安徽省2019年中考二轮复习题型六：几何图形的证明及计算(含答案)

题型六几何图形的证明及计算
类型一与全等三角形有关的证明及计算
1. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点E，AB＝AC＝BD，点M为BC中点，N 为线段AM上的点，且MB＝MN.
(1)求证：BN平分∠ABE；
(2)若BD＝1，连接DN，当四边形DNBC为平行四边形时，求线段BC的长；
第1题图
2. 如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.
(1)求证：△ABF是等腰三角形；
(2)如图②，BF的延长线交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．
3. 如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边上的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D，且∠ACF＝∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G.
(1)求证：CF＝BG；
(2)如图②，延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB＝CP＋CF；
(3)在(2)问的条件下，当∠GAC＝2∠FCH时，若S△AEG＝33，BG＝6，求AC的长．
图①图②
第3题图
4. 如图①，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且
CD＝CE.
(1)求证：∠CAE＝∠CBD；
(2)如图②，F是BD的中点，连接CF交AE于点M，求证：AE⊥CF；
(3)如图③，F，G分别是BD，AE的中点，连接GF，若AC＝2 2 ，CE＝1，求△CGF 的面积．
第4题图
5. 如图①，在正方形ABCD中，O是对角线AC上一点，点E在BC的延长线上，且OE＝OB，OE交CD于点F.
(1)求证：△OBC≌△ODC；
(2)求证：∠DOE＝∠ABC；
(3)把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变(如图②)，若∠ABC＝52°，求∠DOE的度数．
第5题图
6. 已知：如图①，等腰直角△ABC和△ECD中，∠ACB＝∠ECD＝90°，AC＝BC，EC ＝DC.
(1)求证：BE＝AD；
(2)如图②，若将△ECD绕点C按逆时针方向旋转一个锐角，①延长BE交AD于点F，交AC于点O.求证：BF⊥AD；
②如图③，取BE的中点M，AD的中点N，连接MN，NC，求∠MNC的度数．
第6题图
类型二与相似三角形有关的证明及计算
1. 如图①，已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4.点Q是线段AC上的点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图①)或线段AB的延长线(如图②)于点P.
(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
(2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
第1题图
2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点，连接DE 、CE .
(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；
(3)若AD ＝5，AB ＝7，求
AC AF
的值．
第2题图
3. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，∠EDF ＝∠B.
(1)求证：DE ·CD ＝DF ·BE ；
(2)如图②，若D 为BC 中点，连接EF ，A D. ①求证：DE 平分∠BEF ；
②若四边形AEDF 为菱形，求∠BAC 的度数及
AE AB
的值．
第3题图
4. 如图①，△ABC 中，点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上，且BE ＝CD ，
EP ∥AC 交直线CD 的延长线于点P ，交直线AB 的延长线于点F ，∠ADP ＝∠AC B.
(1)图①中是否存在与AC 相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；
(2)若将“点D 在线段AB 上，点E 在线段CB 延长线上”改为“点D 在线段BA 延长线上，点E 在线段BC 延长线上”，其他条件不变(如图②)．当∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，AB ＝2时，求线段PE 的长．
第4题图
5. 如图①，△ABC中，BC＞AC，CD平分∠ACB交AB于D，E，F分别是AC，BC 边上的两点，EF交CD于H.
(1)若∠EFC＝∠A，求证：CE·CD＝CH·BC；
(2)如图②，若BH平分∠ABC，CE＝CF，BF＝3，AE＝2，求EF的长；
(3)如图③，若CE≠CF，∠CEF＝∠B，∠ACB＝60°，CH＝5，CE＝4 3 ，求AC
BC
的值．
第5题图
类型三与全等和相似三角形有关的证明及计算
1. 如图，等边△ABC边长是8，过点C的直线l∥AB，点D为BC上一点(不与点B，C 重合)，将一个60°角的顶点放在D处，它的边始终过点A，另一边与直线l交于点E，DE 交AC于点F.
(1)若BD＝6，求CF的长；
(2)若点D是BC的中点，判定△ADE的形状，并给出证明；
(3)若点D不是BC的中点，则(2)中的结论成立吗？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由．
第1题图
2. 如图①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D、P分别为AC、AB的中点，连接BD、CP，CP交BD于点E，点F在AB上且∠ACF＝∠CB D.
(1)求证：CF＝BE；
(2)如图②，过点A作AG⊥AB交BD的延长线于点G.
①若CF＝6，求DG的长；
②设CF交BD于点H，求HE
CH
的值．
第2题图
3. 如图①，已知D是△ABC的边BC上的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝CF，点M、N分别是AE、DE上的点，AN⊥FM于点G.
(1)若∠BAC＝90°，求证：△ABC为等腰直角三角形；
(2)如图②，若∠BAC ≠90°，AF ＝2DF .
①求证：
FM AN ＝
EM DN
；
②求AN ∶FM 的值．
图① 图②
第3题图
4. (2018六安市模拟)我们知道，三角形三个内角平分线的交点叫做三角形的内心，已知点I 为△ABC 的内心．
(1)如图①，连接AI 并延长交BC 于点D ，若AB ＝AC ＝3，BC ＝2，求ID 的长； (2)如图②，过点I 作直线交AB 于点M ，交AC 于点N . ①若MN ⊥AI ，求证：MI 2＝BM ·CN ；
②如图③，AI 的延长线交BC 于点D ，若∠BAC ＝60°，AI ＝4，求
1
AM
＋
AN
1
的值．
第4题图
5. 如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，顶点C恰好在直线l上，过A、B分别作AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E.
(1)求证：DE＝AD＋BE；
(2)如图②，在△ABC中，当AC＝kBC，其他条件不变，猜想DE与AD、BE的关系，并证明你的结论；
(3)如图③，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝12，∠ACB＝90°，点D是AC的中点，点E 在BC上，过点E作EF⊥DE交AB于点F，若恰好EF＝2DE，求CE的长．
图①图②图③
第5题图
6. 如图①，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC, D为AB的中点，连接CD，将一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E，F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N.
(1)若CE＝CF，求证：△DCE≌△DCF；
(2)如图②，在∠EDF绕点D旋转的过程中：
①探究线段AB与CE、CF之间的数量关系，并证明；
②若AB＝42，CE＝2CF，求DN的长．
第6题图
类型一 与全等三角形有关的证明及计算
1. (1)证明：∵AB ＝AC ，点M 是BC 的中点，
∴AM ⊥BC ，∠BAM ＝∠CAM ， ∴∠CAM ＋∠ACM ＝90°， ∵AC ⊥BD ，
∴∠MBE ＋∠ACM ＝90°， ∴∠BAN ＝∠CAM ＝∠MBE ， ∵MB ＝MN ， ∴∠MNB ＝∠MBN ，
∵∠MNB ＝∠ABN ＋∠BAN ，∠MBN ＝∠MBE ＋∠NBE ， ∴∠ABN ＋∠BAN ＝∠MBE ＋∠NBE ， ∴∠ABN ＝∠NBE ， 即BN 平分∠ABE ；
(2)解：连接DN ，∵点M 为BC 中点，MB ＝MN ， ∴MB ＝MN ＝1
2
BC ，
∵四边形DNBC 为平行四边形，
参考答案
∴∠DBN ＝∠BDC ， 由(1)知∠ABN ＝∠DBN ， ∴∠ABN ＝∠BDC ， ∵AB ＝BD ＝1， ∴△ABN ≌△BDC ， ∴AN ＝BC ，
∴AM ＝AN ＋MN ＝3
2
BC ，
由(1)中条件可知AM ⊥BC ，即∠AMB ＝90°，
∴AM 2＋MB 2＝AB 2，即(3
2
BC )2＋(12
BC )2＝1，
解得BC ＝10
5
.
第1题解图
2. (1)证明：∵等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，
∴∠ABD ＝∠ACD ， ∵AE ＝AD ， ∴∠ADE ＝∠AED ，
∵∠BAD ＋∠ABD ＝∠ADE ＋∠EDC ，∠EDC ＋∠ACD ＝∠AED ， ∴∠BAD ＝2∠EDC ，
∴∠BAD ＝∠ABF ， ∴△ABF 是等腰三角形； (2)解：AN ＝1
2
BM .
证明：如解图，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ， ∵点N 是BG 的中点，点A 是HG 的中点， ∴AN ＝1
2
BH ，
∵(1)中已证明∠BAD ＝∠ABF ，且∠DAC ＝∠CBG ， ∴∠CAB ＝∠CBA ， ∴CA ＝CB 又∵AB ＝AC ，
∴△ABC 是等边三角形， ∠BAC ＝∠BCA ＝60°， ∴∠BAH ＝∠BCM ， ∵GM ＝AB ，AB ＝AC ， ∴AC ＝GM ， ∴CM ＝AG ， ∴AH ＝CM ，
在△BAH 和△BCM 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝BC ∠BAH ＝∠BCM AH ＝CM
，
∴BH ＝BM ， ∴AN ＝1
2
BM
.
第2题解图
3. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，
∴∠A ＝45°， ∵CG 平分∠ACB ， ∴∠ACG ＝∠BCG ＝45°， ∴∠A ＝∠BCG ， 在△BCG 和△CAF 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠A ＝∠BCG AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBE ， ∴△BCG ≌△CAF (ASA)， ∴CF ＝BG ； (2)证明：∵PC ∥AG ， ∴∠PCA ＝∠CAG ，
∵AC ＝BC ，∠ACG ＝∠BCG ，CG ＝CG ，
∴∠CAG ＝∠CBE ，
∵∠PCG ＝∠PCA ＋∠ACG ＝∠CAG ＋45°＝∠CBE ＋45°，∠PGC ＝∠GCB ＋∠CBE ＝∠CBE ＋45°，
∴∠PCG ＝∠PGC ， ∴PC ＝PG ，
∵PB ＝BG ＋PG ，BG ＝CF ， ∴PB ＝CP ＋CF ；
(3)解：如解图，过E 作EM ⊥AG ，交AG 于M ， ∵S △AEG ＝1
2
AG ·EM ＝3
3，
由(2)得：△ACG ≌△BCG ， ∴BG ＝AG ＝6， ∴ 1
2×6×EM ＝33，
解得EM ＝
3，
设∠FCH ＝x °，则∠GAC ＝2x °， ∴∠ACF ＝∠EBC ＝∠GAC ＝2x °， ∵∠ACH ＝45°， ∴2x ＋x ＝45， 解得x ＝15，
∴∠ACF ＝∠GAC ＝30°， 在Rt △AEM 中，AE ＝2EM ＝2
3，
第3题解图
AM ＝（23）2－（3）2＝3，
∴M 是AG 的中点， ∴AE ＝EG ＝2
3，
∴BE ＝BG ＋EG ＝6＋2
3，
在Rt △ECB 中，∠EBC ＝30°， ∴CE ＝1
2BE ＝3＋
3，
∴AC ＝AE ＋EC ＝2
3＋3＋3＝33＋3.
4. (1)证明：在△ACE 和△BCD 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AC ＝BC ∠ACE ＝∠BCD CE ＝CD
， ∴△ACE ≌△BCD ， ∴∠CAE ＝∠CBD ；
(2)证明：在Rt △BCD 中，点F 是BD 的中点， ∴CF ＝BF ， ∴∠BCF ＝∠CBF ， 由(1)知，∠CAE ＝∠CBD ， ∴∠BCF ＝∠CAE ，
∴∠CAE ＋∠ACF ＝∠BCF ＋∠ACF ＝∠BCA ＝90°， ∴∠AMC ＝90°， ∴AE ⊥CF ； (3)解：∵AC ＝2
2 ，
∴BC ＝AC ＝2 2 ，
∵CE ＝1，
∴CD ＝CE ＝1，
在Rt △BCD 中，根据勾股定理得，BD ＝CD 2＋BC 2＝3 ，
∵点F 是BD 中点， ∴CF ＝DF ＝12BD ＝3
2 ，
同理：EG ＝12AE ＝3
2
，
如解图，连接EF ，过点F 作FH ⊥BC 于点H ， ∵∠ACB ＝90°，点F 是BD 的中点， ∴FH ＝12CD ＝1
2
，
∴S △CEF ＝1
2CE ·FH ＝12×1×12＝14，
由(2)知，AE ⊥CF ，
∴S △CEF ＝1
2CF ·ME ＝12×32ME ＝3
4ME ，
∴ 3
4ME ＝1
4， ∴ME ＝13
，
∴GM ＝EG －ME ＝32－13＝7
6 ，
∴S △CFG ＝1
2CF ·GM ＝12×32×76＝7
8
.
5. (1)证明：∵AC 是正方形ABCD 的对角线，
第4题解图
∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，
在△OBC 和△ODC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC
∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO
，
∴△OBC ≌△ODC (SAS)；
(2)证明：由(1)知，△OBC ≌△ODC ，
∴∠CBO ＝∠CDO ，
∵OE ＝OB ，
∴∠CBO ＝∠E ，
∴∠CDO ＝∠E ，
∵∠DFO ＝∠EFC ，
∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，即∠DOE ＝∠DCE ，
∵AB ∥CD ，
∴∠DCE ＝∠ABC ，
∴∠DOE ＝∠ABC ；
(3)解：∵AC 是菱形ABCD 的对角线，
∴BC ＝DC ，∠BCA ＝∠DCA ，
在△BCO 和△DCO 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC
∠BCO ＝∠DCO CO ＝CO
，
∴△BCO ≌△DCO (SAS)，
∴∠CBO ＝∠CDO ，
∵OE ＝OB ，
∴∠CBO ＝∠E ，
∴∠CDO ＝∠E ，
∵∠DFO ＝∠EFC ，
∴180°－∠DFO －∠CDO ＝180°－∠EFC －∠E ，
即∠DOE ＝∠DCE ，
∵AB ∥CD ，
∴∠DCE ＝∠ABC ，
∴∠DOE ＝∠ABC ＝52°.
6. (1)证明：在△BEC 和△ACD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC
∠ACB ＝∠ECD EC ＝DC
，
∴△BEC ≌△ADC (SAS)，
∴BE ＝AD ；
(2)①证明：∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，
∴∠ACB －∠ACE ＝∠ECD －∠ACE ，
即∠BCE ＝∠ACD ，
在△BEC 和△ADC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC
∠BCE ＝∠ACD EC ＝DC
，
∴△BEC ≌△ADC (SAS)，
∴∠CBE ＝∠CAD ，
在△BCO 和△AFO 中，∠CBE ＝∠CAD ，∠BOC ＝∠AOF ，
∴∠AFB ＝∠ACB ＝90°，
∴BF ⊥AD ；
②解：如解图，连接MC ，
∵∠ACB ＝∠ECD ＝90°，
∴∠BCE ＝∠ACD ，
又∵AC ＝BC ，EC ＝DC ，
∴△BEC ≌△ADC ，
∴∠CBE ＝∠CAD ，AD ＝BE ，
∵M 是BE 的中点，N 是AD 的中点，
∴BM ＝AN ，
在△BMC 和△ANC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BM ＝AN
∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC
，
∴△BMC ≌△ANC (SAS)，
∴CM ＝CN ，∠BCM ＝∠ACN ，
∴∠ACN ＋∠MCA ＝∠BCM ＋∠MCA ，
∴∠MCN ＝∠ACB ＝90°，
∴△MCN 是等腰直角三角形，
∴∠MNC ＝45°.
第6题解图
类型二 与相似三角形有关的证明及计算
1. (1)证明：∵PQ ⊥AQ ，
∴∠AQP ＝90°＝∠ABC .
在△AQP 与△ABC 中，
∵∠AQP ＝∠ABC ，
∠QAP ＝∠BAC ，
∴△AQP ∽△ABC ；
(2)解：在Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，由勾股定理得AC ＝5.
①当点P 在线段AB 上时，如题图①所示．
∵∠QPB 为钝角，
∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝PQ ，
由(1)可知，△AQP ∽△ABC ，
∴PA AC ＝PQ BC ，即3－PB 5＝BP 4，
解得PB ＝43，
∴AP ＝AB －PB ＝3－43＝53；
②当点P 在线段AB 的延长线上时，如题图②所示．
∵∠QBP 为钝角，
∴当△PQB 为等腰三角形时，只可能是PB ＝BQ .
∴∠BQP ＝∠P ，
∵∠BQP ＋∠AQB ＝90°，∠A ＋∠P ＝90°，
∴∠AQB ＝∠A ，
∴BQ ＝AB ，
∴AB ＝BP ，
∴AP ＝2AB ＝2×3＝6.
综上所述，当△PQB 为等腰三角形时，AP 的长为53或6.
2. (1)证明：∵AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC ＝∠CAB .
又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°，
∴△ADC ∽△ACB ，
∴AD AC ＝AC AB ，
∴AC 2＝AB ·AD ;
(2)证明：∵E 为AB 的中点，
∠ACB ＝90°，
∴CE ＝12AB ＝AE ，
∴∠EAC ＝∠ECA ，
∵∠DAC ＝∠CAB ，
∴∠DAC ＝∠ECA .
∴AD ∥CE ；
(3)解：∵CE ∥AD ，
∴∠DAF ＝∠ECF ，
又∵∠DFA ＝∠EFC ，
∴△AFD ∽△CFE ，
∴AD CE ＝AF CF ，
∵CE ＝12AB ，
∴CE ＝12×7＝72，
∵AD ＝5，
∴572
＝AF CF ，
∴CF AF ＝710，
∴AF ＋CF AF ＝1＋CF AF ＝1710，
即AC AF ＝1710.
3. (1)证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C ，
∵∠B ＋∠BDE ＋∠DEB ＝180°，∠BDE ＋∠EDF ＋∠FDC ＝180°，∠EDF ＝∠B ，
∴∠FDC ＝∠DEB ，
∴△CFD ∽△BDE ，
∴DE DF ＝BE CD ，
即DE ·CD ＝DF ·BE ；
(2)①证明：由(1)证得△BDE ∽△CFD ，
∴BE CD ＝DE DF ，
∵D 为BC 中点，
∴BD ＝CD ，
∴BE BD ＝DE DF ，
∵∠B ＝∠EDF ，
∴△BDE ∽△DFE ，
∴∠BED ＝∠DEF ，
∴ED 平分∠BEF ；
②解：∵四边形AEDF 为菱形，
∴∠AEF ＝∠DEF ，
由(2)知，∠BED ＝∠DEF ，
∵∠AEF ＋∠DEF ＋∠BED ＝180°，
∴∠AEF ＝60°，
∵AE ＝AF ，
∴∠BAC ＝60°.
∵AB ＝AC ，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝60°，
又∵∠BED ＝∠AEF ＝60°，
∴△BED 是等边三角形，
∴BE ＝DE ，
∵AE ＝DE ，
∴AE ＝BE ＝12AB ，
∴AE AB ＝12.
4. 解：(1)AC ＝BF .证明如下：
∵∠ADP ＝∠ACD ＋∠A ，∠ACB ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ADP ＝∠ACB ，
∴∠BCD ＝∠A ，
又∵∠CBD ＝∠ABC ，
∴△CBD ∽△ABC ，
∴ CD AC ＝BC BA ，①
∵FE ∥AC ，
∴∠CAB ＝∠EFB ，
又∵∠ABC ＝∠FBE ，
∴△ABC ∽△FBE ，
∴ BC BA ＝BE BF ，②
由①②可得CD AC ＝BE BF ，
∵BE ＝CD ，
∴BF ＝AC ；
(2)∵∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，
∴∠ACB ＝30°＝∠ADP ，
∴∠BCD ＝60°，∠ACD ＝60°－30°＝30°，
∵PE ∥AC ，
∴∠E ＝∠ACB ＝30°，∠CPE ＝∠ACD ＝30°，
∴CP ＝CE ，
∵BE ＝CD ，
∴BE －CE ＝CD －CP ，
∴BC ＝DP ，
∵∠ABC ＝90°，∠D ＝30°，
∴BC ＝12CD ，
∴DP ＝12CD ，即P 为CD 的中点，
又∵PF ∥AC ，
∴F 是AD 的中点，
∴FP 是△ADC 的中位线，
∴FP ＝12 AC ，
∵∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，
∴AB ＝12AC ，
∴FP ＝AB ＝2，
∵DP ＝CP ＝BC ，CP ＝CE ，
∴BC ＝CE ，即C 为BE 的中点，
又∵EF ∥AC ，
∴A 为FB 的中点，
∴AC 是△BEF 的中位线，
∴EF ＝2AC ＝4AB ＝8，
∴PE ＝EF －FP ＝8－2＝6.
5. (1)证明：∵∠EFC ＋∠FEC ＋∠ECF ＝180°，∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，
又∵∠EFC ＝∠A ，
∠ECF ＝∠ACB ，
∴∠CEF ＝∠B ，
∵∠ECH ＝∠DCB ，
∴△ECH ∽△BCD ，
∴EC BC ＝CH CD ，
∴CE ·CD ＝CH ·BC ；
(2)解：如解图①，连接AH .
∵BH 、CH 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，
∴AH 是∠BAC 的平分线，
∴∠BHC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB )＝180°－12(180°－∠BAC )＝90°＋12
∠BAC ＝90°＋∠HAE ，
∵CE ＝CF ，∠HCE ＝∠HCF ，
∴CH ⊥EF ，HF ＝HE ，
∴∠CHF ＝90°，
∵∠BHC ＝∠BHF ＋∠CHF ＝∠BHF ＋90°，
∴∠HAE ＝∠BHF ，
∵CE ＝CF ，
∴∠CFE ＝∠CEF ，
∴∠AEH ＝∠BFH ，
∴△AEH ∽△HFB ，
∴ AE HF ＝EH FB ，
∴FH ·EH ＝6，
∴HE ＝HF ＝6，
∴EF ＝26；
第5题解图①
(3)解：如解图②，作HM ⊥AC 于M ，HN ⊥BC 于N .设HF ＝x ，FN ＝y .
∵∠HCM ＝∠HCN ＝30°，HC ＝5，
∴HM ＝HN ＝52 ，
CM ＝CN ＝532，
∵CE ＝4 3 ，
∴EM ＝332， ∴EH ＝EM 2＋HM 2＝13 ，
∵S △HCF ∶S △HCE ＝FH ∶EH ＝FC ∶EC ，
∴x ∶13＝(y ＋ 532)∶43，
又∵x 2＝y 2＋(52)2 ，
解得y ＝5314或332，
∵当y ＝332时，CF ＝CN ＋NF ＝43，
又∵CE ≠CF ，
∴y ≠332，即FN ＝5314，
∴CF ＝2037 ，
∵∠CEF ＝∠B ，∠ECF ＝∠ACB ，
∴△ECF ∽△BCA ，
∴ EC
BC ＝CF
AC ，
∴ AC BC ＝CF
EC ＝203
743＝57.
第5题解图②
类型三 与全等和相似三角形有关的证明及计算
1. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B ＝∠FCD ＝60°，
∵∠BAD ＝180°－60°－∠ADB ，∠FDC ＝180°－∠ADE －∠ADB ＝180°－60°－∠ADB ， ∴∠BAD ＝∠FDC ，
∴△ABD ∽△DCF ，
∴AB DC ＝BD CF ，
∴CF ＝DC ·BD AB ＝（8－6
）×68＝32；
(2)△ADE 是等边三角形．
证明：若D 点是BC 边中点，则AD ⊥BC ，
∴∠CDE ＝∠ADC －∠ADE ＝90°－60°＝30°，
又∵l ∥AB ，
∴∠DCE ＝180°－∠ABC ＝180°－60°＝120°，
∴∠CED ＝180°－∠DCE －∠CDE ＝180°－120°－30°＝30°，
即∠CDE ＝∠CED ，
∴CE ＝CD .
在△ACD 和△ACE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AC
∠ACD ＝∠ACE ＝60°DC ＝EC
，
∴△ACD ≌△ACE (SAS)，
∴AD ＝AE ，
又∵∠ADE ＝60°，
∴△ADE 是等边三角形；
(3)(2)中结论仍然成立．
证明：如解图，过点D 作DG ∥l 交AC 于点G ，则△GDC ∽△ABC ， ∴△GDC 是等边三角形，
∴DG ＝DC ，∠GDC ＝∠DGC ＝60°，
∵∠ADE ＝60°，
∴∠ADE ＝∠GDC ，
∴∠ADG ＝∠EDC ，
又∵∠AGD ＝180°－60°＝120°，
∠DCE ＝180°－∠ABC ＝120°，
∴∠AGD ＝∠DCE ，
在△ADG 和△EDC 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠ADG ＝∠EDC
DG ＝DC ∠AGD ＝∠DCE
， ∴△ADG ≌△EDC (ASA)，
∴AD ＝DE ，
又∵∠ADE ＝60°，
∴△ADE 是等边三角形．
2. (1)证明：∵P 为AB 的中点，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，
∴∠BCE ＝12∠ACB ＝12×90°＝45°，∠A ＝45°，
∴∠A ＝∠BCE ，
第1题解图
在△ACF 和△CBE 中
⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠BCE
AC ＝BC ∠ACF ＝∠CBD
，
∴△ACF ≌△CBE (ASA)，
∴CF ＝BE ；
(2)解：①由(1)得CF ＝BE ，
∴BE ＝CF ＝6，
∵AC ＝BC ，CE 平分∠ACB ，P 为AB 的中点，
∴CP ⊥AB ，
∵AG ⊥AB ，
∴CE ∥AG ，
∴∠GAD ＝∠ECD ，
又∵∠ADG ＝∠CDE ，
∴△ADG ∽△CDE ，
∵点D 是AC 的中点，
∴AD ＝CD ，即相似比k ＝1，
∴△ADG ≌△CDE ，
∴DG ＝DE ＝12GE ，
∵CE ∥AG 且P 为AB 中点，
∴GE ＝BE ＝6，
∴DG ＝3；
②设EP ＝a ，
由(2)① 得EP ∥AG ，
∴AG ＝2a ，
又由上题得△ADG ≌△CDE ，
∴CE ＝AG ＝2a ，
∴CP ＝CE ＋EP ＝3a ，
∵等腰直角△ABC 中 CP ⊥AB ，
∴BP ＝CP ＝3a ，
由题得∠ACP ＝∠CBP ＝45°，
∵∠ACF ＝∠CBD ，
∴∠ACP －∠ACF ＝∠CBP －∠CBD ，即∠HCE ＝∠PBE ， ∵∠CEH ＝∠PEB ，
∴∠CHE ＝180°－∠CEH －∠HCE ，∠BPE ＝180°－∠PBE －∠PEB ，
∴∠CHE ＝∠BPE ＝90°，
∴△CHE 是直角三角形，
∴△CHE ∽△BPE ，
∴HE CH ＝PE BP ＝a
3a ＝13.
3. (1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，
∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝CD ，
在Rt △BED 和Rt △CFD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD
BE ＝CF
， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD (HL)，
∴∠B ＝∠C ，
∵∠BAC ＝90°，
∴△ABC 为等腰直角三角形；
(2)①证明：如解图，连接AD 、EF ，相交于点O ， ∵由(1)可得Rt △BED ≌Rt △CFD ，
∴∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，
∴AB ＝AC ，
∵BE ＝CF ，
∴AE ＝AF ，
∴AD ⊥EF ，
又∵∠NEM ＝∠MGN ＝90°，
∴∠GME ＋∠ENG ＝∠DNG ＋∠ENG ＝180°，
∴∠EMF ＝∠DNA ，
又∵∠AEO ＋∠EAO ＝90°，∠EAO ＋∠NDA ＝90°， ∴∠AEO ＝∠NDA ，
∴△FME ∽△AND ，
∴FM AN ＝EM DN ；
第3题解图
②解：设AF ＝2k ，DF ＝k ，
在Rt △ADF 中，AD ＝（2k ）2＋k 2＝5k ，
由①可得∠B ＝∠C ，DE ＝DF ，
∴AD 垂直平分EF ，则OF ＝12EF ，
∵DF ⊥AC ，
∴S △ADF ＝12×5k ·OF ＝12×2k ×k ，
∴OF ＝255k ，EF ＝455k ，
∴AD EF ＝5
4，
又∵△FME ∽△AND ，
∴AN FM ＝AD EF ＝5
4，
即AN ∶FM ＝5∶4.
4. (1)解：如解图①中，作IE ⊥AB 于E .设ID ＝x ， ∵AB ＝AC ＝3，AI 平分∠BAC ，
∴AD ⊥BC ，BD ＝CD ＝1，
在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝32－12＝2 2 ，
在△BEI 和△BDI 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠EBI ＝∠DBI ，
∠BEI ＝∠BDI ＝90°，BI ＝BI ，
∴△BEI ≌△BDI ，
∴ID ＝IE ＝x ，BD ＝BE ＝1，AE ＝2，
在Rt △AEI 中，∵AE 2＋EI 2＝AI 2，
∴22＋x 2＝(22－x )2 ，
∴x ＝22，∴ID ＝2
2；
第4题解图
(2)①证明：如解图②，连接BI 、CI .
∵I 是内心，
∴∠MAI ＝∠NAI ，
∵AI ⊥MN ，
∴∠AIM ＝∠AIN ＝90°，
又∵AI ＝AI ，
∴△AMI ≌△ANI (ASA)，
∴∠AMN ＝∠ANM ，
∴∠BMI ＝∠CNI ，
设∠BAI ＝∠CAI ＝α，∠ACI ＝∠BCI ＝β，
∴∠NIC ＝90°－α－β，
∵∠ABC ＝180°－2α－2β，
∴∠MBI ＝90°－α－β，
∴∠MBI ＝∠NIC ，
∴△BMI ∽△INC ，
∴BM NI ＝MI NC ，
∴NI ·MI ＝BM ·CN ，
∵NI ＝MI ，
∴MI 2＝BM ·CN ；
②解：如解图③，过点N 作NG ∥AD 交MA 的延长线于G . ∵NG ∥AD ，
∴∠ANG ＝∠DAN ，
∠AGN ＝∠BAD ，
∵∠BAC ＝60°，
∴∠BAD ＝∠DAN ＝30°，
∴∠ANG ＝∠AGN ＝30°，
∴AN ＝AG ，NG ＝3AN ，
∵AI ∥NG ，
∴∠MIA ＝∠MNG ，
∠MAI ＝∠MGN ，
∴△AMI ∽△GMN ，
∴AM MG ＝AI NG ，
∴ AM AM ＋AN ＝43AN ，
∴AM ＋AN
AM ＝3AN
4，
∴ 1AM ＋1AN
＝34.
第4题解图③
5. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，
∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，
∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，
∴∠DAC ＝∠ECB ，
在△ADC 和△CEB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠ADC ＝∠CEB
∠DAC ＝∠ECB AC ＝CB
，
∴△ADC ≌△CEB (AAS)，
∴AD ＝CE ，CD ＝BE ，
∴DE ＝CE ＋DC ＝AD ＋BE ；
(2)解：DE ＝kBE ＋1k AD .
证明：∵∠ACB ＝90°，
∴∠ACD ＋∠BCE ＝90°，
∵AD ⊥DE ，
∴∠DAC ＋∠DCA ＝90°，
∴∠DAC ＝∠ECB ，
∵AD ⊥DE ，BE ⊥DE ，
∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，
∴△ADC ∽△CEB ，
∴AD CE ＝DC BE ＝AC BC ＝k ，
∴DC ＝kBE ，CE ＝1k AD ，
∴DE ＝DC ＋CE ＝kBE ＋1k AD ；
(3)解：如解图，过点F 作FG ⊥BC 于点G ，
∵AC ＝4，D 是AC 的中点，
∴CD ＝2，
∵EF ＝2DE ，易证△DCE ∽△EGF ，FG ＝2CE ，EG ＝2DC ＝4， 设CE ＝x ，则BG ＝BC －CG ＝12－4－x ＝8－x ， ∵FG ⊥BC ，AC ⊥BC ，
∴∠ACB ＝∠FGB ＝90°，
∵∠B ＝∠B ，
∴△FGB ∽△ACB ，
∴FG AC ＝BG BC ，即2x 4＝8－
x 12，
解得x ＝87，
即CE 的长为87
.
第5题解图
6. (1)证明：∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，
∴∠BCD ＝∠ACD ＝45°，∠BCE ＝∠ACF ＝90°， ∴∠DCE ＝∠DCF ＝135°，
在△DCE 与△DCF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧CE ＝CF
∠DCE ＝∠DCF CD ＝CD
，
∴△DCE ≌△DCF (SAS)；
(2) ①解：AB 2＝4CE ·CF .
证明：∵∠DCF ＝∠DCE ＝135°，
∴∠CDF ＋∠F ＝180°－135°＝45°，
∵∠CDF ＋∠CDE ＝45°，
∴∠F ＝∠CDE ，
∴△CDF ∽△CED ，
∴CD CE ＝CF CD ，
即CD 2＝CE ·CF ，
∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB ，
∴CD ＝AD ＝BD ＝12AB ，
∴(12AB )2＝CE ·CF ，
∴AB 2＝4CE ·CF ；
②解：如解图，过D 作DG ⊥BC 于G ， 由①得AB 2＝4CE ·CF ，
∵AB ＝42，CE ＝2CF ，
∴CE ＝4，CF ＝2，
∵DG ⊥BC 于G ，
由题得∠B ＝45°，BD ＝12AB ＝2 2
∴△DGB 是等腰直角三角形，
∴BG ＝DG ＝22·sin 45°＝2，
∵DG ⊥BC ，AC ⊥BC ，
∴DG ∥AC 即DG ∥CE ，
∴∠ECN ＝∠DGN
又∵∠ENC ＝∠DNG
∴△CEN ∽△GDN ，
∴CE DG ＝CN NG ＝42＝2，
又∵D 点为AB 中点，DG ∥AC ，
∴CG ＝BG ＝2，
∴NG ＝13CG ＝23
， 在Rt △DGN 中，
DN ＝DG 2＋NG 2＝22＋（23）2＝2103
.
第6题解图。