新高考数学一轮复习第八章立体几何8.7抛物线课件

A．1
B．2
C．4
D．6
(2)已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，以 F 为圆心的圆与抛物线交于
M，N 两点，与抛物线的准线交于 P，Q 两点，若四边形 MNPQ 为矩形，
则矩形 MNPQ 的面积是( A )
A．16 3
B．12 3
C．4 3
D．3
【解析】 (1)当|MO|＝|MF|时，有 2 个点 M 满足题意；当|OM| ＝|OF|时，有 2 个点 M 满足题意．所以点 M 的个数为 4，故选 C.
(2)根据题意，四边形 MNPQ 为矩形，可得|PQ|＝|MN|，从而 得圆心 F 到准线的距离与到 MN 的距离相等，所以有 M 点的横 坐标为 3，代入抛物线方程，从而求得 M(3,2 3)，N(3，－2 3)， 所以|MN|＝4 3，|NP|＝4，所以矩形 MNPQ 的面积 S＝4×4 3＝ 16 3.
方法技巧 1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可 相互转化；2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考， 通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几 何特征，体现了用数形结合思想解题的直观性.
1．若抛物线 y2＝4x 的焦点是 F，准线是 l，点 M(4，m)是抛物线
方法技巧 1.应用抛物线定义的两个关键点 1由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转 化. 2注意灵活运用抛物线上一点 Px0，y0到焦点 F 的距离|PF|＝|x0| ＋\f(p,2)或|PF|＝|y0|＋p2. 2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点 位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有 一个参数 p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
线交抛物线于 A，B 两点，则弦 AB 的长为( D )
A．4
B．8
C．12
D．16
(2)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F 与双曲线43x2－4y2＝1 的右
焦点相同，过点 F 分别作两条直线 l1，l2，直线 l1 与抛物线 C 交于 A，
B 两点，直线 l2 与抛物线 C 交于 D，E 两点，若 l1 与 l2 的斜率的平方和
1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一
定是抛物线．( × ) (2)抛物线 y2＝4x 的焦点到准线的距离是 4.( × )
(3)若一抛物线过点 P(－2,3)，其标准方程可写为 y2＝2px(p>0)．
(× )
因而 y0＝4，M8p，4.
由|MF|＝5，得 8p－p22＋16＝5. 又 p>0，解得 p＝2 或 p＝8.
考点二 抛物线的标准方程及几何性质
【例 2】 (1)设 F 为抛物线 C：y2＝4x 的焦点，M 为抛物线 C 上
的一点，O 为原点，则使△OFM 为等腰三角形的点 M 的个数为( C )
(2)若 O 为坐标原点，记△OCD 的面积为 S1，梯形 ABCD 的 面积为 S2，求SS21的取值范围．
【解】 (1)由题意知 A(p2，0)，则 B(p2＋a,0)，D(p2，p)，则 C(p2＋a， p2＋2pa)，又 a＝p，所以 kCD＝ 323pp－－p2p＝ 3－1.
(2)设直线 CD 的方程为 y＝kx＋b(k≠0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)，
第八章
立体几何
第七节 抛物线
课标要求
考情分析
1.掌握抛物线的定义、几何 1.抛物线的定义、标准方程、几何性质
图形、标准方程及简单几 是近几年高考命题方向方向的热点．
何性质(范围、对称性、顶 2．常与圆、椭圆、双曲线、直线、导
点、离心率)．
数等知识交汇命题方向方向．
2．理解数形结合的思想． 3．题型主要以解答题的形式出现，属
(3)由已知得|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点 M 的轨迹 是以点 F 为焦点，直线 l 为准线的抛物线．
(4)由 8x2＋y＝0，得 x2＝－18y. ∴2p＝18，p＝116，∴焦点为0，－312. (5)M 到准线的距离等于 M 到焦点的距离，又准线方程为 y ＝－116，设 M(x，y)，则 y＋116＝1，∴y＝1156.
过焦点垂直于对称轴的弦称为通径，通径长等于 2p，是过焦点最 短的弦．
2．直线 AB 过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，如图可得．
①y1y2＝－p2，x1x2＝p42. ②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2 x1x2＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短 为 2p. ③|A1F|＋|B1F|为定值2p. ④弦长 AB＝si2np2α(α 为 AB 的倾斜角)． ⑤以 AB 为直径的圆与准线相切． ⑥焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°.
不妨取点 A 坐标为(4,2)，A 关于准线的对称点的坐标为 B(4，－ 6)，则|PA|＋|PO|＝|PB|＋|PO|≥|OB|，即 O，P，B 三点共线时， 有最小值，最小值为|OB|＝ 42＋－62＝ 16＋36＝ 52＝2 13， 故选 A.
2．设抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，点 M 在 C 上，|MF| ＝5.若以 MF 为直径的圆过点 A(0,2)，则 C 的方程为( C )
3．了解抛物线的实际背景 于中高档题，有时也会以选择题、填
及抛物线的简单应用.
空题的形式出现，属中低档题.
01知识梳理 诊断自测 02考点探究 明晰规律
03微突破 提升素养
课时作业
01 知识梳理 诊断自测
课前热身 稳固根基
知识点一 抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等 的 点的轨迹叫做抛物线．点 F 叫做抛物线的 焦点，直线 l 叫做抛物线的 准线 ．
于是由yy＝ 2＝k41xx，－1， 消去 y，得 k21x2－(2k12＋4)x＋k21＝0，所以 xA＋xB＝2k21k＋21 4＝2＋k421，同理可得，xD＋xE＝2＋k422.因为 F 为抛物 线的焦点，所以由抛物线的定义可得|AB|＋|DE|＝(xA＋p2＋xB＋p2)
＋(xD＋p2＋xE＋p2)＝xA＋xB＋xD＋xE＋2p＝2＋k421＋2＋k422＋4＝8＋ 4kk2121＋k22k22＝8＋k214k22≥8＋k12＋24 k222＝24，当且仅当 k12＝k22＝12时，|AB| ＋|DE|取得最小值 24，故选 C.
2．抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平
行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线
发射后必经过抛物线的焦点．已知抛物线 y2＝4x 的焦点为 F，一平行
于 x 轴的光线从点 M(3,1)射出，经过抛物线上的点 A 反射后，再经抛物
线上的另一点 B 射出，则直线 AB 的斜率为( B )
上一点，则经过点 F，M 且与 l 相切的圆有( D )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．4 个
解析：因为点 M(4，m)在抛物线 y2＝4x 上，所以可得 m＝±4. 由于圆经过焦点 F 且与准线 l 相切，所以由抛物线的定义知圆心 在抛物线上．又圆经过抛物线上的点 M，所以圆心在线段 FM 的 垂直平分线上，故圆心是线段 FM 的垂直平分线与抛物线的交 点．结合抛物线的性质知对于点 M(4,4)和(4，－4)，线段 FM 的 垂直平分线与抛物线都各有 2 个交点，所以满足条件的圆有 4 个， 故选 D.
1．已知椭圆y52＋x2＝1 与抛物线 x2＝ay 有相同的焦点 F，O 为原点，
点 P 是抛物线准线上一动点，点 A 在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|
的最小值为( A )A．源自 13B．4 2C．3 13
D．4 6
解析：∵椭圆y52＋x2＝1，∴c2＝5－1＝4，即 c＝2，则椭圆 的焦点为(0，±2)，不妨取焦点(0,2)，∵抛物线 x2＝ay，∴抛物线 的焦点坐标为0，a4，∵椭圆y52＋x2＝1 与抛物线 x2＝ay 有相同的 焦点 F，∴a4＝2，即 a＝8，则抛物线方程为 x2＝8y，准线方程为 y＝－2，∵|AF|＝4，由抛物线的定义得 A 到准线的距离为 4，y ＋2＝4，即点 A 的纵坐标 y＝2，又点 A 在抛物线上，∴x＝±4，
为 1，则|AB|＋|DE|的最小值为( C )
A．16
B．20
C．24
D．32
(2)由双曲线方程知其右焦点坐标为(1,0)，所以p2＝1，即 p＝2， 所以抛物线 C 的方程为 y2＝4x.由题意可设直线 l1 的方程为 y＝k1(x －1)(k1≠0)，直线 l2 的方程为 y＝k2(x－1)(k2≠0)，则 k12＋k22＝1，
数学表达式： |MF|＝d(其中 d 为点 M 到准线的距离) ．
当定点在定直线上时，轨迹为过定点 F 与定直线 l 垂直的一
条直线．
知识点二 抛物线的标准方程及几何性质
抛物线常见的几何性质
1．焦半径、通径：抛物线 y2＝2px(p>0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0 的距离|PF|＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径．
垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹
是( D )
A．双曲线
B．椭圆
C．圆
D．抛物线
(4)抛物线 8x2＋y＝0 的焦点坐标为
0，－312
.
(5)若抛物线 y＝4x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1，则点 M 的纵坐
15 标是 16 .
解析：(2)因为抛物线 y2＝2px 的焦点p2，0在 2x＋3y－8＝0 上，所以 p＝8，所以抛物线的准线方程为 x＝－4，故选 D.
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
考点一 抛物线的定义及应用
【例 1】 (1)抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点 F 到准线 l 的距离为 2，
则 C 的焦点坐标为( C )
A．(4,0)
B．(2,0)
C．(1,0)
D．(12，0)
(2)已知抛物线 y2＝24ax(a>0)上的点 M(3，y0)到其焦点的距离是 5，
命题方向 2 直线与抛物线的位置关系
【例 4】 已知 A，B 是 x 轴正半轴上两点(A 在 B 的左侧)， 且|AB|＝a(a>0)，过 A，B 分别作 x 轴的垂线，与抛物线 y2＝2px(p>0) 在第一象限分别交于 D，C 两点．
(1)若 a＝p，点 A 与抛物线 y2＝2px 的焦点重合，求直线 CD 的斜率；
4 A.3
B．－43
C．±43
D．－196
解析：将 y＝1，代入 y2＝4x，可得 x＝14，即 A14，1.由抛物 线的光学性质可知，直线 AB 经过焦点 F(1,0)，所以 kAB＝114－ －01＝ －43，故选 B.
考点三 直线与抛物线的位置关系
命题方向 1
焦点弦问题
【例 3】 (1)过抛物线 y2＝8x 的焦点 F 作倾斜角为 135°的直
2．小题热身
(1)以 x＝1 为准线的抛物线的标准方程为( D )
A．y2＝2x
B．y2＝－2x
C．y2＝4x
D．y2＝－4x
(2)设抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点在直线 2x＋3y－8＝0 上，则该抛
物线的准线方程为( D )
A．x＝－1
B．x＝－2
C．x＝－3
D．x＝－4
(3)已知点 F14，0，直线 l：x＝－14，点 B 是 l 上的动点．若过点 B
A．y2＝4x 或 y2＝8x B．y2＝2x 或 y2＝8x C．y2＝4x 或 y2＝16x D．y2＝2x 或 y2＝16x
解析：由已知得抛物线的焦点 Fp2，0， 设点 M(x0，y0)，则A→F＝p2，－2，A→M＝2yp20 ，y0－2. 由已知得，A→F·A→M＝0，即 y20－8y0＋16＝0，
则该抛物线的方程为( A )
A．y2＝8x
B．y2＝12x
C．y2＝16x
D．y2＝20x
【解析】 (1)因为抛物线焦点到准线的距离为 2，所以 p＝2， 所以抛物线的方程为 y2＝4x，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选 C.
(2)抛物线 y2＝24ax(a>0)的准线方程为 x＝－6a，点 M(3，y0) 到其焦点的距离是 5，根据抛物线的定义可知，点 M(3，y0)到准 线的距离也为 5，即 3＋6a＝5，∴a＝13，∴y2＝8x，故选 A.