天水市第一中学高二数学下学期期末(高三开学)考试试题理

天水一中2014级2015——2016学年度第二学期期末考试试题
数学（理）
第一卷：选择题共60分
一、
选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分；在每个小题给出的四个选项中，有
且只有一个是符合题目要求的）
1．设集合{
}{
}
2
2
20,2A x x x B y y x x =-≤==-，则A
B =（ ）
A ．[]1,2-
B ．[]0,2
C ．[1,)-+∞
D ．[0,)+∞ 2．已知函数2log ,>0
()=2,0
x
x x f x x ⎧⎨
≤⎩若1()=,2
f a 则a 的值为 （ )
A ．1-
B ．2
C ．1-或2
D ．1-或12
3．sin ()x f x x =
，
则)('
πf 的值为（ ）
A. π
1
-
B.
π1 C. 21
π
- D.0 4．下列函数既是奇函数又在（-1,1）上是增函数的是（ ） A.π
cos(
)2y
x B.x y 2-= C.x
x y +-=22ln
D.x
x y --=22 5．已知0a <，函数2()f x ax bx c =++，若0x 满足20ax b +=，则下列必为真命题中的是（ ） A ．0,()()x R f x f x ∃∈> B ．0,(1)()x R f x f x ∃∈-≥ C ．0,()()x R f x f x ∀∈≤ D ．0,(1)()
x R f x f x ∀∈+≥
6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“20a >且10a >”是“数列{}n S 单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件 7.设2log 3=a ，2ln =b ，2
15
-=c ,则（ ）
A. c b a <<
B. a c b <<
C. b a c <<
D. a b c << 8．函数)1ln(x y -=的大致图像为( )
9．定义在R 上的函数()f x 满足下列三个条件： ①1
(3)()
f x f x +=-
； ②对任意1236x x ≤<≤，都有12()()f x f x <；③(3)y f x =+的图像关于y 轴对称．则下列结论中正确的是（ ） A ．(3)(7)(4.5)f f f << B ．(7)(3)(4.5)f f f << C ．(7)(4.5)(3)f f f << D ．(3)(4.5)(7)f f f << 10．设集合12164x x
⎧⎫
A =<<⎨⎬⎩⎭
，(){}
2ln 3x y x x B ==-，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是（ ） A ．
16 B ．13 C ．12 D ．2
3
11．设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f 的图象如右图，则导函数()y f x '=的图象可能为下图中的（ ）
12． 已知函数)(x f =ax ax x +-2
ln 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）
A.（-∞，0）
B.（0，+∞）
C.（0,1）∪（1，+∞）
D.（-∞，0）∪{1}
第二卷：非选择题共90分
二、
填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若曲线x ax y ln 2
-=在点),1(a 处的切线平行于x 轴，则=a .
14．若命题“()1
0,,x m x x
∀∈+∞≤+
”为真命题，则实数m 的取值范围为__________． 15．函数)(1sin )(3
R x x x x f ∈++=若2)(=a f 则)(a f -的值为________．
16．定义在R 上的函数()f x 满足22,0
()(1)(2),0
x x x f x f x f x x ⎧-≤=⎨--->⎩，则(2016)f 的值
为 .
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(12分)设偶函数()2f x x bx c =++的一个零点为1，直线y kx m =+（0k >）与函数()y f x =的图象相切。

（Ⅰ）求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）求
k
m
的最大值。

18．(12分)在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且323b c =. （1）若2B C =,求sin B 的值；（2）若3,c ABC =∆的面积为32,求a . 19．(12分)已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且622
3219,12a a a a a ⋅==+．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设,log log log 32313n n a a a b ++=求数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧n b 1的前n 项和． 20．(12分)如图1，在边长为4的正方形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，沿EF 将矩形ADFE 折起使得二面角A EF C --的大小为90︒（如图2），点G 是CD 的中点．
（1）若M 为棱AD 上一点，且4AD MD =，求证：DE ⊥平面MFC ； （2）求二面角E FG B --的余弦值
21．(12分)已知函数1ln(1)
()(0)x f x x x
++=
>. （Ⅰ）判断函数()f x 在(0,)+∞上的单调性； （Ⅱ）若()1
k
f x x >
+恒成立, 求整数k 的最大值． 选做题（10分）（22、23、24只能选一道作答，否则不给分。

） 22.选修4—1:几何证明选讲
如图，AB 切圆O 于点B ，直线AO 交圆O 于D ，E 两点，C D B ⊥E ，垂足为C ．
（I ）证明：C D D ∠B =∠BA ； （II ）若D 3DC A =，C 2B =
，求圆O 的直径．
23．选修4－4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)6
sin(4π
θρ-=.
（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）O 为极点，,A B 为圆C 上的两点，且3AOB π
∠=，求OB OA +的最大值． 23．选修4—5：不等式选讲
（Ⅰ）若a ,b ,均为正数，且1a b +=.证明：11(1)(1)9a
b
++≥； （Ⅱ）若不等式2|||3|≥--+a x x 的解集为}1|{≥x x ，求实数a 的值.
理科数学答案
三、选择题
1——5 BCADC 6——10 CCCDC 11——12 DC
12、【解析】函数)(x f 的定义域为（0，+∞），由题知方程 ax ax x +-2ln =0，即方程)1(ln -=x a x
x
恰有两解，设x
x
x g ln )(=
，则)(x g '=2
ln 1x x -，当e 0<<x 时，)(x g '＞0，当e >x 时，)(x g '＜0，所以)(x g 在（0,e ）上是增函数，在（e ，+∞）上是减函数，且0)1(=g ，当e >x 时，)(x g ＞0，1)1(='g ，作出函数)(x g y =与函数)1(-=x a y 的图象如下图所示，由图可知，函数)(x g y =的图象与函数)1(-=x a y 的图象恰有2个交点的充要条件为10<<a 或1>a ，故选C.
四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．
2
1
14． ]2,(-∞ 15． 0 16．-1 16、【解析】当0x >时，由)2()1()(---=x f x f x f ，得(+1)()
(1)f x f x f x ，
两式相加得(+1)(2)f x f x ，所以(+3)()f x f x ，
所以()(+6)f x f x ，故20(2016)(6336)(0)021f f f =⨯==-=-.
三、解答题
17．解：（Ⅰ）2
()1f x x =- （Ⅱ）-1 18．试题解析：（1）
2B C =,∴由323b c =得
232sin cos 3sin C C
C
=，解得3cos 3C =，
2166322
sin 1cos 1sin sin 22sin cos 233333
C C B C C C ∴=-=-
=∴===⨯=
（2）
3,323,23,c b c b ABC ==∴=∆的面积为
116
sin 32332,sin 22bc A A A =⨯⨯=∴=
则3
cos 3
A =±
,291212a ∴=+±,解得333a a ==或. 19、试题解析：（1）由622
39a a a ⋅=得2
42
39a a =，而等比数列{}n a 的各项均为正数，则433a a =， 即等比数列{}n a 的公比为3. ,12431211121==+⇒=+a a a a a 则31=a ，
则.3n n a =即数列{}n a 的通项公式为.3n n a =
（2）n a n
n ==3log log 33⇒n n a a a b 32313log log log ++=
()21321+=
++++=n n n ，则()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+=1112121n n n n b n ⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++++-1112111
2413123121221121321n n n n b b b b b n n ⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+-=1112n 122+-
=n 20．解析：（1）(略)
（2）以F 为坐标原点，分别以FD,FC,FE 为x,y,z 轴，如图所示构建空间直角坐标系，则：
()
0,0,4E ，
()
0,0,0F ，
()
1,1,0G ，
()
0,2,4B
()0,0,4FE =，
()1,1,0FG =，
()
0,2,4FB =
设面EFG 的法向量为111(,,)m x y z =，面BFG 的法向量为222(,,)n x y z =，则有：
⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0
m m
， ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00n n 即：111400z x y =⎧⎨+=⎩，2222
240
0y z x y +=⎧⎨+=⎩ 故可取：()1,1,0m =-，()2,2,1n =-
22
cos ,3
m n m n m n
<>=
= 21．试题解析： （Ⅰ）22111()[1ln(1)][ln(1)]11
x f x x x x x x x '=
--+=-++++ 21
0,0,
0,ln(1)0,()01x x x f x x '>∴>>+>∴<+ ()(0,)f x ∴+∞在上是减函数 （Ⅱ）(1)[1ln(1)]
(),()1k x x f x h x k x x +++>=>+恒成立即恒成立，
即()h x 的最小值大于k .
2
1ln(1)
(),x x h x x
--+'=
令()1ln(1)(0)g x x x x =--+>，则()0,()(0,)1
x
g x g x x '=>∴+∞+在上单调递增, 又(2)1ln 30,(3)22ln 20g g =-<=-> ，
()0g x ∴=存在唯一实根a , 且满足(2,3),1ln(1)a a a ∈=++，
当x a >时，()0,()0;g x h x '>>当0x a <<时，()0,()0g x h x '<< ∴min (1)[1ln(1)]
()()1(3,4)a a h x h a a a
+++==
=+∈，故正整数k 的最大值是3
22.选修4—1几何证明选讲
试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD
BC CD
,又=2BC ，从而32AB ，
所以22
4AC
AB BC ，所以D=3A .
由切割线定理得2
=AD AB AE ，即2
=AD
AB AE =6，
故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3. 23．选修4－4：坐标系与参数方程
【解析】（Ⅰ）∵圆C 的极坐标方程为)6
sin(4π
θρ-
=，
∴)cos 2
1
sin 23(
4)6
sin(42
θθρπ
θρρ-=-
=， 又2
22y x +=ρ，θρcos =x ，θρsin =y ，∴x y y x 23222-=+， ∴圆C 的直角坐标方程为032222=-++y x y x .
（Ⅱ）不妨设A 的极角为θ，B 的极角为3
π
θ+，
则4sin 4sin 43sin 66OA OB ππθθθ⎛⎫
⎛
⎫+=-
++= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，∴当2πθ=时，OA OB +取得最大值43．
23．选修4—5：不等式选讲 【解析】（Ⅰ） ∵a ,b 均为正数， ∴11(1)(1)a b +
+=1111a b ab +++=111a b a b ab ++++=2()2()
1a b a b a b
++++
=52()b a a b ++522a b
b a
≥+⨯⨯=9， 当且仅当
a b b a =，即1
2
a b ==时取等号. （Ⅱ）不等式2|||3|≥--+a x x 可化为不等式||2|3|a x x -≥-+， 作出函数2|3|-+=x y 和函数||a x y -=的图象， 由图象知12|31|-=-+a ，解得3=a .。