湖北省荆州中学2018届高三上学期第五次半月练数学(文)试卷(含答案)

荆州中学2018届高三上学期第五次半月练
数学（文）试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 已知i 为虚数单位，m R ∈，复数2
2
310(4)z m m m m i =-+++-，若z 为正实数，则m 的取值集合为( ) A. {0}
B. {0,4}
C. {2,5}-
D. {5,2}-
2. 已知集合2{43},{2}x A x y x x B y y ==++==-，则集合()R A B =I ð ( )
A. (3,1)--
B. (,3][1,0)-∞--U
C. (3,1)[0,)--+∞U
D. [0,)+∞
3. 已知31(),,ln 3
x a b x c x ===，当2x >时，,,a b c 的大小关系为( ) A. a b c <<
B. a c b <<
C. c b a <<
D. c a b <<
4.已知等比数列{}n a 中，162533,32a a a a +==，且公比1q >，则27a a += ( ) A. 129
B. 128
C. 66
D. 36
5.设函数21,3,
()44,3,
x x x f x x ⎧+>=⎨-≤⎩若()(2)f a f =，且2a ≠，则(2)f a = ( )
A. 16
B. 17
C. 121
D. 122
6.如图茎叶图记录了甲、乙两组各六名学生在一次数学测试中的成绩（单位：分），规定85分以上（含85分）为优秀，现分别从甲、乙两组中随机选取一名同学的数学成绩，则两人成绩都为优秀的概率是 ( ) A.
1
2
B.
13
C.
23
D.
14
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某 四棱锥的三视图，则此几何体的表面积为 ( )
A. 42(23)++
B. 10
C. 62(25)++
D. 12
8. 已知抛物线2
:2(0)C x py p =>焦点为,F O 为坐标原点，若抛物线C 上存在点M ，使得
3OM MF ==，则p 的值为( )
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
9.已知锐角三角形ABC 的外接圆半径为
3
3
BC ，且3,4,AB AC ==则BC = ( ) A.
13
B. 5
C. 6
D.
37
10. 空间直角坐标系中满足方程2
2
2
1x y z ++=的点是以原点为球心，1为半径的球，据此，我们可以用随机模拟的方法估计π的值，
如下程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是 产生随机数的函数，它能产生0～1之间的均匀 随机数），若输出的结果为527，则由此可估计
π的近似值为( )
A. 3.126
B. 3.132
C. 3.151
D. 3.162
11．已知函数()sin()4
f x x π
π=+
和函数()cos()4g x x π
π=+
在区间93
[,]44
-上的图象交于,,A B C ，则ABC ∆的面积是（ ）
A.
2
2
B.
32
4
C.
52
4
D.
2
12．已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且12PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，若212PF F F =，则
21
3
3e e +的最小值为（ ） A. 623+
B. 8
C. 622+
D. 6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量,a b r r 满足1,()3a a a b =⋅+=-r r r r
，则b r 在a r 方向上的投影为 ______________．
14．设曲线线1
1
x y x +=
-在点(2,3)处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a = ______________．
15． 约成书于公元前1世纪的中国古代数学名著《周髀算经》曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用现代数学符号表示是222a b c +=，可见当时就已经知道勾股定理，如果正整数,,a b c 满足
222a b c +=，我们就把正整数,,a b c 叫做勾股数，下面依次给出前4组勾股数：3，4，5；5，12，
13；7，24，25；9，40，41. 则按照此规律，第6组勾股数为_______．
16. 若,x y 满足约束条件1,30,30,x x y x y ≥⎧
⎪+-≤⎨⎪--≤⎩
设22
4x y x ++的最大值点为A ，则经过点A 和(2,3)
B --的直线方程为_____________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（本题12分）已知数列{}n a 中，131,6a a ==，且1(2)n n a a n n λ-=+≥.
（1）求λ的值及数列{}n a 的通项公式；（2）设数列1
{
}n
a 的前n 项和为n T ，求证： 2.n T < 18．（本题12分）如图，多面体11ABC DB C -是由三棱柱111ABC A B C -截去一部分而成，D 是1
AA 的中点.
（1）若1,AD AC AD ==⊥平面,ABC BC AC ⊥， 求点C 到面11B C D 的距离；
（2）若E 为AB 的中点，F 在1CC 上，且
1
CC CF
λ=，问λ为何值时，直线//EF 平面11?B C D 19．（本题12分）某手机厂商新推出一款大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名
男性）进行调查，对手机进行打分，打分的频率分布表如下：女性用户： 分值区间 [50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
20
40
80
50
10
男性用户：
分值区间 [50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
频数
45
75
90
60
30
（1） 完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不要求计算具体值，给出结论即可）；
（2）分别求女性用户评分的众数，男性用户评分的中位数；
（3）如果评分不低于70分，就表示该用户对手机“认可”，否则就表示“不认可”，完成下列2×2列联表，并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．
女性用户
男性用户
合计 “认可”手机 “不认可”手机
合计
附：22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，临界值表：
2()P K k ≥
0.05 0.005 k
3.841
7.879
20．（本题13分）如图，圆C 与x 轴相切于点(2,0)T ，与y 轴正半轴半轴相交于两点,M N （点M 在点N 的下方），且 3.MN =
（1）求圆C 的方程；
（2）过点M 任作一条直线与椭圆22
184
x y += 相交于两点,A B ，连接,AN BN ，求证：ANM BNM ∠=∠． 21．（本题14分）设函数32
11(),.32
f x x x ax a R =
-+∈ （1） 若2x =是()f x 的极值点，求a 的值；
（2）已知函数212
()()23
g x f x ax =-+，若()g x 在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围． 选考题：
22. [选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标xoy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，若曲线C 的极坐标议程为2
cos 4sin 0,P ρθθ-=点的极坐标为(3,)2
π
，在平面直角坐标系中，直线l 经过点P ，斜
（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； （2）设直线l 与曲线C 的相交于,A B 两点，求
11PA PB
+的值. 23. [选修4－5：不等式选讲]（10分）
已知0,0a b >>，且1a b +=.（1）若ab m ≤恒成立，求m 的取值范围； （2）若
41
212x x a b
+≥--+恒成立，求x 的取值范围.
荆州中学高三第五次双周练数学卷（文科）
参考答案
一、选择题
1－6 BCBCDB 7-12 CCADDB 二、填空题 13. －4 14. －1
2
15. 13，84，85. 16. 3590x y --= 三、解答题
17．解：（1）因为111,n n a a a n λ-=-+，所以2312,15a a λλ=+=+.
由3156a λ=+=，所以 1.λ=
于是1n n a a n -=+，即11223,1,n n n n n n a a n a a n a a ------=-=--
212,, 2.n a a =-⋅⋅⋅-=
以上各式累加得(1)
1234.2
n n n a n +=++++⋅⋅⋅++=
（2）证明：由（1）得
12112()(1)1n a n n n n ==-++，则1231111n n
T a a a a =+++⋅⋅⋅+ 111111112(1)2(1)2233411
n n n =-
+-+-+⋅⋅⋅+-=-++，所以 2.n T <
18．解：（1）连接11111,,.CB C D B C DC CD B C V V =
设所求为h ，易知12CD C D ==，设11B C x =，
所以1111
2223232
x h x ⋅
⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅，得 2.h = 另解：证明CD ⊥平面11B C D ，则CD 即为所求.
（2）4λ=时，直线11//EF B C D .证明如下：
取AC 的中点为1,G CC 的中点为H ，连接,,,AH GF GE 因为//
1AD C H =，所以四边形
1ADC H 为平行四边形，所以1//,AH C D 又F 是CH 的中点，G 是AC 的中点，所以
//GF AH ，所以1//,GF C D 又1C D ⊂平面11C DB ，所以11//GF C DB ，
又,G E 分别是,AC AB 的中点，所以11////GE BC B C ，又11B C ⊂平面11C DB ，所以
11//.GE C DB
又,G E GF G =I ，所以平面//GEF 平面11DB C ，又EF ⊂平面GEF ，所以//EF 平
面11DB C ，此时 4.λ=
19. 解：（1）
由图可得女性用户评分的波动小，男性用户评分的波动大.
（2）由女性用户评分的频率分布直方图知，女性用户评分的众数为75；在男性用户频率分布直方图中，中位数两边的面积相等.
设中位数为x ，则7080x <<，于是10×0.015+10×0.015+10×0.025+（x-70）×0.03=0.5,解得1
73.3
x =
（3）2×2列联表如下表：
女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 140 180 320 “不认可”手机
60 120 180 合计
200
300
500
2
2
500(14012018060) 5.208 3.841200300320180
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以95%的把握认为性别和对手机的“认
可”有关.
20.解：（1）设圆C 的半径为(0)r r >，依题意，圆心坐标为(2,).r
因为3MN =，所以3223
()22r =+，解得225.4
r = 圆C 的方程为22525(2)().24
x y -+-=
（2）证明：把0x =代入方程22525
(2)(),2
4
x y -+-=
解得1y =或4y =,即点(0,1),(0,4)M N .
①当AB x ⊥轴时，可知0.ANM BNM ∠=∠=
②当AB 与x ⊥轴不垂直时，可设直线AB 的方程为 1.y kx =+
联立方程22
1,28,
y kx x y =+⎧⎨
+=⎩消去y 得，22
(12)460k x kx ++-=. 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212
22
46
,.1212k x x x x k k --+==++ 所以142121212121212
43323()
.AN BN y y kx kx kx x x x k k x x x x x x -----++=
+=+= 若0AN BN k k +=，即.ANM BNM ∠=∠ 因为121222
121223()01212k k
kx x x x k k ---+=-=++，所以.ANM BNM ∠=∠
21.解：（1）由22
11()32
a f x x x ax =
-+ 求得2().f x x x a '=-+ 所以(2)4202f '=-=⇒-，代入得2
()2(2)(1)f x x x x x '=--=-+，满足题意，故 2.a =- （2）由232121112()()(),233223
g x f x ax x a x ax =-
+=-+++ 求得2
()(1)(1)(),g x x a x a x x a '=-++=--
所以当1a ≥时，若(0,1)x ∈，则()0,()g x g x '>单调递增， 又2
(0)03
g =
>，此时在()g x 在区间(0,1)内没有零点； 当01a <<时，若(0,)x a ∈，则()0,()g x g x '>单调递减，若(,1)x a ∈则()0,()g x g x '<单调递减，又2
(0)03
g =
>，此时欲使()g x 在区间(0,1)内有零点，必有
11121
(1)0,(1)0()01,32232
g g a a a <<⇒
-+++=<⇒<-无解. 当0a ≤进，若(0,1)x ∈，则()0,()g x g x '<单调递减，此时欲使()g x 在区间(0,1)内有零点，必有(1)0 1.g a <⇒<- 综上，a 的取值范围为(,1).-∞-
22. 解：（1）曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为2
4,x y P =点的极坐标为(3,)2
P π
，化为
直角坐标为(0,3).P
直线l 的参数方程为cos ,3
3sin ,3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
即1,2(3x t t y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩为参数）. （2）将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得
1
4
2
12t =+，整理
得2480,t --=显然有0>V
，则121248,t t t t =-+=
121248,PA PB t t t t PA PB ===+
1212t t t t =+=-==
所以11PA PB PA PA PA PB ++==
23. 解：（1）因为0,0a b >>，且1a b +=，所以21(
)24a b ab +≤=，
当且仅当1
2
a b ==时“＝”成立，由ab m ≤恒成立，故14m ≥，即m 的取值范围为1
[,).4
+∞.
（2）因为,(0,),1,a b a b ∈+∞+=所以41414()()59,b a
a b a b a b a b
+=++=++≥
故41
212x x a b
+≥--+恒成立，则2129,x x --+≤ 当2x ≤-时，不等式化为1229x x +++≤，解得62x -≤≤-；
当
1
2
2
x
-<<时，不等式化为1229
x x
---≤，解得
1
2
2
x
-<<；
当
1
2
x≥时，不等式化为2129
x x
---≤，解得
1
12.
2
x
≤≤
综上，x的取值范围为[6,12]
-.。