⊥平面BFC.则在翻折过程中，可能成立的结论的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.如图，因为BC∥AD，AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，则①错误；设点D在平面BCF上的射影为点P，当BP⊥CF时就有BD⊥FC，而AD∶BC∶AB=2∶3∶4，可使条件满足，所以②正确；当点P落在BF上时，DP⊂平面BDF，从而平面BDF⊥平面BCF，所以③正确；因为点D的投影不可能在FC上，所以平面DCF⊥平面BFC不成立，即④错误.2.(20xx·泉州高一检测)在我国古代数学名著《九章算术》中将由四个直角三角形组成的四面体称为“鳖臑”.如图，已知AD⊥PB.垂足为D，AE⊥PC，垂足为E，∠ABC=90°.(1)证明：平面ADE⊥平面PAC.(2)作出平面ADE与平面ABC的交线l，并证明∠EAC是二面角E-l-C的平面角.(在图中体现作图过程不必写出画法)【解析】(1)在三棱锥P-ABC中，BC⊥AB，BC⊥PA，AB∩PA=A，所以BC⊥平面PAB，又AD⊂平面PAB，所以BC⊥AD，又AD⊥PB，PB∩BC=B，所以AD⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，所以PC⊥AD，因为AE⊥PC且AE∩AD=A，所以PC⊥平面ADE，因为PC⊂平面PAC，所以平面ADE⊥平面PAC.(2)作图(如图)，在平面PBC中，记DE∩BC=F，连接AF，则AF为所求的l.因为PC⊥平面AED，l⊂平面ADE，所以PC⊥l，因为PA⊥平面ABC，l⊂平面ABC，所以PA⊥l，又PA∩PC=P，所以l⊥平面PAC，又AE⊂平面PAC且AC⊂平面PAC，所以AE⊥l，AC⊥l，所以∠EAC就是二面角E-l-C的一个平面角.。
21数学学习方略必修2人A新教材课时素养评价二十四
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课时素养评价二十四平面(15分钟30分)1.若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系可以记作( ) A.A∈b∈β B.A∈b⊂βC.A⊂b⊂βD.A⊂b∈β【解析】选B.点A在直线b上,所以A∈b;直线b在平面β内,所以b⊂β.2.已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A.P∉α,Q∈αB.P∈α,Q∉αC.P∉α,Q∉αD.Q∈α【解析】选D.因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.3.用符号表示“点A在直线l上,l在平面α外”为.【解析】由题意“点A在直线l上,l在平面α外”的符号表示是“A∈l,l⊄α”.答案:A∈l,l⊄α4.从同一点出发的四条直线最多能确定个平面.【解析】同一点出发的四条直线是四棱锥的四条侧棱所在的直线时,确定的平面个数最多,是6个.答案:65.点D为△ABC所在平面外一点,E,F分别为DA和DC上的点,G,H分别为BA和BC上的点,且EF和GH相交于点M,则点M一定在直线上.【解析】因为E,F分别为DA和DC上的点,所以E∈平面ACD,F∈平面ACD,所以EF⊂平面ACD,又M∈EF,所以M∈平面ACD,同理,M∈平面ACB,而平面ACD∩平面ACB=AC,所以M∈AC,答案:AC6.把下面的符号语言改写成文字语言的形式,并画出图形.若直线a⊂平面α,A∈α,A∉a,A∈直线b,a∥b,则b⊂平面α.【解析】直线a⊂平面α表示:直线a在平面α内;A∈α表示:点A在平面α内;A∉a表示:A不在直线a上;A∈直线b表示:A在直线b上;a∥b表示:直线a平行于直线b;b⊂平面α表示:直线b在平面α内.综上可得:在平面α上,过直线a外一点作一条直线b,则b一定在平面α上.其图形语言如图所示:(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.下列说法正确的是( )A.两条直线确定一个平面B.梯形一定是平面图形C.平面α和β有不同在一条直线上的三个交点D.一条直线和一个点确定一个平面【解析】选B.A选项,两条相交、平行直线确定一个平面,A错.C选项,两个平面有公共点,则有一条过该公共点的公共直线,如没有公共点,则两平面平行,故α,β重合,C错.D选项,一条直线和直线外的一点可以确定一个平面,D错.B选项,两条平行直线确定一个平面,梯形中有一组对边平行,故B对.2.如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A.l⊂αB.l⊄αC.l∩α=MD.l∩α=N【解析】选A.因为M∈a,a⊂α,所以M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.3.下列各图均是正六棱柱,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的图形是( )【解析】选D.在选项A,B,C中,由棱柱、正六边形、中位线的性质知,均有PS∥QR,即在此三个图形中P,Q,R,S共面.4.如图,平面α∩平面β=l,A,B∈α,C∈β,C∉l,直线AB∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ、β的交线必过( )A.点AB.点BC.点C,但不过点DD.点C和点D【解析】选D.根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内,故平面γ,β的交线必过C,D.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.经过空间不共线的四点,确定的平面个数可以是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选AD.当这四个点在一个平面内的时候,确定一个平面;当三个点在一个平面上,另一个点在平面外的时候,确定四个平面,可想象一下三棱锥的样子.6.以下四个命题中,正确的是( )A.不共面的四点中,其中任意三点不共线B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面C.若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面D.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面【解析】选AD.A正确,可以用反证法证明,假设任意三点共线,则四个点必共面,与不共面的四点矛盾;B从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确;C不正确,共面不具有传递性,若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c可能不在一个平面内.D正确,两两相交的直线有三个公共点,确定一个平面.三、填空题(每小题5分,共10分)7.(2020·宝山高一检测)如果一条直线与两条直线都相交,这三条直线共可确定个平面.【解析】如果三条直线都交于一点,且三线不共面,则每两条直线都确定一个平面,共确定3个平面;如果三条直线两两相交,交于不同的三点,则只确定1个平面;如果两条直线不在同一个平面内,另一条与其均相交,则只确定2个平面;如果两条直线平行,另一条与其均相交,则只确定1个平面.综上,这三条直线共可确定1或2或3个平面. 答案:1或2或38.空间中三个平面最少把空间分成部分;最多把空间分成部分.【解析】当三个平面两两平行时,可以把空间分成四部分,当两个平面相交,第三个平面同时与两个平面相交且与前两个平面的交线垂直时,把空间分成8部分. 答案:48四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,过直线l外一点P,作直线a,b,c分别交直线l于点A,B,C,求证:直线a,b,c共面.【证明】设直线l与l外一点P确定的平面为α,则P∈平面α,又A∈直线l,所以A∈平面α;又P∈直线a,A∈直线a,所以直线a⊂平面α;同理直线b⊂平面α,直线c⊂平面α,所以直线a,b,c共面.10.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点.(1)求作直线AB与平面α的交点P.(2)求证:D,E,P三点共线.【解析】(1)连接DE并延长,交AB延长线于点P,则点P为直线AB与平面α的交点.如图.(2)因为D∈AC,E∈BC,所以DE⊂平面ABC,因为D∈α,E∈α,所以DE⊂α,因为DE为平面α与平面ABC的交线,又P∈AB,AB⊂平面ABC,且P∈α,所以P在平面α与平面ABC的交线DE上,所以D,E,P三点共线.1.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体的过点M,N,C1的截面图形是( )A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形【解析】选C.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1.如图,延长C1M交CD的延长线于点P,延长C1N交CB的延长线于点Q,连接PQ 交AD于点E,交AB于点F,连接NF,ME,则正方体的过点M,N,C1的截面图形是五边形.2.已知:平面α∩平面β=a,平面α∩平面γ=b,平面γ∩平面β=c且a,b,c 不重合.求证:a,b,c交于一点或两两平行.【证明】如图,若a,b,c中存在两条直线相交,不妨设a∩b=P,则P∈a,P∈b,因为α∩β=a,所以a⊂β,则P∈β,又α∩γ=b,所以b⊂γ,则P∈γ,所以P 在β与γ的交线上,即P∈c.所以a,b,c交于一点;若a,b,c中任何两条直线都不相交,因为a⊂α,b⊂α,根据同一平面内两条直线不相交则平行,所以a∥b,同理b∥c.所以a∥b∥c.综上,平面α∩平面β=a,平面α∩平面γ=b,平面γ∩平面β=c且a,b,c不重合,则a,b,c交于一点或两两平行.关闭Word文档返回原板块。
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课时素养评价二十四
平面
(25分钟·50分)
一、选择题(每小题4分，共16分，多项选择题全选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
1.下列说法中正确的个数为( )
①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点只能确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】选C.圆心和圆上两点若在同一直线上，可确定无数个平面，故③不正确；①②④正确.
2.如图所示，用符号语言可表述为( )
A.α∩β=m，n⊂α，m∩n=A
B.α∩β=m，n∈α，m∩n=A
C.α∩β=m，n⊂α，A⊂m，A⊂n
D.α∩β=m，n∈α，A∈m，A∈n
【解析】选A.平面α与平面β相交于m，所以α∩β=m；直线n在平面α内，所以n⊂α；直线m与直线n相交于A，所以m∩n=A.
3.(多选题)如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断不正确的是( )
A.A，B，C，D四点中必有三点共线
B.A，B，C，D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
【解析】选ACD.A，B，C，D四点中若有三点共线，则必与另一点共面；直线AB与CD既不平行也不相交，否则A，B，C，D共面.
4.如图，平面α∩平面β=l，A，B∈α，C∈β，C∉l，直线AB∩l=D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A.点A
B.点B
C.点C，但不过点D
D.点C和点D
【解析】选D.因为AB⊂γ，D∈AB，所以D∈γ.又D∈l，l⊂β，所以D∈β.因为C∈β，C ∈γ，所以β与γ的交线为CD.
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.“平面α与平面β有一条公共直线l，且直线m在平面β内”用符号语言
可表示为________.
【解析】平面α与平面β有一条公共直线l，记作α∩β=l，直线m在平面β内，记作m ⊂β.
答案：α∩β=l，且m⊂β
6.给出下列命题：
①A，B，C三点确定一个平面；
②若直线a∩直线b=A，则直线a与b能够确定一个平面；
③已知平面α，直线l和点A，B，若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.
其中正确命题的序号是________.
【解析】①中，只有不共线的三点才可以确定一个平面，因此①错误；②中，由于两条直线相交，则必然确定一个平面，因此②正确；③中，由于点A，B既在直线l上又在平面α内，即直线l上的两点在平面α内，所以直线l在平面α内，即l⊂α，因此③正确.综上，可知正确命题的序号是②③.
答案：②③
三、解答题(共26分)
7.(12分)如图所示，AB∥CD，AB∩α=B，CD∩α=D，AC∩α=E.求证：B，E，D三点共线.
【证明】因为AB∥CD，所以AB，CD共面，设为平面β，
所以AC在平面β内，即E在平面β内.
而AB∩α=B，CD∩α=D，AC∩α=E，
可知B，D，E为平面α与平面β的公共点，
根据基本事实3可得，B，D，E三点共线.
8.(14分)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1=E.能否判断点E在平面A1BCD1内？
【解析】能.理由：如图，连接BD1，
因为A1C∩平面ABC1D1=E，
所以E∈A1C，E∈平面ABC1D1.因为A1C⊂平面A1BCD1，所以E∈平面A1BCD1.
(15分钟·30分)
1.(4分)空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是( )
A.1
B.2
C.3
D.1或3
【解析】选D.若这三条直线相交于一点，则可以确定一个或三个平面；若这三条直线相交于三点，则只能确定一个平面.
2.(4分)一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )
A.1个或3个
B.1个或4个
C.1个，3个或4个
D.1个，2个或4个
【解析】选C.若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定1个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面.
3.(4分)如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB
与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是________.
【解析】因为P∈AB，AB⊂平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α=DE，所以P∈直线DE.
答案：P∈直线DE
4.(4分)已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________.
【解析】其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面.
答案：1或4
5.(14分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD=P，A1C1∩EF=Q.
求证：(1)D，B，F，E四点共面.
(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线.
【证明】如图.(1)连接B1D1，因为EF是△D1B1C1的中位线，
所以EF∥B1D1.在正方体AC1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面.
(2)在正方体AC1中，设平面A1ACC1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.
则Q是α与β的公共点，同理P是α与β的公共点，
所以α∩β=PQ.又A1C∩β=R，所以R∈A1C.
所以R∈α，且R∈β，则R∈PQ.
故P，Q，R三点共线.
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD=DD1，NB=BB1，那么正方体中过点M，N，C1的截面图形是( )
A.三角形
B.四边形
C.五边形
D.六边形
【解析】选C.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD=DD1，NB=BB1.
如图，延长C1M交CD的延长线于点P，延长C1N交CB的延长线于点Q中，连接PQ交AD于点E，AB于点F，连接NF，ME，则正方体中过点M，N，C1的截面图形是五边形.
2.如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
【解析】很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，因为E∈AC，AC⊂平面SAC，
所以E∈平面SAC.同理，可证E∈平面SBD.
所以点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交
线.。