苏科版八年级数学上册知识讲义-1.三角形全等的性质与判定

初中数学 三角形全等的性质与判定
精讲精练
【考点精讲】
一、全等形及全等三角形
1. 两个能够完全重合的图形是全等形；
2. 全等形的形状、大小都相同。

二、全等三角形的性质
1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等；
2. 全等三角形对应边上的高，中线，角平分线相等。

三、三角形全等的判定方法
1. 一般的三角形全等的判定方法有4种，分别是SAS 、SSS 、AAS 、ASA ；
2. 直角三角形全等的判定还有一个特殊的方法是：HL 。

（注：判断三角形全等，无论用哪种方法，都要有三组元素对应相等，且其中至少要有一组对应边相等。

三角形具有稳定性或用尺规作图所利用的原理都是：SSS ）
【典例精析】
例题1 如图，四点共线，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =。

求
证：△ACF ≌△BDE 。

思路导航：从结论△ACF ≌△BDE 入手，题目所给全等条件只有AC=BD ；由AE=BF ，两边同时减去EF 得到AF=BE ，又得到一个全等条件。

还缺少一个全等条件，可以是CF=DE ，也可以是∠A=∠B 。

由条件AC CE ⊥，BD DF ⊥可得90ACE BDF ∠=∠=，再加上AE BF =，AC BD =，可以证明△ACE ≌△BDF ，从而得到A B ∠=∠，进而可证明△ACF ≌△BDE 。

答案：AC CE ⊥，BD DF ⊥
∴90ACE BDF ∠=∠= 在Rt ACE ∆与Rt BDF ∆中
AE BF
AC BD
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt △ACE ≌Rt △BDF （HL ）
∴A B ∠=∠
AE BF =
∴AE EF BF EF -=-，即AF BE =
在ACF ∆与BDE ∆中 AF BE A B AC BD =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACF ≌△BDE （SAS ）
点评：本题实际上运用的是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。

再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。

本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析题目，得出解题思路。

例题2 如图，已知AE 交BC 于点D ，∠1=∠2=∠3， AB=AD 。

求证：DC=BE 。

B
思路导航：要证DC=BE ，先观察DC 与BE 分别在哪两个可能全等的三角形中，根据所给条件选择方法。

由图易得DC 与BE 分别在△ADC 和△ABE 中，所以只需证明出△ABE ≌△ADC 即可。

发掘条件，有∠2 =∠1，AB=AD ，而∠E =∠C 利用等量代换也很容易证出，从而△ABE ≌△ADC 得证，即可得到DC=BE 。

答案：证明：∵∠ADB=∠1+∠C ，∠ADB=∠3+∠E ，∠1=∠3， ∴∠C=∠E 。

在△ABE 和△ADC 中，
∵∠E =∠C ，∠2 =∠1，AB =AD ， ∴ △ABE ≌△ADC （AAS ）。

∴DC=BE 。

点评：碰到题目中有若干个看似全等的三角形，并且求证线段相等的题目，往往首先思考用全等的方法证明，找出所需要的对应边、对应角的条件。

条件不足时，思考判定全等的其它几种方法，并根据题目条件发掘新的条件，然后进行证明。

例题3 在△ABC 中，∠ACB ＝90o ，AC ＝BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E 。

（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD－BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。

思路导航：这类问题每一问所用的思路基本相同，第（1）题中已经知道了∠ADC＝∠ACB＝90o，AC＝BC，然后可以利用同角的余角相等证出∠1＝∠3（见下图），即可得出△ADC≌△CEB，进而得出CE＝AD，CD＝BE，再由等量代换可得DE＝CE＋CD＝AD＋BE。

第（2）题同（1）题一样，也是先由已知条件证出△ACD≌△CBE，再由等量代换可得出DE＝CE－CD＝AD－BE。

第（3）题由前两题的提示可以想到，DE＝CD－CE＝BE－AD。

答案：如图所示：
（1）证明：①∵∠ADC＝∠ACB＝90o，
∴∠1＋∠2＝∠3＋∠2＝90o，
∴∠1＝∠3。

又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90o，
∴△ADC≌△CEB。

②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE。

（2）证明：∵∠ACB＝∠CEB＝90o，
∴∠1＋∠2＝∠CBE＋∠2＝90o，
∴∠1＝∠CBE。

又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝90o，
∴△ACD≌△CBE，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE－CD＝AD－BE。

（3）当MN旋转到图3的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE－AD
（或AD ＝BE －DE ，BE ＝AD ＋DE 等）。

证明如下：
∵∠ACB ＝∠CEB ＝90o ，
∴∠ACD ＋∠BCE ＝∠CBE ＋∠BCE ＝90o ， ∴∠ACD ＝∠
CBE ，
又∵AC ＝BC ，∠ADC ＝∠CEB ＝90o ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD ＝CE ，CD ＝BE ， ∴DE ＝CD －CE ＝BE －AD 。

点评：解答第（3）小问要从第（1）、（2）小问找出规律，充分利用全等三角形中的对应边相等做文章，本题总体来说不是很难，但是要得满分很困难。

解题时要把条件写清楚，不要漏掉，最后一问要通过图像认真看清楚DE 、AD 、BE 三个量的关系，并搞清楚大小关系。

【总结提升】
一、三角形全等的运用
1. 性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等，而全等的判定刚好相反。

2. 利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点、角、边的顺序写一致，为找对应边，对应角提供方便。

3. 当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用SAS 找全等三角形。

二、解题技巧
一般来说，考试中线段相等或角相等需要通过三角形全等来证明，因此解题时我们可以采取逆向思维的方式。

想要证全等，则需要什么条件，要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等，然后运用所得的结论和判定定理（AAS/ASA/SAS/SSS/HL ）证明三角形全等。

分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好则很容易出现看漏的现象。

同步练习
（答题时间：20分钟）
一、选择题
1. 能使两个直角三角形全等的条件是（ ） A. 两直角边对应相等 B. 一锐角对应相等 C. 两锐角对应相等
D. 斜边相等
2. 根据下列条件，能画出唯一ABC ∆的是（ ） A. 3AB =，4BC =，8CA =
B. 4AB =，3BC =，30A ∠=
C. 60C ∠=，45B ∠=，4AB =
D. 90C ∠=，6AB =
*3. 如图，点B 、C 、E 在同一条直线上，△ABC 与△CDE 都是等边三角形，则下列结论
不一定成立的是（ ）
A
G F
D
A. △ACE≌△BCD
B. △BGC≌△AFC
C. △DCG≌△ECF
D. △ADB≌△CEA
4. 如图，已知∠1＝∠2，则不一定
．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）
A. AB＝AC
B. BD＝CD
C. ∠B＝∠C
D. ∠BDA＝∠CDA
二、填空题
*5. 如图，已知AB=DC，AD=BC，Ｅ，Ｆ是BD上的两点，且BE=DF，若∠AEB=100°，∠ADB=30°，则∠BCF=____________。

6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，BC，BD为折痕，则∠CBD的大小为_________。

7. 如图，点D，E，F，B在同一条直线上，AB∥CD，AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=___________。

三、解答题
*8. 如图，△ABC 为等边三角形，点M ，N 分别在BC ，AC 上，且BM=CN ，AM 与BN 交于Q 点。

求∠AQN 的度数。

*9. 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为AB 上一点，AE CD ⊥，BF CD ⊥，交CD 延长线于F 点。

求证：BF CE =。

答案
1. A 解析：在A 中，对应边是两条直角边，则可用SAS 证明全等。

其它选项都不能证明。

2. C 解析：C 选项可用AAS 证明全等。

A 选项构不成三角形，因为三角形两边之和要大于第三边，B 、D 选项无法证出全等，故无法保证只画出唯一一个三角形。

3. D 解析：由等边三角形条件得出∠ACB=∠DCE=60°。

根据等式性质得出∠ACB+∠ACD =∠DCE+∠ACD ，即：∠ACE=∠BCD ，再加上AC=BC ，CD=CE 两个条件，可根据SAS 得出A 选项，△ACE ≌△BCD 是对的。

由A 选项可知∠DBC=ECA ，由∠ACB+∠ACD+∠DCE=180°，∠ACB=∠DCE=60°可得∠ACB=∠ACD=60°，再加上BC=AC ，由ASA 得B 选项△BGC ≌△AFC 也是对的。

由A 选项结论可推出∠CDG=∠CEF ，由B 的证明过程知道∠ACD=∠DCE=60°，再加上DC=CE ，根据ASA 可得C 选项△DCG ≌△ECF 也是对的，而D 选项无法证明出全等。

4. B 解析：A 选项可由SAS 证出全等，C 选项是AAS ，D 选项是ASA ，只有B 选项是错误的。

故选B 。

5. 70° 解析：由AB=DC ，AD=BC ，BD=DB ，可得△ABD ≌△CDB ，可得∠FBC=∠EDA ，由BE=DF 得，BD －DF=BD －BE ，即：BF=ED ，再加上AD=BC ，根据三角形全等判定定理SAS 可证出△ADE ≌△CBF ，可得出∠BCF=∠DAE ，由三角形的外角定理得出，∠DAE=∠AEB －∠ADB=100°－30°=70°。

6. 90° 解析：“看见翻折想到翻折前后全等”，本题翻折条件其实已经明确给出：△ABC ≌△A’BC ，△BED ≌△BE’D ，所以，∠ABC=∠A’BC ，∠DBE=∠DBE’，又因为∠ABC+∠A’BC+∠DBE+∠DBE’=180°，所以∠A’BC+∠DBE’=
1
2
×180°=90°。

7. 6 解析：由AB ∥CD ，AE ∥CF 可知，∠B=∠D ，∠AEB=∠CFD ，再加上条件AE=CF ，由AAS 可证出△AEB ≌△CFD ，可推出BE=DF ，所以BD －BE=BD －DF ，即DE=BF=2，所以EF=BD －DE －BF=10－2－2=6。

8. 解：
ABC ∆为等边三角形
∴AB BC =，60ABC C ∠=∠=
在△ABM 与△BCN 中
AB BC
ABC C BM CN =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABM ≌△BCN （SAS ）
∴NBC BAM ∠=∠
∴60AQN ABQ BAM ABQ NBC ∠=∠+∠=∠+∠=。

9. 证明：
AE CD ⊥，BF CD ⊥
∴90F AEC ∠=∠= ∴90ACE CAE ∠+∠=
90ACB ∠=
∴90ACE BCF ∠+∠= ∴CAE BCF ∠=∠
在ACE ∆与CBF ∆中
F AEC
CAE BCF
AC BC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ACE≌△CBF（AAS）∴BF CE
=。