Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学

文章编号：1000-1506（2001）03-0041-03
Neumann 边条件无电容效应Sine-gordon 系统的动力学
刘迎东，何卫力
（北方交通大学理学院，北京100044）
摘
要：证明当扩散系数适当大时Neumann 边条件下无电容效应的Sine-gordon 系统全局吸引
子是一条不变曲线，系统在其上的行为类似于圆周上的保向同胚.关键词：全局吸引子；不变曲线；保向同胚中图分类号：O175.2
文献标识码：A
Dynamics of Sine-gordon System Without Capacitance
Effect Under Neumann Boundary Condition
LIU Ying-dong ，HE Wei-li
（CoIIege of Sciences ，Northern Jiaotong University ，Beijing 100044，China ）
Abstract ：In this paper we prove that the gIobaI attractor for the Sine-gordon system without capacitance effect under Neumann boundary condition is an invariant curve.The behavior of the system on the curve is Iike the orientation preserving homeomorphism on a circIe.
Key words ：gIobaI attractor ；invariant curve ；orientation preserving homeomorphism
1问题的提出
在前文［1］讨论了狄氏边条件下无电容效应的Sine-gordon 系统的动力学，本文继续讨论Neumann 边条件下它的动力行为，将证明此时全局吸引子是一条不变曲线，系统在其上的行为类似于圆周上的保向同胚.
此时边条件变成了 U i n !X R
+
=0.记E =（L 2（!））n ， · 为E 中范数.设f i （x ，I ） C （R +，L 2
（!））并且f i 关于I 以T 为周期.显然-C 是扇形算子，并且C 可生成强连续半群｛e CI ｝I 0.G （I ，U ）：R +X E E 关于U 一致Lip 连续.Lip 常数为".相应的积分方程为：U （I ）=e CI U 0+
I
e C （I -#）
G （#，U （#））d #.
定义1
积分方程的连续解称为温和解.
原问题存在唯一温和解U C （R +，E ）［2］
.定义S （I ）U 0=U （I ，U 0），U （I ，U 0）是初值为U 0的温和解，由周期性｛S （NT ）｝N 0构成离散半动力系统.根据不可约弱耦合拟增椭圆组的特征值性质，-C 存在主特征值［3］
.因为-C 的所有特征值大于等于0，而易知0确为一个特征值，故0为主特征值，其对应主特征向量为（1，1，…，1）.由算子扰动理论易知：
引理1
-C 是非负自伴算子，其特征值为0=$0<$1 $2 … $m …，当m + 时，$m + 且0为主特征值.
收稿日期：2000-08-24基金项目：国家自然科学基金资助项目（19971004）作者简介：刘迎东（1971—），男，河北高阳人，讲师，博士.email ：Iiuyingdong@
第25卷第3期2001年6月
北方交通大学学报
JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONg UNIVERSITY VoI.25No.3Jun.2001
设主特征值0的主特征向量（l ，l ，…，l ）生成的线性子空间为E l ，记 U =l
I !I J
!E I
i =l
U i （x ）c x ，记E 2=｛U E I
U =0｝，则E =E l E 2.显然E l 、E 2都是C 的不变子空间，并且V U E 2〈CU ，U 〉<-"〈U ，U 〉.!吸收集
定义!称B =｛p +g E I p E l ，g E 2， g <r ｝
为E 中半径为r 的伪球.显然，G （I ，U ）
在E 中一致有界，记为c.定理"设B 0为E 中伪球，半径为c /"l ，则V I >0，S （I ）B 0c B 0，并且B 0吸引E 中任意有界集.证明V U 0 E ，记U （I ）=S （I ）U 0，则U （I ）满足：U （I ）=e CI U 0+J
I
e C （I -#）
G （#，U （#））c #.设E 到E l 的投
影算子为P ，到E 2的投影算子为O ，则
OU
（I ）=e CI OU 0+J
I
e C （I -#）
OG （#，U （#））c #，
OU （I ） < e CI
O OU 0 +
J
I
0 e
C
（I -#）O G （#，U （#） c #<e -"l I OU 0 +c "l
（l -e -"l I ）
，V U D （（-C ）l /2）= E ，定义 U E = U +
（-C ）l /2
U ，则 E 为Banach 空间.记 E l =E l E ， E 2=E 2 E.则有：
定义#称集合 B =｛p +g E I p E l ，g E 2， g E <r ｝
为 E 中半径为r 的伪球.定理!存在 E 中一个伪球 B 0，半径为r l ，使得对任意E 中有界集B ，存在I l =I l （B ）
>0，当I >I l 时，S （I ）B c B 0.证明c U
c I
=CU +G （I ，U ）
，用O 作用后再与OU 作内积得〈O c U c I
，OU 〉=〈COU ，OU 〉+〈OG （I ，U ），OU 〉
，则
c c I OU 2+ （-C ）l /2
OU 2<-"l OU 2+2 OG （I ，U ） OU <-"l 2
OU 2+c.结合定理l 可知，任给E 中有界集B ，存在I 0=I 0（B ）>0，当I >I 0、r >0时，J
I +r
I
（-C ）l /2
OU 2c #<c .
又有
〈-CU ，O
c U
c I
〉=〈-CU ，COU 〉+〈OG （I ，U ），-CU 〉，l 2c （-C ）l /2
OU 2c I <-l 2
COU 2-"l 2 （-C ）l /2
OU 2+ OG （I ，U ） COU ，c （-C ）l /2
OU 2c I
<-"l （-C ）l /2
OU 2+c.再由一致GrOnwall 不等式［4］
，即得结论.
#锥性质
定义$
称Z =｛p +g E I p E l ，g E 2， g < p ｝为E 的锥.定理#
设"l >4$，
则V x 0、y 0 E.（l ）如果y 0-x 0 Z ，则S （I ）y 0-S （I ）x 0 Z ，V I >0.
（2）如果存在I 0>0，使得S （I 0）y 0-S （I 0）x 0 Z ，则
OS （I ）y 0-OS （I ）x 0 <e -"l I /2 O （y 0-x 0） ，0<I <I 0.证明记y （I ）=S （I ）y 0，x （I ）=S （I ）x 0，p （I ）=P （y （I ）-x （I ）），g （I ）=O （y （I ）-x （I ））.于是p （I ），g
（I ）分别满足：c p
c I =P （G （I ，y （I ））-G （I ，x （I ））p （0）=P
（y 0-x 0{
），c g
c I =Cg +O
（G （I ，y （I ））-G （I ，x （I ）））g （0）=O
（y 0-x 0{
），所以
c c I
（ g 2- p 2）<-2"l g 2
+2$（ p 2+ g 2）+4$ p g .2
4北方交通大学学报
第25卷
由条件O 1>4B 知当 p = g 时，d
d t （ g 2- p 2） （-2O 1+8B ） g 2 0，这表明如果y 0-x 0 Z ，则y （t ）-x （t ） Z.若存在t 0>0，使y （t 0）-x （t 0） Z ，则y （t ）-x （t ） Z ，0<t t 0.即 g （t ） > p （t ） ，
0<t t 0.因此有d d t
g （t ） 2 -O 1 g （t ） 2
，即 g （t ） e -O 1t /2 g （0） ，0<t t 0.!不变曲线
以下记T 0=（1，1，…，1），p 0=21T 0.定义"
设@是从E 1到E 2的Lip 映射，Lip 常数为1，即 p 1、p 2 E 1， @（p 1）-@（p 2） p 1-p 2
，称@对应的曲线l =｛p +@（p ）I p E 1｝为E 中的水平曲线，如果@还满足@（p +p 0）=@（p ）， p E 1，
则称l 为限制水平曲线.定理!
N >0，S （NT ）把水平曲线映成水平曲线，把限制水平曲线映成限制水平曲线.令H =［0，21］·T 0，
则H 是E 1中的有界闭集.令M =｛@I @是H E 2的连续映射，@（0）=@（p 0）｝，M 中加法和数乘按通常逐点意义下定义，范数定义为 @ =max p H @（p ） ，于是M 成为Banach 空间，记^M =｛@I @ M ， @（p 1）-@（p 2） p 1-p 2 ， @ r 1｝
，r 1是伪球B 0的半径.当t 0>t 1（B 0）时，S （t 0）B 0 B 0，对充分大的N ，构造^M ^M 的映射^S （NT ）如下：^S （NT ）@=1-1S （NT ）1@，1是^M 到M 的自然的一一映射，易知^S （NT ）为紧的，由Schauder 不动点定理，^S （NT ）至少有一个不动点.
定理"设O 1>4B ，则对充分大的N ，映射S （NT ）有一条不变限制水平曲线l ，即S （NT ）l =l.引理#
设l 是S （NT ）的不变曲线，U 是l 的E 邻域，则存在常数M 0>0，使 y 0 B 0
（半径为c /O 1的伪球），当M >M 0时，S （MNT ）y 0 U.
设l 是S （NT ）的不变曲线，l'是S （（N +1）T ）
的不变曲线.引理$
l 即为l'.再由S （（N +1）T ）l =S （NT ）l ，得S （T ）l =l ，即S （T ）有不变曲线l ，并且由吸引性，l 唯一.
"保向同胚
设l =｛p +@（p ）I p E 1｝，定义K ：E 1 l 为p p +@
（p ），这样S （T ）在l 上的作用诱导出一个R 上的映射F ：F （T ）=G -1K -1S （T ）K G ，其中G 是由G （t ）=21t T
0定义的算子，并且!F （t +1）=F （t ）+1，"F 是严格单调增加的.
引理!
S
（T ）的旋转数V =Iim I F I
（t ）
I
存在，且极限值与t R 无关.F （t ）可看成圆周上一个保向同胚的提升.通过旋转数V 可研究F （t ）.定义F
（t ）的广义周期点如下：若存在I 、m Z ，I 1，使得F I
（t ）=t +m ，其中I 取有这种性质的最小的自然数，则称t 为（I ，m ）
型周期点.旋转数为有理数等价于存在广义周期点，旋转数为无理数等价于不存在广义周期点.如果l 模21T 0构成一
个拓扑圆，则S （T ）在其上作用为保向同胚［5］
.参考文献：
［1］刘迎东，何卫力.狄氏边条件无电容效应的Sine-gordon 系统的动力学［J ］.北方交通大学学报，2001，25（1）：108-110.［2］Pazy A.Semigroup of Linear Operators and AppIications to PartiaI DifferentiaI Eguations ［M ］.BerIin ：Springer-verIag ，1983.113-121.［3］Liu Yingdong ，Li Zhengyuan.The PrincipaI EigenvaIue of PeriodicaI Reaction-diffusion System with Time DeIay ［J ］.Beijing Mathematics ，
1997，3（1）：143-149.
［4］Temam R.Infinite-dimensionaI DynamicaI Systems in Mechanics and Physics ［M ］.BerIin ：Springer-verIag ，1988.88-89.［5］张筑生.微分动力系统原理［M ］.北京：科学出版社，1985.27-52.
3
4第3期刘迎东等：Neumann 边条件无电容效应Sine-gordon 系统的动力学
Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学
作者：刘迎东， 何卫力
作者单位：北方交通大学理学院,
刊名：
北方交通大学学报
英文刊名：JOURNAL OF NORTHERN JIAOTONG UNIVERSITY
年，卷(期)：2001,25(3)
1.刘迎东;何卫力狄氏边条件无电容效应的Sine-Gordon系统的动力学[期刊论文]-北方交通大学学报 2001(01)
2.Pazy A Semigroup of Linear Operators and Applications to Partial D ifferential Equations 1983
3.Liu Yingdong;Li Zhengyuan The Principal Eigenvalue of Periodical Reaction-diffusion System with Time Delay 1997(01)
4.TEMAM R Infinite-dimensional Dynamical Systems in Mechanics and P hysics 1988
5.张筑生微分动力系统原理 1985
引用本文格式：刘迎东.何卫力Neumann边条件无电容效应Sine-Gordon系统的动力学[期刊论文]-北方交通大学学报 2001(3)。