控制系统的状态空间表达式

160
0
x2
x3
状态空间表达式求传递函数矩阵
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
x Ax bu
y Cx du
在初始松弛时（即：初始条件为零） ，求Laplace变换，并且化简
状态变量对输入量(输入到状态)的传递函数
Gxu (s)
sI
A 1b
adjsI detsI
A A
b
输出量对输入量(输入到输出)的传递函数（即：传递函数）
状态图如图：
状态空间表达式的建立
由系统高阶微分方程或传递函数演化推理
微分方程中不含有输入信号导数项
考察三阶系统，其微分方程为： y a2 y a1 y a0 y b0u
选取状态变量
则有 x1 x2
写成矩阵形式
x1 y
x2 x3
x1 0
x2
0
x3 a0
x2 y
x3 y
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
B
bn1 anr nr
d11 d1r
D
dm1 dmr mr
基本概念
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样的系 统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。
如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变系统。
状态变量的选取
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 1
x
x2
0
0
1
x2
2
u
Ax
bu
x3 a0 a1 a2 x3 3
x1
y x1 0u 1
0
0x2
0u
Cx
du
x3
状态空间表达式的建立
系统的状态图
状态空间表达式的建立
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y bnu(n) bn1u(n1) b1u b0u
在任意初始时刻 t0 的值以及 t ≥ t0 的系统输入，便能够完整地 确定系统在任意时刻 t 的状态。（状态变量的选择可以不同）
状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交 线性空间，称为状态空间。
状态方程——描述系统状态变量和输入量之间关系的方程。 输出方程——描述系统输出量和状态变量之间关系的方程。
i(t) 和 uC (t) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态
变量
基本概念
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
di(t)
dt duC (t)
1RL
dt C
Y (s) U (s)
bn1sn1 bn2sn2 sn an1sn1
b1s b0 a1s a0
引入辅助变量 z
状态空间表达式的建立
返回到微分方程形式： z(n) an1z(n1) a1z a0 z u
以及
b z (n1) n1
b1z
b0 z
y
选择状态变量如下：
x1 z x1 x2 z x2 x3 z
系统的状态方程和输出方程总合，称为系统状态空间表达式，或 称为系统动态方程，或称系统方程。
基本概念
例：如下图所示电路， u(t) 为输入量， uC (t) 为输出量。
建立方程：
L
di(t dt
)
Ri(t
)
uC
(t
)
u(t
)
i C duC (t) dt
初始条件：
i(t) t t0
i(t0 )
uC (t) tt0 uC (t0 )
xn
1 2
n 1 n
u
x1
y 1
0
0
0u
xn
状态空间表达式的建立
系统状态图如下
状态空间表达式的建立
（二）辅助变量法
设 n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y bn1u(n1) b1u b0u
Laplace变换，求传递函数
控制系统状态空间表达式
基本概念 状态空间表达式的建立 状态空间表达式求传递函数矩阵 离散系统的数学模型 线性变换 组合系统的数学描述
基本概念
状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。 这些信息对于确定系统未来的行为是充分且必要的。
状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量
基本概念
（1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定
（2）状态变量选取的非惟一性
在前面的例子中，如果重新选择状态变量 x1 uC
则其状态方程为 输出方程为：
x1
x2
0 1
LC
1 R
L
x1 x2
0 1
LC
u
y 1
0
x1 x2
x2 x1 uC
（3）系统状态变量的数目是惟一的
（2）辅助变量法 引入辅助变量z
z18z192z 640z u
y 160z 640z
选择状态变量 x1 z x2 z x1
于是系统的状态空间表达式为
x3 z x2
x1 0
x2
0
x3 640
1 0 192
0 x1 0
1
x2
0u
18 x3 1
x1
y 640
选择状态变量： x1 y 0u x2 y 0u 1u x1 1u x3 y 0u 1u 2u x2 2u
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21 2 b0 a00 a11 a22
状态空间表达式的建立
于是
x1 x2 1u x2 x3 2u x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 3u
状态空间表达式的建立
三种途径：
由系统方块图建立
首先将系统方块图转换为相应模拟结构图，然后直 接列写。
由系统物理或电气特性出发进行推理 由系统高阶微分方程或传递函数演化推理
状态空间表达式的建立
由系统物理或电气特性出发进行推理
例 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注： 质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）
g yu (s)
CsI
A 1b
d
C
adjsI detsI
A A
b
d
状态空间表达式求传递函数矩阵
例 系统状态方程式为
x
0 6
1 0 5 x 1u
y 1 1x
求系统传递函数。
解： g(s) CsI A 1b 1
16s
1 1 0 s 5 1
1
1
adj
s 6
s
det 6
1
s 5 1
x3 a0 x1 a1x2 a2 x3 b0u
1 0 x1 0
0
1
x2
0
u
a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态空间表达式的建立
状态图如下：
状态空间表达式的建立
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
x Ax Bu y Cx Du
x1
x
x2
xn
u1
u
u2
ur
y1
y
y2
ym
A：系统矩阵 B：输入（控制）矩阵 C：输出矩阵 D：直接传递矩阵
基本概念
a11 a1n
A
an1 ann nn
c11 c1n
C
cm1 cmn mn
b11 b1r
如果 x(0) 0 ，则 x(s) sI A 1Bu(s) Gxu(s)u(s)
状态变量对输入向量(输入到状态)的传递函数矩阵：
G xu
(s)
sI
A 1
B
adjsI detsI
A A
B
状态空间表达式求传递函数矩阵
而 y(s) Cx(s) Du(s)
CsI A -1 Bu(s) Du(s)
┆ xn1 xn z(n1) xn z(n) a0 x1 a1x2 an1xn b0u
y bn1z(n1) b1z b0 z b0 x1 b1x2 bn1xn
状态空间表达式的建立
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
选择 n 个状态变量为
x1 y 0u x2 x1 1u x3 x2 2u
xn xn1 n1u
状态空间表达式的建立
系统方程为
x1 x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0 0 1 an
1
x1 x2
选择状态变量如下：
x1 y x1 x2 y x2 x3 y
┆ xn1 xn y(n1) xn y(n) a0 x1 a1x2 an1xn b0u
状态空间表达式的建立
写成矩阵形式：
x1 x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
状态空间表达式的建立
例 已知描述系统的微分方程为 y18y 192y 640y 160u 640u
试求系统的状态空间表达式。
解 （1）待定系数法
选择状态变量如下
其中
0 b3 0
x1 y 0u x2 x1 1u x3 x2 2u
1 b2 a20 0
2 b1 a10 a01 160 192 0 640 0 160
3 b0 a00 a11 a22 640 18160 2240
状态空间表达式的建立
于是系统的状态空间表达式为
x1 0
x2
0
x3 640
1 0 192
0 x1 0
1
x2
160
u
18 x3 2240
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态空间表达式的建立
0
k m
1 f
m
x1 x2
0 1
m
F
该系统的状态图如下
y 1
0
x1 x2
状态空间表达式的建立
例 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式
电枢回路的电压方程为
LD
diD dt
RDiD
Ke
uD
系统运动方程式为
KmiD
f
JD
d
dt
（式中， Ke 为电动势常数； Km 为转矩常数； J D 为折合到电动
{CsI A -1B D}u(s) Gyu(s)u(s)
输出对输入向量(输入到输出)的传递函数矩阵：
Gyu(s)
CsI
A 1
B
D
C
adjsI detsI
A A
B
D
其结构为
g11(s)
G
y
u
(s)
g 21 ( s)
g12 (s) g1r (s)
1 L 0
i(t) uC (t
)
1
L 0
u(t
)
uC (t) 0 1uiC(t()t)
基本概念
设： x1 i(t) x2 uC (t)
C 0 1
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0C ຫໍສະໝຸດ x Ax bu则可以写成状态空间表达式：
y Cx
1
b
L 0
推广到一般形式：
根据牛顿第二定律
F
F ky
f
dy dt
m
d2 dt
y
2
即：
d 2 y dy m dt2 f dt ky F
选择状态变量 x1 y x2 y x1
则：
x1 x2
x2
k m
y
f m
dy dt
1 m
F
k m
x1
f m
x2
1 m
F
状态空间表达式的建立
机械系统的系统方程为
x1 x2
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0
0
b0
u
x1
y 1
0
0
xn
状态空间表达式的建立
系统的状态图如下：
状态空间表达式的建立
微分方程中含有输入信号导数项 （一）待定系数法
首先考察三阶系统，其微分方程为
y a2 y a1 y a0 y b3u b2u b1u b0u
0 1
1
s 5
s 5 1
1
6
s2 5s
s 6
0 1
s2
s 1 5s
6
状态空间表达式求传递函数矩阵
多输入-多输出系统 状态空间表达式为
进行拉普拉斯变换
x Ax Bu y Cx Du
sx(s) x(0) Ax(s) Bu(s)
sI - Ax(s) Bu(s) x(0)
如果 sI A 1 存在，则 x(s) sI A 1 Bu(s) sI A 1 x(0)
机轴上的转动惯量； f 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）
可选择电枢电流 iD 和角速度 为状态变量，电动机的电 枢电压 uD为输入量，角速度 为输出量。
状态空间表达式
diD dt
d
KRLmDD
dt J D
Ke LD f
JD
iD
1
LD 0
uD
y 0
1iD