【精准解析】江西省名师联盟2020届高三入学调研考试数学(文)试题

2020届高三入学调研考试卷
文科数学
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合{|15}A x x =-<，则R C A =（ ） A. {|4}x x >- B. {}|4x x ≤ C. {|4}x x <- D. {|4}x x ≤-
【答案】D 【解析】 【分析】
先解出A 中x 的范围,再求
A R
即可.
【详解】{|15}{|4}A x x x x =-<=>-,故A =R
{|4}x x ≤-
故选：D
【点睛】本题主要考查集合的基本运算,属于基础题型. 2.2
(3)i -=（ ） A. 86i -- B. 86i + C. 86i - D. 86i -+
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复数运算法则得到化简的结果，进而得到答案.
【详解】根据复数的运算法则得到：22
(3)9686i i i i -=-+=-. 故选C ．
【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.
3.已知平面向量()1,2a =-，()2,b y =，且//a b ，则32(a b += ) A. ()1,7- B. ()1,2-
C. ()1,2
D. ()1,2-
【答案】D 【解析】 【分析】
由共线向量可知1y 220-⨯-⨯=，可得y 值，进而可得向量b 的坐标，由向量的运算可得结果． 【详解】
()a 1,2=-，()b 2,y =，且a //b ，
1y 220∴-⨯-⨯=，解得y 4=-，
故可得()()()3a 2b 31,222,41,2+=-+-=- 故选D ．
【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属基础题． 4.已知数列{}n a 为等差数列，若2610π
a a a 2
++=，则()39tan a a +的值为( )
A. 0
B.
3
C. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
由等差数列的性质得6πa .6=
从而396π
a a 2a 3
+==，由此能求出()39tan a a +的值． 【详解】数列{}n a 为等差数列，1610π
a a a 2
++=，
26106πa a a 3a 2∴++==，解得6π
a 6=．
396π
a a 2a 3
∴+==，
()39π
tan a a tan
33
∴+==． 故选D ．
【点睛】本题考查正切值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
5.设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】
cos ,a b a b a b ⋅=⋅，由已知得cos ,1a b =，即,0a b =，//a b .而当//a b 时，,a b
还可能是π，此时a b a b ⋅=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件，故选A.
考点：充分必要条件、向量共线.
6.设()f x 是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(2,1]-上的图象，则(2018)(2019)f f +=（ ）
A. 0
B. 1
C. 1-
D. 2
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意，利用函数的周期性以及图象分析可得；
【详解】解：由题意可得：(2018)(20186733)f f =-⨯(1)2f =-=，
(2019)(20196733)f f =-⨯(0)0f ==，则(2018)(2019)2f f +=.
故选：D.
【点睛】本题考查函数的周期性以及函数的求值，属于基础题．
7.若函数()3
2
236f x x mx x =-+在区间()1,+∞上为增函数，则实数m 的取值范围是（ ）
A. (],1-∞
B. (),1-∞
C. (],2-∞
D. (),2-∞
【答案】C 【解析】 【分析】
求()2
f'x 6x 6mx 6=-+，根据题意可知()f'x 0≥在()1,∞+上恒成立，可设
()2g x 6x 6mx 6=-+，法一：讨论的取值，从而判断()g x 0≥是否在()1,∞+上恒成立：
0≤时，容易求出2m 2-≤≤，显然满足()g x 0≥；0>时，得到关于m 的不等式组，这
样求出m 的范围，和前面求出的m 范围求并集即可，法二：分离参数，求出m 的范围即可． 【详解】()2
f'x 6x 6mx 6=-+；
由已知条件知()x 1,∞∈+时，()f'x 0≥恒成立；
设()2
g x 6x 6mx 6=-+，则()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；
法一：()1若()
2
36m 40=-≤，即2m 2-≤≤，满足()g x 0≥在()1,∞+上恒成立；
()2若
()
236m 40=->，即m 2<-，或m 2>，
则需：()m 121660g m ⎧
<⎪
⎨⎪=-≥⎩
解得m 2≤；
m 2∴<-， ∴综上得m 2≤，
∴实数m 的取值范围是(],2∞-；
法二：问题转化为1
m x x
≤+在()1,∞+恒成立， 而函数1
y x 2x
=+
≥，
故选C ．
【点睛】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式的取值情况和二次函数取值的关系．
8.已知某运动员每次投篮命中的概率都是40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有一次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数作为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：907，966，191，925，271，932，812，458，569，683，431，257，393，027，556，488，730，113，537，989.据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） A. 0.25 B. 0.2
C. 0.35
D. 0.4
【答案】A 【解析】 【分析】
当三次投篮恰有两次命中时，就是三个数字xyz 中有两个数字在集合{}1,2,3,4，再逐个考察个数据，最后利用古典概型的概率公式计算可得．
【详解】解：由题意知模拟三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191、271、932、812、393.共5组随机数，
∴所求概率为
51
0.25204
==. 故选：A
【点睛】本题主要考查了随机事件概率的含义及其运算，以及用数值表示随机事件的意义，属于基础题．
9.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b a cosC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，a 2=，
c =
，则角C (= ) A.
π3
B.
π6
C.
3π4
D.
π4
【答案】D 【解析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式tanA =结合范围()A 0,π∈，可求sinA 的值，进而根据正弦定理可得sinC 的值，结合大边对大角可求C 为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求解．
【详解】b a cosC ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴
由正弦定理可得：sinB sinAcosC =+，
又
()sinB sin A C sinAcosC cosAsinC =+=+，
∴
cosA =
，可得：tanA =
()A 0,π∈，
πA 3∴=
，可得：sinA =， 又
a 2=
，c 3
=
， ∴
由正弦定理可得：c sinA 3
2sinC a 22⋅===， c a <，C 为锐角， π
C 4
∴=
． 故选D ．
【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，大边对大角，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了运算求解能力和转化思想，属于中档题．
10.已知点O 为双曲线C 的对称中心，直线12,l l 交于点O 且相互垂直，1l 与C 交于点11,A B ，2l 与C 交于点22,A B ，若使得1122||||A B A B =成立的直线12,l l 有且只有一对，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）
A. (1,2]
B.
C. 2]
D.
)
+∞
【答案】D
【解析】
【分析】
根据使得
1122
A B A B
=成立的直线
12
,l l有且只有一对，可得双曲线渐近线的斜率大于1，进而可求出结果.
【详解】设双曲线方程为
22
22
1(00)
x y
a b
a b
-=>>
，；所以渐近线方程为y
b
x
a
=±
因为直线12
,l l交于点O且相互垂直，
1
l与双曲线C交于点
11
,
A B，
2
l与C交于点
22
,
A B，且使
得
1122
A B A B
=成立
直线12
,l l有且只有一对，所以可得451
b
tan
a
>︒=，
所以b a
>，即222
c a a
->，所以e
c
a
=>
故选D
【点睛】本题主要考查双曲线的性质，解题关键在于搞清双曲线的渐近线与已知直线12
,l l斜率之间的关系，属于常考题型.
11. 下列命题：
①“在三角形ABC中，若sin sin
A B
>,则A B
>”的逆命题是真命题；
②命题:2
p x≠或3
y≠，命题:5
q x y
+≠则p是q的必要不充分条件；
③“32
,10
x R x x
∀∈-+≤”的否定是“32
,10
x R x x
∀∈-+>”；
④“若,221
a b
a b
>>-
则”的否命题为“若a b
≤，则221
a b
≤-”；
其中正确的个数是（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
试题分析：对于①“在ABC
∆中，若sin sin
A B
>，则A B
>” 的逆命题为“在ABC
∆中，若A B
>，则sin sin
A B
>”，若A B
>，则a b
>，根据正弦定理可知，sin sin
A B
>，所
以逆命题是真命题，所以①正确；对于②，由2x ≠，或3y ≠，得不到5x y +≠，比如
1,4x y ==，5x y +=，p ∴不是q 的充分条件；若5x y +≠，则一定有2x ≠，则3y ≠，
即能得到2x ≠，或3y ≠，p ∴是q 的必要条件，p ∴是q 的必要不充分条件，所以②正确；对于③，“3
2
,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“3
2
,10x R x x ∃∈-+>” ,所以③不对；对于④“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”；所以④正确，故选C ．
考点：1、四种命题及其关系；2、充要条件及全称命题的否定． 12.方程3sin x x =的根的个数是（ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】C 【解析】
试题分析：大致图形如图所示,接下来比较
与
在
处的切线斜
率,,时,,即在处的切线方程为轴,又
,在
,因此在轴右侧图象较缓,由图象可知,共有个交点,
故选C ．
考点：图象的交点．
【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过
点,而轴右侧的高
低情况需要比较两个函数在处的切线斜率得到,为本题的易错点．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.点()M 2,1到抛物线2
y ax =准线的距离为2，则a 的值为______．
【答案】
14或112
- 【解析】 【分析】
求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．
【详解】抛物线2
y ax =的标准方程为：2
1x y a =
，准线方程为：1y 4a
=-， 1124a ⎛⎫
--= ⎪⎝⎭
，解得1a 4=或112-．
故答案为
14或1
..12
- 【点睛】本题考查抛物线方程，简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题． 14.若π0α2<<
，πβ02-<<，π1cos α43⎛⎫+= ⎪⎝⎭，βπ3sin 243⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则()cos 2αβ+=______．
【答案】
2327
【解析】 【分析】
利用两角和的正弦公式，余弦公式，二倍角公式化简已知等式，可求sin2α，sin β，进而利用同角三角函数基本关系式可求cos β的值，利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α，利用两角和的余弦函数公式即可计算求值得解． 【详解】
()π21cos αcos αsin α423⎛
⎫+=-= ⎪⎝
⎭，可得：2cos αsin α-=，①
∴两边平方可得，21sin2α9-=
，解得：7
sin2α9
=， π0α2<<，可得：()4
cos αsin α1sin2α3
+=+=，②
∴由①②解得：()()42cos2αcos αsin αcos αsin α=-+=，
又
βπ3sin 243⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得：2ββ3sin cos 2223⎛⎫+= ⎪⎝⎭，两边平方，可得：1sin β3=-，22
cos β3
=
， ()42227123
cos 2αβcos2αcos βsin2αsin β939327
⎛⎫∴+=-=
⨯-⨯-=
⎪⎝⎭． 故答案为
23
27
． 【点睛】本题主要考查了两角和的正弦函数公式，余弦函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 15.菱形ABCD 边长为6，60BAD ∠=，将BCD ∆沿对角线BD 翻折使得二面角
C B
D A --的大小为120，已知A 、B 、C 、D 四点在同一球面上，则球的表面积等于
__________． 【答案】84π 【解析】
如图，点12,O O 分别为,BAD CBD ∆∆外接圆的圆心，点O 为球心，因为菱形ABCD 边长为6，
60BAD ∠=，
所以113163,3tan 60323O G OO =⨯⨯===，13
6233
AO =⨯=222221121,484R OA AO OO S R ππ∴==+===，故答案为84π.
16.已知函数()212ln x x f x e e ⎛⎫
=≤≤
⎪⎝⎭
，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.
【答案】
3
2
2,3
e e
-
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
【解析】
【分析】
求出函数()
g x关于直线1
y=的对称函数()
h x，令()
f x与()
h x的图象有交点得出m的范围即可．
【详解】()1
g x mx
=+关于直线1
y=对称的直线为()1
y h x mx
==-，
∴直线1
y mx
=-与2ln
y x
=在2
1
[,]
e
e
上有交点，
作出1
y mx
=-与2ln
y x
=的函数图象，如图所示：
若直线1
y mx
=-经过点
1
2
e
-
（，），则3
m e
=，若直线1
y mx
=-与2ln
y x
=相切，
设切点为()
,x y，则
1
2
2
y mx
y lnx
m
x
⎧
⎪=-
⎪
=
⎨
⎪
⎪=-
⎩
，解得
3
2
3
2
3
2
x e
y
m e-
⎧
=
⎪
⎪
=
⎨
⎪
⎪=-
⎩
．
∴32
2?3
e m e
-
-≤≤，故答案为
3
2
2,3
e e
-
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
.
【点睛】本题考查了函数的对称问题解法，注意运用转化思想，以及零点与函数图象的关系，导数的几何意义，属于中档题．
三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.设数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且
()n 1n 1
n n 1n 1
a a 2n 2a a a -+-++=≥ (1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)设数列11
b 2
=
，n n 1n 4b a a -=，设{}n b 的前n 项和n T .证明：n T 1<． 【答案】（1）n 2
a n 1=+；（2）证明见解析.
【解析】 【分析】
(1)由已知得n n 1n 1211a a a -+=+，从而推导出n 1a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为12的等差数列，由此能求出数列{}n a 的通项公式;(2)由()n 111
b n n 1n n 1
=
=-++，利用裂项相消法能证明
n T 1<．
【详解】(1)数列{}n a 满足：1a 1=，213a a 1-=，且
()n 1n 1
n n 1n 1
a a 2n 2a a a -+-++=≥， n n 1n 1
211
a a a -+∴
=+， 又1a 1=，213a a 1-=，
121131,a a 2∴
==，21111a a 2
∴-=， n 1a ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为1
2的等差数列，
()()n 111
1n 1n 1a 22
∴
=+-=+， n 2
a .n 1
∴=
+ (2)证明：数列11
b 2
=
，n n 1n 4b a a -=， ()n 111
b n n 1n n 1
∴=
=-++，
n 12n 1111
11T b b b 111223n n 1n 1⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-< ⎪ ⎪ ⎪
++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
． 故n T 1.<
【点睛】本题考查数列
通项公式的求法，考查数列的前n 项和小于1的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．这个题目也涉及了数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知n S 和n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等．
18.已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示.
（1）将甲每天生产的次品数记为x （单位：件），日利润记为y （单位：元），写出y 与x 的函数关系式；
（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记X 表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）因为甲每天生产的次品数为x ，所以损失30x 元，则其生产的正品数为100x -，获得的利润为20(100)x -元，即可列出y 与x 的函数关系式；
（2）由题意，可得甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和的可能取值0,1,2，分别
求得取每个值对应的概率，即可列出分布列，利用公式求解数学期望． 【详解】（1）因为甲每天生产的次品数为x ，所以损失30x 元， 则其生产的正品数为100x -，获得的利润为()20100x -元，
因而y 与x 的函数关系式为()2010030y x x =-- 200050x =-，其中04x ≤≤，x N ∈. （2）同理，对于乙来说，200050y x =-，03x ≤≤，x N ∈.由2000501950x -≥，得1x ≤， 所以X 是甲、乙1天中生产的次品数不超过1的人数之和，所以X 的可能值为0，1，2，
又甲1天中生产的次品数不超过1的概率为20403
1005+=， 乙1天中生产的次品数不超过1的概率为302511
10020
+=， 所以()299
052050P X ==⨯=，
()3921149
1520520100P X ==⨯+⨯=，
()31133
2520100
P X ==⨯=，
所以随机变量X 的分布列为
所以()94933230125010010020
E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.
19.已知椭圆C ：2
2
3412x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线l ：4y x m =+，椭
圆C 上有不同两点关于这条直线对称.
【答案】m <<
【解析】 【分析】
根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分，从而可得直线AB 的斜率14
k =-
，线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点M 在直线4y x m =+，可设直线AB 的方程为
14y x n =-+，联立方程组223412
1
4x y y x n
⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩
，整理可得2213816(3)0x nx n -+-=可求中点M ，由226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->可求n 的范围，由中点M 在直线4y x m =+可得m ，n 的关系，从而可求m 的范围．
【详解】解：设椭圆上关于直线4y x m =+对称的点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分． 可得直线AB 的斜率14
k =-
， 直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点()00,M x y 在直线4y x m =+， 故可设直线AB 的方程为1
4
y x n =-
+， 联立方程组2234121
4x y y x n
⎧+=⎪
⎨=-+⎪⎩
， 整理可得2213816(3)0x nx n -+-= 12813n x x ∴+=
，1212124()2413
n y y x x n +=-++=， 226441316(3)0n n ∆=-⨯⨯->，
n <， 0413n x ∴=，01213n y =，代入4y x m =+，
413
n m =-
，
∴m <，
m ∴的范围就是213213,⎛⎫
-
⎪ ⎪⎝⎭
． 【点睛】本题重点考查了椭圆的基本性质、直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题，解题关键是熟练运用直线与椭圆的位置关系求解．
20.如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是平行四边形，11BC C C ⊥，平面11AC CA ⊥平面11BCC B ，且,E F 分别是11,BC A B 的中点.
（Ⅰ）求证：11BC A C ；
（Ⅱ）求证：//EF 平面11AC CA ；
（Ⅲ）在线段AB 上是否存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP ？若存在，求出AP
AB
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，
1
2
AP AB = 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由11BC C C ⊥，利用面面垂直的性质，证得1BC ⊥平面11ACC A ，在线面垂直的性质，即可得到1
1BC A C .
（Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC ，得到四边形11BCC B 为平行四边形，又由E 是BC 的中点，证得EC FG //，且EC FG =，进而得到FE GC //，利用线面平行的判定定理，即可证得//EF 平面11AC CA .
（Ⅲ）取AB 的中点P ，连PE ，连PF ，由线面垂直的性质，得到1BC ⊥AC ,1BC ⊥CG ，
又在在△ABC 中，利用中位线得//PE AC ，再由（Ⅱ）知FE CG //，进而得到1BC ⊥平面EFP ，得出结论.
【详解】（Ⅰ）因为11BC C C ⊥，又平面11AC CA ⊥平面11BCC B ， 且平面11AC CA ⋂平面111BCC B C C =， 所以1BC ⊥平面11ACC A .
又因为1
AC ⊂平面11A C CA ， 所以11
BC AC ⊥. （Ⅱ）取11A C 中点G ，连,FG 连GC .
在△111A B C 中，因为,F G 分别是1111,A B AC 中点， 所以11//FG B C ，且111
=
2
FG B C . 在平行四边形11BCC B 中，因为E 是BC 的中点， 所以11//EC B C ，且111
=
2
EC B C . 所以//EC FG ，且=EC FG . 所以四边形FECG 是平行四边形. 所以//FE GC .
又因为FE ⊄平面11A C CA ，GC ⊂平面11A C CA ，所以//EF 平面11A C CA . （Ⅲ）在线段AB 上存在点P ，使得1BC ⊥平面EFP . 取AB 的中点P ，连PE ，连PF .
因为1BC ⊥平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ,CG ⊂平面11ACC A , 所以1BC ⊥ AC ,1BC ⊥ CG .
在△ABC 中，因为,P E 分别是,AB BC 中点，所以//PE AC . 又由（Ⅱ）知//FE CG ， 所以1BC ⊥ PE ，1BC EF ⊥. 由PE EF E ⋂=得1BC ⊥平面EFP .
故当点P 是线段AB 的中点时，1BC ⊥平面EFP .此时，
1
2
AP AB =. 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，及线面位置关系的应用，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 21.已知函数f(x)＝x 2－ax －alnx(a∈R )． (1)若函数f(x)在x ＝1处取得极值，求a 的值；
(2)在(1)的条件下，求证：f(x)≥－33x ＋2
52
x －4x ＋116.
【答案】(1) a ＝1.(2) 见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据极值的定义即导函数的变号零点，求导使得f′(1)＝0，解得a ＝1；并
检验a ＝1时1是函数的变号零点即可（2）构造函数g(x)＝f(x)－35114326x x x ⎛⎫
-+-+ ⎪⎝
⎭，研究这个函数的单调性，使得这个函数的最小值大于等于0即可. 解析：
(1)解 f′(x)＝2x －a －
a
x
，由题意可得f′(1)＝0，解得a ＝1.经检验，a ＝1时f(x)在x ＝1处取得极值，所以a ＝1.
(2)证明 由(1)知，f(x)＝x 2－x －lnx ，
令g(x)＝f(x)－3511432
6x x x ⎛⎫
-
+-+ ⎪⎝⎭ ＝33
x －2
32x ＋3x －lnx －116，
由g′(x)＝x 2
－3x ＋3－1x ＝31x x -－3(x －1)＝
()3
1x x
- (x>0)，可知g(x)在(0,1)上是减函
数，
在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)≥g(1)＝0，所以f(x)≥－33x ＋2
52
x －4x ＋116成立．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为32(12x t t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
为参数)，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=．
()1求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
()2若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 到坐标原点O 的距离．
【答案】（1
）30x --=，2
2
(2)4x y -+=（2
【解析】 【分析】 （I ）将2t
y
代入32
x t =+
，即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线C 的直角坐标方程；
（II ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用韦达定理和参数的几何意义，即可求解点P 到原点O 的距离. 详解】解：（I ）将2t y =
代入3x =+
，整理得30x --=， 所以直线l
的普通方程为30x -=.
由4cos ρθ=得2
4cos ρρθ=，
将222x y ρ=+，cos x ρθ=代入2
4cos ρρθ=，
得22
40x y x +-=，
即曲线C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=. （II ）设A ，B
的
参数分别为1t ，2t .
将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得2
2132422t ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭， 化简得230t +-=，
由韦达定理得12t t += 于是1222
p t t t +=
=-
. 设()00,P x y ，则009
3,412x y ⎧⎛==⎪ ⎪⎝⎭
⎨⎛⎪=⨯= ⎪ ⎝⎭⎩
则9,44P ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
. 所以点P 到原点O 2
. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数的几何意义的应用，其中熟记互化公式，合理利用直线的参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 23.已知函数()|21|||()f x x x m m R =+--∈. （1）当1m =时，解不等式()2f x ≥；
（2）若关于x 的不等式()|3|f x x ≥-的解集包含[3,4]，求m 的取值范围. 【答案】（1）2
(,4][,)3
-∞-+∞（2）[4,10]- 【解析】 【分析】
（I ）当1m =，不等式为2112x x +--≥，分类讨论，即可求解不等式的解集.
（II ）由题意()|21||||3|f x x x m x =+--≥-的解集包含[3,4]，转化为当[3,4]x ∈时，|21||||3|x x m x +--≥-恒成立，即||4x m x -≤+，再利用绝对值的定义，即可求解.
【详解】解：（I ）当12
x ≤-时，()()2112f x x x x =--+-=--， 由()2f x ≥解得4x ≤-，综合得4x ≤-； 当112
x -
<<时，()()()2113f x x x x =++-=， 由()2f x ≥解得23x ≥，综合得213x ≤<； 当1x ≥时，()()()2112f x x x x =+--=+，
由()2f x ≥解得0x ≥，综合得1x ≥.
所以()2f x ≥的解集是][2,4,3⎛
⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭
. （II ）∵()213f x x x m x =+--≥-的解集包含[]3,4，
∴当[]3,4x ∈时，213x x m x +--≥-恒成立 原式可变为213x x m x +--≥-，即4x m x -≤+，
∴44x x m x --≤-≤+即424m x -≤≤+在[]3,4x ∈上恒成立，
显然当3x =时，24x +取得最小值10，
即m 的取值范围是[]
4,10-.
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．同时注意绝对值不等式有时与函数以及不等式恒成立等知识点相互交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。