苏科版(完整版)八年级数学下册期中试卷及答案

苏科版(完整版)八年级数学下册期中试卷及答案
一、选择题
1．下列调查中，最不适合普查的是（）
A．了解一批灯泡的使用寿命情况
B．了解某班学生视力情况
C．了解某校初二学生体重情况
D．了解我国人口男女比例情况
2．某市决定从桂花、菊花、月季花中随机选取一种作为市花，选到月季花的概率是( )
A．1
3
B．
1
2
C．1 D．0
3．若顺次连接四边形ABCD各边的中点得到一个矩形，则四边形ABCD一定是（）A．矩形B．菱形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形
4．如图，函数
k
y
x
=-与1
y kx
=+（0
k≠）在同一平面直角坐标系中的图像大致
（）
A．B．
C．D．
5．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”，获得的数据如表：
若抛掷硬币的次数为3000，则“正面朝上”的频数最接近（）A．1000 B．1500 C．2000 D．2500
6．反比例函数
3
y
x
=-，下列说法不正确的是（）
A．图象经过点(1,-3) B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y=x对称D．y随x的增大而增大
7．小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表：
抛掷次数100200300400500
正面朝上的频数5398156202244
若抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近（）
A．20 B．300 C．500 D．800
⊥交AB于点F，若
8．如图所示，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF CE
=，求AE的长( )
2
DE=，矩形ABCD的周长为16，且CE EF
A．2B．3C．4D．6
9．要反应一周气温的变化情况，宜采用（）
A．统计表B．条形统计图C．扇形统计图D．折线统计图
10．下列判断正确的是（）
A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．两组邻边相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形
二、填空题
11．如图，为测量平地上一块不规则区域（图中的阴影部分）的面积，画一个边长为2m
的正方形，使不规则区域落在正方形内，现向正方形内随机投掷小石子（假设小石子落在
正方形内每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现小石子落在不规则区域的
频率稳定在常数0.25附近，由此可估计不规则区域的面积是__m2．
12．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成
阴影和空白部分，若菱形的面积为20cm2，则阴影部分的面积为_____cm2．
13．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，F是线段DE上一点，连接AF，
BF，若AB＝16，EF＝1，∠AFB＝90°，则BC的长为_____．
14．要使代数式5
x-有意义，字母x必须满足的条件是_____．
15．48与最简二次根式23
a-是同类二次根式，则a＝_____．
16．如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝________°．
17．若点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，则y1，y2的大
小关系是y1_____y2．
18．如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是菱形，OB＝OD＝2，∠BOD＝60°，将菱形OBCD绕点O旋转任意角度，得到菱形OB1C1D1，则点C1的纵坐标的最小值为_____．
19．如图，正方形ABCD的边长为a，对角线AC和BD相交于点O，正方形A1B1C1O的边OA1交AB于点E，OC1交BC于点F，正方形A1B1C1O绕O点转动的过程中，与正方形ABCD重叠部分的面积为_____（用含a的代数式表示）
20．▱ABCD的周长是32cm，∠ABC的平分线交AD所在直线于点E，且AE：ED＝3：2，则AB的长为_____．
三、解答题
21．先化简：
2
2
24
1
a a
a a a
+-
-÷
-
，再从﹣1、0、1、2中选一个你喜欢的数作为a的值代入
求值．
22．某校计划组织学生参加“书法”、“摄影”、“航模”、“围棋”四个课外兴趣小组，要求每人必须参加，并且只能选择其中一个小组．学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的条形统计图和扇形统计图（部分信息未给出）．请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求参加这次问卷调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）若该校共有1200名学生，请你过计算估计选择“围棋”课外兴趣小组的学生有多少人．
23．已知：如图，AC、BD相交于点O，且点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD的形外，且∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD是矩形．
24．如图，在ABC中，∠BAC＝90°，DE是ABC的中位线，AF是ABC的中线．求证DE＝AF．
证法1：∵DE是ABC的中位线，
∴DE＝．
∵AF是ABC的中线，∠BAC＝90°，
∴AF＝，
∴DE ＝AF ．
请把证法1补充完整，连接EF ，DF ，试用不同的方法证明DE ＝AF
证法2：
25．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝3．
（1）在图①中，P 是BC 上一点，EF 垂直平分AP ，分别交AD 、BC 边于点E 、F ，求证：四边形AFPE 是菱形；
（2）在图②中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形，使得菱形的四个顶点都在矩形ABCD 的边上，并直接．．
标出菱形的边长．（保留作图痕迹，不写作法）
26．如图，∠MON ＝90°，正方形ABCD 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，AB ＝13，OB ＝5，E 为AC 上一点，且∠EBC ＝∠CBN ，直线DE 与ON 交于点F ．
（1）求证BE ＝DE ；
（2）判断DF 与ON 的位置关系，并说明理由；
（3）△BEF 的周长为 ．
27．如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在边CB 、AD 的延长线上，且BE ＝DF ，EF 分别与AB ，CD 交于点G ，H ，则BG 与DH 有怎样数量关系？证明你的结论．
28．已知：ABC ∆中以CB 为边在ABC ∆外侧作等边CBP ∆．
（1）连接AP ，以AP 为边作等边APQ ∆，求证：AC BQ =；
（2）当30CAB ∠=︒，4AB =，3AC =时，求AP 的值；
（3）若4AB =，3AC =，改变CAB ∠的度数，发现CAB ∠在变化到某一角度时，AP 有最大值．画出CAB ∠为这个特殊角度时的示意图，并直接写出CAB ∠的角度和AP 的最大值．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据全面调查与抽样调查的特点对四个选项进行判断．
【详解】
A 、了解一批灯泡的使用寿命情况，适合采用抽样调查，所以A 选项符合题意；
B 、了解某班学生视力情况，适合采用普查，所以B 选项不合题意；
C 、了解某校初二学生体重情况，适合采用普查，所以C 选项不合题意；
D 、了解我国人口男女比例情况，适合采用普查，所以D 选项不合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了全面调查与抽样调查：如何选择调查方法要根据具体情况而定．一般来讲：通过普查可以直接得到较为全面、可靠的信息，但花费的时间较长，耗费大，且一些调查项目并不适合普查．其二，调查过程带有破坏性．如：调查一批灯泡的使用寿命就只能采取抽样调查，而不能将整批灯泡全部用于实验．其三，有些被调查的对象无法进行普查．
2．A
解析：A
【分析】
共有3种花，选到月季花占其中的一种，利用概率公式进行求解即可.
【详解】
所有机会均等的可能共有3种，而选到月季花的机会有1种， 因此选到月季花的概率是
13
， 故选A ．
【点睛】
本题考查了简单的概率计算，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 3．D
【分析】
先画出图形，再根据中位线定理、矩形的定义、平行线的性质即可得．
【详解】
如图，点,,,E F G H 分别为,,,AB BC CD AD 的中点，四边形EFGH 是矩形 连接AC 、BD
由中位线定理得：//,//AC GH BD EH
四边形EFGH 是矩形
90EHG ∴∠=︒，即EH GH ⊥
EH AC ∴⊥
BD AC ∴⊥
即四边形ABCD 一定是对角线互相垂直的四边形
故选：D ．
【点睛】
本题考查了中位线定理、矩形的定义、平行线的性质，依据题意，正确画出图形，并掌握中位线定理是解题关键．
4．B
解析：B
【分析】
分k ＞0和k ＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项．
【详解】
解：当k ＞0时，函数1y kx =+的图象经过一、二、三象限，反比例函数k y x =-的图象分布在二、四象限，没有选项符合题意；
当k 0<时，函数1y kx =+的图象经过一、二、四象限，反比例函数k y x
=-
的图象分布在一、三象限，B 选项正确，
故选：B .
【点睛】
考查了反比例函数和一次函数的性质，解题的关键是能够分类讨论，难度不大． 5．B
解析：B
随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】
解：观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近， 所以抛掷硬币的次数为3000，则“正面朝上”的频数最接近3000×0.5＝1500次， 故选：B ．
【点睛】
本题考查利用频率估算概率，解题的关键是掌握利用频率估算概率的方法．
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A 选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对其它选项做出判断，得出答案．
【详解】
解：由点()1,3-的坐标满足反比例函数3y x
=-，故A 是正确的； 由30k =-<，双曲线位于二、四象限，故B 也是正确的； 由反比例函数的对称性，可知反比例函数3y x =-
关于y x =对称是正确的，故C 也是正确的，
由反比例函数的性质，0k <，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D 是不正确的，
故选：D ．
【点睛】
考查反比例函数的性质，当0k <时，在每个象限内y 随x 的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，y x =和y x =-是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.
7．C
解析：C
【分析】
随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【详解】
观察表格发现：随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到0.5附近，
所以抛掷硬币的次数为1000，则“正面朝上”的频数最接近10000.5500⨯=次，故选C ．
【点睛】
本题考查利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解在大量重复试验中，可以用频率估计概率．
8．B
【分析】
易证△AEF ≌△ECD ，可得AE=CD ，由矩形的周长为16，可得2(AE+DE+CD)=16，可求AE 的长度．
【详解】
∵四边形ABCD 为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵EF ⊥CE ，
∴∠CEF=90°，
∴∠CED+∠AEF=90°，
∵∠CED+∠DCE=90°，
∴∠DCE=∠AEF ，
在△AEF 和△DCE 中，
A D AEF DCE EF CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△AEF ≌△DCE(AAS)，
∴AE=DC ，
由题意可知：2(AE+DE+CD)=16，DE=2，
∴2AE=6，
∴AE=3；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的性质和判定以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
9．D
解析：D
【分析】
反应一周气温的变化情况，即反应一周气温的升高、降低的变化情况，因此采取折线统计图较好．
【详解】
解：折线统计图能够直观反应出一组数据的增减变化情况，因此要反应一周的气温变化情况，采用折线统计图较好，
故选：D ．
【点晴】
本题考查了各种统计图表的特征及应用，掌握统计图表的特征是解题的关键.
10．A
解析：A
利用特殊四边形的判定定理逐项判断即可.
【详解】
A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，此项正确
B、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，此项错误
C、对角线相等的平行四边形是矩形，此项错误
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此项错误
故选：A.
【点睛】
本题考查了特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形）的判定定理，掌握理解各判定定理是解题关键.
二、填空题
11．1
【详解】
解：由题意可知，正方形的面积为4平方米，
因为小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，
所以不规则区域的面积约是4×0.25=1平方米.
故答案为：1
解析：1
【详解】
解：由题意可知，正方形的面积为4平方米，
因为小石子落在不规则区域的频率稳定在常数0.25附近，
所以不规则区域的面积约是4×0.25=1平方米.
故答案为：1
12．10
【分析】
根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．
【详解】
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH
解析：10
【分析】
根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，即可得出结果．【详解】
∵O是菱形两条对角线的交点，菱形ABCD是中心对称图形，
∴△OEG≌△OFH，四边形OMAH≌四边形ONCG，四边形OEDM≌四边形OFBN，
∴阴影部分的面积=1
2
S菱形ABCD=
1
2
×20=10（cm2）．
故答案为：10．
【点睛】
本题考查了中心对称，菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识；熟记性质并判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．
13．18
【分析】
根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝AB＝8，
∵EF＝1，
解析：18
【分析】
根据直角三角形的性质得到DF＝8，根据EF＝1，得到DE＝9，根据三角形中位线定理解答即可．
【详解】
解：∵∠AFB＝90°，点D是AB的中点，
∴DF＝1
2
AB＝8，
∵EF＝1，
∴DE＝9，
∵D、E分别是AB，AC的中点，
∴BC＝2DE＝18，
故答案为：18
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
14．x≥5
【分析】
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
∵代数式有意义，
∴x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案是：x≥5．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，二
解析：x≥5
【分析】
根据二次根式有意义，被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【详解】
∴x﹣5≥0，
解得x≥5．
故答案是：x≥5．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
15．3
【分析】
首先化简二次根式，再根据同类二次根式定义可得2a﹣3＝3，再解即可．【详解】
，
∵与最简二次根式是同类二次根式，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点睛】
此题主
解析：3
【分析】
2a﹣3＝3，再解即可．【详解】
==，
是同类二次根式，
∴2a﹣3＝3，
解得：a＝3，
故答案为：3．
【点睛】
此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把二次根式化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
16．35
【分析】
先根据三角形外角的性质和矩形的性质得到∠OCD的度数，再根据DE⊥AC即可得到∠CDE的度数．
【详解】
∵∠AOD＝110°，
∴∠ODC+∠OCD=110°，
∵四边形ABCD是
解析：35
【分析】
先根据三角形外角的性质和矩形的性质得到∠OCD的度数，再根据DE⊥AC即可得到∠CDE 的度数．
【详解】
∵∠AOD＝110°，
∴∠ODC+∠OCD=110°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OC=OD，
∴∠ODC=∠OCD=55°，
又∵DE⊥AC，
∴∠CDE=180°-∠OCD-∠DEC=180°-55°-90°=35°，
故答案为：35．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，三角形内角和，三角形外角的性质，掌握知识点是解题关键．17．＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．
【详解】
∵反比例函数中，k＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数的图象上，
解析：＜
【分析】
直接利用反比例函数的增减性分析得出答案．【详解】
∵反比例函数
1
y
x
=-中，k＝﹣1＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵点A（﹣4，y1），B（﹣2，y2）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，且﹣2＞﹣4，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确把握反比例函数的性质是解题关键．
18．【分析】
连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求BE＝BC＝1，CE ＝，由勾股定理可求OC的长，据此进一步分析即可求解．
【详解】
如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，
解析：23
-
【分析】
连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，由直角三角形的性质可求BE＝1
2
BC＝1，CE＝3，由
勾股定理可求OC的长，据此进一步分析即可求解．【详解】
如图，连接OC，过点C作CE⊥x轴于点E，
∵四边形OBCD是菱形，
∴OD∥BC，
∴∠BOD＝∠CBE＝60°，
∵CE⊥OE，
∴BE＝1
2
BC＝1，CE3
∴OC ==
∴当点C 1在y 轴上时，点C 1
的纵坐标有最小值为-，
故答案为：-
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
19．a2．
【分析】
由题意得OA ＝OB ，∠OAB＝∠OBC＝45°又因为∠AOE+∠EOB＝90°，
∠BOF+∠EOB＝90°可得∠AOE＝∠BOF，根据ASA 可证△AOE≌△BOF，由全等三角形的性 解析：
14
a 2． 【分析】 由题意得OA ＝OB ，∠OAB ＝∠OBC ＝45°又因为∠AOE +∠EOB ＝90°，∠BOF +∠EOB ＝90°可得∠AOE ＝∠BOF ，根据ASA 可证△AOE ≌△BOF ，由全等三角形的性质可得S △AOE ＝S △BOF ，可得重叠部分的面积为正方形面积的
14
，即可求解． 【详解】
解：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°，
∵∠AOE +∠EOB ＝90°，∠BOF +∠EOB ＝90°，
∴∠AOE ＝∠BOF ． 在△AOE 和△BOF 中OAE OBF OA OB
AOE BOF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△AOE ≌△BOF （ASA ），
∴S △AOE ＝S △BOF ，
∴重叠部分的面积21144AOB ABCD S
S a ===正方形， 故答案为：
14
a 2． 【点睛】
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明△AOE ≌△BOF 是本题的关键． 20．6cm 或12cm ．
【分析】
证△ABE 是等腰三角形，分“点E 在线段AD 上” 和“点E 在AD 的延长线上”两种情况，分别求得答案即可．
【详解】
解：分两种情况：
①点E在线段AD上，如图1，
∵四边
解析：6cm或12cm．
【分析】
证△ABE是等腰三角形，分“点E在线段AD上” 和“点E在AD的延长线上”两种情况，分别求得答案即可．
【详解】
解：分两种情况：
①点E在线段AD上，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴AB+AD＝1
2
×32＝16（cm），∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
∴AB：AD＝3：5，
∵平行四边形ABCD的周长为32cm．
∴AB的长为：16×3
8
＝6（cm）．
②点E在AD的延长线上，如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∴AB+AD＝1
2
×32＝16（cm），∠AEB＝∠CBE，
∵∠ABC的平分线交AD所在的直线于点E，∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AE：ED＝3：2，
∴AB：AD＝3：1，
∵平行四边形ABCD 的周长为32cm ．
∴AB 的长为：16×34
＝12（cm ）； 故答案为：6cm 或12cm ．
【点睛】
本题考查了平行四边形与角平分线线的综合应用，熟知以上知识点及应用是解题的关键． 三、解答题
21．1a 2-
-，当1a =-时，原式1=3 【分析】 本题根据分式的除法和减法运算法则，结合平方差以及提公因式法将题目化简，然后从1-、0、1、2中选一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【详解】
原式2(1)1111(2)(2)22
a a a a a a a a a +--=-⨯=-=-+---， 由已知得：若使原分式有意义，需满足0a ≠，20a a -≠，240a -≠，
即当0a =、1、2、2-时原分式无意义，
故当1a =-时，原式11123
=-
=--． 【点睛】
本题考查分式的化简求值，解题关键在于对平方差、完全平方公式等运算法则的运用，其次注意计算仔细即可．
22．（1）150人；（2）见解析；（3）192人
【分析】
（1）根据书法小组的人数及其对应百分比可得总人数；
（2）根据各小组人数之和等于总人数求得航模人数，从而补全图形；
（3）总人数乘以样本中围棋的人数所占百分比即可．
【详解】
（1）参加这次问卷调查的学生人数为：30÷20%=150（人）；
（2）航模的人数为150﹣(30+54+24)=42（人），补全条形统计图如下：
（3）该校选择“围棋”课外兴趣小组的学生有：1200×
24
150
×100%=192（人）．
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．见解析
【分析】
连接EO，证四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EO＝1
2
AC，在Rt△EBD中，EO＝
1
2
BD，得到AC＝BD，即可得出结论．【详解】
证明：连接EO，如图所示：
∵O是AC、BD的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
在Rt△EBD中，
∵O为BD中点，
∴EO＝1
2 BD，
在Rt△AEC中，∵O为AC的中点，
∴EO＝1
2 AC，
∴AC＝BD，
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD 是矩形．
【点睛】
此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定、直角三角形斜边上的中线性质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
24．2BC ，2BC ，证明见解析 【分析】 证法1：根据三角形中位线定理得到DE=
12BC ，根据直角三角形的性质得到AF=12BC ，等量代换证明结论；
证法2：连接DF 、EF ，根据三角形中位线定理得到DF ∥AC ，EF ∥AB ，证明四边形ADFE 是矩形，根据矩形的对角线相等证明即可．
【详解】
证法1：∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DE=12
BC ， ∵AF 是△ABC 的中线，∠BAC=90°，
∴AF=12
BC ， ∴DE=AF ，
证法2：连接DF 、EF ，
∵DE 是△ABC 的中位线，AF 是△ABC 的中线，
∴DF 、EF 是△ABC 的中位线，
∴DF ∥AC ，EF ∥AB ，
∴四边形ADFE 是平行四边形，
∵∠BAC=90°，
∴四边形ADFE 是矩形，
∴DE=AF ．
故答案为：
12BC ；12
BC ． 【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据矩形的性质和EF垂直平分AP推出AF＝PF＝AE＝PE即可判断；
（2）以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，此时的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形．
【详解】
（1）证明：如图①
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵EF垂直平分AP，
∴AF＝PF，AE＝PE，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝AF，
∴AF＝PF＝AE＝PE，
∴四边形AFPE是菱形；
（2）如图②，以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线，连接各个点，所得的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形；
此时设菱形边长为x，
则可得12+（3-x）2=x2，
解得x=5
3
，
所以菱形的边长为5
3
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，菱形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．
26．（1）见解析；（2）DF⊥ON，理由见解析；（3）24
【分析】
（1）根据正方形的性质证明△BCE≌△DCE即可；
（2）由第一题所得条件和已知条件可推出∠EDC＝∠CBN，再利用90°的代换即可证明；（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，结合已知条件推出DF和BF的长，再根据第一题结论得出△BEF的周长等于DF加BF即可得出答案．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD正方形，∴CA平分∠BCD，BC＝DC，
∴∠BCE＝∠DCE＝45°，
∵CE＝CE，
∴△BCE≌△DCE（SAS）；
∴BE＝DE；
（2）DF⊥ON，理由如下：
∵△BCE≌△DCE，
∴∠EBC＝∠EDC，
∵∠EBC＝∠CBN，
∴∠EDC＝∠CBN，
∵∠EDC+∠1＝90°，∠1＝∠2，
∴∠2+∠CBN＝90°，
∴∠EFB＝90°，即DF⊥ON；
（3）过D点作DG垂直于OM，交点为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∴∠DAG+∠BAO=90°，
∵∠ABO+∠BAO=90°，
∴∠DAG=∠ABO，
又∵∠MON=90°，DG⊥OM，
∴△ADG≌△ABO，
∴DM=AO，GA=OB=5，
∵AB=13，OB=5，
根据勾股定理可得AO=12，
由（2）可知DF ⊥ON ，
又∵∠MON=90°，DG ⊥OM ，
∴四边形OFDM 是矩形，
∴OF=DG=AO=12，DF=OM=17，
由（1）可知BE ＝DE ，
∴△BEF 的周长=DF+BF=17+（12-5）=24．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，掌握知识点是解题关键．
27．见解析
【分析】
由平行四边形的性质得AD ∥BC ，根据平行线的性质证明∠E ＝∠F ，角边角证明△AFG ≌△CEH ，其性质得AG ＝CH ，进而可证明BG ＝DH ．
【详解】
BG ＝DH ，理由如下：
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AB ＝DC ，
∴∠E ＝∠F ，
又∵BE ＝DF ，AF ＝AD +DF ，CE ＝CB +BE ，
∴AF ＝CE ，
在△CEH 和△AFG 中，
A C AF CE F E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△AFG ≌△CEH （ASA ），
∴AG ＝CH ，
∴BG ＝DH ．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
28．（1）证明见解析；（2）5AP =；（3）图见解析，7AP =，∠CAB=120°．
【分析】
（1）只需借助等边三角形的性质证明△ACP ≌△QBP 即可得出结论；
（2）利用（1）中的全等和等边三角形的性质可求得90ABQ ∠=︒，再借助勾股定理即可求得AQ ，即AP 的值；
（3）当AQ 最长时，AP 最长，此时Q 在QB 的延长线，由此得解．
【详解】
解：（1）证明：
∵CBP ∆和APQ ∆为等边三角形，
∴AP=PQ ，CP=BP ，
∠CPN=∠APQ=60°，
∴∠CPA=∠BPQ ，
∴△ACP ≌△QBP （SAS ）
∴AC=BQ ；
（2）∵△ACP ≌△QBP ，
∴3BQ AC ==，CAP BQP ，AP AQ =， ∵APQ ∆为等边三角形，
∴60PAQ AQP , ∵30CAB ∠=︒
∴BAQ AQB CAQ CAB AQP BQP 603060CAP BQP
90=︒
∴90ABQ ∠=︒， ∴2222435AP
AQ AB BQ ； （3）如下图，当等边△APQ 的AQ 边在AB 的延长线上时，AQ 有最大值，即AP 有最大
值，
由（1）得△ACP ≌△QBP ，
∴BQ=CA=3，∠CAP=∠Q,
∵△APQ 为等边三角形，
∴∠CAP=∠Q=60°，AP=AQ=AB+BQ=7．
∴∠CAB=120°，
故AP 最大值时，7AP =，此时∠CAB=120°．
【点睛】
本题考查等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理，勾股定
理．（1）中熟练掌握等边三角形的性质，得出∠CPA=∠BPQ 是解题关键；（2）中能求得
∠=︒是解题关键；（3）中能想到AQ有最大值，即AP有最大值是解题关键．ABQ
90。