山西省朔州市怀仁市第一中学校等2024-2025学年高三上学期第一次月考 数学试题[含答案]

2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：集合与常用逻辑用语，不等式，函数，导数.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（
）
{}
28120,{14}
A x x x
B x x =-+<=∈<Z ∣∣ A B ⋂=A.
B.
C.
D.{}1,2{}3,4{}3∅
2.已知，则的大小关系为（ ）
1
2
1311
log ,ln ,e 22a b c ===,,a b c A. B.a b c <<a c b <<C.
D.b a c <<b c a
<<3.函数
的图象大致为（ ）()2cos e e x x
x x
f x -+=-
A.
B.
C.
D.
4.函数的一个零点所在的区间是（ ）
()()1
ln 2f x x x =-
A.
B.
C.
D.
()0,1()1,2()2,3()
3,45.已知函数
是定义域为的奇函数，当时，
.若
，
()
f x R 0x ()()
2f x x x =+()()3370
f m f m ++->则的取值范围为（ ）
m A.
B.
C.
D.
(),0∞-()0,∞+(),1∞-()
1,∞+6.已知条件
，条件
，若是的必要而不充分条件，则实
()2:log 12
p x +<()22:210
q x a x a a -+++ p q 数的取值范围为（ ）
a A.
B.
C.
D.
(),2∞-()1,∞-+()1,2-[]
2,87.在日常生活中，我们发现一杯热水放在常温环境中，随时间的推移会逐渐逐渐变凉，物体在常温环境下的温度变化有以下规律：如果物体的初始温度为
，则经过一定时间，即分钟后的温度满足
T t T 称为半衰期，其中是环境温度.若
，现有一杯的热水降至()01,2t h
a a T T T T h ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭a T 25C a T =
80C 大约用时1分钟，那么水温从降至大约还需要（ ）（参考数据：75C 75C 45C ）
lg20.30,lg11 1.04≈≈A.8分钟 B.9分钟
C.10分钟
D.11分钟
8.设函数，其中，若存在唯一的整数
，使得，则的取值范围是
()e x f x x ax a
=-+1a >0x ()00f x <a （
）
A. B. C. D.
(
21,2e ⎤⎦33e 1,2⎛⎤ ⎥⎝⎦343e 4e ,23⎛⎤ ⎥⎝⎦323e 2e ,2⎛⎤ ⎥⎝⎦二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列函数在定义域内不是单调函数的是（ ）
A. B.()e x
f x x =()ln f x x x
=C.
D.
()e x f x x =-()cos 2f x x x
=-10.已知正实数满足，则下列说法正确的是（
）
,m n 1m n +=A.
的最小值是411
m n +
B.的最大值是22
m n +1
2
+的最大值是1
2
11.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
()ln f x x x a
=--A.若有两个零点，则()f x 1a >B.若无零点，则()f x 1a C.若有两个零点，则()f x 12,x x 121x x <D.若
有两个零点
，则()
f x 12,x x 122
x x +>三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知
，其中是其导函数，则__________.
()()42
1f x x f x '=--()
f x '()()2222f f =
'+-'13.若，则的最小值为__________.
,,0a b ab ∈>R 442
a b ab ++14.已知函数若存在实数满足，且()32
log ,03,
(4),3,x x f x x x ⎧<<=⎨-⎩ 1234,,,x x x x 1234x x x x <<<，则
的取值范围是__________.
()()()()
1234f x f x f x f x ===()()
3412
33x x x x --四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）已知函数
.
()()232f x x a x b
=--+（1）若关于的不等式
的解集为
，求实数的值；
x ()0
f x <()2,3-,a b （2）若函数在区间
上单调递增，求实数的取值范围.()f x 10,3∞⎡⎫
-+⎪⎢⎣⎭a 16.（本小题满分15分）
已知命题：“
”为假命题，实数的所有取值构成的集合为.p 2
,10x x ax ∃∈-+=R a A （1）求集合；
A （2）已知集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.{121}
B x
m x m =+<<+∣t A ∈t B ∈m
17.（本小题满分15分）
已知函数
（为实常数）.
()3
21x f x a =-+a （1）若函数
为奇函数，求的值；
()
f x a （2）在（1）的条件下，对任意，不等式
恒成立，求实数的最大值.
[]
1,6x ∈()2x u
f x
u 18.（本小题满分17分）
已知函数
.
()ln 1a f x x x =+
-（1）讨论函数的单调性；
()
f x （2）若函数有两个零点，且.证明：.()f x 12,x x 1
2x x >12121x x a +>
19.（本小题满分17分）已知函数
.
()33f x x x
=-（1）求函数在区间
上的值域；()f x 32,2⎡
⎤-⎢⎥⎣⎦（2）曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，求实数的取值范围.()
y f x =()()
,P m f m 2
4y x a =-a
2024~2025学年上学期怀仁一中高三年级第一次月考·数学
参考答案､提示及评分细则
1.B 因为，所以
.
{}
{}
28120{26},{14}2,3,4A x x x x x B x x =-+<=<<=∈<=Z ∣∣∣ {}
3,4A B ⋂=故选B.
2.C 因为，所以.故选C.
1
213311
log log 2,01,ln ln20,e 1
22a a b c ==<<==-<=>c a b >>3.A 由，可知函数为奇函数，又由时，，有
()()2cos e e x x x x
f x f x -+==--()f x 01x < cos 0x >，可得；当时，，有，故当时，，可
2cos 0x x +>()0f x >1x >21x >2cos 0x x +>0x >()0f x >知选项A 正确.
4.B 因为
，在上是连续函数，且，即在上
()()1ln 2f x x x =-
()0,∞+()211
0f x x x =+>'()f x ()0,∞+单调递增，
，所以，所以在上存在一
()()1
1ln210,2ln402f f =-<=-
>()()120f f ⋅<()f x ()1,2个零点.故选B.5.D 当时，
的对称轴为，故
在
上单调递增.函数在处连续，又
0x ()
f x 1x =-()
f x [)0,∞+0x =是定义域为的奇函数，故
在上单调递增.因为
，由
()
f x R ()
f x R ()()f x f x -=-，可得
，又因为
在上单调递增，所以
()()3370f m f m ++->()()
373f m f m +>-()
f x R ，解得.故选D.
373m m +>-1m >6.C 由，得，所以，
()2log 12
x +<13x -<<:13p x -<<由
，得，所以，
()22210
x a x a a -+++ 1a x a + :1q a x a + 因为是的必要而不充分条件，p q 所以
⫋，解得，故选C.{}1x a x a +∣ {13}x x -<<∣
12a -<<7.C 根据题意得
，则，所以
()1
1111075258025,2211h
h ⎛⎫
⎛⎫-=-= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭()
1452575252t h
⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭
，所以，两边取常用对数得
1
120502t
h ⎡⎤⎛⎫
⎢⎥=⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦102
115t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故选C.
2lg
102lg2lg52lg2120.315lg lg ,10
101151lg111lg111 1.04lg 11t t --⨯-====≈=---8.D 令
，显然直线
恒过点
，
()()e ,,1
x g x x h x ax a a ==->()h x ax a
=-()
1,0A 则“存在唯一的整数
，使得”等价于“存在唯一的整数使得点在直线0x ()00f x <0x ()()00,x g x 下方”，
，当时，
，当时，
，即
()h x ax a =-()()1e x
g x x =+'1x <-()0
g x '<1x >-()0
g x '>在
上递减，在上递增，
()
g x (),1∞--()1,∞-+则当时，，当时，
，1x =-()min 1()1e g x g =-=-
0x ()1,0e g x ⎡⎤∈-⎢⎥
⎣⎦而
，
()()01
h x h a =-<- 即当时，不存在整数使得点在直线下方，
0x 0x ()()00,x g x ()h x ax a =-当时，过点作函数图象的切线，设切点为
，
0x >()
1,0A ()e x
g x x =()
,e ,0
t P t t t >则切线方程为，
()()
e 1e t t y t t x t -=+-而切线过点
，即有
，整理得，而，
()1,0A ()()
e 1e 1t t
t t t -=+-2
10t t --=0t >解得
，因，
()1,2t =
()()1e 01g h =>=又存在唯一整数
使得点在直线下方，则此整数必为2，
0x ()()00,x g x ()h x ax a =-即存在唯一整数2使得点
在直线下方，
()()2,2g ()h x ax a =-因此有解得
，()()()()2
3222e ,333e 2,g h a g h a ⎧<⎧<⎪⇔⎨⎨⎪⎩⎩ 323e 2e 2a < 所以的取值范围是.故选D.a 323e 2e ,2⎛⎤
⎥
⎝
⎦9.ABC 对于选项D ，因为
，所以
在定义域内恒成立，所以选项D 不合题意；
()sin 2
f x x =--'()0
f x '<其它选项的导函数在各自的定义域内不恒小于（大于）或等于0.
10.ACD 正实数满足
，当且仅
,m n (
)11111,
224n m m n m n m n m n m n ⎛⎫
+=+=++=+++= ⎪⎝⎭ 当
时等号成立，故选项A 正确；
1
2m n ==
，故的最小值是，故选项B 错误；
22
2
(
)1
22m
n m n ++
= 22
m
n +12
，故选项C
正确；2
12m n =
++=+，当且仅当时等号成立，故选项D 正确.
1m n += 121
2m n ==
11.ACD 由
可得，令，其中，()0
f x =ln a x x =-()ln
g x x x
=-0x >所以直线与曲线
的图象有两个交点，
y a =()
y g x =在上单调递减，在
上单调递增，()()11
1,x g x y g x x x -=-
=='()0,1()1,∞+图象如图所示.当时，函数与的图象有两个交点，选项A 正确；
1a >y a =()
y g x =当时，函数与
的图象有一个交点，选项B 错误；
1a =y a =()
y g x =由已知可得两式作差可得，所以，由对数平均不等式
1122ln ,ln ,x x
a x x a -=⎧⎨
-=⎩1212ln ln x x x x -=-12
121ln
ln x x x x -=-，则，选项C
正确；
1212
12ln ln 2x x x x
x x -+<
<-1<121x x <，则，选项D 正确.
12
12x x +<
122x x +>12.0 因为
，显然导函数为奇函数，所以
.
()
()3412f
x x f x
'=--'()()22220
f f -'+='13.4 因为，所以，
0ab >44332222224a b a b ab ab b a ab ab ab ++=++=+⨯=
当且仅当，即时等号成立.331,a b ab b
a a
b ==22
1a b ==14.
因为
.
()0,1()()()()12341234
,f x f x f x f x x x x x ===<<<由图可知，
，即
，且
，3132log log x x -=34
1243
1,
4,82x x x x x x +===-334x <<所以
.
()()()()()()342343434333312
333339815815
x x x x x x x x x x x x x x --=
--=-++=--=-+-在上单调递增，的取值范围是.
2
33815y x x =-+- ()3,4()()3433x x ∴--()0,115.解：（1）由关于的不等式的解集为
，
x ()0
f x <()2,3-可得关于的一元二次方程
的两根为和3，
x ()0
f x =2-有解得3223,23,a b -=-+⎧⎨=-⨯⎩1,6,a b =⎧⎨=-⎩
当时，，符合题意，
1,6a b ==-()()()2632f x x x x x =--=-+故实数的值为的值为；
a 1,
b 6-（2）二次函数
的对称轴为
，
()
y f x =32
2a x -=
可得函数的减区间为，增区间为，()f x 32,2a ∞-⎛⎤- ⎥⎝⎦32,2a ∞-⎛⎫+ ⎪⎝⎭若函数在上单调递增，必有，解得，()f x 10,3∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭321023a -- 149a - 故实数的取值范围为.a 14,9∞⎛⎤--
⎥⎝
⎦16.解：（1）由命题为假命题，关于的一元二次方程无解，p x 2
10x ax -+=可得
，解得，22
Δ()440a a =--=-<22a -<<故集合
；
()
2,2A =-（2）由若是的必要不充分条件，可知⫋，t A ∈t B ∈B A ①当时，可得，满足⫋；
121m m ++ 0,m B =∅ B A
②当时，可得，若满足⫋，必有
（等号不可能同时成立），
121m m +<+0m >B A 12,212,0,m m m +-⎧⎪
+⎨⎪>⎩
解得
，
102m <
由①②可知，实数的取值范围为.m 1,2∞⎛⎤-
⎥⎝
⎦17.解：（1）因为函数是奇函数，
，()f x ()3322121x x x
f x a a -⋅-=-=-++，解得
()()3322230
2121x
x x f x f x a a ⋅+-=--=-=++3;2a =（2）因为
，由不等式，得，()33221x f x =-+()2x u f x 3322221x
x x
u ⋅⋅-+ 令（因为
，故
，
[]
213,65x
t +=∈[]
1,6x ∈()()313
329
1222t u t t t
t -⎛⎫--=+- ⎪⎝⎭
由于函数
在上单调递增，所以.()329
22t t t ϕ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭[]3,65()min ()31t ϕϕ==因此，当不等式
在上恒成立时，.
()2x u
f x
[]1,6x ∈max 1u =18.解：（1）
的定义域为
，
()
f x ()()2210,,a x a f x x x x ∞'-+=
-=当时，
在上恒大于0，所以在上单调递增，0a ()2x a
f x x -='()0,∞+()f x ()0,∞+当时，
，
0a >()20,x a
f x x a x -=
=='当时，，当时，.
0x a <<()0f x '<x a >()0
f x '>所以函数
在
上单调递减，在上单调递增；
()
f x ()0,a (),a ∞+（2）由题可得
，两式相减可得，，
1212
ln 10,ln 10
a a
x x x x +
-=+-=()121212ln ln x x x x a x x -=-
要证，即证，1
2121
x x a +>
()1212121212ln ln x x x x x x x x -+>-即证
，即证
，1212122ln ln x x x x x x -+>-1
12
1
2
21
21ln x x x
x x x -+>令，则，即证
，121x t x =>12ln 0x x >1ln 21t t t ->+令，则，
()()1ln 121t g t t t t -=->+()222
13410(21)(21)t t g t t t t t ++='-=>++所以
在
上单调递增，所以，所以
，故原命题成立.
()
g t ()1,∞+()()10g t g >=1
ln 21t t t ->
+19.解：（1）
，令
，可得，可得函数的增区间为
()233
f x x =-'()0
f x '<11x -<<()f x ()(),1,1,,
∞∞--+可得函数
在区间
上单调递增，在上单调递减，
()
f x []32,1,1,
2⎡⎤
--⎢⎥⎣⎦()1,1-由
，()()()3
333912,12,22,32228f f f f ⎛⎫⎛⎫
=--=-=-=-⨯=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）由曲线
在点处的切线方程为
，整理为
()
y f x =P ()()
()
32333y m m m x m --=--()
22
332y m x m =--联立方程消去后整理为，
()
23
2332,4,y m x m y x a ⎧=--⎪⎨=-⎪⎩y ()
22343320x m x m a --+-=可得
(
)
()
2
2
3Δ331620,
m m a =---=整理为，4
3
2
16932189a m m m -=--+令
，有
，
()432932189
g x x x x =--+()()()
3236963612313g x x x x x x x '=--=+-令，可得或，
()0
g x '>1
03x -<<3x >可得函数的增区间为，减区间为，
()g x ()1,0,3,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()1,,0,33∞⎛
⎫-- ⎪⎝⎭
由
，可得，()12243288,327g g ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭min ()288g x =-有，可得16288a -- 18a。