2015-2016学年天津市静海一中高二(下)开学数学试卷(理科)(解析版)

2015-2016学年天津市静海一中高二（下）开学数学试卷（理科）一、选择题：（每小题4分，共28分）.
1．（4分）设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是（）
A．c⊥α，若c⊥β，则α∥β
B．b⊂α，c⊄α，若c∥α，则b∥c
C．b⊂β，若b⊥α，则β⊥α
D．a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，若α⊥β，则c⊂β
2．（4分）已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1＝0平行，则m的值为（）
A．0B．﹣8C．2D．10
3．（4分）条件甲：“a＞0且b＞0”，条件乙：“方程﹣＝1表示双曲线”，那么甲是乙的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（4分）已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的全面积是（）
A．（368π+65）cm2B．（368+56π）cm2
C．（386+56π）cm2D．（386+65π）cm2
5．（4分）如果椭圆的两焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），P是椭圆上的一点，且|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列，那么椭圆的方程是（）
A．＝1B．＝1
C．＝1D．＝1
6．（4分）若抛物线y2＝2px上恒有关于直线x+y﹣1＝0对称的两点A，B，则p的取值范围是（）
A．（﹣，0）B．（0，）
C．（0，）D．（﹣∞，0）∪（，+∞）
7．（4分）设m，n∈R，若直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1相切，则m+n的取值范围是（）
A．[1﹣，1+]B．（﹣∞，1﹣]∪[1+，+∞）
C．[2﹣2，2+2]D．（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）
二、填空题：每小题4分，共20分.
8．（4分）设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A，B两点，则＝．9．（4分）过椭圆的左焦点F且倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若
，则椭圆的离心率e＝．
10．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为CD、DD1的中点，则异面直线EF 与A1C1所成角的余弦值为．
11．（4分）在三棱锥P﹣ABC中，P A＝PB＝PC＝，侧棱P A与底面ABC所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为．
12．（4分）已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为．
三、解答题：共5题，共57分
13．（15分）已知直线l1的方程为3x+4y﹣12＝0，
（1）求l2的方程，使得：①l2与l1平行，且过点（﹣1，3）；
②l2与l1垂直，且l2与两坐标轴围成的三角形面积为4；
（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B两点，求三角形OAB（O为坐标原点）内切圆及
外接圆的方程．
14．（8分）已知命题p：当x∈R时，不等式x2﹣2x+1﹣m≥0恒成立：命题q：方程x2﹣（m+2）y2＝1表示双曲线，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．15．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，∠APB＝90°，∠P AB＝60°，AB＝BC＝CA，平面P AB⊥平面ABC．
（Ⅰ）求直线PC与平面ABC所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．
16．（12分）已知点P（x，y）在圆x2+y2﹣6x﹣6y+14＝0上
（1）求的最大值和最小值；
（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；
（3）求x+y的最大值与最小值．
17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°
（1）若P A＝AB，求PB与平面PDC所成角的正弦值；
（3）当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．
四、提高题（共15分）
18．（15分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e ＝，与双曲线有相同的焦点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）过点F1的直线l与该椭圆C交于M、N两点，且|+N|＝，求直线l 的方程．
（Ⅲ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任一条切线与椭圆C有两个交点A、B，且OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，否则，说明理由．
2015-2016学年天津市静海一中高二（下）开学数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题4分，共28分）.
1．【解答】解：A的逆命题为c⊥α，若α∥β，则c⊥β，根据面面平行的几何特征及线面垂直的性质，可得其逆命题成立；
B的逆命题为b⊂α，c⊄α，若b∥c，则c∥α，根据线面平行的判定定理，可得其逆命题成立；
C的逆命题为b⊂β，若β⊥α，则b⊥α，根据面面垂直的几何特征，当b与两平面的交线不垂直时，结论不成立，故C的逆命题不成立；
D的逆命题为a，b⊂α，a∩b＝P，c⊥a，c⊥b，即c⊥α，若c⊂β，则α⊥β，由面面垂直的判定定理，可得其逆命题成立；
故选：C．
2．【解答】解：∵直线2x+y﹣1＝0的斜率等于﹣2，
∴过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线的斜率K也是﹣2，
∴＝﹣2，解得，
故选：B．
3．【解答】解：“a＞0且b＞0”，可推得“方程﹣＝1表示双曲线”，即甲可推出乙，而“方程﹣＝1表示双曲线”不能推出“a＞0且b＞0”，即乙不可可推出甲，
故甲是乙的充分不必要条件
故选：A．
4．【解答】解：从该几何体的三视图可知，这个几何体是由两部分构成的，下部分是长方体，上部分是半个圆柱．
且长方体的三边长分别为8cm，10cm，8cm，半个圆柱的底面半径为4cm，高为10cm．所以其全面积为（368+56π）cm2．
故选：B．
5．【解答】解：由|PF1|、|F1F2|、|PF2|成等差数列得|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|＝4，
即2a＝4，a＝2，∴b2＝3．
∴椭圆方程为＝1．
故选：B．
6．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
因为点A和B在抛物线上，所以有①
②
①﹣②得，．
整理得，
因为A，B关于直线x+y﹣1＝0对称，所以k AB＝1，即．
所以y1+y2＝2p．
设AB的中点为M（x0，y0），则．
又M在直线x+y﹣1＝0上，所以x0＝1﹣y0＝1﹣p．
则M（1﹣p，p）．
因为M在抛物线内部，所以．
即p2﹣2p（1﹣p）＜0，解得0＜p＜．
所以p的取值范围是（）．
故选：C．
7．【解答】解：由圆的方程（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，得到圆心坐标为（1，1），半径r＝1，∵直线（m+1）x+（n+1）y﹣2＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝1，
整理得：m+n+1＝mn≤，
设m+n＝x，则有x+1≤，即x2﹣4x﹣4≥0，
∵x2﹣4x﹣4＝0的解为：x1＝2+2，x2＝2﹣2，
∴不等式变形得：（x﹣2﹣2）（x﹣2+2）≥0，
解得：x≥2+2或x≤2﹣2，
则m+n的取值范围为（﹣∞，2﹣2]∪[2+2，+∞）．
故选：D．
二、填空题：每小题4分，共20分.
8．【解答】解：法一：抛物线y2＝2x的焦点F（，0 ），
当AB的斜率不存在时，可得A（，1），B（，﹣1），
∴＝（，1）•（，﹣1）＝﹣1＝﹣，
法二：由题意知，抛物线y2＝2x的焦点坐标为（，0），∴直线AB的方程为y＝k（x ﹣），
由得k2x2﹣（k2+2）x+k2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，y1•y2＝k（x1﹣）•k（x2﹣）＝k2[x1•x2﹣（x1+x2）+]
∴＝x1•x2+y1•y2＝，
故答案为：﹣．
9．【解答】解：如图，设设椭圆的左准线为l，过A点作AC⊥l于C，
过点B作BD⊥l于D，再过B点作BG⊥AC于G，
直角△ABG中，∠BAG＝60°，所以AB＝2AG，…①
由圆锥曲线统一定义得：，
∵
∴AC＝2BD
直角梯形ABDC中，AG＝AC﹣BD＝…②
①、②比较，可得AB＝AC，
又∵
∴
答：所求的离心率为
10．【解答】解：取AD中点G，连结GF、GE
由正方体的性质，可得EG∥A1C1，∠GEF就是异面直线EF与A1C1所成角设正方体的棱长等于2，可得
△GEF中，GE＝GF＝EF＝
∴∠GEF＝60°，得cos∠GEF＝
即异面直线EF与A1C1所成角的余弦值为
故答案为：
11．【解答】解：过点P作PH⊥平面ABC于H，
则∵AH是P A在平面ABC内的射影，
∴∠P AH是直线P A与底面ABC所成的角，得∠P AH＝60°，
∴Rt△P AH中，AH＝P A cos60°＝，PH＝P A sin60°＝，
设三棱锥外接球的球心为O，∵P A＝PB＝PC，
∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心，
由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC
∵△POA中，OP＝OA，
∴∠OAP＝∠OP A＝30°，可得P A＝OA＝
∴三棱锥外接球的半径R＝OA＝1．
因此该三棱锥外接球的体积为V＝πR3＝，
故答案为：．
12．【解答】解：如图，过双曲线的顶点A、焦点F分别向其渐近线作垂线，垂足分别为B、C，
则：．
故答案为3
三、解答题：共5题，共57分
13．【解答】解：（1）①由直线l2与l1平行，可设l2的方程为3x+4y+m＝0，以x＝﹣1，y ＝3代入，得﹣3+12+m＝0，即得m＝﹣9，
∴直线l2的方程为3x+4y﹣9＝0．
②由直线l2与l1垂直，可设l2的方程为4x﹣3y+n＝0，
令y＝0，得x＝﹣，令x＝0，得y＝，
故三角形面积S＝＝4
∴得n2＝96，即n＝±4
∴直线l2的方程是4x﹣3y+4＝0或4x﹣3y﹣4＝0．
（2）直线l1与两坐标轴分别交于A、B两点，即A（0，3），B（4，0），
设内切圆的圆心坐标为（a，a），则，∴a＝，
∴三角形OAB（O为坐标原点）内切圆的方程为（x﹣）2+（y﹣）2＝；
外接圆的圆心坐标为（2，1.5），外接圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1.5）2＝6.25．14．【解答】解：当x∈R时，不等式x2﹣2x+1﹣m≥0恒成立，则△＝4﹣4（1﹣m）≤0，解得m≤0，即p：m≤0．
方程x2﹣（m+2）y2＝1表示双曲线，则m+2＞0，解得m＞﹣2．即q：m＞﹣2．
因为p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q一真一假．
若p真q假，则m≤﹣2，
若p假q真，则m＞0．
综上m≤﹣2或m＞0
15．【解答】解法一
（Ⅰ）设AB中点为D，AD中点为O，连接OC，OP，CD．
因为AB＝BC＝CA，所以CD⊥AB，
因为∠APB＝90°，∠P AB＝60°，所以△P AD为等边三角形，所以PO⊥AD，又平面P AB ⊥平面ABC，平面P AB∩平面ABC＝AD．
PO⊥平面ABC，∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角
不妨设P A＝2，则OD＝1，OP＝，AB＝4．
所以CD＝2，OC＝＝＝
在RT△OCP中，tan∠OCP＝＝＝．
故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan．
（Ⅱ）过D作DE⊥AP于E，连接CE．
由已知，可得CD⊥平面P AB．根据三垂线定理知，CE⊥P A．所以∠CED为二面角
B﹣AP﹣C的平面角．由（Ⅰ）知，DE＝，在RT△CDE中，tan∠CED＝＝
＝2，故二面角B﹣AP﹣C的大小为arctan2．
解法二：（Ⅰ）设AB中点为D，连接CD．因为O在AB上，且O为P在平面ABC内的射影，
所以PO⊥平面ABC，所以PO⊥AB，且PO⊥CD．因为AB＝BC＝CA，所以CD⊥AB，设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB．
如图，以O为坐标原点，OB，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设P A＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝，
CD＝2，所以O（0，0，0），A（﹣1，0，0），C（1，2，0），P（0，0，），所以＝（﹣1，﹣2，）＝（0，0，）为平面ABC的一个法向量．
设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα＝＝＝．故直线PC与平面ABC所成的角大小为arcsin
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，＝（1，0，），＝（2，2，0）．
设平面APC的一个法向量为＝（x，y，z），则由得出即，取x＝﹣，则y＝1，z＝1，所以＝（﹣，1，1）．设二面角B﹣AP﹣C的平面角为β，易知β为锐角．
而面ABP的一个法向量为＝（0，1，0），则cosβ＝＝＝．故二面角B﹣AP﹣C的大小为arccos．
16．【解答】解：如图示：
，
（1）圆x2+y2﹣6x﹣6y+14＝0即为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4，可得圆心为C（3，3），半径为r＝2，
设k＝，即kx﹣y＝0，
则圆心到直线的距离d≤r，
即≤2，
平方得5k2﹣18k+5≤0，
解得：≤k≤，
故的最大值是，最小值为；
（2）x2+y2+2x+3＝（x+1）2+y2+2
表示点（x，y）与A（﹣1，0）的距离的平方加上2，
连接AC，交圆C于B，延长AC，交圆于D，
可得AB为最短，且为|AC|﹣r＝﹣2＝3，
AD为最长，且为|AC|+r＝5+2＝7，
则x2+y2+2x+3 的最大值为72+2＝51，
x2+y2+2x+3的最小值为32+2＝11；
（3）圆x2+y2﹣6x﹣6y+14＝0即为（x﹣3）2+（y﹣3）2＝4，
令x﹣3＝2cos a，y﹣3＝2sin a，
则x+y＝6+2（cos a+sin a）＝6+2sin（a+），
∵﹣1≤sin（a+）≤1，
∴6﹣2≤6+2sin（a+）≤6+2，
∴x+y的最大值为6+2，最小值为6﹣2．
17．【解答】解：（1）设AC∩BD＝O，∵在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，P A＝AB＝2，∠BAD＝60°
∴BO＝1，AO＝CO＝，
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O﹣xyz，
则P（0，﹣，2），A（0，﹣，0），B（1，0，0），C（0，，0），D（﹣1，0，0）
∴＝（1，，﹣2），＝（﹣1，，﹣2），＝（0，2，﹣2），
设平面PDC的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝，得＝（﹣3，，3），
设PB与平面PDC所成角为θ，
则sinθ＝＝．
∴PB与平面PDC所成角的正弦值为．
（2）由（1）知＝（﹣1，，0），设P（0，﹣，t）（t＞0），
则＝（﹣1，﹣，t），设平面PBC的法向量＝（x，y，z），
则，取y＝，得＝（3，，），
同理，平面PDC的法向量＝（﹣3，，），
∵平面PCB⊥平面PDC，∴＝﹣9+3+＝0，
解得t＝，∴P A＝．
四、提高题（共15分）
18．【解答】解：（Ⅰ）由双曲线，得，c＝1，又，得a＝，∴b2＝1，
故椭圆C的标准方程为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得F1（﹣1，0），设过点F1（﹣1，0）的直线l：y＝k（x+1），由消去y，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2＝0，
设M（x1．y1），N（x2，y2），
则x1+x2＝﹣，x1x2＝，
y1+y2＝k（x1+x2+2）＝，
由于F2（1，0），|+N|＝，
则＝（x1﹣1，y1），＝（x2﹣1，y2），
即有（x1+x2﹣2）2+（y1+y2）2＝，
即有（﹣﹣2）2+（）2＝，
解得k2＝1．检验：△＝16k4﹣4（1+2k2）（（2k2﹣2）＝16＞0，
故k＝±1．
则直线l的方程为：y＝x+1或y＝﹣x﹣1；
（Ⅲ）假设存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点
A（x1，y1），B（x2，y2）且OA⊥OB，
①当圆的切线不垂直x轴时，设该圆的切线方程为y＝kx+m，
与x2+2y2＝2联立得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，
∴△＝8（2k2﹣m2+1）＞0，
∴，
∴y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝，
∵＝x1x2+y1y2＝0，
∴，
∴3m2﹣2k2﹣2＝0，则2k2＝3m2﹣2，
∴对任意k，符合条件的m满足，
∴，即m≥或m≤﹣，
∵直线y＝kx+m为圆心在原点的圆的一条切线，
∴圆的半径为r＝，＝，
∴所求的圆为，此时该圆的切线y＝kx+m都满足m≥或m≤﹣，
∴所求的圆为，
②当切线的斜率不存在时，切线x＝±，
与椭圆x2+2y2＝2的两个交点为（，±）或（﹣，±），
满足OA⊥OB，
综上，存在圆心在原点的圆使圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A（x1，y1），B （x2，y2）且OA⊥OB．。