新课标高考数学理一轮复习课件：2.8 《函数模型及其应用》新人教版必修

考点三 分段函数问题 【案例3】 某公司生产某种电子仪器的固定 成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100 元．已知总收益满足函数R(x)
＝400x－12x2 ，0≤x≤400； 其中 x 是仪器的 80 000， x＞400，
月产量． (1)将利润表示为月产量的函数f(x)； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克) 与时间t(小时)之间的函数关系式为__________________ ________________________________________________．
考点二 二次函数问题 【案例2】 某市现有从事第二产业人员100万人，平 均每人每年创造产值a万元(a为正常数)，现在决定从中分 流出x万人去加强第三产业．分流后，继续从事第二产业 的人员平均每人每年创造产值可增加2x%(0<x<100)，而 分流出的从事第三产业的人员，平均每人每年可创造产值 1.2a万元．在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流 出多少人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多？ 关键提示：“保证第二产业的产值不减少”转译为数 学语言是一个“二次不等式模型”，“该市第二、三产业 的总产值增加最多”转译为数学语言是一个“二次函数的 最值问题”．
2．函数模型的应用实例
根据收集的数据的特点，通过建立函数模型，解决实
际问题的基本过程如下：
1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最
近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和
0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系
式较为近似的是
()
A．y＝0.2x
B．y＝110(x2＋2x)
所以 0≤t≤151. 火车行驶的路程 s 与 t 的关系式是
s＝13＋120t0≤t≤151. 火车行驶 2 h 的路程为 s＝13＋120×2－16＝233(km)． 答：s 与 t 满足的函数关系式为 s＝13＋120t0≤t≤151， 火车行驶 2 h 的路程为 233 km.
(2)当 0≤x≤400 时， f(x)＝－12(x－300)2＋25 000.
当x＝300时，有最大值25 000. 当x＞400时，f(x)＝60 000－100x是减函数， f(x)＜60 000－100×400＜25 000. 综上，当x＝300时，有最大值25 000. 答：月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利 润是25 000元．
解：根据题意，商品的价格随着时间t变化，所以应 分类讨论，设日销售额为F(t)．
当0≤t＜20，t∈N时，
F(t)＝12t＋11－13t＋433 ＝－16t－2212＋4 22425， 所以当 t＝10 或 t＝11 时，F(t)max＝176. 当 20≤t≤40，t∈N 时， F(t)＝(－t＋41)－13t＋433＝13(t－42)2－13.
答案：B
3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀 速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以 匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原 地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为 ( )
解析：注意到y为“小王从出发到返回原地所经过的 路程”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D.
答案：D
4．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则
燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图
象表示为
()
解析：函数关系式为h＝20－5t.故选B. 答案：B
1．函数模型的应用实例 解函数应用问题，一般可按以下四步进行． 第一步：阅读理解，认真审题，即读懂题中的文 字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概 括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概 念，进而把握住新信息． 在此基础上，分析出已知什么，求什么，涉及哪 些知识，确定自变量与函数值的意义，尝试问题的函数 化．在审题时，要抓住题目中的关键量，要勇于尝试、 探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问 题向数学问题的转化．
大利润为多少元？
关键提示：(1)因为总收益＝总成本＋利润，所以利 润＝总收益－总成本．因为R(x)是分段函数，所以f(x)也 是分段函数．(2)分别求出f(x)各段中的最大值，通过比较 就可以求出f(x)的最大值．
解：(1)设月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，
所以 f(x)＝－12x2＋300x－20 000，0≤x≤400； 60 000－100x， x＞400.
所以当t＝20时，F(t)max＝161. 综上，当t＝10或t＝11时，日销售额最大，最大值为176.
考点四 指数函数问题
【案例 4】 为了预防流感，某学校对教室用药熏 消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米 空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释 放完毕后，y 与 t 的函数关系式为 y＝116t－a(a 为常数)， 如图所示．根据图中提供的信息，回答下列问题：
【即时巩固1】 某列火车从北京西站开往石家庄， 全程277 km.火车出发10 min后，以120 km/h的速度匀速 行驶，且火车在前10 min内共行驶了13 km.试写出火车行 驶的路程s km与匀速行驶的时间t h之间的函数关系式，并 求火车行驶2 h的路程．
解：因为火车匀速行驶的时间为2771－2013＝151(h)，
【即时巩固 3】 据调查，某商品在最近 40 天内的价
格 f(t)与时间 t 满足 f(t)＝12t＋11，0≤t＜20，t∈N； －t＋41，20≤t≤40，t∈N，
销售量 g(t)与时间 t 满足 g(t)＝－13t＋433(0≤t≤40，t∈N)．求 这种商品的日销售额(销售量与价格之积)的最大值．
1．几类函数模型 (1)一次函数模型：_y_＝__a_x_＋__b_(_a_≠_0_)． (2)二次函数模型： _y_＝__a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠_0_)_ ． (3)指数函数模型： _y_＝__m_·_a_x_＋__n_(m__≠_0_，__a_>_0_，__a_≠_1_)_ ． (4)对数函数模型： _y_＝__m_·_l_o_g_ax_＋__n_(_a_>_0_，__a_≠_1_，__m__≠_0_) ． (5)幂函数模型： _y_＝__a_·x_n_＋__b_(_a_≠_0_，__n_≠_1_)_．
(即时巩固详解为教师用书独有)
考点一 一次函数问题 【案例1】 某家报刊销售点从报社买进报纸的价 格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.50元，卖不掉的 报纸还可以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(30 天)里，有20天每天可以卖出400份，其余10天每天只能 卖出250份．设每天从报社买进的报纸的数量相同，则 应该每天从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最 大？该销售点一个月最多可赚多少元？
综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)、y ＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不 同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长 速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，因此总会 存在一个x0，当x>x0时，就有logax<xn<ax.
【即时巩固 2】 某地区地理环境偏僻，严重制约着经 济的发展，某种土特产品只能在本地销售．该地区政府每
投资 x 万元，可获利润 P＝－1160(x－40)2＋10 万元．为顺 应开发大西北的宏伟决策，该地区政府在制定经济发展十 年规划时，拟开发此种土特产品，而开发前后用于该项目 投资的专项财政拨款每年都是 60 万元．若开发该产品，必 须在前 5 年中，每年从 60 万元专款中拿出 30 万元投资修 通一条公路，且 5 年可以修通．公路修通后该土特产品在 异地销售，每投资 x 万元，可获利润 Q＝－115690(60－x)2＋1129 (60－x)万元．从 10 年的总利润来看，该项目有无开发价 值？
第四步：转译成具体问题作出回答．
2．有关logax，xn和ax的研究 一般地，对于指数函数y＝ax(a>1)和幂函数y＝
xn(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，尽管在
一定范围内，ax会小于xn，但ax的增长速度快于xn的增长
速度，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有ax>xn.同 样，对于对数函数y＝logax(a>1)和幂函数y＝xn(n>0)，在 区间(0，＋∞)上，随着x的增大，logax增长得越来越慢， 图象就像渐渐与x轴平行一样．尽管在一定范围内，logax 可能会大于xn，但logax的增长速度慢于xn的增长速度，因 此总存在一个x0，当x>x0时，就会有logax<xn.
关键提示：每月所赚的钱＝卖报总的收入－付给 报社的钱．而总的收入分为3部分：①在可卖出400份 的20天里，卖出x份，收入为0.5x×20元；②在可卖出 250份的10天里，在x份报纸中，有250份报纸可卖出， 收入为0.5×250×10元；③没有卖掉的(x－250)份报纸 可退回报社，报社付出(x－250)×0.08×10元．注意写 出函数式的定义域．
解：设每天应从报社买进x份报纸． 由题意知250≤x≤400. 设每月赚y元，得 y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－ 0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250,400]． 因为y＝0.3x＋1 050是定义域上的增函数， 所以当x＝400时，ymax＝120＋1 050＝1 170(元)． 答：每天从报社买进400份报纸，所获的利润最大， 每月最多可赚1 170元．
C．y＝120x
D．y＝0.2＋log16x
解析：因为 0.76≈0.8，所以沙漠增加数 y 公顷关
于年数 x 的函数关系较为近似的是 y＝120x. 答案 C
2．用固定的速度向右图形状 的瓶子中注水，则水面的高度h和 时间t之间的关系图象是 ( )
解析：开始时，高度增加比较缓慢，随着时间的推移 高度增加变快．故选B.
W2＝－1160x－402＋10×5＋－115690x2＋1129x×5 ＝－5(x－30)2＋4 500. 当 x＝30 时，W2 的最大值为 4 500， 所以 10 年总利润的最大值为3785＋4 500(万元)． 因为3875＋4 500＞100，故该项目具有较大的开发价值．
解：若按原来的投资方式，由题设知，每年只需从60 万元专款中拿出40万元投资，可获最大利润10万元．
这样10年总利润最大值为W＝10×10＝100(万元)． 若对该产品开发，则前 5 年中，当 x＝30 时，Pmax＝785，
前 5 年总利润为 W1＝785×5＝3785(万元)．
设后 5 年中，x 万元用于本地销售投资，(60－x)万元 用于异地销售投资，则总利润为
第二步：引进数学符号，建立数学模型．一般设自变 量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题中 的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相 关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实 现问题的数学化，即所谓的建立数学模型．
第三步：利用数学方法将得到的常规数学问题(即数 学模型)予以解答，求得结果．
解：设分流出x万人，为保证第二产业的产值不减 少，必须满足(100－x)·a·(1＋2x%)≥100a，
因为a>0，x>0，可解得0<x≤50， 设该市第二、三产业的总产值增加.2ax－100a
＝－0.02a(x2－110x) ＝－0.02a(x－55)2＋60.5a， 因为x∈(0,50]且f(x)在(0,50]上单调递增， 所以当x＝50时，f(x)max＝60a. 因此在保证第二产业的产值不减少的情况下，分流出 50万人，才能使该市第二、三产业的总产值增加最多．